10.1二元一次方程（解析版）

10.1二元一次方程二元一次方程含有兩個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1，像這樣的方程叫做二元一次方程．二元一次方程的解一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的一組解．注：（1）二元一次方程的解都是一對數(shù)值，而不是一個數(shù)值，一般用大括號聯(lián)立起來（2）一般情況下，二元一次方程有無數(shù)個解，即有無數(shù)多對數(shù)適合這個二元一次方程．（3）根據(jù)條件或者實際情境出發(fā)，二元一次方程的解有的時候需要取整數(shù)解.題型1：二元一次方程的定義1．下列方程中，是二元一次方程的是（）A．2x+3y＝5 B．xy＝1 C．2(m-5)=14【分析】根據(jù)二元一次方程滿足的條件：含有2個未知數(shù)，未知數(shù)的項的次數(shù)是1的整式方程可得答案．【解答】解：A、此方程符合二元一次方程的條件，故此選項符合題意；B、此方程是二元二次方程的條件，故此選項不符合題意；C、此方程是一元一次方程的條件，故此選項不符合題意；D、此方程不符合二元一次方程的條件，故此選項不符合題意．故選：A．【變式1-1】已知方程ax+y＝3x﹣1是關(guān)于x，y的二元一次方程，則a滿足的條件是（）A．a(chǎn)≠0 B．a(chǎn)≠﹣1 C．a(chǎn)≠3 D．a(chǎn)≠﹣3【分析】根據(jù)二元一次方程的定義即可求出答案．【解答】解：方程整理得（a﹣3）x+y+1＝0，由題意得：a﹣3≠0，即a≠3，故選：C．【變式1-2】已知3x|m|+（m+1）y＝6是關(guān)于x、y的二元一次方程，則m的值為（）A．m＝1 B．m＝﹣1 C．m＝±1 D．m＝2【分析】根據(jù)二元一次方程的定義列式進行計算即可得解．【解答】解：根據(jù)題意得|m|＝1且m+1≠0，所以m＝1或m＝﹣1且m≠﹣1，所以m＝1．故選：A．【變式1-3】方程2xm﹣1+3y2n﹣1＝7是關(guān)于x，y的二元一次方程，則m﹣2n的值為0．【分析】根據(jù)二元一次方程的定義列出關(guān)于m，n的方程，求出m，n的值再代入代數(shù)式進行計算即可．【解答】解：∵方程2xm﹣1+3y2n﹣1＝7是關(guān)于x，y的二元一次方程，∴m﹣1＝1，2n﹣1＝1，∴m＝2，n＝1，∴m﹣2n＝2﹣2×1＝0．故答案為：0．題型2：二元一次方程的解2.寫出方程x+3y＝11的一個正整數(shù)解x1=7y1=1，（或x【分析】先變形得出x＝10﹣3y，再取正整數(shù)解即可．【解答】解：x+3y＝10，x＝10﹣3y，當y＝1時，x＝7；當y＝2時，x＝4，當y＝3時，x＝1；故答案為：x1=7y1=1【變式2-1】若x=1y=k是二元一次方程2x+y＝6的一個解，則k的值為4【分析】把x與y的值代入方程計算即可求出k的值．【解答】解：把x=1y=k代入方程得：2+k＝6解得：k＝4．故答案為：4．【變式2-2】已知x=2y=3是方程2x﹣y+k＝1的解，則k＝0【分析】將x=2y=3代入原方程，可得出關(guān)于k的一元一次方程，解之即可求出k【解答】解：將x=2y=3代入原方程得2×2﹣3+k＝1解得：k＝0，∴k的值為0．故答案為：0．【變式2-3】已知x=ay=b是方程2x﹣3y＝1的一個解，那么4a﹣6b+8＝10【分析】將x=ay=b代入方程2x﹣3y＝1，得2a﹣3b＝1【解答】解：將x=ay=b代入方程2x﹣3y＝1得2a﹣3b＝1，∴4a﹣6b+8＝2（2a﹣3b）+8＝2×1+8＝10，故答案為：10．題型3：解二元一次方程3.已知方程2x+5y＝7，用含x的代數(shù)式表示y為y=7-2x5【分析】先移項，再把y的系數(shù)化為1即可．【解答】解：移項得，5y＝7﹣2x，y的系數(shù)化為1得，y=7-2x故答案為：y=7-2x【變式3-1】已知x3+y-12=6，則y＝【分析】把x看做已知數(shù)求出y即可．【解答】解：方程x3+去分母得：2x+3（y﹣1）＝36，去括號得：2x+3y﹣3＝36，解得：y=39-2x故答案為：39-2x3【變式3-2】二元一次方程2x+3y＝8的正整數(shù)解為x=1y=2【分析】要求二元一次方程2x+3y＝8的正整數(shù)解，首先將方程做適當變形，確定其中一個未知數(shù)的取值范圍，分析解的情況．【解答】解：由已知得y=8-2x要使x，y都是正整數(shù)，必須滿足：①8﹣2x大于0；②8﹣2x是3的倍數(shù)．根據(jù)以上兩個條件可知，合適的x值只能是x＝1，相應(yīng)的y＝2，即二元一次方程2x+3y＝8的正整數(shù)解為x=1y=2故答案為：x=1y=2題型4：從實際問題中抽象出二元一次方程4.現(xiàn)有1元的人民幣x張，5元的人民幣y張，共120元，這個關(guān)系用方程可以表示為x+5y＝120．【分析】根據(jù)1元人民幣的金額+5元人民幣的金額＝120元，列方程即可．【解答】解：1元的人民幣x張，則其金額總計為x元；5元的人民幣y張，則其金額總計為5y元；兩者之和為（x+5y）元，根據(jù)題意得：x+5y＝120．故答案為：x+5y＝120．【變式4-1】老王家去年收入x元，支出y元，而今年收入比去年多15%，支出比去年少10%，結(jié)果今年結(jié)余30000元，根據(jù)題意可列出的方程為（1+15%）x﹣（1﹣10%）y＝30000．【分析】首先根據(jù)題意，可以表示出今年收入為（1+15%）x，今年支出為（1﹣10%）y．此題中的等量關(guān)系有：結(jié)果今年結(jié)余30000元．【解答】解：根據(jù)結(jié)果今年結(jié)余30000元，列方程（1+15%）x﹣（1﹣10%）y＝30000．【變式4-2】已知甲隊有x人，乙隊有y人，若從甲隊調(diào)出10人到乙隊，則乙隊人數(shù)是甲隊人數(shù)的2倍，調(diào)整后兩隊人數(shù)間的數(shù)量關(guān)系用等式表示為y+10＝2（x﹣10）．【分析】本題的等量關(guān)系有：甲隊調(diào)出10人到乙隊，則乙隊人數(shù)是甲隊人數(shù)的2倍，可以列出方程．【解答】解：設(shè)甲隊有x人，乙隊有y人，由題意，知y+10＝2（x﹣10）．一．選擇題（共5小題）1．若x=1y=-2是關(guān)于x和y的二元一次方程ax+y＝2的解，則aA．0 B．1 C．2 D．4【分析】【分析】將方程的解代入方程得到關(guān)于a的方程，從而可求得a的值．【解答】解：將x=1y=-2代入方程ax+y＝2a﹣2＝2，解得：a＝4．故選：D．2．《九章算術(shù)》中記載了一個問題，原文如下：“今有人共買物，人出八，盈三；人出七，不足四．問人數(shù)，物價各幾何？”大意是：有幾個人一起去買一件物品，每人出8文，多3文；每人出7文，少4文，求人數(shù)及該物品的價格，小明用二元一次方程組解決此問題，若已經(jīng)列出一個方程8x﹣3＝y(tǒng)，則符合題意的另一個方程是（）A．7x﹣4＝y(tǒng) B．7x+4＝y(tǒng) C．xy+4=y D【分析】由已經(jīng)列出的方程，可得出x表示買這件物品的人數(shù)，y表示這件物品的價格，結(jié)合“每人出7文，少4文”，即可列出另一方程，此題得解．【解答】解：∵每人出8文，多3文，且已經(jīng)列出一個方程8x?3＝y(tǒng)，∴x表示買這件物品的人數(shù)，y表示這件物品的價格．又∵每人出7文，少4文，∴7x+4＝y(tǒng)．故選：B．3．二元一次方程x+2y＝6的一個解是（）A．x=2y=2 B．x=2y=3 C．x=2y=4 【分析】分別將選項中的解代入方程，使等式成立的即是它的解．【解答】解：A、2+4＝6，能使方程成立，故該選項正確，符合題意；B、2+6＝8，不能使方程成立，故該選項不正確，不符合題意；C、2+8＝10，不能使方程成立，故該選項不正確，不符合題意；D、2+12＝14，不能使方程成立，故該選項不正確，不符合題意．故選：A．4．關(guān)于x和y的二元一次方程，2x+3y＝20的正整數(shù)解有（）組．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】將y看作已知數(shù)，求出x，即可確定出方程的正整數(shù)解．【解答】解：2x+3y＝20，x=1當y＝2時，x＝7；當y＝4時，x＝4；當y＝6時，x＝1，則方程的正整數(shù)解有3對．故選：C．5．方程（m﹣2023）x|m|﹣2022+（n+3）y|m|﹣2＝2022是關(guān)于x、y的二元一次方程，則（）A．m＝±2023，n＝±3 B．m＝2023，n＝3 C．m＝﹣2023，n＝﹣3 D．m＝﹣2023，n＝3【分析】由方程（m﹣2023）x|m|﹣2022+（n+3）y|m|﹣2＝2022是關(guān)于x、y的二元一次方程，知|m|-【解答】解：∵方程（m﹣2023）x|m|﹣2022+（n+3）y|n|﹣2＝2022是關(guān)于x、y的二元一次方程，∴|m|-解得m＝﹣2023，n＝3，故選：D．二．填空題（共5小題）6．已知x=2y=3是方程2x﹣y+k＝1的解，則k＝0【分析】將x=2y=3代入原方程，可得出關(guān)于k的一元一次方程，解之即可求出k【解答】解：將x=2y=3代入原方程得2×2﹣3+k＝1解得：k＝0，∴k的值為0．故答案為：0．7．已知x=2y=-3是二元一次方程ax+by﹣3＝0的一個解，則1﹣6a+9b＝﹣8【分析】根據(jù)二元一次方程解的定義，將已知的解x=2y=-3代入ax+by﹣3＝0可求出2a﹣3b＝3【解答】解：將已知的解x=2y=-3代入ax+by﹣3＝0可得：2a﹣3b＝3把2a﹣3b＝3代入1﹣6a+9b得：1﹣6a+9b＝1﹣3（2a﹣3b）＝1﹣3×3＝﹣8．故答案為：﹣8．8．由方程3x﹣5y﹣6＝0可得到用x表示y的式子是y=3x-65【分析】把x看作已知數(shù)求出y即可．【解答】解：方程3x﹣5y﹣6＝0，移項得，﹣5y＝6﹣3x，y的系數(shù)化為1得：y=3x-6故答案為：y=3x-69．已知方程：（n+3）x|n|﹣2+y＝3為二元一次方程，則n的值為3．【分析】根據(jù)二元一次方程的定義解答即可．【解答】解：因為方程（n+3）x|n|﹣2+y＝3為二元一次方程，所以n+3≠解得n＝3．故答案為：3．10．已知下列各式：①1x+y=2；②2x﹣3y＝5；③12x+xy=2；④x+y＝z﹣1；⑤x+12=【分析】利用二元一次方程的定義：含有兩個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)為1次，這樣的整式方程，判斷即可．【解答】解：①1x②2x﹣3y＝5，是二元一次方程；③12x+xy=2，最高次數(shù)為④x+y＝z﹣1，含有三個未知數(shù)，不是二元一次方程；⑤x+12綜上，只有②是二元一次方程．故答案為：②．三．解答題（共4小題）11．已知二元一次方程5x+3y＝18．（1）把方程寫成用含x的代數(shù)式表示y的形式，即y＝-53x+6（2）填表，使x、y的值是方程5x+3y＝18的解；x01234y6133831-2（3）根據(jù)表格，請直接寫出方程的非負整數(shù)解．【分析】（1）要用含x的代數(shù)式表示y，就要把方程中含有x的項和常數(shù)項移到方程的右邊，再把y的系數(shù)化為1即可．（2）將x＝0，1，2，3，4分別代入y=-53x+6（3）根據(jù)表格，直接寫出方程的非負整數(shù)解即可；【解答】解：（1）5x+3y＝18，得3y＝18﹣5x，所以y=-53故答案為：-53x（2）將x的值0，1，2，3，4分別代入y=-53x+6中得到y(tǒng)的值分別為：6，133，83∴填表如下：x01234y61381-2故答案分別填：6，133，83，1，（3）由上表可知：方程的非負整數(shù)解為：x=0y=6或x=312．已知關(guān)于x、y的方程6x+5y﹣2﹣3my+4m＝0合并同類項后不含y項，求關(guān)于x的方程（m﹣1）2x-25m＝【分析】先對已知方程的左邊合并同類項，然后知5﹣3m＝0，據(jù)此可以求得m的值；最后將其代入方程（m﹣1）2x-25m＝【解答】解：由原方程，得：6x+（5﹣3m）y+4m﹣2＝0，∵關(guān)于x、y的方程6x+5y﹣2﹣3my+4m＝0合并同類項后不含y項，∴5﹣3m＝0，解得m=5把m=53代入方程（m﹣1）2x-25（53-1）2x-解得x=313．若一個兩位數(shù)十位、個位上的數(shù)字分別為m、n，我們可將這個兩位數(shù)記為mn，即：mn=10m+n（1）若2x-x3=-1（2）若x2+y3=45【分析】（1）按定義列出方程求出x的值即可；（2）按定義列出方程求出x、y的值，代入計算即可．【解答】解：（1）∵mn=10m+n，2x-∴（10×2+x）﹣（10x+3）＝﹣1，∴x＝2；（2）∵mn=10m+n，x2+∴10×x+2+10y+3＝45，解得10x+10y＝40，∴y+x＝4，∴x＝1，y＝3或x＝2，y＝2或x＝3，y＝1∴xy=13或22或3114．已知關(guān)于x、y的二元一次方程ax+by＝b+1（a，b為非零常數(shù)），且b＝a+1．（1）當x=3y=1時，求