2020-2021學(xué)年上海市某校高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷

2020-2021學(xué)年上海市某校高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷

一、填空題（本大題共12題，滿(mǎn)分54分，第1~6題每題4分，第7-12題每題5分）

考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫(xiě)結(jié)果

f（x）=/+log2（x-2）

1.函數(shù)V4-X4的定義域?yàn)開(kāi)_______.

【答案】

（2,4）

【考點(diǎn)】

函數(shù)的定義域及其求法

【解析】

此題暫無(wú)解析

【解答】

此題暫無(wú)解答

2.不等式（X-1）3＞（3x+l）''的解集為

【答案】

（T，0）

【考點(diǎn)】

其他不等式的解法

【解析】

此題暫無(wú)解析

【解答】

此題暫無(wú)解答

-yX焉

3.函數(shù)/（x）=log2（3x+1）,xe[0,5]的反函數(shù)是______=32二Wj__________e

[0-4].

【答案】

y,x,x

【考點(diǎn)】

反函數(shù)

【解析】

此題暫無(wú)解析

【解答】

此題暫無(wú)解答

ad-bc

4.對(duì)于實(shí)數(shù)a,h,c,d,定義.設(shè)函數(shù)

log2(x-l)-1

f(x)=

lo§2x1,則方程/(x)=i的解為

【答案】

x=2

【考點(diǎn)】

矩陣的應(yīng)用

【解析】

此題暫無(wú)解析

【解答】

此題暫無(wú)解答

，若函數(shù)?)=旨在區(qū)間(。,+8)是嚴(yán)格增函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

【答案】

(0,+00)

【考點(diǎn)】

函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)與判斷

【解析】

此題暫無(wú)解析

【解答】

此題暫無(wú)解答

4

f(x)=min[1+-，1ogx)

6.已知函數(shù)X9,若函數(shù)g(x)=f(x)-k恰有兩個(gè)零

點(diǎn)，則k的取值范圍為.

【答案】

(1，2)

【考點(diǎn)】

函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

【解析】

此題暫無(wú)解析

【解答】

此題暫無(wú)解答

7.B^f(x)=lx+r4l(x>0),財(cái)㈤的遞減區(qū)間是.—

【答案】

試卷第2頁(yè)，總14頁(yè)

1

(0,2),(1,2)

【考點(diǎn)】

函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)與判斷

【解析】

此題暫無(wú)解析

【解答】

此題暫無(wú)解答

8.若函數(shù)/。)=2'+3-2-工的圖象關(guān)于直線成軸對(duì)稱(chēng)圖形，則

【答案】

ylos2k

【考點(diǎn)】

奇偶函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性

【解析】

此題暫無(wú)解析

【解答】

此題暫無(wú)解答

9.若關(guān)于％的不等式|2丫一刈-*<0在區(qū)間［0,1］內(nèi)恒成立，則實(shí)數(shù)m的范圍______

【答案】

3

—<m<2

2

【考點(diǎn)】

函數(shù)恒成立問(wèn)題

【解析】

去絕對(duì)值，把不等式|2,0在區(qū)間［0,1］內(nèi)恒成立轉(zhuǎn)化為2,—￡<m<2x+

盤(pán)在區(qū)間［0,1］內(nèi)恒成立，利用函數(shù)的單調(diào)性分別求出不等式兩邊得最大值和最小值得

答案.

【解答】

由一］<0,得|2"-m|V表,

即2—蠢<只<2方+9在區(qū)間［0,1］內(nèi)恒成立,

V函數(shù)/(%)=2'-/在區(qū)間［0,1］內(nèi)單調(diào)遞增，「.f(x)的最大值為|；

令自(乃=2*+京,t=2x(l<t<2),

則丫力+按口，2]上為增函數(shù)，由內(nèi)函數(shù)t=2久為增函數(shù)，

g(x)=2丫+段在區(qū)間[0,1]內(nèi)單調(diào)遞增，g(x)的最小值為2.

-<m<2.

2

10.已知函數(shù)/(%)=(/+8%+15)(ax2+Z?x+c)(a,b,cER)是偶函數(shù)，若方程a/+

bx+c=l在區(qū)間口，2]上有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________[i,1].

o3

【答案】

11

[8(3]

【考點(diǎn)】

函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與判斷

【解析】

由/(X)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，可知，3,5是a%2+bx+c=o的兩個(gè)根，根據(jù)

方程的根與系數(shù)關(guān)系可求得a,b,c的關(guān)系，然后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求a的范圍.

【解答】

=+8x+15)(ax2+"+c)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，

令/+8x+15=0可得，x=-3或x=-5,

根據(jù)偶函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性可知，3,5是a/+bx+c=0的兩個(gè)根，

.[c=15a

tb=-8a'

由a/+"+c=l可得，ax2-8ax4-15a=1,

xG[1,2]時(shí)，/—Qx+15G[3,8],

a=-.....--------6

x2-8x+15L83J

2

11.若函數(shù)X+1的值域?yàn)閇a,+oo),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

【答案】

(一8,2]

【考點(diǎn)】

函數(shù)的值域及其求法

【解析】

此題暫無(wú)解析

【解答】

此題暫無(wú)解答

12.已知集合4=[t,t+l]U[t+4,t+9],0C4,存在正數(shù)人使得對(duì)任意a64都

試卷第4頁(yè)，總14頁(yè)

有4€4則t的值是

a

【答案】

1或-3

【考點(diǎn)】

元素與集合關(guān)系的判斷

【解析】

此題暫無(wú)解析

【解答】

解：當(dāng)t>0時(shí)，當(dāng)ae[t,t+1]時(shí)，則ge[t+4,t+9],

當(dāng)aG[t+4,t+9]時(shí)，則/€[t,t+1]?

即當(dāng)a=t時(shí)，-<t+9；

a

當(dāng)a=t+9時(shí)，，即4=t(t+9)；

當(dāng)a=t+1時(shí)，△Nt+4,

a

當(dāng)。=t+4時(shí)，+即2=(t+l)(t+4),

當(dāng)t+l<OVt+4時(shí)，當(dāng)QE[tft+1]時(shí)，則26[tft+1].

當(dāng)aE[t+4,t+9],貝哈G[t+4,t+9],

即當(dāng)a=t時(shí)，-<t4-1,

a

當(dāng)a=t+1時(shí)，即2=+1)，

即當(dāng)=t+4時(shí)，-<t+9,

Qa

當(dāng)a=t+9時(shí)，t+4,即A=(t+4)(t+9),

t(t+1)=(t+4)(t+9),解得t=-3.

當(dāng)t+9<0時(shí)，同理可得無(wú)解.

綜上，t的值為1或-3.

故答案為：1或—3.

二、選擇題(本大題共4題，滿(mǎn)分20分，每題5分)每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng).考

生在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑

己知/(x)為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，/。)=3》，則函數(shù)/(x)的值域?yàn)?)

A.(-l,1)B.[0,1)C.RD.[0,1]

【答案】

A

【考點(diǎn)】

函數(shù)的值域及其求法

函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與判斷

【解析】

根據(jù)題意，由奇函數(shù)的性質(zhì)可得/(0)=0,當(dāng)％<0時(shí)，〃x)=3L由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)

可得0</(x)<1,由奇函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)x>0時(shí)，有一l<f(x)<0,綜合三種情況

可得答案.

【解答】

根據(jù)題意，為定義在R上的奇函數(shù)，則”0)=0,

當(dāng)x<0時(shí)，/(x)=3X,有0</(無(wú))<1,

/(%)為奇函數(shù)，則當(dāng)x>0時(shí)，有一l</(x)<0,

綜合可得:一1</。)<1,

即函數(shù)的值域?yàn)?-1,1).

中國(guó)的5G技術(shù)領(lǐng)先世界，5G技術(shù)的數(shù)學(xué)原理之一便是著名的香農(nóng)公式：

C=Wlog2/(HvN),它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速率c取決

§

于信道帶寬W、信道內(nèi)信號(hào)的平均功率S、信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N的大小，其中N

試卷第6頁(yè)，總14頁(yè)

_s

叫做信噪比.按照香農(nóng)公式，若不改變帶寬W,而將信噪比N從1000提升至5000,則

C大約增加了（）

A.20%B.23%C.28%D.50%

【答案】

B

【考點(diǎn)】

根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇函數(shù)類(lèi)型

【解析】

此題暫無(wú)解析

【解答】

此題暫無(wú)解答

f（x）=lnx-+a

若函數(shù)X在區(qū)間（1,e）（其中e=2.71828...）上存在零點(diǎn)，則常數(shù)

a的取值范圍（）

工<1工-a<1工+1<1

A.O<a<1B.ec.eD.e

【答案】

c

【考點(diǎn)】

函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

【解析】

此題暫無(wú)解析

【解答】

此題暫無(wú)解答

設(shè)函數(shù)/（X）的定義域是R，已知以下三個(gè)陳述句：

P：存在aeR且aHO,對(duì)任意的均有/（2廠。）</（2與+f（a）恒成立；

qi：/（x）嚴(yán)格遞減，且/'（%）>0恒成立；

q2：f（x）嚴(yán)格遞增，存在X。<0，使得/（沏）=0.

用這三個(gè)陳述句組成了兩個(gè)命題，命題S："若則P"；命題7：”若“2’貝UP"，則關(guān)

于S,T,以下說(shuō)法正確的是（）

A.兩個(gè)命題S,7都是真命題B.只有命題S是真命題

C.只有命題T是真命題D.兩個(gè)命題S,7都不是真命題

【答案】

A

【考點(diǎn)】

命題的真假判斷與應(yīng)用

【解析】

此題暫無(wú)解析

【解答】

此題暫無(wú)解答

三、解答題(本大題共5題，滿(mǎn)分76分)解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫(xiě)出

必要的步驟.

己知函數(shù)九(x)=(m2-5m+1)尤加+1為幕函數(shù)，且為奇函數(shù).

(1)求m的值；

rr_-|1-i

(2)求函數(shù)g(x)=h(x)+Vi-2x在x'2」的值域.

【答案】

函數(shù)/i(x)=(7n2-5ni+5)xm+i為塞函數(shù)，

/.m2—2m4-1=1,解得機(jī)=3或5,

當(dāng)zn=O時(shí)，九(%)=%是奇函數(shù)，

當(dāng)m=4時(shí)，九(%)=%6是偶函數(shù)，不符合題意，

所以m的值為0.

由(1)可得g(x)=x+弋6-2乂,

____1-t2

令t=7l~4x,則x=3,

-14

D,0<1-2%<3,

0<t<V2,

141

g(t)=8+t=Tt+1而<1《虛)，

???g(t)在[0,1]上單調(diào)遞增，JR上單調(diào)遞減，

g(t)max=g(l)=l，

又???g(0)=2,g一32.g(t)min=2,

x€[_]_l_-i_1_

函數(shù)g(x)=h(x)+Vi-3x在'7」的值域?yàn)?2.

【考點(diǎn)】

幕函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域

【解析】

此題暫無(wú)解析

【解答】

此題暫無(wú)解答

試卷第8頁(yè)，總14頁(yè)

h(x)=|log1x|

已知函數(shù)~2

⑴求心)在Q得)上的最大值;

(2)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?,若存在區(qū)間AU/,滿(mǎn)足：對(duì)任何與64,都存在

入Y2JQCA(其中TA表示A在/上的補(bǔ)集)使得f(Xi)=f(X2),則稱(chēng)區(qū)間4為/(x)的"「區(qū)

h(x)=|lox|(x€［-y?2］)1、

~2A=(~z~，a)

間”.己知2，若2函數(shù)h(x)的

"「區(qū)間"，求a的最大值.

【答案】

由題意知，八(2,

28.

①若2<aW12,a］上單調(diào)遞減，

可得九(%)的最大值為九(4)=1；

_1

②若l<aW2,則h(x)在［2,在［3,

可得/i(a)</i(2)=/i(2)=6,

所以九(%)的最大值為1；

_6

③若a>2,則九Q)在［2,在［1,

3_

可得/i(a)>九(2)=h(2),

所以/i(x)的最大值為/i(a)=|log2<i|，

7_

綜上，若2<aW2；

若a>5,則九。)的最大值為Ilog2詞;

由(1)知

i_2

①當(dāng)3<aW1時(shí)2,a）上的值域?yàn)椋▅log2a|,1）,

2

/（%）<￡{2}u[a,1],

Yrb.—

由任何打64都存在2J「A表示4在/上的補(bǔ)集）使得fQi）=/（右），

可得（|喻2*1）c[5,

_5

即有|log2a|N0,即為2；

②當(dāng)1<a<3時(shí)，僅為在（2,2）,

八。）在{2}Un2司,1],

YQb.—

由任何與€4都存在5：A表示4在/上的補(bǔ)集)使得/01)=/(七)，

可得(|log4a|，1]U[0，

BPW|log4a|>0,即為l<aW7.

綜上可得，a的最大值為2.

【考點(diǎn)】

函數(shù)的最值及其幾何意義

【解析】

此題暫無(wú)解析

【解答】

此題暫無(wú)解答

新冠肺炎疫情發(fā)生以后，口罩供不應(yīng)求，某口罩廠日夜加班生產(chǎn)，為抗擊疫情做貢

獻(xiàn).生產(chǎn)口罩的固定成本為400萬(wàn)元，每生產(chǎn)％萬(wàn)箱，需另投入成本p(x)萬(wàn)元，當(dāng)產(chǎn)量

不足60萬(wàn)箱時(shí)，p(x)=^x2+50x；當(dāng)產(chǎn)量不小于60萬(wàn)箱時(shí)，p(x)=101x+笠h-

1860,若每箱口罩售價(jià)100元，通過(guò)市場(chǎng)分析，該口罩廠生產(chǎn)的口罩可以全部銷(xiāo)售完.

(1)求口罩銷(xiāo)售利潤(rùn)y(萬(wàn)元)關(guān)于產(chǎn)量x(萬(wàn)箱)的函數(shù)關(guān)系式；

試卷第10頁(yè)，總14頁(yè)

(2)當(dāng)產(chǎn)量為多少萬(wàn)箱時(shí)，該口罩生產(chǎn)廠在生產(chǎn)中所獲得利潤(rùn)最大？

【答案】

當(dāng)0<%<60時(shí)，y=100x—+5Ox)—400=—|x2+50x—400；

當(dāng)％Z60時(shí)，y~100%—(101%+———I860)—400=1460—(%+—.

f—+50%—400,0<%<60

1460—(xH---),x360

當(dāng)0cx<60時(shí)，y=-|x2+50X-400=(x-50)2+850,

當(dāng)x=50時(shí)，y取得最大值，最大值為850萬(wàn)元;

JT^=1300.

當(dāng)x260時(shí)，y=1460-(x+等)41460-2

當(dāng)且僅當(dāng)丫=等，即x=80時(shí)，y取得最大值，最大值為1300萬(wàn)元.

綜上，當(dāng)產(chǎn)量為80萬(wàn)箱時(shí)，該口罩生產(chǎn)廠在生產(chǎn)中獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為1300

萬(wàn)元.

【考點(diǎn)】

根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇函數(shù)類(lèi)型

【解析】

（1）由總售價(jià)減去成本分類(lèi)寫(xiě)出銷(xiāo)售利潤(rùn)y（萬(wàn)元）關(guān)于產(chǎn)量％（萬(wàn)箱）的函數(shù)關(guān)系式;

（2）利用配方法及基本不等式求出兩段函數(shù)的最大值，取最大值中的最大者得結(jié)論.

【解答】

當(dāng)0<x<60時(shí)，y=100x-（|x2+50x）-400=-|x2+50%-400；

當(dāng)x>60時(shí)，y=100x-（101%+^-I860）-400=1460-（x+等）.

當(dāng)0<x<60時(shí)，y=-|x2+50x-400=50）2+850,

當(dāng)x=50時(shí)，y取得最大值，最大值為850萬(wàn)元；

當(dāng)x>60時(shí)，y=1460-（x+等）<1460-25.哼=1300.

當(dāng)且僅當(dāng)久=等，即％=80時(shí)，y取得最大值，最大值為1300萬(wàn)元.

綜上，當(dāng)產(chǎn)量為80萬(wàn)箱時(shí)，該口罩生產(chǎn)廠在生產(chǎn)中獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為1300

萬(wàn)元.

設(shè)a>0,函數(shù)/（乃二壬石

（1）若Q=l,求/（%）的反函數(shù)fT（%）

(2)求函數(shù)y=/(*)?((—x)的最大值(用a表示)

(3)設(shè)g(x)=/(%)-，(x-1).若對(duì)任意x6(-8,O],g(x)2g(0)恒成立，求a的取

值范圍

【答案】

當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=擊,

1+2X=-,

y

即2丫=工一1=匕，貝ij0<y<l,

yy

%=啕(?)；

故/(%)的反函數(shù)=log2(^),x6(0,1)

iii

'丫一乂，)，(~~l+a-2x'l+a-2~x-1+口2+。(2"+2-專(zhuān)'

設(shè)丫=2"+2-"，易知，函數(shù)y=2"+2-”在(一8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞

增，

則當(dāng)％=0時(shí)，y=2”+2r有最小值，最小值為2,

當(dāng)-=0時(shí),y=/(%)?/(-%)有最大值，

._]_]

2

'maxi+a2+2a(a+1)*

g(x)=f(%)-f(x-1)=-1+；2*3令t=a?2"，??.XG(-OO,0],a>0,

0<t<a.

Mt')=—~--=—2^—,

、Jt2+3t+2t+1+3

當(dāng)Q<四時(shí)九⑴在(0,團(tuán)上單調(diào)遞減，所以九⑴min=以。)=加二:+2

V對(duì)任意XE(-8,0]應(yīng)(久)Ng(0)恒成立，且9(0)=；^-------？，

1+al+-a

2~~-之----?恒成立，，0<a<V2

避+3a+21+al+ia

當(dāng)a>時(shí)，g(x)N-r=—22^2—3,令2A/^-3>--------n—=上.)不怛成立，

2展+3l+a1+^Qa+3a+2

舍去

綜上，a的取值范圍是(0,&].

【考點(diǎn)】

反函數(shù)

【解析】

(1)根據(jù)反函數(shù)定義求解即可；

(2)根據(jù)y=/(%)?/(—X),判斷函數(shù)y的單調(diào)性即可求解最大值.

【解答】

當(dāng)a=1時(shí)，/(%)=高，

試卷第12頁(yè)，總14頁(yè)

1+，得,

即2、=；1=三，則。。<1，

故/(%)的反函數(shù)廣i(x)=log2(^-),xG(0,1)

,V-/(%)./(X)—I+Q.2*1+Q.2T-1+。2+。(2*+2-4)'

設(shè)丫=2"+2-"，易知，函數(shù)y=2”+2T在(一8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞

增，

則當(dāng)久=0時(shí)，y=2”+2r有最小值，最小值為2,

.??當(dāng)％=0時(shí),y="%)?。(一%)有最大值,

._]_]

-2

…zmax1+a2+2a—(a+1)*

9。)=f⑶-f(x-1)=壬赤-1+；2二r令t=a?2L.?.x6(-00,0],a>0,

0<t<a.

h(t)=—~--=-

'Jt2+3t+2t+1+3

當(dāng)a</時(shí)/i(t)在(0,a］上單調(diào)遞減，所以九(c)min=九(a)=淳二:+2

1??對(duì)任意-8,0],g(x)2g(0)恒成立，且g(0)=--------4，

i+al+-a

2°工―2----二怛成立，0<a<V2

2

a+3a+21+ai+-2a

當(dāng)a>時(shí)，g(x)之一j==-N2>/2—3,令2V^—3>----------j-=-2°~^不恒成立,

2限+3"a嗚a。+3a+2

舍去

綜上，a的取值范圍是((),&].

已知函數(shù)/(%)=x|x-a|,其中a為常數(shù).

(1)當(dāng)a=l時(shí)，解不等式/1(X)<2；

(2)若“X)是奇函數(shù)，判斷并證明f(x)的單調(diào)性;

(3)若在[0,2]上存在2021個(gè)不同的實(shí)數(shù)即。=1,2,...,2021),Xj<x