2021-2022學(xué)年江蘇省蘇州市高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷 (一)

2021-2022學(xué)年江蘇省蘇州市高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷

試題數(shù)：22,總分：150

1.（單選題，5分）設(shè)i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)（1-i）（1+ai）是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為

()

A.-1

B.0

C.1

D.2

2.（單選題,5分）設(shè)集合A={x€N*|lVlog2X<3},B={1,2,3,4）,則集合AuB的元素個(gè)

數(shù)為（）

A.6

B.7

C.8

D.9

3.（單選題，5分）已知圓錐的高為正，其側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的母線長(zhǎng)為

（）

A.2V2

B.2V3

C.2V6

D.4V2

4.（單選題，5分）在AABC中，乙BAC=『點(diǎn)P在邊BC上，貝『2P="是"P為BC中

點(diǎn)”的（）

A,充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

5.（單選題，5分）記Sn為等差數(shù)列{a。}的前n項(xiàng)和，若彘工=：，則竟;=（）

6.（單選題，5分）北京時(shí)間2021年10月16日0時(shí)23分，神舟十三號(hào)載人飛船在酒泉衛(wèi)

星發(fā)射中心成功發(fā)射，受到國(guó)際輿論的高度關(guān)注.為弘揚(yáng)航天精神、普及航天知識(shí)、激發(fā)全校

學(xué)生為國(guó)爭(zhēng)光的榮譽(yù)感和責(zé)任感，某校決定舉行以“傳航天精神、鑄飛天夢(mèng)想”為主題的知識(shí)競(jìng)

賽活動(dòng).現(xiàn)有A,B兩隊(duì)均由兩名高一學(xué)生和兩名高二學(xué)生組成.比賽共進(jìn)行三輪，每輪比賽

兩隊(duì)都隨機(jī)挑選兩名成員參加答題，若每位成員被選中的機(jī)會(huì)均等，則第三輪比賽中被兩隊(duì)選

中的四位學(xué)生不全來(lái)自同一年級(jí)的概率是（）

.5

A.-

9

B.-

9

C.—

18

D.-

36

7.（單選題，5分）已知a>b+l>l,則下列不等式一定成立的是（）

A.|b-a|>b

11

B.ad—>力+7

ab

c匕+i<貯

'a-1Ina

D.a+lnb<b+lna

單選題，分）若斜率為的直線與拋物線儼和圓分

8.（5k（k>0）1=4xM：（x-5）2+y2=9

別交于A,B和C,D兩點(diǎn)，且AC=BD,則當(dāng)AMCD面積最大時(shí)k的值為（）

A.1

B.V2

C.2

D.2V2

9.（多選題，5分）折紙發(fā)源于中國(guó).19世紀(jì)，折紙傳入歐洲，與自然科學(xué)結(jié)合在一起稱為

建筑學(xué)院的教具，并發(fā)展成為現(xiàn)代幾何學(xué)的一個(gè)分支.我國(guó)傳統(tǒng)的一種手工折紙風(fēng)車（如圖1）

是從正方形紙片的一個(gè)直角頂點(diǎn)開(kāi)始，沿對(duì)角線部分剪開(kāi)成兩個(gè)角，將其中一個(gè)角折疊使其頂

點(diǎn)仍落在該對(duì)角線上，同樣操作其余三個(gè)直角制作而成的，其平面圖如圖2,則（）

A.EH\\7C

B.AH?BE=0

C.EG=JH+JF

D.EC-JH=EC?ED

10.（多選題，5分）下列命題正確的是（）

A.若Zi,Z2為復(fù)數(shù),則|Z1Z2|=|Z1|?|Z2|

B若心3為向量，則|a?6|=|d|?|b|

C.若Zl，Z2為復(fù)數(shù)，且|Z1+Z2|=|Z1-Z2|,則Z1Z2=O

D.若優(yōu)I為向量,且恒+山=|日—同，則a?）=o

11.（多選題，5分）已知函數(shù)/（%）=+：a%2+1,則（）

A.VaeR,函數(shù)f（x）在R上均有極值

B.SaeR,使得函數(shù)f（x）在R上無(wú)極值

C.VaeR,函數(shù)f（x）在（-8,0）上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)

D3aGR,使得函數(shù)f（x）在（-8,0）上有兩個(gè)零點(diǎn)

12.（多選題，5分）甲同學(xué)投擲骰子5次，并請(qǐng)乙同學(xué)將向上的點(diǎn)數(shù)記錄下來(lái)，計(jì)算出平均

數(shù)和方差.由于記錄遺失，乙同學(xué)只記得這五個(gè)點(diǎn)數(shù)的平均數(shù)為2,方差在區(qū)間［1.2,2.4］內(nèi),

則這五個(gè)點(diǎn)數(shù)（）

A.眾數(shù)可能為1

B.中位數(shù)可能為3

C.一定不會(huì)出現(xiàn)6

D.出現(xiàn)2的次數(shù)不超過(guò)兩次

13.（填空題，5分）記數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)積為心，寫出一個(gè)同時(shí)滿足①②的數(shù)列｛aj的通項(xiàng)

公式j(luò)：an=__?

①｛an｝是遞增的等比數(shù)列；

②T3=T6.

14.（填空題，5分）設(shè)點(diǎn)P是曲線y=?-|必％上的任意一點(diǎn)，則P到直線y=-x的最小距

離是_.

22

15.（填空題，5分）已知Fi,F2分別為雙曲線C：力=l（a>0,b>0）的左，右焦點(diǎn)，

若點(diǎn)F2關(guān)于雙曲線C的漸近線的對(duì)稱點(diǎn)E在C上，則雙曲線C的離心率為_(kāi).

16.（填空題，5分）已知直三棱柱ABC-AiBiCi中，AB1BC,AB=BC=BBi=2,D,E分別為棱

AiCi，AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Bi，D,E作平面a將此三棱柱分成兩部分，其體積分別記為V1，V2

（Vi<V2）,則V2=_；平面a截此三棱柱的外接球的截面面積為

17.（問(wèn)答題，10分）在①M(fèi)C=2MB；②slnC=等③SLABM=V3這三個(gè)條件中任選一

14

個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題（2）的橫線上，并解答下列題目.

在AABC中，已知角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且a=2夕，bsin等■=asinB.

（1）求A；

（2）若M為邊AC上一點(diǎn)，且NABM=NBAC,,求AABC的面積.

18.（問(wèn)答題，12分）若數(shù)列｛a?滿足an+m=an+d（meN*,d是不等于。的常數(shù)）對(duì)任意

neN*恒成立，則稱｛an｝是周期為m,周期公差為d的“類周期等差數(shù)列”.已知在數(shù)列｛a?中,

ai—1,an+an+i=4n+l（nCN*）.

（1）求證：｛an｝是周期為2的“類周期等差數(shù)列”，并求a2,a2022的值；

（2）若數(shù)列｛bn｝滿足bn=an+i-an（nCN*）,求｛bn｝的前n項(xiàng)和Tn.

19.（問(wèn)答題，12分）2021年8月國(guó)務(wù)院印發(fā)《全民健身計(jì)劃2021-2025》，《計(jì)劃》中提

出了各方面的主要任務(wù)，包括加大全民健身場(chǎng)地設(shè)施供給、廣泛開(kāi)展全民健身賽事活動(dòng)、提升

科學(xué)健身指導(dǎo)服務(wù)水平、激發(fā)體育社會(huì)組織活動(dòng)、促進(jìn)重點(diǎn)人群健身活動(dòng)開(kāi)展和營(yíng)造全民健身

社會(huì)氛圍等.在各種健身的方式中，瑜伽逐漸成為一種新型的熱門健身運(yùn)動(dòng).某瑜伽館在9

月份隨機(jī)采訪了100名市民，對(duì)于是否愿意把瑜伽作為主要的健身方式作了調(diào)查.

愿意不愿意合計(jì)

男性252550

女性401050

合計(jì)6535100

(1)能否在犯錯(cuò)誤的榴E率不超過(guò)0.01的前提1，認(rèn)為“愿意把瑜伽作為」三要健身方式”與性別有

關(guān)？

附：)

K2=n(ad-bcz

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

20.1000.0500.001

P(K>k0)0.0100.005

ko2.7063.8416.6357.87910.828

(2)為了推廣全民健身，某市文化館計(jì)劃聯(lián)合該瑜伽館舉辦“瑜你一起”的公益活動(dòng)，在全市

范圍內(nèi)開(kāi)設(shè)一期公益瑜伽課，先從上述參與調(diào)查的100人中選擇“愿意”的人按分層抽樣抽出

13人，再?gòu)?3人中隨機(jī)抽取2人免費(fèi)參加.市文化館撥給瑜伽館一定的經(jīng)費(fèi)補(bǔ)貼，補(bǔ)貼方

案為：男性每人1000元，女性每人500元.求補(bǔ)貼金額的分布列及數(shù)學(xué)期望(四舍五入精確

到元).

20.(問(wèn)答題，12分)如圖，在四面體ABCD中，已知AABD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，

ABCD是以點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，E為線段AB的中點(diǎn)，G為線段BD的中點(diǎn)，F(xiàn)

為線段BD上的點(diǎn).

(1)若AG||平面CEF,求線段CF的長(zhǎng)；

(2)若二面角A-BD-C的大小為30。，求CE與平面ABD所成角的大小.

A

J

21.(問(wèn)答題，12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，八

已知點(diǎn)A(-2,0),B(2,0),直線PA與直線/

PB的斜率之積為-卜記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C.

B

(1)求曲線C的方程；

(2)若點(diǎn)M為曲線C上的任意一點(diǎn)(不含短軸端點(diǎn))，點(diǎn)D(0,1),直線AM與直線BD

交于點(diǎn)Q,直線DM與x軸交于點(diǎn)G,記直線AQ的斜率為七,直線GQ的斜率為k2,求證：

2k2為定值.

22.(問(wèn)答題，12分)已知函數(shù)f(x)=ln(ex-l)-Inx.

(1)判斷f(x)的單調(diào)性，并說(shuō)明理由；

(2)若數(shù)列｛aj滿足ai=l,an+i=f(an),求證：對(duì)任意n￡N*,an>an+i>.

2021-2022學(xué)年江蘇省蘇州市高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

試題數(shù):22,總分：150

1.（單選題，5分）設(shè)i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)（l-i）（1+ai）是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為

（）

A.-1

B.0

C.1

D.2

【正確答案】：A

【解析】：根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)純虛數(shù)的概念，以及復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算，即可求解.

【解答】：解：：（1-i）（1+ai）=l+ai-i+a=l+a+（a-1）i為純虛數(shù),

+解得a=-l.

（a—1H0

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了復(fù)數(shù)純虛數(shù)的概念，以及復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算，需要學(xué)生熟練掌握

公式，屬于基礎(chǔ)題.

2.（單選題，5分）設(shè)集合A={xCN*|l<log2X<3},B={1,2,3,4},則集合AUB的元素個(gè)

數(shù)為（）

A.6

B.7

C.8

D.9

【正確答案】：B

【解析】：求出集合A,利用并集定義求出集合AUB,由此能求出AUB的元素個(gè)數(shù).

【解答】：解：集合A={xGN*|l<log2X<3}={3,4,5,6,7）,

B={1,2,3,4},

則集合AUB={1,2,3,4,5,6,7},

??.AUB的元素個(gè)數(shù)為7.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查集合的運(yùn)算，考查并集定義、不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能

力，是基礎(chǔ)題.

3.(單選題，5分)已知圓錐的高為遙，其側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的母線長(zhǎng)為

()

A.2V2

B.2V3

C.2V6

D.4V2

【正確答案】：A

【解析】：根據(jù)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)半圓，可知圓錐的底面周長(zhǎng)等于半圓弧長(zhǎng)，可得

l=2r,由此能求出該圓錐的母線長(zhǎng).

【解答】：解：設(shè)圓錐底面半徑為r,母線長(zhǎng)為1,

???圓錐的高為遙，其側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)半圓，

:.1?2Tli=2nr,解得l=2r,

???h=V3r=V6,

解得r=V2,1=2V2.

???該圓錐的母線長(zhǎng)為2e.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查圓錐的母線長(zhǎng)的求法，考查圓錐的結(jié)構(gòu)特征等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能

力，是基礎(chǔ)題.

4.(單選題，5分)在AABC中，ABAC=,點(diǎn)P在邊BC上，貝『2P="是"P為BC中

點(diǎn)”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【正確答案】：B

【解析】：根據(jù)充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.

【解答】：解：在直角三角形ABC中，若P為BC中點(diǎn)，則4P=2BC成立，即必要性成立,

構(gòu)造矩形ABDC,

則BC=AD,

???點(diǎn)P在邊BC上，且2P=1BC,

??.AP=|AD,貝l」AP=AO,則P不一定與0重合，即充分性不成立，

故"AP=押?！笔?P為BC中點(diǎn)”的必要不充分條件，

故選：B.

B

【點(diǎn)評(píng)】：本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用直角三角形

的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題.

5.(單選題，5分)記Sn為等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和，若/=貝ij

為+乂5

()

a3+a6A

【正確答案】：c

【解析】：由已知結(jié)合等差數(shù)列的求和公式可得d=2ai，然后結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求.

【解答】：解：因?yàn)閿?shù)列｛a。｝為等差數(shù)列且之="

力十乂5

所以5s3=S3+S6,即4s3=S6,

則4(3ai+3d)=6ai+15d,

整理得，d=2ai,

則的_。1+2d__5_

、a3+a62ai+7d16*

故選：c.

【點(diǎn)評(píng)】：本題主要考查了等差數(shù)列的求和公式及通項(xiàng)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

6.（單選題，5分）北京時(shí)間2021年10月16日。時(shí)23分，神舟十三號(hào)載人飛船在酒泉衛(wèi)

星發(fā)射中心成功發(fā)射，受到國(guó)際輿論的高度關(guān)注.為弘揚(yáng)航天精神、普及航天知識(shí)、激發(fā)全校

學(xué)生為國(guó)爭(zhēng)光的榮譽(yù)感和責(zé)任感，某校決定舉行以“傳航天精神、鑄飛天夢(mèng)想”為主題的知識(shí)競(jìng)

賽活動(dòng).現(xiàn)有A,B兩隊(duì)均由兩名高一學(xué)生和兩名高二學(xué)生組成.比賽共進(jìn)行三輪，每輪比賽

兩隊(duì)都隨機(jī)挑選兩名成員參加答題，若每位成員被選中的機(jī)會(huì)均等，則第三輪比賽中被兩隊(duì)選

中的四位學(xué)生不全來(lái)自同一年級(jí)的概率是（）

【正確答案】：C

【解析】：先求出四個(gè)學(xué)生不算同一年級(jí)的概率，再利用對(duì)立事件概率計(jì)算公式能求出第三輪

比賽中被兩隊(duì)選中的四位學(xué)生不全來(lái)自同一年級(jí)的概率.

【解答】：解：四個(gè)學(xué)生來(lái)自同一年級(jí)的概率為P=冬季=白

則第三輪比賽中被兩隊(duì)選中的四位學(xué)生不全來(lái)自同一年級(jí)的概率是：

1818

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，

是基礎(chǔ)題.

7.（單選題，5分）已知a>b+l>l,則下列不等式一定成立的是（）

A.|b-a|>b

11

B.ad—

ab

c匕+i<^―

'a-1Ina

D.a+lnb<b+lna

【正確答案】：c

【解析】：利用特殊值法排除ABD；利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)推導(dǎo)出C.

【解答】：解：?.?a>b+l>l,

??.a-b>l,b>0,a>l,

對(duì)于A：當(dāng)a=3.5,b=2時(shí)，滿足a〉b+l>l,但是|b-a|=1.5<|b|=2,故A不成立;

對(duì)于B：當(dāng)a=2,b=0.5時(shí)，2+}=}+2,故B不成立；

對(duì)于D：當(dāng)a=e,b=工時(shí)，e-l>-+1,故D不成立.

ee

對(duì)于C：先證明ex之x+1,令丫=0*2-1,yr=ex-l,

當(dāng)x>0時(shí)，y'>0,y遞增；當(dāng)xVO時(shí)，y'<0,y遞減.

??.x=O時(shí)，y有極小值，也是最小值eO-l-l=O,

.*.y=ex-x-l>0,當(dāng)且僅當(dāng)x=O時(shí)取等號(hào)，

由ex^x+1,當(dāng)x-1*nx,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)取得等號(hào)，

va>b+l>l,得至Ueb>b+l,lna<a-l,

a-1\\b+1b+1/e"4-A-

F，???一,故正確.

I-na>1>eDa-1InaC

故選：c.

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查命題真假的判斷，考查不等式的性質(zhì)、構(gòu)造法、導(dǎo)數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考

查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

8.(單選題，5分)若斜率為k(k>0)的直線1與拋物線y2=4x和圓M：(x-5)2+y2=9分

別交于A,B和C,D兩點(diǎn)，且AC=BD,則當(dāng)AMCD面積最大時(shí)k的值為()

A.1

B.V2

C.2

D.2V2

【正確答案】：D

【解析】：因?yàn)锳C=BD,所以CD的中點(diǎn)也是AB的中點(diǎn)，設(shè)直線AB方程，與拋物線的方程

聯(lián)立求出兩根之和，求出AB的中點(diǎn)N的坐標(biāo)，可得直線MN的斜率，由圓的性質(zhì)可得平分

弦且垂直弦，所以可得直線MN的斜率為AB的斜率的負(fù)倒數(shù)，求出圓心M到準(zhǔn)線的距離d,

由勾股定理可得弦長(zhǎng)CD的值，代入三角形的面積公式可得AMCD面積最大值時(shí)的d的值，整

理可得k的值.

【解答】：解：因?yàn)锳C=BD,設(shè)CD的中點(diǎn)為N,則N為AB的中點(diǎn)，

設(shè)直線1的方程為：y=kx+t,設(shè)A(xi,yi),B(x2,yz),

則M到直線1的距離d=卑粵，CD=2Vr2-d2,

242

所以SAMCD=1?CD?MN=|d?2V9—d—y/—d+9d,

當(dāng)d2=日時(shí)，S最大，即筆著①，

聯(lián)立療J：｝，整理可得：k2x2+（2kt-4）X+t2=。,

則x1+x2=-需,y】+y2=k（X1+X2）+2t=美^+2t=，

可得AB的中點(diǎn)N（等，Q，

2

所以kMN=fc_2fc

一嚀2--fct+2-5k2

1.7Q

因?yàn)镸NIAB,所以-整理可得1=上券②，

將②代入①中可得（5k+上券）2=|（1+k2）2,

整理可得：k2=8,k>0,解得k=2聲,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查拋物線與直線的綜合

應(yīng)用及三角形面積最大時(shí)滿足的條件應(yīng)用,

屬于中檔題.

9.（多選題，5分）折紙發(fā)源于中國(guó).19

世紀(jì)，折紙傳入歐洲I,與自然科學(xué)結(jié)合在

一起稱為建筑學(xué)院的教具，并發(fā)展成為現(xiàn)

代幾何學(xué)的一個(gè)分支.我國(guó)傳統(tǒng)的一種手

工折紙風(fēng)車（如圖1）是從正方形紙片的一

個(gè)直角頂點(diǎn)開(kāi)始，沿對(duì)角線部分剪開(kāi)成兩

個(gè)角，將其中一個(gè)角折疊使其頂點(diǎn)仍落在

該對(duì)角線上，同樣操作其余三個(gè)直角制作

而成的，其平面圖如圖2,則（）

A.EH||FC

B,存?波=0

C.FG=￡77+EF

D.EC-FH=FC-ED

【正確答案】：BCD

【解析】：選項(xiàng)A,由對(duì)稱性知，EH||FG,EH與FC即不平行也不重合；

選項(xiàng)B,設(shè)風(fēng)車的中心為0,由京?屁=（0W-01）.COE-OB）,結(jié)合平面向量數(shù)量積

的運(yùn)算法則，展開(kāi)計(jì)算，即可；

選項(xiàng)C,由平面向量的加法法則，可判斷；

選項(xiàng)D,根據(jù)平面向量數(shù)量積的幾何意義，可判斷.

【解答】：解：選項(xiàng)A,由對(duì)稱性知，EH||FG,而FG與FC不重合，即A錯(cuò)誤;

選項(xiàng)B,設(shè)風(fēng)車的中心為0,

麗?麗=(OH-0X)?(OB)=0H-0E-OH-~0B-OA*OE+0A-0B

=0-OH?OB-OA*OE+0=~OF?OB-OA?OE=0,即B正確；

選項(xiàng)C,麗=麗+同=麗+品，即C正確；

選項(xiàng)D,EC?~EH=\TC\?\~EH|cosZCEH=|~EC\?\~0E\,

~EC?ED=\JC\?\~ED|cosZCED=|EC\?\0E\,即D正確.

故選：BCD.

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查平面向量的混合運(yùn)算，熟練掌握平面向量的加法、減法和數(shù)量積的運(yùn)算法

則是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

10.（多選題，5分）下列命題正確的是（）

A.若Z],Z2為復(fù)數(shù)，則|Z1Z2|=|Z1|?|Z2|

B.若a,3為向量，則\d?b|=|d|*i&|

C若ZI，Z2為復(fù)數(shù),且|Z1+Z2|=|Z1-Z21，則Z1Z2=。

D.若心［為向量,且奇+力=|五一同,則五?)=()

【正確答案】：AD

【解析】：選項(xiàng)A,設(shè)z尸a+bi,Z2=c+di,根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則和模長(zhǎng)的計(jì)算方式，可

判斷；

選項(xiàng)B,根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則，即可判斷；

選項(xiàng)C舉反例,取zi=l,z2=i；

選項(xiàng)D,將|a+B|二i4一同兩邊平方，化簡(jiǎn)可得a?B=o.

【解答】：解：選項(xiàng)A,設(shè)zi=a+bi,Z2=c+di,Zi2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+

(ad+bc)i,

所以|zi?Z2|=J(ac—bd)2+(ad+bc)2=^/(ac)2+(bd)2+(ad)2+(be)2,

|zi|?|z2|=Va2+b2?Vc2+d2=^/(ac)2+(bd)2+(ad)2+(foe)2,即A正確；

選項(xiàng)B,因?yàn)槲?3=|23|cosV2,b>,所以|2?3國(guó)23I，即B錯(cuò)誤；

選項(xiàng)C假設(shè)Zi=l,Z2=i,則|Z1+Z2|=|Z1-Z2|=-,但ZiZ2=iW0,即C錯(cuò)誤;

選項(xiàng)D,因?yàn)閨五+臼=|五—同,所以(江+3)2=(2))2,即|2|2+|3|2+2八3=|2|2+|

-*—*

b|2-2a*b,

所以d?b=O,即五_Lb,故D正確.

故選：AD.

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查平面向量，熟練掌握平面向量、復(fù)數(shù)的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵，考查

邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

11.(多選題，5分)已知函數(shù)/'(%)=》久3+:。久2+1,則()

A.VaeR,函數(shù)f(x)在R上均有極值

B.maCR,使得函數(shù)f(x)在R上無(wú)極值

C.VaeR,函數(shù)f(x)在(-8,0)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)

D.3aGR,使得函數(shù)f(x)在(-8,0)上有兩個(gè)零點(diǎn)

【正確答案】：BC

【解析】：對(duì)于AB舉例判斷即可，對(duì)于CD,分a=0,a<0,a>0討論函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)

的零點(diǎn)即可.

【解答】：解：由函數(shù)/(%)=+支％2+1,得/(x)=x2+ax,a=0時(shí)，f(x)>0,f

(x)無(wú)極值，故A錯(cuò)誤，B正確；

當(dāng)a=0時(shí)，f(x)在R上是單調(diào)遞增，f(-3)=-8,f(0)=1,f(-3)f(0)<0,所以f(x)

在(-8,0)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)a<0時(shí)，f'(x)>0在(-8,0)恒成立，f(x)在(-00,0)是單調(diào)遞增，

當(dāng)X--8時(shí)，f(X)f-8,f(0)=1>0,所以函數(shù)f(x)在(-co,0)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)a>0時(shí)，f(x)=0,解得x=-a或x=0,f(x)在(-oo,-a)是單調(diào)遞增，(-a,0)單調(diào)

遞減，f(x)極大值=f(-a)>f(0)=1,

又當(dāng)X->-8時(shí)，f(x)->-00,函數(shù)f(x)在(-00,o)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，

所以VaeR,函數(shù)f(x)在(-8,0)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，故C正確，D錯(cuò)誤.

故選：BC.

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值問(wèn)題，函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，屬中檔題.

12.(多選題，5分)甲同學(xué)投擲骰子5次，并請(qǐng)乙同學(xué)將向上的點(diǎn)數(shù)記錄下來(lái)，計(jì)算出平均

數(shù)和方差.由于記錄遺失，乙同學(xué)只記得這五個(gè)點(diǎn)數(shù)的平均數(shù)為2,方差在區(qū)間[1.2,2.4]內(nèi)，

則這五個(gè)點(diǎn)數(shù)()

A.眾數(shù)可能為1

B.中位數(shù)可能為3

C.一定不會(huì)出現(xiàn)6

D.出現(xiàn)2的次數(shù)不超過(guò)兩次

【正確答案】：ACD

【解析】：根據(jù)定義計(jì)算眾數(shù)、平均數(shù)、方差判斷A；根據(jù)中位數(shù)為3推出矛盾判斷B；若出

現(xiàn)6,計(jì)算方差判斷C；若出現(xiàn)3次2,計(jì)算方差判斷D.

【解答】：解：對(duì)于A,向上的點(diǎn)數(shù)為1,1,1,2,5時(shí)，眾數(shù)為1,平均數(shù)為2,

z

方差為(1-2)2+(1-2)2+(1-2)2+(2-2)2+(5-2)]=1,2e[1.2,2.4],故A正確；

若中位數(shù)為3,設(shè)五次數(shù)據(jù)從小到大為：a1；az，a3,a4,a5,則a3=3,

「?ai+a2+a4+a5=2x5?3=7,

ai+a2>2,a4+a5<5,矛盾，故B錯(cuò)誤；

若出現(xiàn)了6,則其它四次和為4,即數(shù)據(jù)為1,1,1,1,6,

z

方差為與(1-2)2+(1-2)2+(1-2)2+(L2)2+(6-2)]=4g[1.2,2,4],矛盾，故C正確;

若出現(xiàn)3次2,則其它2次和為4,這兩次為1,4,

方差為9(1-2)2+(2-2)2+(2-2)2+(2-2)2+(4-2)z]=0.4g[1.2,2.4],矛盾，故D正

確.

故選：ACD.

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查命題真假的判斷，考查眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)、方差公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考

查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

13.(填空題，5分)記數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)積為兀，寫出一個(gè)同時(shí)滿足①②的數(shù)列｛aj的通項(xiàng)

公式j(luò)：an=__?

①⑶｝是遞增的等比數(shù)列；

②T3=T6.

【正確答案】：[l]an-s(a>l)

【解析】：由已知結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)可求a5=l,然后結(jié)合等數(shù)列的單調(diào)性及通項(xiàng)公式可求.

【解答】：解：因?yàn)棰牵沁f增的等比數(shù)列且T3=T6，

3

所以a4a5a6=a5—1,

所以a5=l,

故滿足條件的an=a?5(a>l).

故答案為：an=a?5(a>l).

【點(diǎn)評(píng)】：本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)及通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.

14.(填空題，5分)設(shè)點(diǎn)P是曲線y=《一|仇％上的任意一點(diǎn)，則P到直線y=-x的最小距

離是_.

【正確答案】：[1]遮

【解析】：在曲線上任取一點(diǎn)，根據(jù)距離公式表示出距離，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)求出該式的最小值即

可.

【解答】：解：設(shè)P(t,,在P到直線y=-x的距離為：

d=間,令f&)=t+班一：lnt,則f(t)=1+3j,由f'(t)=0得t=l,

V222Vt2t

當(dāng)te(o,1)時(shí)，F(xiàn)(t)<o,f(t)單調(diào)遞減；te(1,+8)時(shí)，F(xiàn)(t)>0,f(t)單調(diào)遞

增，

故f(t)min=f(1)=2>0,故|t+近一|"t|min=f(1)=2,

故dmin==V2?

故答案為：V2.

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，點(diǎn)到直線的距離公式，屬于中檔題.

22

15.(填空題，5分)已知Fi，F(xiàn)2分別為雙曲線C：a—棄=1(40,b>0)的左，右焦點(diǎn)，

若點(diǎn)F2關(guān)于雙曲線C的漸近線的對(duì)稱點(diǎn)E在C上，則雙曲線C的離心率為_(kāi).

【正確答案】：［1］遍

【解析】：設(shè)F2(c,0),漸近線方程為y=&x,對(duì)稱點(diǎn)E(m,n),運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式和

Ja

兩直線垂直的條件：斜率之積為-1,求出對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，代入雙曲線的方程，由離心率公式計(jì)

算即可得到所求值.

【解答】：解：設(shè)F2(c,0),漸近線方程為y=?x,

F2的對(duì)稱點(diǎn)為E(m,n),

即有」a

m-cb

1b(m+c)

且口-1?n二-?

22a

b2-a22ab

解得m=n=-----

c

將E(即(*)

c

代入雙曲線的方程可得?J/-哼=1,

2

化簡(jiǎn)可得r三-4=1,即有e2=5,

az

解得e=V5.

故答案為：V5.

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式和兩直線垂直的條件：斜

率之積為-1,以及點(diǎn)滿足雙曲線的方程，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題.

16.(填空題，5分)已知直三棱柱ABC-AiBiCi中，AB1BC,AB=BC=BBi=2,D,E分別為棱

AiCi,AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Bi,D,E作平面a將此三棱柱分成兩部分，其體積分別記為Vi,V2

(Vi<V2)，則V2=—；平面a截此三棱柱的外接球的截面面積為_(kāi).

【正確答案】：吟7T

【解析】：先由相似比得到面積比，再根據(jù)棱臺(tái)體積公式求得V1,再用棱柱體積減去V1可得

V2,建系由空間向量求得球心到平面a的距離，結(jié)合勾股定理求得截面圓半徑，即可得到截面

面積.

【解答】：解：取AC中點(diǎn)Di,取ADi中點(diǎn)F,連EF,DF,EF||DBi,

二平面a為平面DBiEF,

???AB1BC,AB=BC=BBi=2,D,E分別為棱A1C1,AB的中點(diǎn),

所以％4祖。1=TX2x2x號(hào)=1,SAAEF=1，

由棱臺(tái)體積公式可得Vi=J(1+：+「X2=1,

3426

1717

V=ix2x2x2--=—,

2266

由AB1BC,可得三棱柱外接球球心在DDi的中點(diǎn)，

所以有三棱柱外接球半徑=V2V1=V3,

如圖以B點(diǎn)為原點(diǎn)，CB為x軸，AB為y軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

貝1JB(0,0,0),Bi(0,0,2),D(-1,-1,2),E(0,-1,0),

設(shè)平面a的法向量元=(x,y,z),

產(chǎn)?BrD-。，可得｛久2曠一：，不妨設(shè)z=l,則x=2,y=-2,n=(2,-2,1),

幅?QE=05-2z=0

???球心M(-1,-1,1)到平面a距離~=嘩咧另，

\n\3

C126

126?2

cTT.

.??r=73—9=7/—9,S=irr=—9

故答案為：［；^7T.

69

【點(diǎn)評(píng)】：本題三棱柱、三棱臺(tái)的體積的求法，考查球的截面問(wèn)題，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真

審題，注意空間思維能力的培養(yǎng).

17.（問(wèn)答題，10分）在①M(fèi)C=2MB；②sinC=等③S^=V3這三個(gè)條件中任選一

14ABM

個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題（2）的橫線上，并解答下列題目.

在AABC中，已知角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且a=2夕，bsin等=asinB.

（1）求A；

（2）若M為邊AC上一點(diǎn)，且ZABM=ZBAC,,求AABC的面積.

【正確答案】：

【解析】：（1）直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換求出A的值；

（2）選①時(shí)，直接利用余弦定理和三角形的面積公式的應(yīng)用求出結(jié)果;

選②時(shí)，利用正弦定理和三角形的面積公式的應(yīng)用求出結(jié)果；

選③時(shí)，直接利用余弦定理和三角形的面積公式的應(yīng)用求出結(jié)果.

【解答】：解：（1）由條件加譏色二=asinB,得bsin（90。一?）=asinB,

所以bcos^=asinB,

由正弦定理得sinBcos：=sinAsinB,

又AABC中，sinBHO,所以。。5?=§沅4,

即2sin-cos-=cos-,

222

又0<A<180°,

所以cos|HO,則sin^=1,

所以A=60。.

（2）由（1）得A=60。，由條件ZABM=ZBAC可知AABM為等邊三角形，

若選①：MC=2MB,

不妨設(shè)MB=x,MC=2x,

在ABCM中由余弦定理得x2+4x2-4x2cosl2（T=a2,解得x=2,

所以MA=MB=2,MC=4,

AABC的面積為-AM?sinA+|MB?MC-sin乙BMC=373；

若選②sinC-等，由正弦定理得-^―--^―，

14sinAsinC

解得c=2,

由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,解得b=6（負(fù)值舍去），

所以AABC的面積為^bcsinA=3百；

若選③，SRABM=遮，由等邊三角形ABM的面積為舊，

可得其邊長(zhǎng)為2,即c=AB=2,

由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,解得b=6（負(fù)值舍去），

所以AABC的面積為］bcsinA=343.

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的變換，正弦定理余弦定理和三角形面積公

式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題.

18.（問(wèn)答題，12分）若數(shù)列｛aj滿足an+m=an+d（mCN*,d是不等于。的常數(shù)）對(duì)任意

neN*恒成立，則稱｛a?是周期為m,周期公差為d的“類周期等差數(shù)列”.已知在數(shù)列｛aj中，

3i=l>an+an+i=4n+l（neN*）.

（1）求證：｛an｝是周期為2的“類周期等差數(shù)列”，并求a2,22022的值；

（2）若數(shù)列｛bn｝滿足bn=an+ia（nGN*）,求｛1｝的前n項(xiàng)和

【正確答案】：

【解析】：（1）由題意可知ai+a2=5,所以a2=4,且an+i+an+2=4n+5與an+an+i=4n+l相

減可得an+2、n=4,進(jìn)而證得｛aj是周期為2的“類周期等差數(shù)列"，且周期公差為4,再利用周

期即可求出32022的值；

（2）先求出Tn=an+i-ai，再對(duì)n分奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況，利用周期求「即可.

【解答】：證明：（1）由an+an+i=4n+l可知，當(dāng)n=l時(shí)，ai+a2=5,所以22=4,

且an+i+an.2=4n+5,

兩式相減得an+2-an=4,

所以｛aj是周期為2的“類周期等差數(shù)列”，且周期公差為4,

所以&2022=22+（2022-2）+2x4=4044.

解：（2）因?yàn)閎n=an+l-an，

所以｛L｝的前n項(xiàng)和Tn=an+i-ai,

由（1）得｛aJ是周期為2,周期公差為4的“類周期等差數(shù)列”，

所以當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，n+1為偶數(shù)，an+i=a2+（n+1-2）+2x4=2n+2,

所以Tn=2n+1；

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，n+1為奇數(shù)，an+i=ai+（n+1-1）+2x4=2n+l,

所以Tn=2n；

妗卜T_0九+1，"為奇數(shù)

Un,n為偶數(shù)

【點(diǎn)評(píng)】：本題主要考查了新定義問(wèn)題，考查了數(shù)列的遞推式，同時(shí)考查了學(xué)生的計(jì)算能力，

屬于基礎(chǔ)題.

19.（問(wèn)答題，12分）2021年8月國(guó)務(wù)院印發(fā)《全民健身計(jì)劃2021-2025》，《計(jì)劃》中提

出了各方面的主要任務(wù)，包括加大全民健身場(chǎng)地設(shè)施供給、廣泛開(kāi)展全民健身賽事活動(dòng)、提升

科學(xué)健身指導(dǎo)服務(wù)水平、激發(fā)體育社會(huì)組織活動(dòng)、促進(jìn)重點(diǎn)人群健身活動(dòng)開(kāi)展和營(yíng)造全民健身

社會(huì)氛圍等.在各種健身的方式中，瑜伽逐漸成為一種新型的熱門健身運(yùn)動(dòng).某瑜伽館在9

月份隨機(jī)采訪了100名市民，對(duì)于是否愿意把瑜伽作為主要的健身方式作了調(diào)查.

愿意不愿意合計(jì)

男性252550

女性401050

合計(jì)6535100

（1）能否在犯錯(cuò)誤的榴E率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為“愿意把瑜伽作為」三要健身方式”與性別有

關(guān)？

n(ad-bc)2

(a+匕)(c+d)(a+c)(b+d)

2

P(K>k0)0.1000.0500.0100.0050.001

ko2.7063.8416.6357.87910.828

（2）為了推廣全民健身，某市文化館計(jì)劃聯(lián)合該瑜伽館舉辦“瑜你一起”的公益活動(dòng)，在全市

范圍內(nèi)開(kāi)設(shè)一期公益瑜伽課，先從上述參與調(diào)查的100人中選擇“愿意”的人按分層抽樣抽出

13人，再?gòu)?3人中隨機(jī)抽取2人免費(fèi)參加.市文化館撥給瑜伽館一定的經(jīng)費(fèi)補(bǔ)貼，補(bǔ)貼方

案為：男性每人1000元，女性每人500元.求補(bǔ)貼金額的分布列及數(shù)學(xué)期望（四舍五入精確

到元）.

【正確答案】：

【解析】：(1)設(shè)H。：”愿意把瑜伽作為健身方式”與性別無(wú)關(guān).求出掇，即可判斷犯錯(cuò)誤的

概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為“愿意把瑜伽作為主要健身方式”與性別標(biāo)關(guān).

(2)設(shè)補(bǔ)貼金額為變量X,則X的可能值為1000,1500,2000求出概率，得到分布列，然

后求解期望即可.

【解答】:解：(1)設(shè)Ho：“愿意把瑜伽作為健身方式”與性別無(wú)關(guān).

H=-一_=iooxg5o-iooo)2a9.890>7.879，

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)50x50x65x35

則能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為“愿意把瑜伽作：為主要健身方式”與性別有關(guān).

答：能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為“愿意把瑜伽作為主要健身方式”與性別標(biāo)關(guān).

(2)從上述參與調(diào)查的100人中選擇“愿意”的人按分層抽樣抽出13人，

則有男性：13x|f=5人，女性：13x祗=8人，

6565

設(shè)補(bǔ)貼金額為變量X,則X的可能值為1000,1500,2000.

P(X=1000)=與=上，P(x=1500)=孽=竺，P(x=2000)=卑=3，

Qi339C]339C1339

X100015002000

P14205

393939

E(X)=1000X葛+1500x3+2000X總?1385元

答：補(bǔ)貼金額的數(shù)學(xué)期望是1385元.

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查獨(dú)立檢驗(yàn)思想的應(yīng)用，離散型隨機(jī)變量的分布列以及期望的求法，是中檔

題.

20.(問(wèn)答題，12分)如圖，在四面體ABCD中，已知AABD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，

△BCD是以點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，E為線段AB的中點(diǎn)，G為線段BD的中點(diǎn)，F(xiàn)

為線段BD上的點(diǎn).

(1)若AG||平面CEF,求線段CF的長(zhǎng)；

(2)若二面角A-BD-C的大小為30。，求CE與平面ABD所成角的大小.

【正確答案】：

【解析】：(1)通過(guò)AG||平面CEF,推出F是BG中點(diǎn).連結(jié)CG,通過(guò)求解三角形，推出

CF.

(2)推出NAGC=30。，連接CQ,以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以CB,CD,CH為x,y,z軸，建立

空間直角坐標(biāo)系.求出平面ABD的法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解CE與平面ABD所成

角的大小即可.

【解答】：解：(1)由AG||平面CEF,AGu平面ABD,平面CEFO平面ABD=EF,

得AG||EF,又E為線段AB的中點(diǎn)，所以F是BG中點(diǎn).

因?yàn)锳ABD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，G為線段BD的中點(diǎn)，AG1BD,ABCD是以點(diǎn)C為直角

頂點(diǎn)的等腰直角三角形，得尸G=J

連結(jié)CG,得CG1BD且CG=1.

RtACFG中，CF=VCG2+FG2=y.

(2)AABD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，G為線段BD的中點(diǎn)，AG1BD,ABCD是以點(diǎn)C為直

角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，G為線段BD的中點(diǎn)，CG1BD,

由二面角A-BD-C的大小為30。，得ZAGC為二面角A-BD-C的平面角，zAGC=30°,AG=百,

CG=1,

以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，作CH1平面BCD,

分別以CB,CD,CH為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

則C（0,0,0）,B（V2,0,0）,￡）（0,V2,0）,,-y,子），E（苧，-y,

a前二件，苧，

設(shè)面ABD的法向量為元=(x,y,z),

n?RD=-V2x+V2y=0

由—~An‘I5‘V3令x=l,貝！Jy=1,z=V6,

n?=—xH---y----z=n0

44,2

3V2V23V2

+

所以一個(gè)法向量元=(1,LV6),cos(n,CF)=n-CE88"^~V2

同畫一l|Vl+l+62

,--->JT

<n,CE>=~,

4

則CE與平面ABD所成角的大小9.

4

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查直線與平面所成角的求法，空

間點(diǎn)、線、面距離的求法，二面角的應(yīng)用，是中檔

題.

21.(問(wèn)答題，12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，

已知點(diǎn)A(-2,0),B(2,0),直線PA與直線

PB的斜率之積為-；，記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C.

4

(1)求曲線C的方程；

(2)若點(diǎn)M為曲線C上的任意一點(diǎn)(不含短軸端點(diǎn))，點(diǎn)D(0,1),直線AM與直線BD

交于點(diǎn)Q,直線DM與x軸交于點(diǎn)G,記直線AQ的斜率為的，直線GQ的斜率為k2,求證:

k「2k2為定值.

【正確答案】：

【解析】：⑴設(shè)P(X，y)，則直線PA與直線PB的斜率之積為喜.七=一%且

XH±2,轉(zhuǎn)化求解曲線方程即可.

2x（）—4yo+44yo

(2)設(shè)M(xo，yo),求出G(消，0),Q(),然后求解直線的斜率,

無(wú)o+2yo+2Xo+2y（）+2

然后推出2k2為定值即可.

【解答】：(1)解：設(shè)P(x,y),則直線PA與直線PB的斜率之積為書.六=