2019年四川省雅安市中考數(shù)學試卷（解析版）

2019年四川省雅安市中考數(shù)學試卷

一、選擇題：本大題共12小題，每小題3分，共36分.不需寫出解答過程，請把最后結(jié)

果填在題后括號內(nèi).

1.（3分）（2019?雅安）-2019的倒數(shù)是（）

A.-2019B.2019C.--k一D.」—

20192019

【考點】17：倒數(shù).

【專題】511：實數(shù).

【分析】直接利用倒數(shù)的定義得出答案.

【解答】解：-2019的倒數(shù)是：

2019

故選：C.

【點評】此題主要考查了倒數(shù)，正確把握倒數(shù)的定義是解題關鍵.

2.（3分）（2019?雅安）32的結(jié)果等于（）

A.9B.-9C.5D.6

【考點】1E：有理數(shù)的乘方.

【專題】511：實數(shù).

【分析】根據(jù)乘方的意義可得：32=3X3=9；

【解答】解：32=3X3=9；

故選：A.

【點評】本題考查有理數(shù)的乘方；熟練掌握乘方的運算法則是解題的關鍵.

3.（3分）（2019?雅安）如圖是下面哪個圖形的俯視圖（）

A.B.

【考點】U1：簡單幾何體的三視圖.

【專題】55F：投影與視圖.

【分析】根據(jù)各選項的俯視圖進行判斷即可.

【解答】解：A.球的俯視圖為一個圓（不含圓心），不合題意；

B.圓柱的俯視圖為一個圓（不含圓心），不合題意；

C.圓臺的俯視圖為兩個同心圓，不合題意；

D.圓錐的俯視圖為一個圓（含圓心），符合題意；

故選：D.

【點評】本題主要考查了簡單幾何體的三視圖，俯視圖是從上往下看得到的平面圖形.

'x-2>4

4.（3分）（2019?雅安）不等式組|x/的解集為（）

A.6?8B.6<xW8C.2?4D.2cxW8

【考點】CB：解一元一次不等式組.

【專題】524：一元一次不等式（組）及應用.

【分析】分別解出兩不等式的解集，再求其公共解.

4-2>4①

【解答】解：摩x/②

由①得x>6,

由②得xW8,

不等式組的解集為6<x<8,

故選：B.

【點評】本題考查了解一元一次方程組，求不等式組的解集應遵循以下原則：同大取較

大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了.

5.（3分）（2019?雅安）已知一組數(shù)據(jù)5,4,x,3,9的平均數(shù)為5,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)

是（）

A.3B.4C.5D.6

【考點】W1：算術(shù)平均數(shù)；W4：中位數(shù).

【專題】542：統(tǒng)計的應用.

【分析】先根據(jù)平均數(shù)的定義求出x的值，再把這組數(shù)據(jù)從小到大排列，然后求出最中

間兩個數(shù)的平均數(shù)即可.

【解答】解：..二，4,x,3,9的平均數(shù)為5,

（5+4+X+3+9）+5=5,

解得：x—4,

把這組數(shù)據(jù)從小到大排列為：3,4,4,5,9,

則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是4；

故選：B.

【點評】此題考查了平均數(shù)與中位數(shù)，中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從小到大（或從大到小）重

新排列后，最中間的那個數(shù)（最中間兩個數(shù)的平均數(shù)），叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，關鍵是

求出x的值.

6.（3分）（2019?雅安）下列計算中，正確的是（）

A.a4+a4=a8B.a4*a4-2a4

C.（a3）4,a2=a14D.（2^y）3-r6x3y2=x3y

【考點】41：整式的混合運算.

【專題】512：整式.

【分析】直接利用合并同類項法則以及同底數(shù)辱的乘除運算法則、積的乘方運算法則分

別化簡得出答案.

【解答】解：A、a4+a4=2a4,故此選項錯誤；

B、“4.04=〃8,故此選項錯誤；

C、（a3）4*a2—a>4,正確；

D、（Zr2y）3-j-6x3y2=8x6y3-j-6x3y2=-ir3>,,故此選項錯誤；

3

故選：C.

【點評】此題主要考查了整式的混合運算，正確掌握相關運算法則是解題關鍵.

7.（3分）（2019?雅安）若a：b=3：4,且〃+%=14,則2a-人的值是（）

A.4B.2C.20D.14

【考點】S1：比例的性質(zhì).

【專題】11:計算題.

【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)得到36=4”，結(jié)合。+6=14求得八h的值，代入求值即可.

【解答】解：由a：6=3：4知3b=4a,

所以b=%

3

所以由a+，=14得到：“+生_=14,

3

解得ci=6.

所以6=8.

所以2n-b=2X6-8=4.

故選：A.

【點評】考查了比例的性質(zhì)，內(nèi)項之積等于外項之積.若旦=￡,則〃=歷.

bd

8.（3分）（2019?雅安）如圖，每個小正方形的邊長均為1,則下列圖形中的三角形（陰影

部分）與△4B1C1相似的是（）

【考點】S8：相似三角形的判定.

【專題】55D：圖形的相似.

【分析】根據(jù)相似三角形的判定方法一一判斷即可.

【解答】解：因為△481。中有一個角是135°,選項中，有135。角的三角形只有B,

且滿足兩邊成比例夾角相等，

故選：B.

【點評】本題考查相似三角形的性質(zhì)，解題的關鍵是學會利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題,

屬于中考?？碱}型.

9.（3分）（2019?雅安）在平面直角坐標系中，對于二次函數(shù)y=（x-2）2+1,下列說法中

錯誤的是（）

A.y的最小值為1

B.圖象頂點坐標為（2,1）,對稱軸為直線x=2

C.當xV2時，y的值隨x值的增大而增大，當xN2時，y的值隨x值的增大而減小

D.它的圖象可以由y=）的圖象向右平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度得到

【考點】H3：二次函數(shù)的性質(zhì)；H6：二次函數(shù)圖象與幾何變換；H7：二次函數(shù)的最值.

【專題】535：二次函數(shù)圖象及其性質(zhì).

【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)解析式，可以判斷各個選項中的說法是否正確.

【解答】解：二次函數(shù)尸（x-2）2+1,〃=1>0,

該函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為直線x=2,頂點為（2,1）,當x=2時，y有最小

值1,當x>2時，y的值隨x值的增大而增大，當x<2時，y的值隨x值的增大而減小;

故選項A、8的說法正確，C的說法錯誤；

根據(jù)平移的規(guī)律，y=f的圖象向右平移2個單位長度得到>=（x-2）2,再向上平移1

個單位長度得到丫=（x-2）2+1；

故選項￡>的說法正確，

故選：C.

【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值，二次函數(shù)圖象與幾何變換，解答

本題的關鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答.

10.（3分）（2019?雅安）如圖，在四邊形A8CZ）中，AB^CD,AC、8。是對角線，E、F、

G、，分別是4。、BD、BC、4c的中點，連接EF、FG、GH、HE,則四邊形EFG”的

形狀是（）

A.平行四邊形B.矩形C.菱形D.正方形

【考點】L6：平行四邊形的判定；L9：菱形的判定；LC：矩形的判定；LF：正方形的判

定；LN：中點四邊形.

【專題】556：矩形菱形正方形.

【分析】根據(jù)三角形的中位線定理可得，EH平行且等于的一半，尸G平行且等于C。

的一半，根據(jù)等量代換和平行于同一條直線的兩直線平行，得到E”和FG平行且相等，

所以EFGH為平行四邊形，又因為E尸等于AB的一半且AB=CQ,所以得到所證四邊形

的鄰邊即與EF相等，所以四邊形EFG”為菱形.

【解答】解：F、G、，分別是力。、BD、BC、AC的中點，

...在△AOC中，E”為△ADC的中位線，所以EH〃C。且同理尸G〃C。且

2

FG=^CD,同理可得

22

則EH〃FG且EH=FG,

四邊形EFG4為平行四邊形，又AB=CD,所以EF=EH,

四邊形EFGH為菱形.

故選：C.

【點評】此題考查學生靈活運用三角形的中位線定理，平行四邊形的判斷及菱形的判斷

進行證明，是一道綜合題.

11.（3分）（2019?雅安）如圖，已知的內(nèi)接六邊形ABCDEF的邊心距OM=2,則該圓

的內(nèi)接正三角形ACE的面積為（）

A.2B.4C.6MD.4愿

【考點】KL：等邊三角形的判定；MA：三角形的外接圓與外心；MM：正多邊形和圓.

【專題】55B：正多邊形與圓.

【分析】連接OC、OB,過。作。MICE于M證出△COB是等邊三角形，根據(jù)銳角三

角函數(shù)的定義求解即可.

【解答】解：如圖所示，連接OC、OB,過。作ONLCE于N,

多邊形ABCDEF是正六邊形，

；.NCOB=6（）°,

OC=OB,

...△COB是等邊三角形,

：.ZOCM=60°，

：.OM=OC*sinZOCM,

：.OC=-一——=蟲1(cm).

sin6003

：NOCN=30°,

ON-^OC-2心,CN=2,

23

:.CE=2CN=4,

該圓的內(nèi)接正三角形ACE的面積=3xLx4x2：應=4

23

故選：D.

【點評】本題考查的是正六邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)；熟練掌

握正六邊形的性質(zhì)，由三角函數(shù)求出OC是解決問題的關鍵.

12.（3分）（2019?雅安）如圖，在平面直角坐標系中，直線/1：y=亞盧1與直線12：y=5/圣

3

交于點Ai,過A1作x軸的垂線，垂足為81,過B1作/2的平行線交/1于A2,過A2作x

軸的垂線，垂足為歷，過比作/2的平行線交人于A3,過A3作x軸的垂線，垂足為83…

按此規(guī)律，則點4的縱坐標為（

n

A.(W)“B.(X)?+1C.也)"-1+工D.3-l

22222

【考點】D2：規(guī)律型：點的坐標；FF：兩條直線相交或平行問題.

【專題】533：一次函數(shù)及其應用.

【分析】聯(lián)立直線/1與直線/2的表達式并解得：x=返，故Ai（返，2）,依

2-222

次求出：點A2的縱坐標為與、A3的縱坐標為生，即可求解.

48

【解答】解：聯(lián)立直線/I與直線/2的表達式并解得：》=返，y=3,故4（叵,2）；

_2222

則點Bi（1,0）,則直線31A2的表達式為：

將點8坐標代入上式并解得：直線劭42的表達式為：”=

將表達式>3與直線/1的表達式聯(lián)立并解得：X=^H,y=l,即點A2的縱坐標為?；

444

同理可得A3的縱坐標為21，

8

…按此規(guī)律，則點4的縱坐標為（3）”,

2

故選：A.

【點評】本題考查了兩直線的交點，要求利用圖象求解各問題，要認真體會點的坐標，

一次函數(shù)與一元一次方程組之間的內(nèi)在聯(lián)系.

二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分.不需寫出解答過程，請把最后結(jié)果

填在題中橫線上.

13.（3分）（2019?雅安）在RtZXABC中，ZC=90°,4B=5,BC=4,則sin4=-1.

一二一

【考點】T1：銳角三角函數(shù)的定義.

【專題】55E：解直角三角形及其應用.

【分析】根據(jù)正弦的定義解答.

【解答】解：在RCA2C中，sinA=K=9>,

AB5

故答案為：A.

5

【點評】本題考查的是銳角三角函數(shù)的定義，銳角A的對邊a與斜邊c的比叫做NA的

正弦，記作sinA.

14.（3分）（2019?雅安）化簡（x+2）（x-2）的結(jié)果是4.

【考點】4F：平方差公式.

【專題】512：整式.

【分析】先根據(jù)平方差公式化簡，再合并同類項即可.

【解答】解：（x+2）（%-2）=/-/+4=4.

故答案為：4.

【點評】本題主要考查了平方差公式，熟記公式是解答本題的關鍵.

15.（3分）（2019?雅安）如圖，△ABC內(nèi)接于00,8Z）是0。的直徑，NCBD=21°,則

ZA的度數(shù)為69°.

【考點】M5：圓周角定理；MA：三角形的外接圓與外心.

【專題】559：圓的有關概念及性質(zhì).

【分析】直接利用圓周角定理得出/BCO=90。，進而得出答案.

【解答】解：..?△ABC內(nèi)接于。0,BQ是。。的直徑，

：.ZBCD=90°,

'：ZCBD=2\0,

.?.乙4=/。=90°-21°=69°.

故答案為：69°

【點評】此題主要考查了三角形的外接圓與外心，正確掌握圓周角定理是解題關鍵.

16.（3分）（2019?雅安）在兩個暗盒中，各自裝有編號為1,2,3的三個球，球除編號外

無其它區(qū)別，則在兩個暗盒中各取一個球，兩球上的編號的積為偶數(shù)的概率為反.

—9—

【考點】X6：列表法與樹狀圖法.

【專題】543：概率及其應用.

【分析】畫樹狀圖展示所有9種等可能的結(jié)果數(shù)，找出兩球上的編號的積為偶數(shù)的結(jié)果

數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解.

【解答】解：畫樹狀圖為：

123

/N/K/N

123123「3

共有9種等可能的結(jié)果數(shù)，其中兩球上的編號的積為偶數(shù)的結(jié)果數(shù)為5,

所以兩球上的編號的積為偶數(shù)的概率=5.

9

故答案為”.

9

【點評】本題考查了列表法與樹狀圖法:利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果小

再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m,然后利用概率公式計算事件A或事件B的概

率.

17.(3分)(2019?雅安)已知函數(shù)尸卜x2+2x(x＞0)的圖象如圖所示，若直線尸/相

.-x(x40)

與該圖象恰有三個不同的交點，則，〃的取值范圍為0＜生＜上.

【考點】F7：一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系；F8：一次函數(shù)圖象上點的坐標特征；H3：二

次函數(shù)的性質(zhì).

【專題】533：一次函數(shù)及其應用；535：二次函數(shù)圖象及其性質(zhì).

【分析】直線與y=-x有一個交點，與y=-7+2x有兩個交點，則有機＞0,x+m=-

7+2x時，△=1-即可求解.

【解答】解：直線與該圖象恰有三個不同的交點，

則直線與丫=-尢有一個交點，

?"＞0,

???與y=-/十緘有兩個交點，

/.x+m=-X2+2X,

△=1-4w>0,

4

：.0<m<L；

4

故答案為ov,〃<L.

4

【點評】本題考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)；能夠根據(jù)條件，數(shù)形結(jié)合的進行

分析，可以確定的范圍.

三、解答題（本大題共7小題，滿分69分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

18.（10分）（2019?雅安）（1）計算:|-2I+V9-20190-2sin300

22

（2）先化簡，再求值：-2」工）+二二2,其中4=1.

a2-4a+4a-2a-2

【考點】2C：實數(shù)的運算；6D：分式的化簡求值；6E：零指數(shù)基；T5：特殊角的三角函

數(shù)值.

【專題】11：計算題.

【分析】（1）根據(jù)絕對值、零指數(shù)基和特殊角的三角函數(shù)值可以解答本題：

（2）根據(jù)分式的減法和除法可以化簡題目中的式子，然后將“的值代入化簡后的式子即

可解答本題.

【解答】解：⑴1-21+79-2019°-2sin30°

=2+3-1-2XL

2

=2+3-1-1

=3；

（2）（”-2a-工）

a2-4a+4a-2a-2

=ia（a-2）_31a-2

（a-2）2&-2（a+3）（a-3）

=（a_3）a~~2

a-2a-2（a+3）（a-3）

=a-3.a-3

a-2（a+3）（a-3）

=1

a+3

當。=1時，原式=1=1.

1+34

【點評】本題考查分式的化簡求值、零指數(shù)基、特殊角的三角函數(shù)值，解答本題的關鍵

是明確它們各自的計算方法.

19.（9分）（2019?雅安）某校為了解本校學生對課后服務情況的評價，隨機抽取了部分學

生進行調(diào)查，根據(jù)調(diào)查結(jié)果制成了如下不完整的統(tǒng)計圖.

根據(jù)統(tǒng)計圖：

（1）求該校被調(diào)查的學生總數(shù)及評價為“滿意”的人數(shù)；

（2）補全折線統(tǒng)計圖；

（3）根據(jù)調(diào)查結(jié)果，若要在全校學生中隨機抽1名學生，估計該學生的評價為“非常滿

意”或“滿意”的概率是多少？

【考點】VB：扇形統(tǒng)計圖；VD：折線統(tǒng)計圖；X8：利用頻率估計概率.

【專題】542：統(tǒng)計的應用；543：概率及其應用.

【分析】（1）首先求得總?cè)藬?shù)，然后根據(jù)百分比求得人數(shù)即可；

（2）根據(jù)（1）補全折線統(tǒng)計圖即可；

（3）利用概率公式求解即可.

【解答】解：（1）由折線統(tǒng)計圖知''非常滿意"9人，由扇形統(tǒng)計圖知“非常滿意”占

15%,所以被調(diào)查學生總數(shù)為9+15%=60（人），所以“滿意”的人數(shù)為60-（9+21+3）

=27（人）；

（2）如圖：

（3）所求概率為絲L=旦.

605

【點評】本題考查了統(tǒng)計圖及概率公式的知識，能夠從統(tǒng)計圖中整理出進一步解題的有

關信息是解答本題的關鍵，難度不大.

20.(9分)(2019?雅安)某超市計劃購進甲、乙兩種商品，兩種商品的進價、售價如下表:

商品甲乙

進價(元/件)x+60X

售價(元/件)200100

若用360元購進甲種商品的件數(shù)與用180元購進乙種商品的件數(shù)相同.

(1)求甲、乙兩種商品的進價是多少元？

(2)若超市銷售甲、乙兩種商品共50件，其中銷售甲種商品為a件(a》30),設銷售

完50件甲、乙兩種商品的總利潤為w元，求w與a之間的函數(shù)關系式，并求出w的最

小值.

【考點】B7：分式方程的應用；FH：一次函數(shù)的應用.

【專題】533：一次函數(shù)及其應用.

【分析】(1)根據(jù)用360元購進甲種商品的件數(shù)與用180元購進乙種商品的件數(shù)相同列

出方程，解方程即可；

(2)根據(jù)總利潤=甲種商品一件的利潤X甲種商品的件數(shù)+乙種商品一件的利潤義乙種

商品的件數(shù)列出w與“之間的函數(shù)關系式，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可求出卬的最小值.

【解答】解：(1)依題意可得方程：&_=儂，

x+60x

解得x=60,

經(jīng)檢驗x=60是方程的根，

...x+60=120元，

答：甲、乙兩種商品的進價分別是120元，60元；

(2)???銷售甲種商品為a件(g30),

...銷售乙種商品為(50-a)件，

根據(jù)題意得：vv=(200-120)a+(100-60)(50-a)=40?+2000(a230),

V40>0,

.??w的值隨〃值的增大而增大，

.?.當a=30時，w垠小值=40X30+2000=3200(元).

【點評】本題考查了分式方程的應用，一次函數(shù)的應用.解決問題的關鍵是讀懂題意，

找到關鍵描述語，進而找到所求的量的數(shù)量關系.

21.(10分)(2019?雅安)如圖，QABCO的對角線AC、8。相交于點O,經(jīng)過。，分別

交AB、CD于點E、F,EF的延長線交CB的延長線于

(1)求證：OE=OF；

(2)若AO=4,48=6,8M=1,求BE的長.

【考點】KD：全等三角形的判定與性質(zhì)；L5：平行四邊形的性質(zhì)；S9：相似三角形的判

定與性質(zhì).

【專題】55D：圖形的相似.

【分析】(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到。4=OC,AB//CD,證明△4OE絲ZSCOF,根

據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論；

(2)過點。作0N〃BC交AB于N,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)分別求出ON、BN,證明△

ONEs叢MBE,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列式計算即可.

【解答】(1)證明：?.?四邊形ABC。是平行四邊形，

：.OA=OC,AB//CD,BC=AD,

：.ZOAE=ZOVF,

在△AOE和△COF中，

'NOAE=NOCF

-OA=OC，

,ZAOE=ZCOF

A/XAOE^/XCOF(ASA),

：.OE=OFi

(2)解：過點、。作ON〃BC交AB于N,

貝！］△ACWs/\AC8,

'：OA=OC,

：*ON=%C=2,BN=1AB=3,

22

?：ON〃BC,

:.AONEsAMBE,

.ON=NE；即2=3-BE

，-BMBE*'TBE

解得，BE=\.

【點評】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，掌握相似三角形

的判定定理和性質(zhì)定理、全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關鍵.

22.（9分）（2019?雅安）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)>=-x+m的圖象與反比例

函數(shù)y=K（x>0）的圖象交于A、8兩點，已知A（2,4）

x

（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；

（2）求8點的坐標；

（3）連接A。、BO,求△AOB的面積.

【考點】G8：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題.

【專題】533：一次函數(shù)及其應用；534：反比例函數(shù)及其應用.

【分析】（1）由點A的坐標利用一次函數(shù)、反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征即可得出反

比例函數(shù)解析式；

（2）聯(lián)立方程，解方程組即可求得；

（3）求出直線與y軸的交點坐標后，即可求出SAAOD和SaBOD,繼而求出△AOB的面積.

【解答】解：（1）將4（2,4）代入y=-犬+加與〉=四（x>0）中得4=-2+〃?，4=K,

x2

??/n=6,k—8,

一次函數(shù)的解析式為y=-x+6,反比例函數(shù)的解析式為丫=&；

X

（2）解方程組得或

：.B(4,2)；

(3)設直線y=-x+6與尤軸，y軸交于C,。點，易得。(0,6),

：.OD=6,

'-S^AOB=S^DOB-SMOD=—X6X4-—X6X2=6.

22

【點評】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題、待定系數(shù)法求一次函數(shù)和反比

例函數(shù)解析式以及三角形的面積，解題的關鍵是：根據(jù)點的坐標利用待定系數(shù)法求出函

數(shù)解析式；利用分割圖形求面積法求出△AOB的面積.

23.（10分）（2019?雅安）如圖，已知是0。的直徑，AC,2c是。0的弦，OEIIAC

交BC于E,過點8作。。的切線交OE的延長線于點。，連接0c并延長交54的延長

線于點F.

（1）求證：0c是00的切線：

（2）若/ABC=30°,A8=8,求線段CF的長.

【考點】M5：圓周角定理；ME：切線的判定與性質(zhì).

【專題】55A：與圓有關的位置關系.

【分析】（1）連接OC,AC,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到N1=/ACB,由圓周角定理得到/

l=NACB=90°,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到OB=L>C,求得NDBE=NDCE,根

據(jù)切線的性質(zhì)得到2080=90°,求得OC_L￡?C,于是得到結(jié)論；

（2）解直角三角形即可得到結(jié)論.

【解答】（1）證明：連接OC,AC,

'：OE//AC,

：.Z\=ZACB,

：AB是。。的直徑，

；.N1=/ACB=9O°,

AODA.BC,由垂徑定理得0。垂直平分BC,

：.DB=DC,

：.NDBE=NDCE,

又：0C=0B,

：.ZOBE=ZOCE,

即NCB0=N0CQ,

為OO的切線，。8是半徑，

."080=90°,

：.ZOCD=ZDBO=90°,

即OCVDC,

：0C是。。的半徑，

；.OC是00的切線：

(2)解：在中，ZABC=30°,

；.N3=60°,XOA=OC,

?*./\AOC是等邊三角形，

；./COF=60°,

在RtZ\C。尸中，tanNCOF="，

0C

：.CF=4y[3-

【點評】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì),

正確的作出輔助線是解題的關鍵.

24.（12分）（2019?雅安）已知二次函數(shù)y=o?"#（））的圖象過點（2,-1）,點P（P

與0不重合)是圖象上的一點，直線/過點(0,1)且平行于無軸.于點M,點尸

(0,-1).

(1)求二次函數(shù)的解析式；

(2)求證：點尸在線段的中垂線上；

(3)設直線PF交二次函數(shù)的圖象于另一點Q,QNLI于點N,線段MF的中垂線交/

于點上求嶇的值；

RN

(4)試判斷點R與以線段PQ為直徑的圓的位置關系.

1^(0,-1)

【考點】HF：二次函數(shù)綜合題.

【專題】16：壓軸題；31：數(shù)形結(jié)合；65：數(shù)據(jù)分析觀念.

【分析】(1)把點(2,-1)代入函數(shù)表達式，即可求解;

J-4yi+y>2yi+l="-H=PM即可求解；

(3)證明△PMR義△PFR(SAS)、RtARFQ沿RtdRNQQHL),即RN=FR,即

=RN,即可求解；

(4)在△PQR中，由(3)知PR平分凡QR平分NFRN,則/PRQ=L(

NFRN)=90°,即可求解.

【解答】解：⑴(“W0)的圖象過點(2,-1),

-l=aX22,即a——,--y--Xr2；

44

(2)設二次函數(shù)的圖象上的點P(xi,yi),則M(xi,1),

y\=-Xri2,即x/=-4y],PM=\i-yi|,

4

Pf=22==，1

又7(x1-0)+(y1+l)7-4y1+y?+2y1+ll＞一1尸尸

即PF=PM,

...點P在線段MF的中垂線上;

(3)連接RF,

在線段MF的中垂線上，

:.MR=FR,

又；PM=PF,PR=PR,

，叢PMRQ/XPFR(SAS),

:.NPFR=/PMR=90°,

：.RF±PF,

連接AQ,又在RtA7?F0和RtARNQ中，

2

：。在丫=-L的圖象上，由(2)結(jié)論知.?.QE=QM

4

?：RQ=RQ,

：.Rt/^RFQ^Rt^RNQ(HL),

即RN=FR,

即MR=FR=RN,

.??嶇=1；

RN

(4)在中，由(3)知PR平分NMRF,QR平分NFRN,

:.NPRQ=LQMRFMFRN)=90°,

2

...點R在以線段P。為直徑的圓上.

【點評】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到三角形全等、中垂線、圓的基本知識

等，其中(3),證明△PMR絲ZiPFR(SAS)、RtZSRFQ絲Rt/XRNQ(HL)是本題解題的

關鍵.

考點卡片

1.倒數(shù)

(1)倒數(shù)：乘積是1的兩數(shù)互為倒數(shù).

一般地，a*—=1就說a的倒數(shù)是L.

aa

(2)方法指引：

①倒數(shù)是除法運算與乘法運算轉(zhuǎn)化的“橋梁”和“渡船”.正像減法轉(zhuǎn)化為加法及相反數(shù)一

樣，非常重要.倒數(shù)是伴隨著除法運算而產(chǎn)生的.

②正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負數(shù)的倒數(shù)是負數(shù)，而0沒有倒數(shù)，這與相反數(shù)不同.

【規(guī)律方法】求相反數(shù)、倒數(shù)的方法

求一個數(shù)的相反數(shù)求一個數(shù)的相反數(shù)時，只需在這個數(shù)前面加上“-”即可

求一個數(shù)的倒數(shù)求一個整數(shù)的倒數(shù)，就是寫成這個整數(shù)分之一

求一個分數(shù)的倒數(shù)，就是調(diào)換分子和分母的位置

注意：0沒有倒數(shù).

2.有理數(shù)的乘方

(1)有理數(shù)乘方的定義：求”個相同因數(shù)積的運算，叫做乘方.

乘方的結(jié)果叫做嘉，在中，〃叫做底數(shù)，〃叫做指數(shù).讀作〃的〃次方.(將a"看作是

a的〃次方的結(jié)果時，也可以讀作a的〃次嘉.)

(2)乘方的法則：正數(shù)的任何次累都是正數(shù)；負數(shù)的奇次累是負數(shù)，負數(shù)的偶次基是正數(shù);

0的任何正整數(shù)次累都是0.

(3)方法指引：

①有理數(shù)的乘方運算與有理數(shù)的加減乘除運算一樣，首先要確定累的符號，然后再計算基

的絕對值；

②由于乘方運算比乘除運算又高一級，所以有加減乘除和乘方運算，應先算乘方，再做乘

除，最后做加減.

指數(shù)

3.實數(shù)的運算

(1)實數(shù)的運算和在有理數(shù)范圍內(nèi)一樣，值得一提的是，實數(shù)既可以進行加、減、乘、除、

乘方運算，又可以進行開方運算，其中正實數(shù)可以開平方.

(2)在進行實數(shù)運算時，和有理數(shù)運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算

乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到有的順序進行.

另外，有理數(shù)的運算律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然適用.

【規(guī)律方法】實數(shù)運算的“三個關鍵”

1.運算法則：乘方和開方運算、幕的運算、指數(shù)(特別是負整數(shù)指數(shù)，0指數(shù))運算、根

式運算、特殊三角函數(shù)值的計算以及絕對值的化簡等.

2.運算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號的先算括號里面的，在同一級運算中要從

左到右依次運算，無論何種運算，都要注意先定符號后運算.

3.運算律的使用：使用運算律可以簡化運算，提高運算速度和準確度.

4.平方差公式

(1)平方差公式：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差相乘，等于這兩個數(shù)的平方差.

Ca+b)(a-b)—a2-b2

(2)應用平方差公式計算時，應注意以下幾個問題：

①左邊是兩個二項式相乘，并且這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數(shù)；

②右邊是相同項的平方減去相反項的平方；

③公式中的。和〃可以是具體數(shù)，也可以是單項式或多項式；

④對形如兩數(shù)和與這兩數(shù)差相乘的算式，都可以運用這個公式計算，且會比用多項式乘以

多項式法則簡便.

5.整式的混合運算

(1)有乘方、乘除的混合運算中，要按照先乘方后乘除的順序運算，其運算順序和有理數(shù)

的混合運算順序相似.

(2)“整體”思想在整式運算中較為常見，適時采用整體思想可使問題簡單化，并且迅速地

解決相關問題，此時應注意被看做整體的代數(shù)式通常要用括號括起來.

6.分式的化簡求值

先把分式化簡后，再把分式中未知數(shù)對應的值代入求出分式的值.

在化簡的過程中要注意運算順序和分式的化簡.化簡的最后結(jié)果分子、分母要進行約分，注

意運算的結(jié)果要化成最簡分式或整式.

【規(guī)律方法】分式化簡求值時需注意的問題

1.化簡求值，一般是先化簡為最簡分式或整式，再代入求值.化簡時不能跨度太大，而缺

少必要的步驟，代入求值的模式一般為“當…時，原式=

2.代入求值時，有直接代入法，整體代入法等常用方法.解題時可根據(jù)題目的具體條件選

擇合適的方法.當未知數(shù)的值沒有明確給出時，所選取的未知數(shù)的值必須使原式中的各分式

都有意義，且除數(shù)不能為0.

7.零指數(shù)幕

零指數(shù)基：/=1(aWO)

由0m陽=1,可推出“°=1(aWO)

注意：O°W1.

8.分式方程的應用

1、列分式方程解應用題的一般步驟：設、歹U、解、驗、答.

必須嚴格按照這5步進行做題，規(guī)范解題步驟，另外還要注意完整性：如設和答敘述要完整,

要寫出單位等.

2、要掌握常見問題中的基本關系，如行程問題：速度=路程時間；工作量問題：工作效率

=工作量工作時間

等等.

列分式方程解應用題一定要審清題意，找相等關系是著眼點，要學會分析題意，提高理解能

力.

9.解一元一次不等式組

(1)一元一次不等式組的解集：幾個一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它們所組

成的不等式組的解集.

(2)解不等式組：求不等式組的解集的過程叫解不等式組.

(3)一元一次不等式組的解法：解一元一次不等式組時，一般先求出其中各不等式的解集,

再求出這些解集的公共部分，利用數(shù)軸可以直觀地表示不等式組的解集.

方法與步驟：①求不等式組中每個不等式的解集；②利用數(shù)軸求公共部分.

解集的規(guī)律：同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到.

10.規(guī)律型：點的坐標

規(guī)律型：點的坐標.

11.一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系

由于與y軸交于（0,b）,當6>0時，（0,b）在y軸的正半軸上，直線與y軸交

于正半軸；當b<0時，（0,b）在），軸的負半軸，直線與y軸交于負半軸.

①%>0,%>0Qy=fcc+6的圖象在一、二、三象限；

@k>0,b<0Qy=fcc+b的圖象在一、三、四象限；

③ZV0,匕>0oy=fcc+〃的圖象在一、二、四象限；

④kVO,0<OQy=fcv+Z?的圖象在二、三、四象限.

12.一次函數(shù)圖象上點的坐標特征

一次函數(shù)），=依+從aro,且4,6為常數(shù)）的圖象是一條直線.它與x軸的交點坐標是（-

b0）；與｝，軸的交點坐標是（0,b）.

直線上任意一點的坐標都滿足函數(shù)關系式

13.兩條直線相交或平行問題

直線），=丘+6,（4片0,且A,b為常數(shù)），當人相同，且〃不相等，圖象平行；當Z不同，且

6相等，圖象相交；當匕b都相同時，兩條線段重合.

（1）兩條直線的交點問題

兩條直線的交點坐標,就是由這兩條直線相對應的一次函數(shù)表達式所組成的二元一次方程組

的解.

（2）兩條直線的平行問題

若兩條直線是平行的關系，那么他們的自變量系數(shù)相同，即k值相同.

例如：若直線yi=%x+bi與直線”=也計歷平行，那么%=上.

14.一次函數(shù)的應用

1、分段函數(shù)問題

分段函數(shù)是在不同區(qū)間有不同對應方式的函數(shù)，要特別注意自變量取值范圍的劃分，既要科

學合理，又要符合實際.

2、函數(shù)的多變量問題

解決含有多變量問題時，可以分析這些變量的關系，選取其中一個變量作為自變量，然后根

據(jù)問題的條件尋求可以反映實際問題的函數(shù).

3、概括整合

（1）簡單的一次函數(shù)問題：①建立函數(shù)模型的方法；②分段函數(shù)思想的應用.

（2）理清題意是采用分段函數(shù)解決問題的關鍵.

15.反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題

反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題

（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標，把兩個函數(shù)關系式聯(lián)立成方程組求解，若方程

組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點.

（2）判斷正比例函數(shù)和反比例函數(shù)y="在同一直角坐標系中的交點個數(shù)可總結(jié)

X

為：

①當幻與攵2同號時，正比例函數(shù)y=%x和反比例函數(shù)丁=下2在同一直角坐標系中有2個

x

交點；

②當k\與攵2異號時，正比例函數(shù)y=k\x和反比例函數(shù)y=±2在同一直角坐標系中有0個

x

交點.

16.二次函數(shù)的性質(zhì)

2

二次函數(shù)），=0?+法+。（a/0）的頂點坐標是（-互，細￡?_）,對稱軸直線X=--L,

2a4a2a

二次函數(shù)y=ax2+bx+c（〃W0）的圖象具有如下性質(zhì)：

①當〃>0時，拋物線y=4/+bx+c（aWO）的開口向上，--L時，y隨x的增大而減小;

2a

2

x>-旦時，y隨X的增大而增大；X=-旦寸，y取得最小值4ac-b,即頂點是拋物線

2a2a4a

的最低點.

②當“<0時，拋物線），=0?+版+。（a#0）的開口向下，X<--L時，），隨X的增大而增大;

2a

2

x>-_L時，y隨x的增大而減??；》=-至41寸，y取得最大值4ac-b,即頂點是拋物線

2a2a4a

的最高點.

③拋物線y=n/+法+c（”W0）的圖象可由拋物線y=a?的圖象向右或向左平移|一且|個單

2a

位，再向上或向下平移二玲個單位得到的.

4a

17.二次函數(shù)圖象與幾何變換

由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通常可利用兩種方

法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮

平移后的頂點坐標，即可求出解析式.

18.二次函數(shù)的最值

（1）當。＞0時，拋物線在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而減少；在對稱軸右側(cè)，），隨x的增

2

大而增大，因為圖象有最低點，所以函數(shù)有最小值，當時，y=%￡土.

2a4a

（2）當時，拋物線在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而增大；在對稱軸右側(cè)，），隨x的增

2

大而減少，因為圖象有最高點，所以函數(shù)有最大值，當犬=上寸，），=4ac-b

2a4a

（3）確定一個二次函數(shù)的最值，首先看自變量的取值范圍，當自變量取全體實數(shù)時，其最

值為拋物線頂點坐標的縱坐標；當自變量取某個范圍時，要分別求出頂點和函數(shù)端點處的函

數(shù)值，比較這些函數(shù)值，從而獲得最值.

19.二次函數(shù)綜合題

（1）二次函數(shù)圖象與其他函數(shù)圖象相結(jié)合問題

解決此類問題時，先根據(jù)給定的函數(shù)或函數(shù)圖象判斷出系數(shù)的符號，然后判斷新的函數(shù)關系

式中系數(shù)的符號，再根據(jù)系數(shù)與圖象的位置關系判斷出圖象特征，則符合所有特征的圖象即

為正確選項.

（2）二次函數(shù)與方程、幾何知識的綜合應用

將函數(shù)知識與方程、幾何知識有機地結(jié)合在一起.這類試題一般難度較大.解這類問題關鍵

是善于將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識,

并注意挖掘題目中的一些隱含條件.

（3）二次函數(shù)在實際生活中的應用題

從實際問題中分析變量之間的關系，建立二次函數(shù)模型.關鍵在于觀察、分析、創(chuàng)建，建立

直角坐標系下的二次函數(shù)圖象，然后數(shù)形結(jié)合解決問題，需要我們注意的是自變量及函數(shù)的

取值范圍要使實際問題有意義.

20.全等三角形的判定與性質(zhì)

（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具.在判定三

角形全等時，關鍵是選擇恰當?shù)呐卸l件.

（2）在應用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔

助線構(gòu)造三角形.

21.等邊三角形的判定

（1）由定義判定：三條邊都相等的三角形是等邊三角形.

（2）判定定理1：三個角都相等的三角形是等邊三角形.

（3）判定定理2：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.

說明：在證明一個三角形是等邊三角形時，若已知或能求得三邊相等則用定義來判定；若已

知或能求得三個角相等則用判定定理1來證明；若已知等腰三角形且有一個角為60°,則

用判定定理2來證明.

22.平行四邊形的性質(zhì)

（1）平行四邊形的概念：有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.

（2）平行四邊形的性質(zhì)：

①邊：平行四邊形的對邊相等.

②角：平行四邊形的對角相等.

③對角線：平行四邊形的對角線互相平分.

（3）平行線間的距離處處相等.

（4）平行四邊形的面積：

①平行四邊形的面積等于它的底和這個底上的高的積.

②同底（等底）同高（等高）的平行四邊形面積相等.

23.平行四邊形的判定

（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.符號語言：AO〃BC.?.四邊行

ABCO是平行四邊形.

（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.符號語言：???AB=QC,AQ=BC.?.四邊行

ABCZ）是平行四邊形.

（3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.

符號語言：A8=DC.?.四邊行ABC。是平行四邊形.

（4）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形.

符號語言：；NA8C=NAOC,,.四邊行ABC。是平行四邊形.

（5）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.符號語言：???O4=OC,08=00.?.四邊行

A

D

O

ABC￡）是平行四邊形.d