人教A版高中數(shù)學(xué)（選擇性必修二）同步講義第16講 拓展三：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點（方程的根）（教師版）

第07講拓展三：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點（方程的根）一、知識點歸納1、函數(shù)的零點（1）函數(shù)零點的定義：對于函數(shù)SKIPIF1<0，把使SKIPIF1<0的實數(shù)SKIPIF1<0叫做函數(shù)SKIPIF1<0的零點．（2）三個等價關(guān)系方程SKIPIF1<0有實數(shù)根SKIPIF1<0函數(shù)SKIPIF1<0的圖象與SKIPIF1<0軸有交點的橫坐標(biāo)SKIPIF1<0函數(shù)SKIPIF1<0有零點．2、函數(shù)零點的判定如果函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有SKIPIF1<0，那么函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0內(nèi)有零點，即存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，這個SKIPIF1<0也就是SKIPIF1<0的根．我們把這一結(jié)論稱為函數(shù)零點存在性定理．注意：單調(diào)性+存在零點=唯一零點二、題型精講題型01判斷、證明或討論函數(shù)零點（方程的根）的個數(shù)1．（2022上·江蘇·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0.(1)設(shè)SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上的最值；(2)討論SKIPIF1<0的零點個數(shù).【答案】(1)最大值為SKIPIF1<0，最小值為SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有兩個零點【詳解】（1）因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，所以當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取最大值SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取最小值SKIPIF1<0.（2）先討論SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的零點個數(shù)，由（1）可知，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上遞減，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上遞減，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有唯一零點，又因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是偶函數(shù)，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有兩個零點.2．（2022下·山東青島·高二山東省萊西市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0，討論函數(shù)SKIPIF1<0的零點的個數(shù).【答案】答案見解析【詳解】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，

則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0單調(diào)遞增，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0單調(diào)遞減，即當(dāng)SKIPIF1<0時，g(x)取得極大值即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0與x軸只有一個交點，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞減，SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0與x軸沒有交點，畫出SKIPIF1<0的大致圖象如圖，可得m≤0或m=SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0有1個零點；當(dāng)0<m<SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0有2個零點；當(dāng)m>SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0沒有零點.綜上所述，當(dāng)m≤0或m=SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0有1個零點；當(dāng)0<m<SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0有2個零點；當(dāng)m>SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0沒有零點.3．（2022下·山東聊城·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0處切線的斜率為-2.（1）求SKIPIF1<0的值及SKIPIF1<0的極小值；（2）討論方程SKIPIF1<0的實數(shù)解的個數(shù).【答案】（1）SKIPIF1<0，極小值為SKIPIF1<0；（2）答案見解析．【詳解】解：（1）SKIPIF1<0，因為在SKIPIF1<0處切線的斜率為-2，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，當(dāng)x變化時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0變化情況如下：xSKIPIF1<0-2SKIPIF1<01SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<00SKIPIF1<00SKIPIF1<0SKIPIF1<0單調(diào)遞增SKIPIF1<0單調(diào)遞減SKIPIF1<0單調(diào)遞增故SKIPIF1<0的極小值為SKIPIF1<0.（2）由（1）知，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，SKIPIF1<0上單調(diào)遞增.當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時，方程SKIPIF1<0有1個實數(shù)解；當(dāng)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時，方程SKIPIF1<0有2個實數(shù)解當(dāng)SKIPIF1<0時，方程SKIPIF1<0有3個實數(shù)解.4．（2023上·云南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知SKIPIF1<0．(1)當(dāng)SKIPIF1<0時，求SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的單調(diào)性；(2)若SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，討論方程SKIPIF1<0的解的個數(shù)．【答案】(1)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上遞增(2)答案見解析【詳解】（1）因為SKIPIF1<0所以當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上遞增．（2）因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)遞增．當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0有極小值SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0．所以，SKIPIF1<0的圖像經(jīng)過特殊點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0．根據(jù)以上信息，我們畫出SKIPIF1<0的大致圖像如圖所示．

方程SKIPIF1<0的解的個數(shù)為函數(shù)SKIPIF1<0的圖像與直線SKIPIF1<0的交點個數(shù)．所以，關(guān)于方程SKIPIF1<0的解的個數(shù)有如下結(jié)論：當(dāng)SKIPIF1<0時，解為0個；當(dāng)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時，解為1個；當(dāng)SKIPIF1<0時，解為2個．5．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）函數(shù)SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0為奇函數(shù)，求實數(shù)SKIPIF1<0的值；(2)已知SKIPIF1<0僅有兩個零點，證明：函數(shù)SKIPIF1<0僅有一個零點．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)證明見解析【詳解】（1）解：因為SKIPIF1<0為奇函數(shù)，所以可知SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.（2）證明：①當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0不可能有兩個零點，此時不合題意；②當(dāng)SKIPIF1<0時，令SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，又因SKIPIF1<0，則要使得f（x）僅有兩個零點，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，此方程無解，此時不合題意；③當(dāng)SKIPIF1<0時，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，符合題意，所以SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上遞增，在SKIPIF1<0上遞減，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故函數(shù)SKIPIF1<0僅有一個零點．

題型02利用最值（極值）研究函數(shù)零點（方程的根）問題1．（2023上·北京·高三北京四中?？计谥校┮阎瘮?shù)SKIPIF1<0.(1)當(dāng)SKIPIF1<0時，求SKIPIF1<0的極值；(2)當(dāng)SKIPIF1<0時，求SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最小值；(3)若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上存在零點，求SKIPIF1<0的取值范圍.【答案】(1)極大值為SKIPIF1<0，沒有極小值.(2)0(3)SKIPIF1<0【詳解】（1）當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，定義域：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0變化時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的變化情況如下表：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<00SKIPIF1<0SKIPIF1<0單調(diào)遞增極大值SKIPIF1<0單調(diào)遞減則SKIPIF1<0的極大值為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0沒有極小值；（2）當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，定義域：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，定義域：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是增函數(shù)，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是增函數(shù)，則SKIPIF1<0.（3）SKIPIF1<0，定義域：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，定義域：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，（1）當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是減函數(shù)，則SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是減函數(shù)，SKIPIF1<0，不合題意；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則存在SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0變化時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的變化情況如下表：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<00SKIPIF1<0SKIPIF1<0單調(diào)遞增極大值SKIPIF1<0單調(diào)遞減則SKIPIF1<0，只需SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；（2）當(dāng)SKIPIF1<0時，由（1）知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是增函數(shù)，SKIPIF1<0，不合題意；（3）當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是增函數(shù)，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是增函數(shù)，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是增函數(shù)，SKIPIF1<0，不合題意，綜上所述，SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0.2．（2023上·福建福州·高三校聯(lián)考期中）已知函數(shù)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）.(1)求SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最大值；(2)若函數(shù)SKIPIF1<0恰有三個零點，求a的取值范圍.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求得其極大值和極小值，結(jié)合零點存在性定理，可得答案.【詳解】（1）SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0單調(diào)遞減，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.（2）由（1）知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0有三個零點，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0.3．（2023上·陜西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0.(1)討論SKIPIF1<0的單調(diào)性；(2)若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上存2個零點，求SKIPIF1<0的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減；當(dāng)SKIPIF1<0時，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減.（2）若SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上無零點，不合題意；若SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0與函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的圖象有兩個交點，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減.所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以要使直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的圖象有兩個交點，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0.4．（2023上·重慶涪陵·高三重慶市涪陵高級中學(xué)校校考開學(xué)考試）已知函數(shù)SKIPIF1<0.(1)若函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，求SKIPIF1<0的最小值；(2)若函數(shù)SKIPIF1<0的圖象與SKIPIF1<0有且只有一個交點，求SKIPIF1<0的取值范圍．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0與SKIPIF1<0有且只有一個交點，即SKIPIF1<0只有一個根，SKIPIF1<0只有一個根，令SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的圖象與SKIPIF1<0的圖象只有一個交點，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，SKIPIF1<0的圖象如下所示：

SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0的圖象與SKIPIF1<0的圖象只有一個交點，SKIPIF1<0.5．（2023下·遼寧·高二校聯(lián)考期末）已知函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0.(1)當(dāng)SKIPIF1<0時，求SKIPIF1<0的單調(diào)區(qū)間；(2)曲線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0有且僅有兩個交點，求SKIPIF1<0的取值范圍.【答案】(1)SKIPIF1<0的增區(qū)間為SKIPIF1<0，減區(qū)間為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的增區(qū)間為SKIPIF1<0，減區(qū)間為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，兩邊取對數(shù)可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞減，所以SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以曲線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0有且僅有兩個交點，即曲線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0有兩個交點的充分必要條件為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0．6．（2023下·廣東東莞·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)SKIPIF1<0．(1)求函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處的切線方程；(2)若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的極值點，且方程SKIPIF1<0有3個不同的實數(shù)解，求實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）因為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處的切線方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0（2）由于SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的極值點，故SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減即SKIPIF1<0為函數(shù)的極大值點，SKIPIF1<0是函數(shù)的極小值點，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故方程SKIPIF1<0有3個不同的實數(shù)解，即SKIPIF1<0的圖象由3個不同交點，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，結(jié)合SKIPIF1<0的圖象，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0可取負無窮小，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0可取正無窮大，

可得到SKIPIF1<0.題型03利用數(shù)形結(jié)合法研究函數(shù)的零點（方程的根）問題1．（2023上·重慶涪陵·高三重慶市涪陵高級中學(xué)校?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)SKIPIF1<0.(1)若函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，求SKIPIF1<0的最小值；(2)若函數(shù)SKIPIF1<0的圖象與SKIPIF1<0有且只有一個交點，求SKIPIF1<0的取值范圍．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0與SKIPIF1<0有且只有一個交點，即SKIPIF1<0只有一個根，SKIPIF1<0只有一個根，令SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的圖象與SKIPIF1<0的圖象只有一個交點，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，SKIPIF1<0的圖象如下所示：

SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0的圖象與SKIPIF1<0的圖象只有一個交點，SKIPIF1<0.2．（2023上·云南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知SKIPIF1<0．(1)當(dāng)SKIPIF1<0時，求SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的單調(diào)性；(2)若SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，討論方程SKIPIF1<0的解的個數(shù)．【答案】(1)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上遞增(2)答案見解析【詳解】（1）因為SKIPIF1<0所以當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上遞增．（2）因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)遞增．當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0有極小值SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0．所以，SKIPIF1<0的圖像經(jīng)過特殊點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0．根據(jù)以上信息，我們畫出SKIPIF1<0的大致圖像如圖所示．

方程SKIPIF1<0的解的個數(shù)為函數(shù)SKIPIF1<0的圖像與直線SKIPIF1<0的交點個數(shù)．所以，關(guān)于方程SKIPIF1<0的解的個數(shù)有如下結(jié)論：當(dāng)SKIPIF1<0時，解為0個；當(dāng)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時，解為1個；當(dāng)SKIPIF1<0時，解為2個．3．（2023下·湖南衡陽·高二?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0．(1)討論函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)性；(2)若方程SKIPIF1<0有三個根，求SKIPIF1<0的取值范圍．【答案】(1)答案見解析(2)SKIPIF1<0．【詳解】（1）解：由題意得函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增；SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上單調(diào)遞增；SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，綜上所述，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上單調(diào)遞增；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上單調(diào)遞增；（2）方程SKIPIF1<0有三個根，即SKIPIF1<0有三個根，SKIPIF1<0有三個根，顯然SKIPIF1<0不是方程的根，則SKIPIF1<0有三個根，即SKIPIF1<0與函數(shù)SKIPIF1<0的圖象有三個交點，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處取得極大值為SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，如圖所示：

SKIPIF1<0要使SKIPIF1<0與函數(shù)SKIPIF1<0的圖象有三個交點，只需SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0．4．（2023上·廣東江門·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的極值：(2)若SKIPIF1<0有兩個零點，求a的取值范圍.【答案】(1)極小值為SKIPIF1<0，無極大值(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）函數(shù)的定義域為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，則SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)遞增.所以當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0有極小值SKIPIF1<0，無極大值.（2）因為函數(shù)SKIPIF1<0有兩個零點，所以直線SKIPIF1<0與函數(shù)SKIPIF1<0有兩個交點，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，則SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)遞增.因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以函數(shù)的大致圖象如圖所示，結(jié)合圖象可知，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0有兩個零點，故a的取值范圍為SKIPIF1<0.5．（2023上·北京·高三北京二十中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0，(1)已知直線SKIPIF1<0是曲線SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0處的切線，且SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0相切，求SKIPIF1<0的值；(2)若方程SKIPIF1<0有三個不同實數(shù)解，求實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故切線SKIPIF1<0方程為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0相切，聯(lián)立得到SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，函數(shù)單調(diào)遞增；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，畫出函數(shù)圖象：

根據(jù)圖象知：SKIPIF1<0.6．（2023·四川·校聯(lián)考一模）已知函數(shù)SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的單調(diào)區(qū)間；(2)令SKIPIF1<0（a為常數(shù)），若SKIPIF1<0有兩個零點SKIPIF1<0，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)SKIPIF1<0的單調(diào)遞減區(qū)間是SKIPIF1<0，單調(diào)遞增區(qū)間是SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）由題意可知：SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0的單調(diào)遞減區(qū)間是SKIPIF1<0，單調(diào)遞增區(qū)間是SKIPIF1<0.（2）由題意可知：SKIPIF1<0，其定義域為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0有兩個零點SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0有兩解，即SKIPIF1<0有兩解，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；則SKIPIF1<0的單調(diào)遞減區(qū)間是SKIPIF1<0，單調(diào)遞增區(qū)間是SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，且當(dāng)SKIPIF1<0趨近于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0趨近于0，要使得SKIPIF1<0有兩解，只需SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，

故實數(shù)a的取值范圍為SKIPIF1<0.題型04構(gòu)造函數(shù)研究函數(shù)零點（方程的根）問題1．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)SKIPIF1<0．(1)討論函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)性．(2)若關(guān)于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0有兩個實數(shù)根，求實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍．【答案】(1)答案見解析(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）由題意函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0時，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0單調(diào)遞增；若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0單調(diào)遞減．當(dāng)SKIPIF1<0時，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．①當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增．②當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0單調(diào)遞增；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0單調(diào)遞減；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0單調(diào)遞增．③當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0單調(diào)遞增；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0單調(diào)遞減；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0單調(diào)遞增．綜上，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減．（2）由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為增函數(shù)，且SKIPIF1<0的值域為SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0可化為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0．因為關(guān)于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0有兩個實數(shù)根，所以直線SKIPIF1<0與函數(shù)SKIPIF1<0的圖像有兩個不同的交點．因為SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0單調(diào)遞增；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0單調(diào)遞減．所以SKIPIF1<0，且當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0．2．（2023上·湖南·高三邵陽市第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0.(1)討論函數(shù)SKIPIF1<0的零點個數(shù)；(2)已知函數(shù)SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，關(guān)于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0有兩個實根SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0.（注：SKIPIF1<0是自然對數(shù)的底數(shù)）【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【詳解】（1）由已知函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，令函數(shù)SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞減，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，可知函數(shù)SKIPIF1<0的圖象如下所示：

所以當(dāng)SKIPIF1<0時，函數(shù)SKIPIF1<0的零點個數(shù)為0個，當(dāng)SKIPIF1<0或SKIPIF1<