積分中值定理在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用說明

陜西理工學(xué)院畢業(yè)論文PAGE第6頁共10頁題目積分中值定理在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用學(xué)生姓名學(xué)號專業(yè)班級指導(dǎo)教師學(xué)校鄖陽師范高等專科學(xué)校湖北省十堰市郵編：442000

積分中值定理在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用優(yōu)秀論文[摘要]本文主要介紹了積分中值定理在數(shù)學(xué)分析中應(yīng)用時的注意事項及幾點主要應(yīng)用,這些應(yīng)用主要是：一.求函數(shù)在一個區(qū)間上的平均值;二.估計定積分的值;三.求含有定積分的極限;四.確定積分的符號;五.證明中值的存在性命題;六.證明積分不等式;七.證明函數(shù)的單調(diào)性.[關(guān)鍵詞]積分;中值;定理;應(yīng)用1引言積分中值定理是數(shù)學(xué)分析中的主要定理之一,同時也是定積分的一個主要性質(zhì),它建立了積分和被積函數(shù)之間的關(guān)系,從而我們可以通過被積函數(shù)的性質(zhì)來研究部分的性質(zhì),有較高的理論價值和廣泛應(yīng)用.本文就其在解題中的應(yīng)用進行討論.2預(yù)備知識定理2.1[1](積分第一中值定理)若在區(qū)間[a,b]上連續(xù),則在[a,b]上至少存在一點使得.證明由于在區(qū)間[a,b]上連續(xù),因此存在最大值和最小值.由,使用積分不等式性質(zhì)得到,或.再由連續(xù)函數(shù)的介值性,至少存在一點,使得定理2.2[1](推廣的積分第一中值定理)若在閉區(qū)間上連續(xù),且在上不變號,則在至少存在一點,使得證明推廣的第一中值積分定理不妨設(shè)在上則在上有其中,分別為在上的最小值和最大值,則有若,則由上式知,從而對上任何一點,定理都成立.若則由上式得則在上至少存在一點,使得即顯然,當(dāng)時,推廣的積分第一中值定理就是積分中值定理3積分中值定理的應(yīng)用由于積分中值定理可以使積分號去掉,從而使問題簡化,對于證明包含函數(shù)積分和某個函數(shù)值之間關(guān)系的等式和不等式,也可以考慮使用積分中值定理.在使用積分中值定理時要注意以下幾點：在應(yīng)用中要注意被積函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)這一條件,否則,結(jié)論不一定成立.例如,顯然在處間斷.由于但在上,,所以,對任何都不能使.(2)定理中的在區(qū)間上不變號這個條件也不能去掉.例如令由于,但所以,不存在,使(3)定理中所指出的并不一定是唯一的,也不一定必須是的內(nèi)點.例如令,則對都有,這也說明了未必在區(qū)間的內(nèi)點.下面就就其應(yīng)用進行討論.3.1求函數(shù)在一個區(qū)間上的平均值例1試求在上的平均值.解平均值3.2估計定積分的值例2估計的值.解由推廣的積分第一中值定理,得其中因為所以即故例3估計的值.解因為在上連續(xù),且,,所以由積分第一中值定理有.在估計其類積分的值時,首先我們要確定被積函數(shù)在積分區(qū)間上連續(xù)的基礎(chǔ)上確定被積函數(shù)在積分區(qū)間上的最大值和最小值,然后再利用積分中值定理就迎刃而解了.綜上,在利用積分中值定理估計積分的值時,我們要根據(jù)不同的題型給出不同的解決方法,這也是我們在學(xué)習(xí)過程中逐漸要培養(yǎng)的,積累的好習(xí)慣.3.3求含有定積分的極限例4求極限QUOTElimn→∞為自然數(shù).解利用中值定理,得因為在上連續(xù),由積分中值定理得當(dāng)時,,而||.故QUOTElimn→∞=QUOTElim=0.例5求.解若直接用中值定理=,因為而不能嚴格斷定,其癥結(jié)在于沒有排除,故采取下列措施=+QUOTE.其中為任意小的正數(shù).對第一積分中值定理使用推廣的積分第一中值定理,有.=,.而第二個積分=,由于得任意性知其課任意小.所以=+=0.注求解其類問題的關(guān)鍵是使用積分中值定理去掉積分符號.在應(yīng)用該定理時,要注中值不僅依賴于積分區(qū)間,而且還依賴于根式中自變量的趨近方式.3.4證明不等式例6證明.證明估計連續(xù)函數(shù)的積分值的一般的方法是求在的最大值和最小值,則.因為,所以.例7證明證明估計積分的一般的方法是:求在的最大值和最小值,又若,則.本題中令.因為所以.3.5證明函數(shù)的單調(diào)性例8設(shè)函數(shù)在上連續(xù),,試證:在內(nèi),若為非減函數(shù),則為非增函數(shù).證明,對上式求導(dǎo),得利用積分中值定理,得,若為非減函數(shù),則,所以,故為非減函數(shù).綜上所述,積分中值定理在應(yīng)用中所起到的重要作用是可以使積分號去掉,從而使問題簡單化.因此,對于證明有關(guān)題設(shè)中含有某個函數(shù)積分的等式或不等式,或者要證的結(jié)論中含有定積分,或者所求的極限式中含有定積分時,一般應(yīng)考慮使用積分中值定理,去掉積分號.在使用該定理時,常與微分中值定理或定積分的其他一些性質(zhì)結(jié)合使用,是所求問題迎刃而解.參考文獻[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].北京:高等教育出版社,2001.217-219.[2]張筑生.數(shù)學(xué)分析新講[M].北京:北京大學(xué)出版社,1990.92-95.[3]劉鴻基.數(shù)學(xué)分析習(xí)題講義[M].江蘇:中國礦業(yè)大學(xué)出版社,1999.85-92.[4]李惜雯.數(shù)學(xué)分析例題解析及難點注釋[M].西安:西安交通大學(xué)出版社,2004.311-313.[5]吳炯圻.數(shù)學(xué)專業(yè)英語[M].第二版.北京:高等教育出版社,2009.285-309.[6]W.Rmdin,PrincipleofMathematicalAnalysis（Secondedition）,McGraw-Hill,NewYork,1964.96-102.MeanValueTheoreminMathematicalAnalysisAbstract:Thispaperdescribesthemeanvaluetheoreminmathematicalanalysisapplicationnoteandafewofthemajorapplications.Theseapplicationsaremainly:1.Demandfunctioninanintervalontheaverage;2.Theestimatedvalueofdefiniteintegral;3.Ordertocontainthelimitsofdefiniteintegrals;4.Defineintegralofsymbol;5.Proofoftheexistenceofth