山西省長(zhǎng)治市潞州區(qū)2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（含解析）

2023～2024學(xué)年第一學(xué)期九年級(jí)期中質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試卷（華師大版）注意事項(xiàng)：1．本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分．全卷共6頁(yè)，滿分120分，考試時(shí)間120分鐘．2．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在本試卷相應(yīng)的位置，3．答案全部在答題卡上完成，答在本試卷上無(wú)效．4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．第Ⅰ卷選擇題（共30分）一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)選出并在答題卡上將該選項(xiàng)涂黑）1．若二次根式有意義，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．下列二次根式中，屬于最簡(jiǎn)二次根式的是（）A． B． C． D．3．如圖，與關(guān)于點(diǎn)位似，且相似比為，則與的比為（

）A． B． C． D．4．若，則的值為(

)A． B．3 C．4 D．5．如圖，，直線，與這三條平行線分別交于點(diǎn)A，C，F(xiàn)和點(diǎn)B，D，E．若，則的值為（

）A． B． C． D．6．一元二次方程的根的情況為（

）A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C．沒(méi)有實(shí)數(shù)根 D．有一個(gè)實(shí)數(shù)根7．如圖，是的中線，E、F分別是，的中點(diǎn)，連結(jié)．若，則的長(zhǎng)為（

）A．4 B．3 C．6 D．58．將關(guān)于x的一元二次方程變形為，就可以將表示為關(guān)于x的一次多項(xiàng)式，也可以將表示為…，從而達(dá)到“降次”的目的，我們將這種方法稱為“降次法”，通過(guò)這種方法可以化簡(jiǎn)次數(shù)較高的代數(shù)式．若，則的值為（

）A．2025 B．2024 C．2023 D．20229．在設(shè)計(jì)人體雕像時(shí)，如果使雕像上部（腰部以上）與雕像下部（腰部以下）的高度比等于雕像下部與雕像全部的高度比，那么就可以增加視覺(jué)美感．若按此比例設(shè)計(jì)一座如圖所示的高度為的雷鋒雕像，則該雕像上部的高度（結(jié)果精確到；參考數(shù)據(jù)：，，）約為（

）A． B． C． D．10．如圖，一張底邊長(zhǎng)為、底邊上的高為的等腰三角形紙片，沿底邊依次從下往上裁剪寬度均為的矩形紙條．若剪得的紙條是一張正方形，則這張正方形紙條是（

）

A．第4張 B．第5張 C．第6張 D．第7張第Ⅱ卷非選擇題（共90分）二、填空題（本大題共5個(gè)小題，每小題3分，共15分．請(qǐng)將答案直接寫在答題卡相應(yīng)的位置）11．計(jì)算：=．12．全世界大約有14000余種蝴蝶，大部分分布在美洲，尤其在亞馬孫河流域品種最多，在世界其他地區(qū)除了南北極寒冷地帶以外都有分布．如圖是一只蝴蝶標(biāo)本，將其放在適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，若翅膀兩端B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，則蝴蝶“尾部”點(diǎn)A的坐標(biāo)為．13．如圖，某景區(qū)計(jì)劃在一塊長(zhǎng)、寬的矩形空地上修建一個(gè)停車場(chǎng)，在停車場(chǎng)中修建四塊大小相同的矩形停車區(qū)域，使停車區(qū)域的面積之和為．若四塊停車區(qū)域之間以及周邊留有寬度相同的行車通道，則行車通道的寬度為多少？設(shè)行車通道的寬度為，根據(jù)題意可列方程為．14．如圖，在中，是邊上一點(diǎn)，連結(jié)．若，，，的面積為，則的面積為．

15．如圖，在中，D是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連結(jié)．若，，則的長(zhǎng)為．

三、解答題（本大題共8個(gè)小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）16．計(jì)算：(1)；(2)17．解下列方程：(1)；（用配方法求解）(2)18．在平面直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，．(1)畫出于y軸對(duì)稱的，并直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．(2)畫出以點(diǎn)為位似中心，相似比為的，并直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．19．閱讀材料，并回答下列問(wèn)題觀察方程及其根的特征：①方程的根是，；方程的根是，．②方程的根是，方程的根是，．……猜想：方程的根與方程的根之間的關(guān)系是．(1)請(qǐng)你證明材料中的猜想(2)依照材料中的解題方法，解方程：．20．如圖，在中，過(guò)點(diǎn)的直線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，分別交，于點(diǎn)，．(1)若，，，求的長(zhǎng)．(2)在（1）的條件下，若，求的長(zhǎng)．21．近年來(lái)，電商直播帶貨成了一個(gè)火熱的職業(yè)．某電商在抖音平臺(tái)上對(duì)一款成本為60元/件的服裝進(jìn)行直播銷售，如果按每件100元銷售，那么每天可售出20件．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件服裝降價(jià)1元，那么平均每天可多售出2件，設(shè)每件服裝降價(jià)x元（降價(jià)后不得低于成本）．(1)平均每天銷售量增加件，每件服裝盈利元．（用含x的代數(shù)式表示）(2)當(dāng)每件服裝降價(jià)多少元時(shí)，商家平均每天能盈利1200元？(3)商家平均每天盈利能達(dá)到1350元嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．22．鸛雀樓（如圖1）位于山西省永濟(jì)市蒲州古城西面的黃河?xùn)|岸，始建于北周時(shí)期，是現(xiàn)存最大的仿唐建筑．某校數(shù)學(xué)興趣小組決定采用我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽利用影子對(duì)物體進(jìn)行測(cè)量的原理，來(lái)測(cè)量鸛雀樓的高度．如圖2，該小組成員選取與底端B在同一水平地面上的E，G兩點(diǎn)，分別垂直地面豎立兩根高為的標(biāo)桿和，兩標(biāo)桿間隔約為．從標(biāo)桿后退到點(diǎn)D處（即），從點(diǎn)D處觀察頂端A處，使A，F(xiàn)，D三點(diǎn)共線；從標(biāo)桿后退到點(diǎn)C處（即），從點(diǎn)C處觀察頂端A處，使A，H，C三點(diǎn)共線，其中點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H均在同一平面內(nèi)．請(qǐng)根據(jù)上述測(cè)量數(shù)據(jù)，求鸛雀樓的高度．23．綜合與實(shí)踐問(wèn)題情境：在“綜合與實(shí)踐”課上，老師提出如下問(wèn)題：如圖，在矩形紙片中，，，將矩形紙片沿對(duì)角線剪開(kāi)，得到兩個(gè)全等的直角三角形紙片和，將固定不動(dòng)，繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定角度，得到，其中點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)．如圖，當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，連結(jié)，求的長(zhǎng)．?dāng)?shù)學(xué)思考：（1）請(qǐng)你解答老師提出的問(wèn)題．深入探究：（2）老師將圖2中的繞點(diǎn)C繼續(xù)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，讓同學(xué)們提出新的問(wèn)題①“善思小組”提出問(wèn)題：如圖3，當(dāng)點(diǎn)落在的延長(zhǎng)線上時(shí)，連結(jié)，求的長(zhǎng)；②“智慧小組”提出問(wèn)題：如圖4，當(dāng)點(diǎn)落在的延長(zhǎng)線上時(shí)，連結(jié)，求的長(zhǎng)．參考答案與解析1．A【分析】根據(jù)被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)求解即可．【詳解】解：∵二次根式有意義，∴，解得：．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式有意義的條件．掌握被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)是解題關(guān)鍵．2．C【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的概念判斷即可．【詳解】解：A、，不是最簡(jiǎn)二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；B、，不是最簡(jiǎn)二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；C、是最簡(jiǎn)二次根式，故本選項(xiàng)符合題意；D、，不是最簡(jiǎn)二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是最簡(jiǎn)二次根式的概念，被開(kāi)方數(shù)不含分母、被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式．3．A【分析】本題考查了位似三角形的性質(zhì)，根據(jù)相似比為，即可求解．【詳解】解：∵與位似，點(diǎn)是它們的位似中心，且相似比為，∴，故選：A．4．B【分析】本題考查了比例的性質(zhì)；利用比例的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【詳解】解：，，，，，故選：B．5．D【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理，熟練掌握平行線分線段成比例定理是解題關(guān)鍵．根據(jù)平行線分線段成比例定理可得，由此即可得．【詳解】解：，，，，故選：D．6．C【分析】本題考查一元二次方程根的情況，直接利用根的判別式判斷即可．【詳解】解：∵∴一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.故選：C．7．B【分析】根據(jù)三角形的中線的概念求出，根據(jù)三角形中位線定理計(jì)算即可．【詳解】解：∵是的中線，，∴，∵E、F分別是，的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形中位線定理，熟記三角形中位線等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．8．B【分析】此題考查一元二次方程，整體代入法：根據(jù)方程變形得到，，仿照已知整體代入化簡(jiǎn)即可得到答案，正確理解整體代入法達(dá)到降次解方程的目的是解題的關(guān)鍵．【詳解】∵，∴，，∴故選：B．9．C【分析】本題主要考查了黃金分割，設(shè)該雕像上部的高度為，則雕像下部的高度為，根據(jù)題意列出方程，解方程即可得到答案．【詳解】解：設(shè)該雕像上部的高度為，則雕像下部的高度為，由題意得，，∴，∴，解得或，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，∴，∴該雕像上部的高度約為，故選C．10．C【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)．設(shè)剪得正方形紙條是第張，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得到，從而求出的值，即可得到答案．掌握相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例是解題關(guān)鍵．【詳解】解：字母標(biāo)注如圖，由題意可知，，，，設(shè)剪得正方形紙條是第張，，，，，解得：，即剪得正方形紙條是第張，故選：C．

11．．【詳解】解：=；故答案為．點(diǎn)睛：此題考查了二次根式的乘法，掌握二次根式的運(yùn)算法則：乘法法則是本題的關(guān)鍵．12．【分析】根據(jù)翅膀兩端B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，建立平面直角坐標(biāo)系求解即可．【詳解】解：由題意得蝴蝶“尾部”點(diǎn)A的坐標(biāo)為．故答案案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平面直角坐標(biāo)系的應(yīng)用，根據(jù)題意建立坐標(biāo)系是解答本題的關(guān)鍵．13．【分析】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)據(jù)停車區(qū)域面積之和為拼起來(lái)矩形的面積，列出一元二次方程，然后求解即可，根據(jù)題意列出一元二次方程是解答本題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)題意，可得，故答案為：．14．【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)：首先證明，得，從而，即可得出答案．【詳解】解：，，，，，的面積為，，故答案為：．15．##【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理，作，先證，求出，再證求出，進(jìn)而求出，根據(jù)勾股定理求出結(jié)論即可，添加輔助線構(gòu)造相似三角形是解題關(guān)鍵．【詳解】解：作，垂足分別為F、M、N，

在中，，，，，，，，，是的中點(diǎn)，，，，，，，，，，四邊形是矩形，，，，在中，，故答案為：．16．(1)(2)【分析】本題考查了二次根式的運(yùn)算，（1）先化簡(jiǎn)二次根式，再加減即可；（2）先運(yùn)用乘法公式進(jìn)行計(jì)算，再加減即可．解題關(guān)鍵是熟記二次根式運(yùn)算法則，準(zhǔn)確應(yīng)用公式進(jìn)行計(jì)算．【詳解】（1）．（2）．17．(1)，(2)，【分析】本題考查了解一元二次方程，（1）利用配方法，即可解答；（2）利用公式法，即可解答；選擇合適的方法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵。【詳解】（1）解：，化為，配方，得，即直接開(kāi)平方，得所以，；（2）解：由方程可得：，，，，所以所以，．18．(1)作圖見(jiàn)解析，點(diǎn)的坐標(biāo)為(2)作圖見(jiàn)解析，點(diǎn)的坐標(biāo)為或【分析】本題考查了圖形的變換，熟練掌握軸對(duì)稱和位似是解題的關(guān)鍵，分別根據(jù)點(diǎn)、、的坐標(biāo)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)、、的坐標(biāo)，連接各點(diǎn)即可得到，可直接得到點(diǎn)的坐標(biāo)；根據(jù)位似的定義，以的相似比分別找到點(diǎn)、、的坐標(biāo)，連接各點(diǎn)即可得到，同時(shí)可得點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．（2）解：如圖所示，即為求，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或．19．(1)見(jiàn)解析(2)，【分析】本題考查了解一元二次方程；（1）求根公式，得方程的根是，方程的根是，即可得出，即可得證；（2）解方程，然后根據(jù)（1）的結(jié)論即可求解．【詳解】（1）證明：根據(jù)求根公式，得方程的根是，方程的根是

∵，∴，即．（2）解：根據(jù)材料，得方程的根與方程的根之間的關(guān)系是∵解方程，得，，∴方程的根是，20．(1)(2)【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理；（1）根據(jù)平行四邊形和平行線的性質(zhì)，證明△ADG∽△ECG，由相似三角形的性質(zhì)可得，即可求解；（2）勾股定理求得，由（1），得．得出，證明，得出，即可求解．【詳解】（1）解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，．∴，∴∴，即

解得（2）∵，∴由（1），得．∴，即．解得．∵，∴，．∴∴，即．解得．∴．21．(1)，(2)當(dāng)每件服裝降價(jià)10元或20元時(shí)，商家平均每天能盈利1200元(3)不能，理由見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，一元二次方程的根的判別式的應(yīng)用．（1）根據(jù)題意直接列出代數(shù)式即可；（2）根據(jù)題意直接列出方程，解方程即可求解；（3）根據(jù)題意直接列出方程，根據(jù)方程的根的情況即可判斷．【詳解】（1）根據(jù)題意有：平均每天銷售量增加件，每件服裝盈利元，故答案為：，；（2）根據(jù)題意，得．解得，．經(jīng)檢驗(yàn)，或均符合本題要求．答：當(dāng)每件服裝降價(jià)10元或20元時(shí)，商家平均每天能盈利1200元（3）不能理由：根據(jù)題意，得．化簡(jiǎn)，得．∵，∴方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，∴商家平均每天盈利不能達(dá)到1350元．22．鸛雀樓的高度約為【分析】本題考查了相似三角形判定與性質(zhì)的應(yīng)用，設(shè)，則，，首先證明，得到，同理可證，得到，從而，即可求出最后結(jié)果．【詳解】解：設(shè)，則，，∵，，∴，又∵，∴，∴，即，同理，得，∴，即，∴，解得．∴．答：鸛雀樓的高度約為．23．（1）；（2）①；②【分析】（1）根據(jù)矩形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得，根據(jù)勾股定理可得；（2）①當(dāng)點(diǎn)落在的延長(zhǎng)線上時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，得四邊形是矩形，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得，，求出，，根據(jù)勾股定理可得的長(zhǎng)；②連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，證明，再證明，得，，，根據(jù)勾股定理可得的長(zhǎng)．