3.2.1單調(diào)性與最大(小)值(1)課件高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版

第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)3.2函數(shù)的基本性質(zhì)3.2.1單調(diào)性與最大(小)值(1)內(nèi)容索引學(xué)習(xí)目標(biāo)活動(dòng)方案檢測(cè)反饋學(xué)習(xí)目標(biāo)1.借助函數(shù)圖象，會(huì)用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性，理解它們的作用和實(shí)際意義．2.掌握增(減)函數(shù)的證明和判斷，學(xué)會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì)．3.能利用函數(shù)圖象劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.活動(dòng)方案函數(shù)是描述事物運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型．如果了解了函數(shù)的變化規(guī)律，那么也就掌握了相應(yīng)事物的變化規(guī)律．因此研究函數(shù)的性質(zhì)是非常重要的．在初中，我們利用函數(shù)圖象研究過(guò)函數(shù)值隨自變量的增大而增大(或減小)的性質(zhì)，這一性質(zhì)叫作函數(shù)的單調(diào)性．下面進(jìn)一步用符號(hào)語(yǔ)言刻畫(huà)這種性質(zhì)．活動(dòng)一探究增函數(shù)、減函數(shù)、單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間的概念先研究二次函數(shù)f(x)＝x2的單調(diào)性．畫(huà)出它的圖象(如圖)，可以看到：

圖象在y軸左側(cè)部分從左到右是下降的，也就是說(shuō)，當(dāng)x≤0時(shí)，y隨x的增大而減?。粓D象在y軸右側(cè)部分從左到右是上升的，也就是說(shuō)，當(dāng)x≥0時(shí)，y隨x的增大而增大．思考1???請(qǐng)你用符號(hào)語(yǔ)言描述上述單調(diào)性？思考2???函數(shù)f(x)＝|x|，f(x)＝－x2各有怎樣的單調(diào)性？

【解析】

f(x)＝|x|在區(qū)間(－∞，0]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞增；f(x)＝－x2在區(qū)間(－∞，0]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞減．1.增函數(shù)、減函數(shù)的概念一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，區(qū)間I?D：如果?x1，x2∈I，當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f(x1)＜f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增(如圖1)．特別地，當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞增時(shí)，我們就稱它是增函數(shù)．如果?x1，x2∈I，當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f(x1)＞f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞減(如圖2)．特別地，當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞減時(shí)，我們就稱它是減函數(shù)．

2.函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說(shuō)函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間I叫作y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．思考3???(1)設(shè)A是區(qū)間I上某些自變量的值組成的集合，而且?x1,x2∈A，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)，我們能說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增嗎？你能舉例說(shuō)明嗎？(2)函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而言的，你能舉出在整個(gè)定義域內(nèi)是單調(diào)遞增的函數(shù)例子嗎？你能舉出在定義域內(nèi)的某些區(qū)間上單調(diào)遞增，但在另一些區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)例子嗎？【解析】

函數(shù)f(x)＝x在區(qū)間(－∞，＋∞)上是單調(diào)遞增的．f(x)＝x2在區(qū)間(－∞，0]上是單調(diào)遞減，在區(qū)間[0，＋∞)上是單調(diào)遞增的．例

1畫(huà)出下列函數(shù)的圖象，并寫(xiě)出單調(diào)區(qū)間：(1)y＝－x2＋2；活動(dòng)二探究函數(shù)的單調(diào)性【解析】

函數(shù)圖象如圖，增區(qū)間為(－∞，0]，減區(qū)間為[0，＋∞)．【解析】

函數(shù)圖象如圖，(－∞，0)和(0，＋∞)是兩個(gè)減區(qū)間．例

2根據(jù)定義，

研究函數(shù)f(x)＝kx＋b(k≠0)的單調(diào)性．畫(huà)出函數(shù)y＝|－x2＋2|的圖象，并寫(xiě)出單調(diào)區(qū)間．函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，單調(diào)區(qū)間是定義域的子集；當(dāng)函數(shù)出現(xiàn)兩個(gè)以上單調(diào)區(qū)間時(shí)，單調(diào)區(qū)間之間可用“，”分開(kāi)，可以用“和”來(lái)表示，不能用“∪”；在單調(diào)區(qū)間I上的函數(shù)要么是增函數(shù)，要么是減函數(shù)，不能二者兼有．活動(dòng)三探究函數(shù)單調(diào)性的證明方法①當(dāng)x1，x2∈(－1,1)，即|x1|<1，|x2|<1時(shí)，|x1x2|<1，所以x1x2<1，即1－x1x2>0，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，所以f(x)單調(diào)遞增．②當(dāng)x1，x2∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)時(shí)，1－x1x2<0，所以f(x1)>f(x2)，所以f(x)單調(diào)遞減．綜上所述，f(x)在區(qū)間(－1,1)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(－∞，－1]和[1，＋∞)上單調(diào)遞減．運(yùn)用定義判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，應(yīng)在函數(shù)的定義域內(nèi)給定的區(qū)間I上任意取x1，x2且在x1<x2的條件下，轉(zhuǎn)化為確定f(x1)與f(x2)的大小，要牢記五大步驟：(1)取值：任取x1，x2∈I，且x1<x2；(2)作差：f(x1)－f(x2)；(3)變形：通常通過(guò)因式分解、配方或通分等途徑將結(jié)果化為積或商的形式；(4)定號(hào)：判斷f(x1)－f(x2)的正負(fù)；(5)小結(jié)：指出函數(shù)f(x)在給定區(qū)間I上的單調(diào)性．例

4設(shè)a為實(shí)數(shù)，已知函數(shù)y＝f(x)在定義域R上是減函數(shù)，且f(1－a)<f(2a－1)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．活動(dòng)四探究函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用函數(shù)f(x)＝x2－3mx＋n在區(qū)間[－2，＋∞)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)取值范圍的兩種方法：(1)利用單調(diào)性的定義：例如，由f(x1)>f(x2)結(jié)合單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為x1與x2的大小關(guān)系．(2)利用函數(shù)的特征：例如，二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間被對(duì)稱軸一分為二，根據(jù)對(duì)稱軸相對(duì)于所給單調(diào)區(qū)間的位置求參數(shù)的取值范圍．例

6已知函數(shù)f(x)對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>1.求證：函數(shù)f(x)是增函數(shù)．活動(dòng)五抽象函數(shù)的單調(diào)性的證明【解析】

設(shè)x1＜x2，則x2－x1＞0，所以f(x2－x1)>1，即f(x2－x1)－1>0.因?yàn)閒(x2)＝f[x1＋(x2－x1)]＝f(x1)＋f(x2－x1)－1>f(x1)，所以f(x)是增函數(shù)．因?yàn)槌橄蠛瘮?shù)不知道解析式，所以不能代入求f(x1)－f(x2)，但可以借助題目提供的函數(shù)性質(zhì)來(lái)確定f(x1)與f(x2)的大小，這時(shí)就要根據(jù)解題需要對(duì)抽象函數(shù)進(jìn)行賦值．檢測(cè)反饋245131.(2023·吉林田家炳高級(jí)中學(xué)高一期末)已知函數(shù)f(x)＝x2＋kx－1在區(qū)間[1,2]上是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(

)A.(－∞，－2]∪[－1，＋∞) B.[－4，－2]C.(－∞，－4]∪[－2，＋∞) D.[－2，－1]【答案】C245132.(2022·重慶第十一中學(xué)高三階段練習(xí))已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且對(duì)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)a，b都有(a－b)[f(b)－f(a)]>0，則不等式f(3x－1)<f(x＋5)的解集為(

)A.(－∞，3) B.(3，＋∞)C.(－∞，2) D.(2，＋∞)【解析】

任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)a≠b，因?yàn)?a－b)[f(b)－f(a)]>0，所以a－b與f(a)－f(b)異號(hào)，故f(x)是R上的減函數(shù)，原不等式f(3x－1)<f(x＋5)等價(jià)于3x－1>x＋5，解得x>3.【答案】B24533.(多選)(2022·常熟中學(xué)高一期中)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，對(duì)任意的x1<x2，都有f(x1)－f(x2)<x1－x2，f(3)＝4，則下列結(jié)論中正確的有(

)A.f(x)為增函數(shù)

B.g(x)＝f(x)－x為增函數(shù)C.f(2x－1)>4的解集為(－∞，2) D.f(2x－1)>2x的解集為(2，＋∞)124531【解析】

對(duì)于A，對(duì)任意的x1<x2，則x1－x2<0，都有f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，可知f(x)為增函數(shù)，故A正確；對(duì)于B，對(duì)任意的x1<x2，都有f(x1)－f(x2)<x1－x2，即f(x1)－x1<f(x2)－x2，令g(x)＝f(x)－x，可知g(x)為增函數(shù)，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)閒(3)＝4，所以f(2x－1)>4等價(jià)于f(2x－1)>f(3)．又f(x)為增函數(shù)，所以2x－1>3，解得x>2，所以f(2x－1)>4的解集為(2，＋∞)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，f(2x－1)>2x等價(jià)于f(2x－1)－(2x－1)>1＝f(3)－3，即g(2x－1)>g(3)．又g(x)為增函數(shù)，所以2