2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（文科）（新課標Ⅲ）含解析

2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（文科）（新課標Ⅲ）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則A∩B中元素個數(shù)為（）A.2 B.3 C.4 D.52.若，則z=（）A.1–i B.1+i C.–i D.i3.設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為0.01，則數(shù)據(jù)10x1，10x2，…，10xn的方差為（）A0.01 B.0.1 C.1 D.104.Logistic模型是常用數(shù)學模型之一，可應用于流行病學領(lǐng)域．有學者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計確診病例數(shù)I(t)(t的單位：天)的Logistic模型：，其中K為最大確診病例數(shù)．當I()=0.95K時，標志著已初步遏制疫情，則約為（）（ln19≈3）A.60 B.63 C.66 D.695.已知，則（）A B. C. D.6.在平面內(nèi)，A，B是兩個定點，C是動點，若，則點C的軌跡為（）A.圓 B.橢圓 C.拋物線 D.直線7.設(shè)為坐標原點，直線與拋物線C：交于，兩點，若，則的焦點坐標為（）A B. C. D.8.點(0，﹣1)到直線距離的最大值為（）A.1 B. C. D.29.下圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是（）A.6+4 B.4+4 C.6+2 D.4+210.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.11.在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，則tanB=（）A. B.2 C.4 D.812.已知函數(shù)f(x)=sinx+，則（）A.f(x)的最小值為2 B.f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱C.f(x)的圖象關(guān)于直線對稱 D.f(x)的圖象關(guān)于直線對稱二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若x，y滿足約束條件，則z=3x+2y的最大值為_________．14.設(shè)雙曲線C：(a>0，b>0)的一條漸近線為y=x，則C的離心率為_________．15.設(shè)函數(shù)．若，則a=_________．16.已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為_________．三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.設(shè)等比數(shù)列{an}滿足，．（1）求{an}的通項公式；（2）記為數(shù)列{log3an}的前n項和．若，求m．18.某學生興趣小組隨機調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級和當天到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表（單位：天）：鍛煉人次空氣質(zhì)量等級[0，200](200，400](400，600]1（優(yōu)）216252（良）510123（輕度污染）6784（中度污染）720（1）分別估計該市一天的空氣質(zhì)量等級為1，2，3，4的概率；（2）求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；（3）若某天的空氣質(zhì)量等級為1或2，則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級為3或4，則稱這天“空氣質(zhì)量不好”．根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當天的空氣質(zhì)量有關(guān)？人次≤400人次>400空氣質(zhì)量好空氣質(zhì)量不好附：，P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.82819.如圖，在長方體中，點，分別在棱，上，且，．證明：（1）當時，；（2）點在平面內(nèi)．20.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若有三個零點，求的取值范圍．21.已知橢圓的離心率為，，分別為的左、右頂點．（1）求的方程；（2）若點在上，點在直線上，且，，求的面積．（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]22.在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)且t≠1)，C與坐標軸交于A，B兩點.（1）求||：（2）以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求直線AB的極坐標方程.[選修4-5：不等式選講]23.設(shè)a，b，cR，a+b+c=0，abc=1．（1）證明：ab+bc+ca<0；（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，證明：max{a，b，c}≥．

2020年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名和準考證號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則A∩B中元素的個數(shù)為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】采用列舉法列舉出中元素的即可.【詳解】由題意，，故中元素的個數(shù)為3.故選：B【點晴】本題主要考查集合的交集運算，考查學生對交集定義的理解，是一道容易題.2.若，則z=（）A.1–i B.1+i C.–i D.i【答案】D【解析】【分析】先利用除法運算求得，再利用共軛復數(shù)的概念得到即可.【詳解】因為，所以.故選：D【點晴】本題主要考查復數(shù)的除法運算，涉及到共軛復數(shù)的概念，是一道基礎(chǔ)題.3.設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為0.01，則數(shù)據(jù)10x1，10x2，…，10xn的方差為（）A.0.01 B.0.1 C.1 D.10【答案】C【解析】【分析】根據(jù)新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)關(guān)系確定方差關(guān)系，即得結(jié)果.【詳解】因為數(shù)據(jù)的方差是數(shù)據(jù)的方差的倍，所以所求數(shù)據(jù)方差為故選：C【點睛】本題考查方差，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.4.Logistic模型是常用數(shù)學模型之一，可應用于流行病學領(lǐng)域．有學者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計確診病例數(shù)I(t)(t的單位：天)的Logistic模型：，其中K為最大確診病例數(shù)．當I()=0.95K時，標志著已初步遏制疫情，則約為（）（ln19≈3）A.60 B.63 C.66 D.69【答案】C【解析】【分析】將代入函數(shù)結(jié)合求得即可得解.【詳解】，所以，則，所以，，解得.故選：C.【點睛】本題考查對數(shù)的運算，考查指數(shù)與對數(shù)的互化，考查計算能力，屬于中等題.5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將所給的三角函數(shù)式展開變形，然后再逆用兩角和的正弦公式即可求得三角函數(shù)式的值.【詳解】由題意可得：，則：，，從而有：，即.故選：B.【點睛】本題主要考查兩角和與差的正余弦公式及其應用，屬于中等題.6.在平面內(nèi)，A，B是兩個定點，C是動點，若，則點C的軌跡為（）A.圓 B.橢圓 C.拋物線 D.直線【答案】A【解析】【分析】首先建立平面直角坐標系，然后結(jié)合數(shù)量積的定義求解其軌跡方程即可.【詳解】設(shè)，以AB中點為坐標原點建立如圖所示的平面直角坐標系，則：，設(shè)，可得：，從而：，結(jié)合題意可得：，整理可得：，即點C的軌跡是以AB中點為圓心，為半徑的圓.故選：A.【點睛】本題主要考查平面向量及其數(shù)量積的坐標運算，軌跡方程的求解等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.7.設(shè)為坐標原點，直線與拋物線C：交于，兩點，若，則的焦點坐標為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題中所給的條件，結(jié)合拋物線的對稱性，可知，從而可以確定出點的坐標，代入方程求得的值，進而求得其焦點坐標，得到結(jié)果.【詳解】因為直線與拋物線交于兩點，且，根據(jù)拋物線的對稱性可以確定，所以，代入拋物線方程，求得，所以其焦點坐標，故選：B.【點睛】該題考查的是有關(guān)圓錐曲線的問題，涉及到的知識點有直線與拋物線的交點，拋物線的對稱性，點在拋物線上的條件，拋物線的焦點坐標，屬于簡單題目.8.點(0，﹣1)到直線距離的最大值為（）A.1 B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】首先根據(jù)直線方程判斷出直線過定點，設(shè)，當直線與垂直時，點到直線距離最大，即可求得結(jié)果.【詳解】由可知直線過定點，設(shè)，當直線與垂直時，點到直線距離最大，即為.故選：B.【點睛】該題考查的是有關(guān)解析幾何初步的問題，涉及到的知識點有直線過定點問題，利用幾何性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.9.下圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是（）A.6+4 B.4+4 C.6+2 D.4+2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三視圖特征，在正方體中截取出符合題意的立體圖形，求出每個面的面積，即可求得其表面積.【詳解】根據(jù)三視圖特征，在正方體中截取出符合題意的立體圖形根據(jù)立體圖形可得：根據(jù)勾股定理可得：是邊長為的等邊三角形根據(jù)三角形面積公式可得：該幾何體的表面積是：.故選：C.【點睛】本題主要考查了根據(jù)三視圖求立體圖形的表面積問題，解題關(guān)鍵是掌握根據(jù)三視圖畫出立體圖形，考查了分析能力和空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.10.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分別將,改寫為，，再利用單調(diào)性比較即可.【詳解】因為，，所以.故選：A.【點晴】本題考查對數(shù)式大小的比較，考查學生轉(zhuǎn)化與化歸的思想，是一道中檔題.11.在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，則tanB=（）A. B.2 C.4 D.8【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)余弦定理求，再根據(jù)余弦定理求，最后根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求【詳解】設(shè)故選：C【點睛】本題考查余弦定理以及同角三角函數(shù)關(guān)系，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.12.已知函數(shù)f(x)=sinx+，則（）A.f(x)的最小值為2 B.f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱C.f(x)的圖象關(guān)于直線對稱 D.f(x)的圖象關(guān)于直線對稱【答案】D【解析】【分析】根據(jù)基本不等式使用條件可判斷A;根據(jù)奇偶性可判斷B;根據(jù)對稱性判斷C,D.【詳解】可以為負，所以A錯；關(guān)于原點對稱；故B錯；關(guān)于直線對稱，故C錯，D對故選：D【點睛】本題考查函數(shù)定義域與最值、奇偶性、對稱性，考查基本分析判斷能力，屬中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若x，y滿足約束條件，則z=3x+2y的最大值為_________．【答案】7【解析】【分析】作出可行域，利用截距的幾何意義解決.【詳解】不等式組所表示的可行域如圖因為，所以，易知截距越大，則越大，平移直線，當經(jīng)過A點時截距最大，此時z最大，由，得，，所以.故答案為：7.【點晴】本題主要考查簡單線性規(guī)劃的應用，涉及到求線性目標函數(shù)的最大值，考查學生數(shù)形結(jié)合的思想，是一道容易題.14.設(shè)雙曲線C：(a>0，b>0)的一條漸近線為y=x，則C的離心率為_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知可得，結(jié)合雙曲線中的關(guān)系，即可求解.【詳解】由雙曲線方程可得其焦點在軸上，因為其一條漸近線為，所以，.故答案為：【點睛】本題考查的是有關(guān)雙曲線性質(zhì)，利用漸近線方程與離心率關(guān)系是解題的關(guān)鍵，要注意判斷焦點所在位置，屬于基礎(chǔ)題.15.設(shè)函數(shù)．若，則a=_________．【答案】1【解析】【分析】由題意首先求得導函數(shù)的解析式，然后得到關(guān)于實數(shù)a的方程，解方程即可確定實數(shù)a的值【詳解】由函數(shù)的解析式可得：，則：，據(jù)此可得：，整理可得：，解得：.故答案為：.【點睛】本題主要考查導數(shù)的運算法則，導數(shù)的計算，方程的數(shù)學思想等知識，屬于中等題.16.已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為_________．【答案】【解析】【分析】將原問題轉(zhuǎn)化為求解圓錐內(nèi)切球的問題，然后結(jié)合截面確定其半徑即可確定體積的值.【詳解】易知半徑最大球為圓錐的內(nèi)切球，球與圓錐內(nèi)切時的軸截面如圖所示，其中，且點M為BC邊上的中點，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為，由于，故，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則：，解得：，其體積：.故答案為：.【點睛】與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時要認真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑.三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.設(shè)等比數(shù)列{an}滿足，．（1）求{an}的通項公式；（2）記為數(shù)列{log3an}的前n項和．若，求m．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意，列出方程組，求得首項和公比，進而求得通項公式；（2）由（1）求出的通項公式，利用等差數(shù)列求和公式求得，根據(jù)已知列出關(guān)于的等量關(guān)系式，求得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意，有，解得，所以；（2）令，所以，根據(jù)，可得，整理得，因為，所以，【點睛】本題考查等比數(shù)列通項公式基本量的計算，以及等差數(shù)列求和公式的應用，考查計算求解能力，屬于基礎(chǔ)題目.18.某學生興趣小組隨機調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級和當天到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表（單位：天）：鍛煉人次空氣質(zhì)量等級[0，200](200，400](400，600]1（優(yōu)）216252（良）510123（輕度污染）6784（中度污染）720（1）分別估計該市一天的空氣質(zhì)量等級為1，2，3，4的概率；（2）求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；（3）若某天的空氣質(zhì)量等級為1或2，則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級為3或4，則稱這天“空氣質(zhì)量不好”．根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當天的空氣質(zhì)量有關(guān)？人次≤400人次>400空氣質(zhì)量好空氣質(zhì)量不好附：，P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】（1）該市一天的空氣質(zhì)量等級分別為、、、的概率分別為、、、；（2）；（3）有，理由見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)頻數(shù)分布表可計算出該市一天的空氣質(zhì)量等級分別為、、、的概率；（2）利用每組的中點值乘以頻數(shù)，相加后除以可得結(jié)果；（3）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)完善列聯(lián)表，計算出的觀測值，再結(jié)合臨界值表可得結(jié)論.【詳解】（1）由頻數(shù)分布表可知，該市一天的空氣質(zhì)量等級為的概率為，等級為的概率為，等級為的概率為，等級為的概率為；（2）由頻數(shù)分布表可知，一天中到該公園鍛煉的人次的平均數(shù)為（3）列聯(lián)表如下：人次人次空氣質(zhì)量不好空氣質(zhì)量好，因此，有的把握認為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當天的空氣質(zhì)量有關(guān).【點睛】本題考查利用頻數(shù)分布表計算頻率和平均數(shù)，同時也考查了獨立性檢驗的應用，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題.19.如圖，在長方體中，點，分別在棱，上，且，．證明：（1）當時，；（2）點在平面內(nèi)．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)正方形性質(zhì)得，根據(jù)長方體性質(zhì)得,進而可證平面,即得結(jié)果；（2）只需證明即可，在上取點使得,再通過平行四邊形性質(zhì)進行證明即可.【詳解】（1）因為長方體,所以平面,因為長方體,所以四邊形為正方形因為平面,因此平面,因平面,所以；（2）在上取點使得,連,因為,所以所以四邊形為平行四邊形，因為所以四點共面，所以四邊形為平行四邊形，，所以四點共面，因此在平面內(nèi)【點睛】本題考查線面垂直判定定理、線線平行判定，考查基本分析論證能力，屬中檔題.20.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若有三個零點，求的取值范圍．【答案】（1）詳見解析；(2).【解析】【分析】（1），對分和兩種情況討論即可；（2）有三個零點，由（1）知，且，解不等式組得到的范圍，再利用零點存在性定理加以說明即可.【詳解】（1）由題，，當時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當時，令，得，令，得，令，得或，所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增.（2）由（1）知，有三個零點，則，且即，解得，當時，，且，所以在上有唯一一個零點，同理，，所以在上有唯一一個零點，又在上有唯一一個零點，所以有三個零點，綜上可知的取值范圍為.【點晴】本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及已知零點個數(shù)求參數(shù)的范圍問題，考查學生邏輯推理能力、數(shù)學運算能力，是一道中檔題.21.已知橢圓的離心率為，，分別為的左、右頂點．（1）求的方程；（2）若點在上，點在直線上，且，，求的面積．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）因為，可得，，根據(jù)離心率公式，結(jié)合已知，即可求得答案；（2）點在上，點在直線上，且，，過點作軸垂線，交點為，設(shè)與軸交點為，可得，可求得點坐標，求出直線直線方程，根據(jù)點到直線距離公式和兩點距離公式，即可求得的面積.【詳解】（1），，根據(jù)離心率，解得或(舍)，的方程為：，即；（2）不妨設(shè),在x軸上方點在上，點在直線上，且，，過點作軸垂線，交點為，設(shè)與軸交點為根據(jù)題意畫出圖形，如圖，，，又，，，根據(jù)三角形全等條件“”，可得：，，，，設(shè)點，可得點縱坐標為，將其代入，可得：，解得：或，點為或，①當點為時，故，，，可得：點為，畫出圖象，如圖,，可