2022-2023學(xué)年浙江省溫州市十校聯(lián)合體高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年浙江省溫州市十校聯(lián)合體高二（下）期末數(shù)學(xué)試

卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.集合a={xeN|1og/2-1},集合B={xez=2「4},則448=（）

A.{2}B.{0,1,2}C.{1,2}D.0

2.復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部互為相反數(shù),且滿足z+a=詈,a€R,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的

點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.函數(shù)/（%）=sinx?5三］的大致圖象為（）

4.。+今0-勺5的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為一2,則該展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為（）

A.-40B.-20C.20D.40

5.馮老師教高二4班和5班兩個(gè)班的數(shù)學(xué)，這兩個(gè)班的人數(shù)相等.某次聯(lián)考中，這兩個(gè)班的

數(shù)學(xué)成績(jī)均近似服從正態(tài)分布，其正態(tài)密度函數(shù)〃幻=」_/陪的圖像如圖所示，其中〃

八,V2na

是正態(tài)分布的期望，c是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差，且P（|X-〃|SO=0.6827,P（\X-n\<2a）=

0.9545,「S3（r）=0.9973.關(guān)于這次數(shù)學(xué)考試成績(jī)，下列結(jié)論正確的是（）

98100

A.4班的平均分比5班的平均分高

B.相對(duì)于5班，4班學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)更分散

C.4班108分以上的人數(shù)約占該班總?cè)藬?shù)的4.55%

D.5班112分以上的人數(shù)與4班108分以上的人數(shù)大致相等

6.冬季兩項(xiàng)是冬奧會(huì)的項(xiàng)目之一，是把越野滑雪和射擊兩種不同特點(diǎn)的競(jìng)賽項(xiàng)目結(jié)合在一

起進(jìn)行的運(yùn)動(dòng)，其中冬季兩項(xiàng)男子個(gè)人賽，選手需要攜帶槍支和20發(fā)子彈，每滑行4千米射

擊一輪，共射擊4輪，每輪射擊5次，若每有1發(fā)子彈沒(méi)命中，則被罰時(shí)1分鐘，總用時(shí)最少者

獲勝.已知某男選手在一次比賽中共被罰時(shí)3分鐘，假設(shè)其射擊時(shí)每發(fā)子彈命中的概率都相同，

且每發(fā)子彈是否命中相互獨(dú)立，記事件4為其在前兩輪射擊中沒(méi)有被罰時(shí)，事件B為其在第4輪

射擊中被罰時(shí)2分鐘，那么P(4|B)=()

A，B.lC.lD.|

7.我們知道：y=/(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是y=〃x)為奇函數(shù)，有

同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為:y=/(*)的圖象關(guān)于(a,b)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是y=/(%+

3

a)-b為奇函數(shù).若f(x)=x-3x2的對(duì)稱中心為8，砌，則7(2023)+^(2021)+…+/(3)+

f(-l)+/(-3)+/(-5)+f(-2019)+/(-2021)=()

A.8088B,4044C.-4044D,-2022

8.設(shè)。=焉，b=/nl.09,c=e0.09-l,則下列關(guān)系正確的是()

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求)

9.已知數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為無(wú),且a】=1,3an+1=Sn,則下列命題正確的是()

-1

A.?2=|B.an=(5)"C.Sn=D.S5-S7>Si

10.己知圓C：(x-2)2+(y-3)2=l,點(diǎn)M(4,2),點(diǎn)P在圓C上，。為原點(diǎn)，則下列命題正

確的是()

A.M在圓上

B.線段MP長(zhǎng)度的最大值為一虧+1

C.當(dāng)直線MP與圓C相切時(shí)，|MP|=2

D.麗?麗的最大值為C+6

11.已知/(X)=/一ax+b,a,b為實(shí)數(shù)，則滿足函數(shù)/'(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)的條件是()

A.a=-1>b=2B.a=0,b=2C.a=3,b=-1D.a=3,b=3

12.己知三棱錐4-BCD,BC=AD=<2,其余棱長(zhǎng)均為門(mén)，則下列命題正確的是()

A.該幾何體外接球的表面積為6兀

B.直線AB和CD所成的角的余弦值是看

C.若點(diǎn)M在線段CD上，貝》M+BM最小值為3

D.4到平面BCD的距離是g

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知平面向量?jī)?yōu)b>|a|=1,b=(1,-1).a1(a-b).貝U|N+2B|的值是

14.如圖所示，4c為平面四邊形4BC0的對(duì)角線，設(shè)CD=1,

sinZ-ACD=2sinz.CAD,

△ABC為等邊三角形，則四邊形ABC。的面積的最大值為

15.已知橢圓C：捻+，=l(a>b>0)的左頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓上

的兩點(diǎn)M(XMJM)，NQN/N)分別在第一，第二象限內(nèi)，若AOAN與AOBM的面積相等，且

XM+xN=3b2,則橢圓C的離心率為.

16.函數(shù)y=[x]為數(shù)學(xué)家高斯創(chuàng)造的取整函數(shù)，[幻表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如[0.90]=0,

即99]=1,已知數(shù)列｛即｝滿足a?=3,且0n=n(an+1-an),若與=口gaj則數(shù)列｛4｝的

前2023項(xiàng)和為.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

如圖所示，在棱長(zhǎng)為1的正方體4BCD—4aGD1中E為線段DDi的中點(diǎn).

(1)求證：平面&BD_L平面4CG41；

(2)求4到平面4B1E的距離.

18.(本小題12.0分)

設(shè)公差不為零的等差數(shù)列｛即｝，。3=-1。，為，。2,。5成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛6｝的通項(xiàng)公式；

(2)已知b=一一，數(shù)列｛勾｝的前n項(xiàng)和為右,求使得2Sn<2-1成立的最小正整數(shù)n.

19.(本小題12.0分)

△ABC中，三個(gè)內(nèi)角4,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c且a=2.

⑴若8+。=咨b=Cc,求△力BC內(nèi)切圓的半徑長(zhǎng)；

(2)已知4=2C,sinB=2sinC,求△4BC的面積.

20.(本小題12.0分)

三門(mén)是“中國(guó)青蟹之鄉(xiāng)”，氣候溫暖、港灣平靜、水質(zhì)優(yōu)良，以優(yōu)越的自然環(huán)境成為我國(guó)優(yōu)

質(zhì)青蟹的最佳產(chǎn)區(qū).所產(chǎn)的三門(mén)青蟹具有“金爪、緋鉗、青背、黃肚”的特征，以“殼薄、皆

黃、肉嫩、味美”而著稱，素有“三門(mén)青蟹、橫行世界”之美譽(yù)；且營(yíng)養(yǎng)豐富，內(nèi)含人體所

需的18種氨基酸和蛋白質(zhì)、脂肪、鈣、磷、鐵等營(yíng)養(yǎng)成分，被譽(yù)為“海中黃金，蟹中臻品”.養(yǎng)

殖戶一般把重量超過(guò)350克的青蟹標(biāo)記為4類青蟹.

(1)現(xiàn)有一個(gè)小型養(yǎng)蟹池，已知蟹池中有50只青蟹，其中4類青蟹有7只，若從池中抓了2只青

蟹.用f表示其中4類青蟹的只數(shù)，請(qǐng)寫(xiě)出f的分布列，并求《的數(shù)學(xué)期望E(f):

(2)另有一個(gè)養(yǎng)蟹池，為估計(jì)蟹池中的青蟹數(shù)目N,小王先從中抓了50只青蟹，做好記號(hào)后放

回池中，過(guò)了一段時(shí)間后，再?gòu)闹凶チ?0只青蟹，發(fā)現(xiàn)有記號(hào)的有x只，若x=5,試給出蟹

池中青蟹數(shù)目N的估計(jì)值(以使P(x=5)取得最大值的N為估計(jì)值).

21.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/(x)=xlnx+(2-k)x+2k-3,k€z.

⑴當(dāng)k=2時(shí)，求曲線/(%)在點(diǎn)(ej(e))處的切線方程；

(2)若x>2,總有f(%)>0,求k的最大值.

22.(本小題12.0分)

已知拋物線C：x2=2py(p>0),斜率為1的直線I交C于不同于原點(diǎn)的S,7兩點(diǎn)，點(diǎn)M(2,3)為

線段S7的中點(diǎn).

(1)求拋物線C的方程；

(2)直線y=kx+1與拋物線C交于4B兩點(diǎn)，過(guò)4B分別作拋物線C的切線，「12,設(shè)切線

L的交點(diǎn)為P.

①求證：APAB為直角三角形.

②記APAB的面積為S,求S的最小值，并指出S最小時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo).

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解:4={xeN\logix>_1}={x|0<x<2},

2

B={xGZ\x2<4}={xeZ|-2<%<2]={—2,-1,0,1,2},

則4CB={1,2}.

故選：C.

解出對(duì)數(shù)不等式，一元二次不等式，再找公共元素即可.

本題考查集合的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】B

【解析】解：z+a=f==-2+3i,

1—1皆(1—靄)

故2=-2—a+3i,

???復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，

-2-a+3=0,解得a=l,故z=-3+3i,

???復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(-3,3)位于第二象限.

故選:B.

根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】D

【解析】

【分析】

本題主要考查函數(shù)圖象的識(shí)別和判斷，利用函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱性以及函數(shù)值的符號(hào)是否對(duì)應(yīng),

屬于一般題.

判斷函數(shù)的奇偶性和圖象的對(duì)稱關(guān)系，結(jié)合/(3)的符號(hào)是否對(duì)應(yīng)，進(jìn)行排除即可.

【解答】

解：由題可得，/(乃的定義域?yàn)?一8,-1)1)(1,+8),

—x—1X+1

f(—x)=-sinx-In------r=—sinx-In-----T

r+1x—1

=sinx-Ingi=/(x),

則函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，

排除4C,

/(3)=sinSln^<0,排除B,

故選：D.

4.【答案】A

【解析】解：令x=l,可得(x+?)(x-，的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為(l+a)x(-l)=-2,

解得a=l,則展開(kāi)式即(x+3(x-|)5,

而(x-|)5的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為r+1=C；-(-2)r-x5-2r,

故(x+5(x-；)5的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為黨?(―2尸+Cl?(一2)2=-40.

故選:A.

由題意，先求出a的值，再根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求出(x+；)(x-1)5的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng).

本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，是給變量賦值的問(wèn)題，屬于中檔題.

5.【答案】D

【解析】解：對(duì)于44班的平均分為98分，5班的平均分為100分,

則4班的平均分比5班的平均分低，故A錯(cuò)誤，

對(duì)于8,5班的圖象比4班的圖象更“矮胖”，

則相對(duì)于4班，5班學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)更分散，故2錯(cuò)誤,

對(duì)于C,4班_則o=5,

-I

則P(X>108)=i[l-P(]X-Ml<2a)]=0.02275*4.55%,故C錯(cuò)誤,

對(duì)于。，5班/(%)=3—e-冷亭的最大值為篇，則c=6,

則P(X>112)=|[1-P(|X-Ml<2CT)]=0.02275,

??,兩個(gè)班的人數(shù)相等，

???5班112分以上的人數(shù)與4班108分以上的人數(shù)大致相等.

故選：D.

對(duì)于4B,結(jié)合圖象，即可直接求解，

對(duì)于C,結(jié)合正態(tài)分布的對(duì)稱性，即可求解，

對(duì)于。，結(jié)合正態(tài)分布的對(duì)稱性，以及頻率與頻數(shù)的關(guān)系，即可求解.

本題主要考查正態(tài)分布的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合的能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】C

【解析】解：由題意得P(B)=甥任，PQ4B)=單，

020C20

??.「(力田)=需=鬻+譬1所以C正確?

故選：C.

事件B為前3輪中有一輪中有1發(fā)未中，第4輪射擊中有2發(fā)未中，事件4B是第3輪有1發(fā)未中，第4輪

有2發(fā)未中，然后利用利用條件概率求解.

本題考查條件概率公式，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，令g(x)=/(X+1)+2,M5W=(x+l)3-3(x+l)2+2=x3-3x,

所以9(一x)=—x3+3x=-g(x)，則g(x)為奇函數(shù)，

所以/(x)的圖象關(guān)于(1,一2)對(duì)稱，BP/(X)+/(2-X)=-4,

/(2023)+/(2021)+-+/(3)+/(-I)+/(-3)+/(-5)+/(-2019)+f(-2021)=

/(2023)+/(-2021)+/(2021)+/(-2019)+…...+f(3)+/(-I)=1011x(-4)=-4044.

故選：C.

由己知題意先求出/(x)的對(duì)稱中心，由此可得/(x)+f(2-x)=-4,據(jù)此分析可得答案.

本題考查抽象函數(shù)的性質(zhì)以及應(yīng)用，關(guān)鍵分析/(乃的對(duì)稱中心，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】D

【解析】解：4-7(x)=ex-1-x,(x>0),=ex-l,

???當(dāng)x>0時(shí)，f'(x)>0,

f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

.,.當(dāng)x>0時(shí)，r(x)>/(0)=0,即eX-l>x,

???e009-1>0,09,

令g(%)=ln(l+%)-%,(%N0),??.g'(%)=Y^V0,

???g(%)在(0,+8)單調(diào)遞增，

?,?當(dāng)%>0時(shí)，g(x)<G(0)=0,/.c/.ln(l+%)<%,.,?仇1.03<g(0)=0,(%>0),

Aln(l+%)<%,-lnl.09<0.09,

：?c>b,

令h(x)=ln(l+x)?-稔，(x>0),

,?")=擊-箴=號(hào)

?,?當(dāng)%>0時(shí),"(%)>0,???/i(x)在(0,+8)單調(diào)遞增，

?,?當(dāng)%>0時(shí)，h(x)>h(0)=0,

即皿1+%)>2，

.1、0.09_9

??仇1,09>1+009-荻’

:?b>a,

綜上，c>b>a.

故選：D.

令f(%)=ex—1—x,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到%>0時(shí)，e*—1>%,令g(x)=ln(l+%)—%,(x>

0),判斷出ln(l+%)V%,從而判斷出c>b,令九(%)=ln(l+嗎一言,(%>0),根據(jù)函數(shù)的單

調(diào)性得到ln(l+x)>W，從而判斷出b>a,從而得到答案.

本題考查了函數(shù)的構(gòu)造，函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及數(shù)的大小比較，是難題.

9.【答案】AC

【解析】解：由a1=1,3an+1=Sn...①，可得3a2=S[=%=1,二a2=；,選項(xiàng)A正確；

當(dāng)nN2時(shí)，有3an=Sn_i......②，

1

①一②可得3an+i-3an=Sn-SnT=an,即等=*又因?yàn)?=g口才

(lfn=1

?-an=11,4.n_2,故選項(xiàng)8錯(cuò)誤；

Sn=1+*笠1,故選項(xiàng)C正確；

Ss,S：=()4X?)6=?10,S2=[(1)5]2=?10,

即Ss-S7=S系故選項(xiàng)。錯(cuò)誤.

故選：AC.

由遞推式出發(fā)，找到即+1與即的關(guān)系，得到數(shù)列｛斯｝從第二項(xiàng)起構(gòu)成等比數(shù)列，進(jìn)而計(jì)算其通項(xiàng)

和前幾項(xiàng)和，即可判斷選項(xiàng).

本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式，屬中檔題.

10.【答案】BC

【解析】解：???(4-2)2+(2—3)2=5>1,.?.點(diǎn)M(4,2)在圓C：(x-2產(chǎn)+(y—3/=1外，故A

錯(cuò)誤；

由圓C：(x-2>+⑶-3/=1,可得圓心C(2,3),半徑r=l,

\MC\=J(4一2尸+(2—31=，石，二線段MP長(zhǎng)度的最大值為，石+1,故B正確；

當(dāng)直線MP與圓C相切時(shí)，\\MP\=V\MC\2-r2=V5-1=2,故C正確；

設(shè)P(x,y),則說(shuō)=(一4,_2)，MP=(x-4,y-2),

MO-MP=-4(x-4)-2(y-2)=-4x-2y+20>

設(shè)z=-4x-2y,直線2x—y+z=0與圓C有公共點(diǎn)，

?,>W1，解得114+z|<2\/~5>

v164-411

-2^-14<z<2/3-14，麗,麗的最大值為2/3+20-14=2門(mén)+6.故。錯(cuò)誤；

故選：BC.

根據(jù)圓的性質(zhì)，結(jié)合每個(gè)選項(xiàng)的條件計(jì)算可判斷其正確性.

本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，屬中檔題.

11.【答案】ABD

【解析】解：對(duì)于選項(xiàng)A：當(dāng)a=-l,b-20j,/(%)=x3+x+2,函數(shù)定義域?yàn)镽,

可得((x)=3/+1>。在R上恒成立，

所以/(x)在R上單調(diào)遞增，

當(dāng)XT-8時(shí)，/(X)-?-CO;當(dāng)XT+8時(shí)，/(X)->+a>,且/(%)的圖象連續(xù)不斷，

所以“X)的圖象與X軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，

則此時(shí)/'(X)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，故選項(xiàng)A正確；

對(duì)于選項(xiàng)8：當(dāng)a=0,b=2時(shí)，/(%)=x3+2,函數(shù)定義域?yàn)镽,

可得/'(%)=3%2>0在R上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號(hào)成立，

所以函數(shù)/(%)在R上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，/(%)T-8;當(dāng)XT+8時(shí)，/(%)-?+00,且/(%)的圖象連續(xù)不斷，

所以的圖象與X軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，

則此時(shí)/(X)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，故選項(xiàng)B正確：

對(duì)于選項(xiàng)C：當(dāng)a=3,b=-l時(shí)，/-(%)=x3-3x-l,函數(shù)定義域?yàn)镽,

可得「(無(wú))=3/-3=3(*-1)(%+1),

當(dāng)》<-1時(shí)-，f(x)>0,/(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)一1<X<1時(shí)，f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;

當(dāng)x>1時(shí),f'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增，

所以函數(shù)門(mén)X)在X=-1處取得極大值，極大值/(-1)=1,

在x=l處取得極小值，極小值/'(1)=-3,

當(dāng)XT-8時(shí)，/(%)->-00;當(dāng)X->+8時(shí)，/(%)->4-00,且/'(X)的圖象連續(xù)不斷，

所以/(X)的圖象與X軸有兩個(gè)交點(diǎn)，

則函數(shù)/(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)。：當(dāng)a=3,b=3時(shí)，/(x)=x3-3x+3,函數(shù)定義域?yàn)镽,

可得/'(X)=3x2—3=3(x—l)(x+1),

當(dāng)％<-1時(shí)，f(x)>0,f(*)單調(diào)遞增;

當(dāng)一1<X<1時(shí)，f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)x>l時(shí)，f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,

所以函數(shù)/'(X)在x=-1處取得極大值，極大值/(-I)=5,

在x=l處取得極小值，極小值/(1)=1,

當(dāng)XT-8時(shí)，/(X)-?-00;當(dāng)+8時(shí)，/(%)-?+CO,且/1(X)的圖象連續(xù)不斷，

所以f。)的圖象與％軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，

則此時(shí)/(X)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，故選項(xiàng)。正確.

故選：ABD.

由題意，對(duì)函數(shù)f(x)進(jìn)行求導(dǎo)，對(duì)a20和a<0這兩種情況進(jìn)行分析，當(dāng)aNO時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)

遞增，有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a<0時(shí)，結(jié)合選項(xiàng)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到函數(shù)f(x)的單調(diào)性和

極值，比較極小值與0的大小即可求解.

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性和極值以及零點(diǎn)問(wèn)題，考查了邏輯推理和分析、運(yùn)算能力.

12.【答案】ACD

【解析】解：對(duì)于4如圖，三棱錐4一8。。放入長(zhǎng)方體47￡77-后。尸8中,

三棱錐4-BCD各棱長(zhǎng)為其面的對(duì)角線，

（AH2+AN2=AC2=5,4*2

由題意可得4E2+4N2=/W2=2,解得＞

，夕-IAE=AN=1

14H2+AE2_AB2=5

所以長(zhǎng)方體ANC"-EDFB的對(duì)角線長(zhǎng)為V4H2+4N2+AE2=，%，

因?yàn)槿忮FA-BCD與長(zhǎng)方體4NCH-EDFB有相同的外接球，

長(zhǎng)方體4NCH-EDFB的對(duì)角線長(zhǎng)為外接球的直徑，

所以外接球的表面積為4兀/=4兀x：=6n?，故A正確；

4

因?yàn)?B〃NF,所以，OF（或其補(bǔ)角）為直線4B和CD所成的角,

因?yàn)镃D=C，AB=y/~5,AE=CF=1,在△COF中，

CM+FM-CF?_J+|3

由余弦定理可得cos/COF=故B錯(cuò)誤;

2COXFO一—-5(

2X-X—

對(duì)于C,以C。為軸旋轉(zhuǎn)AACD至△4。。與4BCD在同一個(gè)平面內(nèi),

因?yàn)锽C=AD,BD=CA,所以四邊形8cA。為平行四邊形，連接BA交CD于M,

即M為CD中點(diǎn)時(shí)，AM+BM最小，

在"CD中，由余弦定理得C°SN8CD=喀痣黑=親義=音

在ABCM中，由余弦定理得=Be2+CM?-2BCxCMcos乙BCD=5+2-2xV-2xx

42

Ano9

------——J

10----4

所以4M+BM的最小值為|x2=3,故C正確;

對(duì)于C,由4選項(xiàng)可知，長(zhǎng)方體ANCH-EDFB的體積為2X1x1=2,

^H-ACB=4-BCD=^N-ACD=^E-ABD=§、2乂2=§,所以匕-BCD=2--=

由C選項(xiàng)COSNBCD=印，可得sinz_BCD=^

1010

所以SAHCD=lBCxCDsin^BCD=jx<7xV5x=|.

2

所以A到平面BCD的距離為春=[,故。正確.

143

故選：ACD.

三棱錐4-BCD放入長(zhǎng)方體/INCH-EDFB中，三棱錐A-BCD與長(zhǎng)方體力NCH-ECFB有相同的

外接球，長(zhǎng)方體ANCH-EDFB的對(duì)角線長(zhǎng)為外接球的直徑，求出對(duì)角線再求外接球的表面積，判

斷4;連接NF,交CD與。點(diǎn)，因?yàn)?B〃NF,所以NC0F（或其補(bǔ)角）為直線4B和CD所成的角，在

△COF中，由余弦定理可判斷B；以CD為軸旋轉(zhuǎn)AACD至△4CD與△BCD在同一個(gè)平面內(nèi)，可得四

邊形BC4D為平行四邊形，連接84交CC于M,即M為CC中點(diǎn)時(shí)AM+BM最小，由余弦定理求出

AM+BM的最小值，可判斷C；長(zhǎng)方體4VCH-EDFB的體積減去以_.CB，4-BCD，HN-AC。，/-ABD

的體積可得以_BCD，利用三角形面積公式計(jì)算SABCD，利用體積相等求出4到平面BCD的距離可判

斷D.

本題考查空間幾何體的性質(zhì)，考查幾何體的外接球，線線角的求法，點(diǎn)到面的距離的求法，屬中

檔題.

13.【答案】AHL3

【解析】解：??,五_1(五一/?,?萬(wàn)?(萬(wàn)一石)=0，

a2—a-K=0???a-b=1，

b—(1,-1)，?,.b=2，

：.\a+2b\=J(a+2b)2=J片+4五)+4片=V-13-

故答案為：V13.

由已知可求五4=1，丁=2，進(jìn)而利用|五+2石|=J@+2石)2,可求結(jié)論.

本題考查向量的線性運(yùn)算，考查向量的模的求法，屬基礎(chǔ)題.

14.【答案*/3+2

4D_CD

【解析】解：在AACD中，由正弦定理得:

sinz.ACD-sinz.Ci4D，

CDsinZJlCD

??：?o

?AD=-sm~z~.CAD-=2CD=2,

由余弦定理得：AC2=AD2+CD2-2AD?CD-coszD=5-4cos4。，

???四邊形力BCD的面積S=S&ABC+S“CD=.c。.sin"

=?(5—4cosz.D)+sinz.D=+sinzD—V-3coszZ)

=+2sin(乙D—g)，

乙D6(0,TT)、：.乙D—Ee(-M號(hào))'

,當(dāng)4D—g=5時(shí)，s有最大值手+2.

3L4

故答案為：浮+2.

4

在△ACD中，由正弦定理可求出力。=2,由余弦定理求得力C2=5-4cosz￡>,再由四邊形4BCD的

面積S=SAMC+S-CD可得到關(guān)于。的三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求出最值即可.

本題考查利用正、余弦定理解三角形，三角形的面積公式，屬于中檔題.

15.【答案】浮

11

6

a外-X

【解析】解：由△04V與△08M的面積相等可得:2-2-M

...患=當(dāng)，又+%方=3b2,

A=L?，?M=3b2=3（彥—c2）,

a23

故答案為：?.

由已知可得"功=%.如，進(jìn)而可得學(xué)=為+萼=1，可求離心率.

本題考查求橢圓的離心率，考查運(yùn)算求解能力，屬中檔題.

16.【答案】4962

【解析】解：Tan=n(an+1-an),

(1+n)即=nan+1,即舒?=華，

???｛節(jié)為常數(shù)數(shù)列，

“n-3一'

?*,a4—Tii

記｛匕｝的前n項(xiàng)和為T(mén)n,

當(dāng)14九49時(shí)，0<lganV1時(shí)，bn=[lgan]=0；

當(dāng)104幾《99時(shí)，141ganV2時(shí)，bn=

當(dāng)100<n<999時(shí)，2<lgan<3時(shí),bn=2；

當(dāng)10004幾42023時(shí)，34也即<4時(shí)，bn=3；

a

:.T2Q23=U9i]+口+—卜[均。20231=90x1+900x2+1024x3=4962.

故答案為：4962.

利用需=詈=果=1,得%=n,根據(jù)高斯函數(shù)的定義可得數(shù)列｛g｝各項(xiàng)，即可得出答案.

本題考查數(shù)列的求和，考查轉(zhuǎn)化思想，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題.

17.【答案】(1)證明：?；ABC。-ABiGDi是正方體，.??4&1平面4BCD,

乂BD1AC,44inAC,：.BD1平面4"出，

BOu平面AiBD,.?.平面4/DI平面ACC1人,

(2)解：以4為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD,4冬為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，

1

貝必(0,0,0),8式1,0,1),F(l,l,i),41(0,0,1),

.?.福=(1,0,1)，AE=(1,1,1),標(biāo)=(0,0,1)，

設(shè)平面a/E的一個(gè)法向量為元=(x,y,z),

n-ABy=x+z=0

???L—>i,令z=2,則％=—2,y=1,

n-AE=%4-y4--z=0

L

二平面的一個(gè)法向量為元=(-2,1,2),

,|A47-n|22

設(shè)求占到平面的距離為d,則d=一而一=丁22+工22=

即點(diǎn)4到平面的距離為|.

【解析】(1)由題意可證BO_L平面ACCMi，進(jìn)而可得平面&BDJ?平面4CC14；

(2)以4為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AC,44i為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的一個(gè)法向量

為丸利用向量法可求&到平面/IB】E的距離.

本題考查面面垂直的證明，考查點(diǎn)到面的距離的求法，屬中檔題.

18.【答案】解：⑴設(shè)等差數(shù)列公差為d,得隹二一1°，.??[”刃=T°，

，?設(shè)二

4'an=-4n+2；

⑵b_]=__________1_____________]_1z1

)Dn--)fn勺-不―+…十

l-anan+i-(-4n+2)(-4n-2)(4n-2)(4n+2)41471-2-4n+23=Wg+15

1_______=14________l_x=n

4n-2.4幾+2)—,￡-4n+2^-8九+4’

213+265

2Sn<^—1=>4n—13n—6>0=>n>^,

3o

由13+產(chǎn)e(3,4)且neN*,得最小正整數(shù)為4.

8

【解析】(1)代入通項(xiàng)公式即可；(2)利用裂項(xiàng)求和的方法求和，再解不等式即可;

本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，裂項(xiàng)求和，屬于基礎(chǔ)題.

卜“bsinB

19.【答案】解：⑴因?yàn)锽+C=gb=Cc,由正弦定理可得芻=告，B[J；=

\'6sinBstnCc

可得，~^sin(|7T—B)=sinBJ整理可得tcmB=—15,而B(niǎo)G(0,TT),可得B=|zr,C=A=^9

由正弦定理可得號(hào)=—%,a=2,

stnAsinB

所以b=1?,三=2",c=2,

2

設(shè)AHBC1的內(nèi)切圓的半徑r,

所以SMBC=2bcsinA=,(Q+b+c)r,

即2Cx2x2=(2+2+2C)r,解得r=2C-3,

所以△ABC內(nèi)切圓的半徑長(zhǎng)2，石-3;

(2)因?yàn)?=2C,sinB=2sinC,可得sin(4+C)=2stnC,

即sin3C=2sinCf可得2s譏Ceos2c4-cos2CsinC=2sinC,因?yàn)閟inCW0,

可得2cos2c+2cos2C-1=2解得cosC=土?，可得C=*或C=

因?yàn)?=2C,所以C=%B=%

OOZ

由正弦可得*即與=：,解得c=室，

ooLiiia22i

后二I'lc11r2x/-32y/-3

所以SA.BC=2aC=2X^X-3~=~3~'

【解析】(1)由B+C的大小及b,c的關(guān)系，再由正弦定理可得B,C角的大小，進(jìn)而可得4角的大

小，再由a邊的大小及正弦定理可得b,c邊的大小，進(jìn)而求出三角形的面積，三角形的面積與內(nèi)

切圓半徑的關(guān)系，可得內(nèi)切圓的半徑；

(2)由題意及三角形中角之間的關(guān)系，可得C,A,B角的大小，再由正弦定理可得c邊的大小，進(jìn)

而求出三角形的面積.

本題考查正弦定理及三角形面積的應(yīng)用，屬于中檔題.

20.【答案】解：(1)由題意可知，f的取值為0,1,2,

P(E—O")—臉—1Z2p(f—1)—C；C；3p(e=2)--￡z.—_2_

尸(f°)面一175,即1)一*175,Pd)面175,

(2)設(shè)f(N)=P(x=5)=50

甯

f(N+l)_(N-49)(N-19)_N2-68N+931

f(N)=(N-64)(/V+l)=N2-63N-64'

(/V2-68N+931)-(N2-63/V-64)=-5N+995,

所以N=199時(shí)，f(N+1)=fg,

N>199時(shí)，f(N+1)<F(N),

N<199時(shí)，f(N+1)>F(N),

所以當(dāng)N=199或200時(shí)，P(x=5)最大，估計(jì)蟹池中青蟹數(shù)目為199或200只.

【解析】(1*的取值為0,1,2,由古典概型概率公式求出對(duì)應(yīng)概率，從而可得分布列，進(jìn)而可求

f的數(shù)學(xué)期望；

(2)設(shè)/'(N)=P(x=5),判斷增減性，可得N>199時(shí)，f(N+1)<F(N),N/(N),進(jìn)而可得答

案.

本題考查離散型隨機(jī)變量的應(yīng)用，屬于中檔題.

21.【答案】解:(1)已知函數(shù)/'(%)=x/nx+(2-k)x+2k-3,kEZ,

當(dāng)k=2時(shí)，/(*)=無(wú))％+1,函數(shù)定義域?yàn)?0,+8),

可得((x)=Inx+1,

所以尸(e)=2,

又/(e)=e+1,

則曲線f(x)在點(diǎn)(e,f(e))處的切線方程為y-(e+1)=2(尤-e),

即y=2x—e+1；

(2)若%>2,總有/(%)>0,

即當(dāng)%>2時(shí)，xlnx+(2—k)x+2k—3>0恒成立,

此時(shí)/0<獨(dú)室對(duì)于Wx>2恒成立,

不妨設(shè)g(x)=華導(dǎo)3,函數(shù)定義域?yàn)?2,+8),

-2lnx+x-3

可得g'(x)=(x-2)2

不妨設(shè)t(x)=-21nx4-%-3,函數(shù)定義域?yàn)?2,+8),

可得F(x)=1-?=>0,

所以t(x)單調(diào)遞增，

因?yàn)閠(6