山東省濟(jì)南市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

20222023學(xué)年下學(xué)期高二期中學(xué)情檢測(cè)數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁(yè)，22題，全卷滿分150分．考試用時(shí)120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.小明和妹妹跟著父母一家四口到游樂(lè)園游玩，購(gòu)票后依次入園，為安全起見(jiàn)，首尾一定要排家長(zhǎng)，則這4個(gè)人的入園順序的種數(shù)是（）A.4 B.6 C.12 D.24【答案】A【解析】【分析】先排首尾兩個(gè)位置，再排中間兩個(gè)位置，即可得解.【詳解】先排首尾兩個(gè)位置，有種排法，再排中間兩個(gè)位置，有種排法，所以這4個(gè)人的入園順序的種數(shù)是種.故選：A.2.已知某物體的運(yùn)動(dòng)方程為（時(shí)間單位：s，位移單位：m），當(dāng)時(shí)，該物體的瞬時(shí)速度為，則的值為（）A.2 B.6 C.7 D.8【答案】D【解析】【分析】對(duì)求導(dǎo)，再利用瞬時(shí)速度的意義求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，該物體的瞬時(shí)速度為，則，解得：.故答案為：D.3.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則等于（）A. B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式對(duì)求導(dǎo)可得，將代入計(jì)算可得的值．【詳解】根據(jù)題意，，其導(dǎo)數(shù)，令，可得，變形可得，故選：C．4.“楊輝三角”揭示了二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列規(guī)律，早在中國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書(shū)中出現(xiàn)如圖，在由二項(xiàng)式系數(shù)所構(gòu)成的“楊輝三角”中，若第行中從左至右只有第5個(gè)數(shù)為該行中的最大值，則的值為（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】B【解析】【分析】由題意可知，第行的數(shù)就是二項(xiàng)式的展開(kāi)式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，再利用二項(xiàng)式的系數(shù)的性質(zhì)可求得結(jié)果．【詳解】由題意可知，第行的數(shù)就是二項(xiàng)式的展開(kāi)式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)．因?yàn)橹挥械?項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以為偶數(shù)，故，解得.故選：B．5.已知函數(shù)，若，則（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則和定義求解即可．【詳解】，，，，，故選：D．6.某公園設(shè)計(jì)了如圖所示的觀賞花壇，現(xiàn)有郁金香、瑪格麗特、小月季、小杜鵑四種不同的花可供采購(gòu)，要求相鄰區(qū)域種不同種類(lèi)的花，則不同的種植方案?jìng)€(gè)數(shù)為（）A.24 B.36 C.48 D.96【答案】C【解析】【分析】由分步乘法計(jì)數(shù)原理求解即可.【詳解】先種區(qū)域1有種選擇，區(qū)域2有種選擇，區(qū)域3有種選擇，區(qū)域4有種選擇，區(qū)域5有2種選擇，區(qū)域6有1種選擇，則共有：種.故選：C.7.已知點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)，利用兩點(diǎn)間距離公式可表示出，利用導(dǎo)數(shù)可求得最小值.【詳解】設(shè)，則，令，則；恒成立，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，.故選：A.8.已知，，（為自然數(shù)對(duì)數(shù)的底數(shù)），則的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用指數(shù)與對(duì)數(shù)互化可得，構(gòu)造函數(shù)，判斷的單調(diào)性，由此可得大小關(guān)系；利用作差法可得大小關(guān)系，由此可得結(jié)論.【詳解】由，得，；由，得；由，得；令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，即，.，.綜上所述，.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，下列說(shuō)法正確的是（）A.二項(xiàng)式系數(shù)和為512 B.不存在常數(shù)項(xiàng)C.含項(xiàng)的系數(shù)為45 D.第6項(xiàng)的系數(shù)最大【答案】BC【解析】【分析】求出展開(kāi)式的通項(xiàng)，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的定義即可判斷A；令的指數(shù)等于即可判斷B；令的指數(shù)等于即可判斷C；根據(jù)系數(shù)性質(zhì)即可判斷D.【詳解】的展開(kāi)式通項(xiàng)為，，1，…，10，的二項(xiàng)式系數(shù)和為，故A不正確；令，解得，故展開(kāi)式不存在常數(shù)，B正確；令，解得，故含項(xiàng)的系數(shù)為，C正確；當(dāng)時(shí)，的展開(kāi)式的第6項(xiàng)的系數(shù)為，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)系數(shù)小于0，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，的展開(kāi)式第5項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)分別為與相等且最大，D不正確；故選：BC.10.已知函數(shù)，則（）A.在處的切線與直線平行B.是上的增函數(shù)C.為的極值點(diǎn)D.最小值為【答案】ACD【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出斜率，進(jìn)而求出切線方程判斷項(xiàng)，利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間、求出極值、最值對(duì)進(jìn)行判斷.【詳解】對(duì)于項(xiàng)：因?yàn)?，所以，且，所以在處切線方程為，與直線平行.所以項(xiàng)正確.對(duì)于項(xiàng)：時(shí)或，在和上，遞增，在上，遞減，所以項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于項(xiàng)：根據(jù)對(duì)項(xiàng)分析，知項(xiàng)正確.對(duì)于項(xiàng)：根據(jù)對(duì)項(xiàng)分析，知在處取極小值，，在上函數(shù)遞增，且時(shí)，，所以有最小值，所以項(xiàng)正確.故選：.11.現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)參加“山東書(shū)城”暑期志愿者服務(wù)活動(dòng)，有翻譯、導(dǎo)購(gòu)員、收銀員、倉(cāng)庫(kù)管理員四項(xiàng)工作可供選擇，每人至多從事一項(xiàng)工作，下列說(shuō)法正確的是（）A.若5人每人可任選一項(xiàng)工作，則有種不同選法B.若安排甲和乙分別從事翻譯、收銀工作，其余3人中任選2人分別從事導(dǎo)購(gòu)、倉(cāng)庫(kù)管理工作，則有12種不同的方案C.若倉(cāng)庫(kù)管理工作必須安排2人，其余工作各安排1人，則有60種不同的方案D.若每項(xiàng)工作至少安排1人，每人均需參加一項(xiàng)工作，其中甲、乙不能從事翻譯工作，則有126種不同的方案【答案】CD【解析】分析】根據(jù)排列組合知識(shí)分別進(jìn)行計(jì)算可得正確選項(xiàng)【詳解】對(duì)于A，安排5人參加4項(xiàng)工作，若每人可任選一項(xiàng)工作，每人有4種安排方式，則有種安排方法，故A不正確；對(duì)于B，安排甲和乙分別從事翻譯、收銀工作，則有1種方法，其余3人中任選2人分別從事導(dǎo)購(gòu)、倉(cāng)庫(kù)管理工作，則有種方法，則共有：種方法，則B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若倉(cāng)庫(kù)管理工作必須安排2人，其余工作各安排1人，則有種不同的方案，故C正確；對(duì)于D，①?gòu)氖Ｏ碌娜诉x一個(gè)人從事翻譯工作，則有種方法，則甲、乙和三人中剩下的2人從事其余的三個(gè)工作共有：種方法，則共有種方法.②從剩下的三人選2個(gè)人從事翻譯工作，則有種方法，則甲、乙和三人中剩下的1人從事其余的三個(gè)工作共有：種方法，則共有種方法，所以若每項(xiàng)工作至少安排1人，每人均需參加一項(xiàng)工作，其中甲、乙不能從事翻譯工作，則有種不同的方案，故D正確.故選：CD.12.已知函數(shù)，若直線與曲線和分別相交于點(diǎn)，且，，則()A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究f(x)和g(x)的單調(diào)性，畫(huà)出圖象，數(shù)形結(jié)合得出范圍，利用和f(x)的單調(diào)性即可判斷．【詳解】f(x)的定義域?yàn)镽，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)，；；時(shí)，；的定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，；；時(shí)，；作出f(x)和g(x)圖象，易知，，且，∵，∴，∵，f(x)在單調(diào)，∴，同理，∴，，又，∴，故A正確，B錯(cuò)誤；又，故D正確，C錯(cuò)誤．故選：AD．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究f(x)和g(x)的性質(zhì)，并作出其圖象，數(shù)形結(jié)合，利用即可得到答案.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知函數(shù)在處取得極值，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)在處取得極值，可得，即可得解.【詳解】，因?yàn)楹瘮?shù)在處取得極值，所以，解得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，所以.

故答案為：.14.在的展開(kāi)式中的系數(shù)是________．（用數(shù)字作答）【答案】【解析】【詳解】試題分析：由題意得，所以展開(kāi)式中為，所以展開(kāi)式中的系數(shù)是．故答案為：3.15.現(xiàn)有五張卡片，分別寫(xiě)有數(shù)字0，1，2，3，6（數(shù)字6倒放也可當(dāng)做數(shù)字9），則用這些卡片擺成的不同五位數(shù)的個(gè)數(shù)為_(kāi)________．（用數(shù)字作答）【答案】【解析】【分析】先確定首位，再確定其他位置，再結(jié)合數(shù)字6倒放也可當(dāng)做數(shù)字9，即可得解.【詳解】先確定首位有張卡牌可選，再確定其他位置，有種選法，又因數(shù)字6倒放也可當(dāng)做數(shù)字9，所以不同五位數(shù)的個(gè)數(shù)共有個(gè).故答案為：.16.已知函數(shù)，若對(duì)任意兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)，都有，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)________．【答案】【解析】【分析】設(shè),由題意可得函數(shù)在是減函數(shù)，原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立，即恒成立，即求即可.【詳解】若對(duì)任意兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)都有恒成立，不妨設(shè)，所以，即，令，則，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，則恒成立，則令，即即可，，因?yàn)樵趩握{(diào)遞減，存在零點(diǎn)，使得，即，兩邊取對(duì)數(shù)可得，即，所以當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，所以，令，則，在上單調(diào)遞增，且，要求，解得：，即，則，因?yàn)榧?，令，，，所以，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，.當(dāng)趨近于0時(shí)，趨近于正無(wú)窮，所以，故.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題求解的關(guān)鍵有兩點(diǎn)：一是利用參變分離法，將其轉(zhuǎn)化為；而是解轉(zhuǎn)化為，，即圖象與圖象的交點(diǎn)問(wèn)題.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.（1）求值：；（2）已知，求x的值．【答案】（1）35；（2）或x=6【解析】【分析】（1）由性質(zhì)直接計(jì)算可得，或直接計(jì)算；（2）根據(jù)上角標(biāo)相等或和等于下角標(biāo)計(jì)算可得.【詳解】（1）；另解：；（2）因?yàn)?，則，即且，所以或，解得或.18.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；（2）求函數(shù)在上的最值．【答案】（1）（2）最大值為，最小值為【解析】【分析】（1）先求導(dǎo)數(shù)得切線斜率，然后求出切點(diǎn)坐標(biāo)，可得切線方程；（2）先求極值點(diǎn)，求出極值和區(qū)間端點(diǎn)值，比較可得最值.【小問(wèn)1詳解】，，；所以在點(diǎn)處的切線方程為，即；【小問(wèn)2詳解】，令得或；120002由表可知，最大值為，最小值為.19.為慶祝黨的二十大勝利閉幕，某校高二級(jí)部組織全體同學(xué)進(jìn)行了主題為“二十大精神進(jìn)校園，培根鑄魂育新人”的二十大知識(shí)競(jìng)賽，并選出了4名女生和3名男生共7名優(yōu)勝者．賽后，7名同學(xué)站成一排，照相留念．（1）女生必須站在一起的站隊(duì)方式有多少種？（2）男生甲不與其他男生相鄰的站隊(duì)方式有多少種？（3）現(xiàn)在要求這7名同學(xué)分成三個(gè)宣講小組分別去給高一、高二、高三三個(gè)年級(jí)的同學(xué)做二十大學(xué)習(xí)成果匯報(bào)，要求每個(gè)小組必須既有男生又有女生，問(wèn)有多少種安排方案？【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用捆綁法，女生看成整體與男生排列，再考慮女生內(nèi)部排列；（2）男生甲不與其他男生相鄰，則相鄰的只能是女生，分甲站在兩端和甲不站兩端兩種情況討論，選出女生與甲看作整體，與剩下的人排列即可；（3）分別將男生女生分分給三個(gè)年級(jí)，由此求解即可.【小問(wèn)1詳解】女生必須站在一起，利用捆綁法，先將四個(gè)女生看成一個(gè)整體，再與其他三個(gè)男生排列，則有種站隊(duì)方式；【小問(wèn)2詳解】若甲站在兩端，則甲有種站法，再選一名女生與甲相鄰，有種選法，再將把其他人排列，有排法，則甲站在兩端有種，若甲不站兩端，則可先在甲兩邊分別安排一名女生，有種選法，再將這三個(gè)人看成一個(gè)整體與其他人排列，有種排法，則甲不站兩端有種，所以男生甲不與其他男生相鄰的站隊(duì)方式有種；【小問(wèn)3詳解】先選名女生分到三個(gè)年級(jí)，有種，再將個(gè)男生分到三個(gè)年級(jí)，有種，所以共有種.20.已知．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）求出展開(kāi)式的通項(xiàng)，進(jìn)而可求得答案；（2）令，求得，再令，求得，即可得解；（3）根據(jù)通項(xiàng)結(jié)合組合數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得解.【小問(wèn)1詳解】展開(kāi)式的通項(xiàng)為，則；【小問(wèn)2詳解】令，則，令，則，所以；【小問(wèn)3詳解】.21.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）若函數(shù)的圖象始終在圖象的上方，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）若，在上單調(diào)遞增；若，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)函數(shù)，討論當(dāng)，時(shí)，導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)即可得函數(shù)的單調(diào)性；（2）將函數(shù)的圖象始終在圖象的上方，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，即在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)函數(shù)，對(duì)分類(lèi)討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可確定的取值情況，從而可得符合的實(shí)數(shù)a的取值范圍．【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋匀?，則，所以，所以即，所以在上單調(diào)遞增；若，令，則.故當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增；綜上，若，上單調(diào)遞增；若，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；【小問(wèn)2詳解】若函數(shù)的圖象始終在圖象的上方，只需在上恒成立即在上恒成立，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以，符合題意；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以，符合題意；當(dāng)時(shí)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，而，，所以存在使得，即，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，符合題意；當(dāng)時(shí)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，符合題意；當(dāng)時(shí)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，又，所以存在使得，所以在上單調(diào)遞減，所以，不合題意；綜上可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象始終在圖象的上方.22.帕德近似是法