7.5多邊形的內(nèi)角和與外角和(講+練)（解析版）

7.5多邊形的內(nèi)角和與外角和三角形的內(nèi)角和三角形內(nèi)角和是180°.（常見的推導(dǎo)方法有：①度量法；②切割法；③折疊法）多邊形的對角線從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以作（n－3）條對角線；n邊形總共有n(n-3)2多邊形的內(nèi)角和n多邊形的外角和多邊形的外角和等于360°.三角形內(nèi)外角角平分線的模型模型1：在△ABC中，內(nèi)角∠ABC和∠ACB的平分線交于點(diǎn)P，則有：∠BPC=90°+12∠模型2：在△ABC中，外角∠CBD和∠BCE的平分線交于點(diǎn)P，則有∠BPC=90°-12∠模型3：在△ABC中，內(nèi)角∠ABC和外角∠ACD的平分線所在直線交于點(diǎn)P，則有∠BPC=12∠題型1：多邊形的對角線1．從七邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可連出的對角線的條數(shù)為4．【分析】根據(jù)從一個(gè)n邊形一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以連的對角線的條數(shù)是（n﹣3）進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：從六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，引對角線的數(shù)量為：7﹣3＝4（條），故答案為：4．【變式1-1】一個(gè)正八邊形，從它的一個(gè)頂點(diǎn)可引出m條對角線，并把這個(gè)正八邊形分成n個(gè)三角形，則m+n＝11．【分析】根據(jù)從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以引（n﹣3）條對角線，可以把n邊形分成（n﹣2）個(gè)三角形，即可解答．【解答】解：一個(gè)正八邊形，從它的一個(gè)頂點(diǎn)可引出m條對角線，并把這個(gè)正八邊形分成n個(gè)三角形，∴m＝5，n＝6，∴m+n＝5+6＝11，故答案為：11．【變式1-2】每一個(gè)多邊形都可以分割為若干個(gè)三角形．如圖，按照這種分法，從多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對角線可以把n邊形分割成（n﹣2）個(gè)三角形．【分析】過n邊形的同一個(gè)頂點(diǎn)作對角線，可以把n邊形分成（n﹣2）個(gè)三角形．【解答】解：按如圖所示的方法，n邊形能分割成（n﹣2）個(gè)三角形．故答案為：（n﹣2）．【變式1-3】連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對角線．如圖1，AC、AD是五邊形ABCDE的對角線，思考下列問題：①如圖2，多邊形A1A2A3A4A5…An．中，過頂點(diǎn)A1可以畫（n﹣3）條對角線，過頂點(diǎn)A2可以畫（n﹣3）條對角線，過頂點(diǎn)A3可以畫（n﹣3）條對角線（用含n的代數(shù)式表示）②過頂點(diǎn)A1的對角線與過頂點(diǎn)A3的對角線中有重復(fù)嗎？有重復(fù)③在此基礎(chǔ)上，你能發(fā)現(xiàn)n邊形的對角線總條數(shù)的規(guī)律嗎？n(n-3)2（用含n【分析】根據(jù)多邊形的對角線的定義找出規(guī)律即可求出答案．【解答】解：故答案為：（1）（n﹣3）；（n﹣3）；（n﹣3）（2）有重復(fù)（3）n(n-3)題型2：三角形的內(nèi)角和2.△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，則△ABC是直角三角形．【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和為180度，結(jié)合已知條件求出∠A，∠B，∠C的度數(shù)即可得到答案．【解答】解：∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∴可設(shè)∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴6x＝180°，∴x＝30°，∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，故答案為：直角．【變式2-1】如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，AE是∠BAC的平分線，若∠B＝70°，∠C＝40°，則∠DAE的度數(shù)為15°．【分析】由三角形內(nèi)角和定理，結(jié)合題干信息，運(yùn)用合理的邏輯推理即可得出答案．【解答】解：∵∠B＝70°，∠C＝40°，∴∠BAC＝70°，∵AD是BC邊上的高，∴∠CAD＝50°，∵AE是∠BAC的平分線，∴∠CAE=12∠BAC＝∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝15°．故答案為：15°．【變式2-2】當(dāng)三角形中一個(gè)內(nèi)角α是另一個(gè)內(nèi)角β的一半時(shí)，我們稱此三角形為“半角三角形”，其中α稱為“半角”．如果一個(gè)“半角三角形”的“半角”為15°，那么這個(gè)“半角三角形”的最大內(nèi)角的度數(shù)為135°．【分析】根據(jù)半角三角形的定義得出β的度數(shù)，再由三角形內(nèi)角和定理求出另一個(gè)內(nèi)角即可．【解答】解：∵α＝15°，∴β＝2α＝30°，∴最大內(nèi)角的度數(shù)＝180°﹣15°﹣30°＝135°．故答案為：135°．【變式2-3】如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，則∠PAB+∠PBA＝45°（點(diǎn)A，B，P是網(wǎng)格線交點(diǎn)）．【分析】根據(jù)圖形，可知∠CPA＝45°，∠CPA＝∠PAB+∠PBA，從而可以得到∠PAB+∠PBA的值．【解答】解：延長BP，點(diǎn)C為BP延長線上一點(diǎn)，如右圖所示，∵∠CPA＝45°，∠CPA＝∠PAB+∠PBA，∴∠PAB+∠PBA＝45°，故答案為：45．題型3：多邊形的內(nèi)角和3.n邊形內(nèi)角和度數(shù)為1080°，則該n邊形的邊數(shù)是8．【分析】由多邊形內(nèi)角和定理：（n﹣2）?180°（n≥3且n為整數(shù)），即可計(jì)算．【解答】解：由題意得：（n﹣2）×180°＝1080°，∴n＝8．故答案為：8．【變式3-1】如圖，在五邊形ABCDE中，∠A＝35°，去掉∠A后得到一個(gè)六邊形BCDENM，則∠1+∠2的度數(shù)為215°．【分析】由三角形的外角性質(zhì)，即可求解．【解答】解：∵∠1＝∠A+∠AMN，∠2＝∠A+∠ANM，∴∠1+∠2＝∠A+∠AMN+∠ANM+∠A，∴∠1+∠2＝180°+35°＝215°，故答案為：215°．【變式3-2】如圖所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360度．【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得∠B+∠C＝∠1，∠A+∠F＝∠2，則這幾個(gè)角是一個(gè)四邊形的四個(gè)內(nèi)角，故∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．【解答】解：∵∠B+∠C＝∠1，∠A+∠F＝∠2，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝∠1+∠2+∠E+∠D＝360°．故答案為：360．【變式3-3】如圖，五邊形ABCDE是正五邊形，若l1∥l2，∠1＝48°，則∠2＝120°．【分析】過點(diǎn)B作直線BF∥l1，可得BF∥l2∥l1，利用平行線的性質(zhì)可得∠1＝∠ABF＝48°，∠2+∠CBF＝180°，根據(jù)正多邊形內(nèi)角和求出∠ABC，進(jìn)而求出∠CBF，∠2的度數(shù)．【解答】解：如圖，過點(diǎn)B作直線BF∥l1，∵l1∥l2，BF∥l1，∴BF∥l2，∴∠1＝∠ABF＝48°，∠2+∠CBF＝180°，∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴五邊形ABCDE的內(nèi)角和為：（5﹣2）×180°＝540°，∴∠ABC=∴∠CBF＝∠ABC﹣∠ABF＝108°﹣48°＝60°，∴∠2＝180°﹣∠CBF＝180°﹣60°＝120°．故答案為：120°．【變式3-4】如圖，四邊形ABCD中，點(diǎn)M，N分別在AB，BC上，∠C＝80°，按如圖方式沿著MN折疊，使FN∥CD，此時(shí)量得∠FMN＝40°，則∠B的度數(shù)是100°．【分析】根據(jù)兩直線平行，同位角相等求出∠BNF，再根據(jù)翻折的性質(zhì)求出∠BMN和∠BNM，然后利用三角形的內(nèi)角和定理列式計(jì)算即可得解．【解答】解：∵FN∥DC，∴∠BNF＝∠C＝80°，∵△BMN沿MN翻折得△FMN，∴∠BMN＝∠FMN＝40°，∠BNM=12∠BNF=12在△BMN中，∠B＝180°﹣（∠BMN+∠BNM）＝180°﹣（40°+40°）＝180°﹣80°＝100°．故答案為：100°．題型4：多邊形的外角4.一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都等于36°，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為10．【分析】根據(jù)任意多邊形的外交和等于360°，多邊形的每一個(gè)外角都等于36°，多邊形邊數(shù)＝360÷外角度數(shù)，代入數(shù)值計(jì)算即可．【解答】解：∵多邊形的每一個(gè)外角都等于36°，∴這個(gè)多邊形的邊數(shù)＝360÷36＝10．故答案為：10．【變式4-1】若一個(gè)多邊形的外角和是其內(nèi)角和的25，則這個(gè)多邊形是七【分析】根據(jù)多邊形的外角和為360°及題意，求出這個(gè)多邊形的內(nèi)角和，即可確定出多邊形的邊數(shù)．【解答】解：∵一個(gè)多邊形的外角和是內(nèi)角和的25倍，且外角和為360∴這個(gè)多邊形的內(nèi)角和為360°÷25設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)是n，則180°（n﹣2）＝900°∴n＝7，故這個(gè)多邊形是七邊形，故答案為：七．【變式4-2】如圖，小明操場上從A點(diǎn)出發(fā)，沿直線前進(jìn)15米后向左轉(zhuǎn)45°，再沿直線前進(jìn)150米后，又向左轉(zhuǎn)45°，照這樣走下去，他第一次回到出發(fā)地A點(diǎn)時(shí)，一共走了120米．【分析】根據(jù)題意，小明走過的路程是正多邊形，先用360÷45求出正多邊形的邊數(shù)，然后再乘以15即可．【解答】解：∵小明每次都是沿直線前進(jìn)15m后左轉(zhuǎn)45°，∴他走過的圖形是正多邊形，∴邊數(shù)n＝360°÷45°＝8，∴他第一次回到出發(fā)點(diǎn)A時(shí)，一共走了15×8＝120m．故答案為：120．【變式4-3】如圖，∠1，∠2，∠3是五邊形ABCDE的3個(gè)外角，若∠A+∠B＝240°，則∠1+∠2+∠3＝240°．【分析】延長EA、AB構(gòu)造外角∠4、∠5，根據(jù)一個(gè)頂點(diǎn)上的外角和內(nèi)角的關(guān)系與多邊形的外角和，計(jì)算得結(jié)論．【解答】解：如圖，延長EA、AB．∵∠EAB+∠4+∠ABC+∠5＝360°，又∵∠EAB+∠ABC＝240°，∴∠4+∠5＝120°．∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝360°，∴∠1+∠2+∠3＝240°．故答案為：240°．題型5：內(nèi)外角的角平分線運(yùn)用5.如圖，△ABC中，∠BAC＝50°，∠ABC的角平分線與∠ACB的角平分線交于點(diǎn)O．則∠BOC＝115°．【分析】利用三角形內(nèi)角和定理先求出∠ABC+∠ACB的度數(shù)，再利用角平分線的定義即可求解．【解答】解：∵∠BAC＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣50°＝130°，∵∠ABC的角平分線與∠ACB的角平分線交于點(diǎn)O，∴∠ABO＝∠OBC=12∠ABC，∠ACO＝∠OCB=1∴∠OBC+∠OCB=12∠ABC+12∠ACB=12（∠ABC+∠ACB∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝180°﹣65°＝115°，故答案為：115°．【變式5-1】已知△ABC中，∠A＝α．在圖1中∠B、∠C的平分線交于點(diǎn)O1，則可計(jì)算得∠BO1C＝90°+12α；在圖2中，設(shè)∠B、∠C的兩條三等分角線分別對應(yīng)交于O2、O3，則∠BO3C＝60°+2【分析】首先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，再由三等分角線可得∠CBO3+∠BCO3=23（∠ABC+∠ACB）＝120°-23α，由三角形內(nèi)角和定理即可求得∠【解答】解：∵∠A＝α，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，∵∠B、∠C的兩條三等分角線分別對應(yīng)交于O2、O3，∴∠CBO3+∠BCO3=23（∠ABC+∠ACB）＝120°-∴∠BO3C＝180°﹣（∠CBO3+∠BCO3）＝60°+23故答案為：60°+23【變式5-2】如圖，在△ABC中，∠A＝α，∠ACD是其外角，∠ABC與∠ACD的平分線交于點(diǎn)A1，得∠A1；∠A1BC的平分線與∠A1CD的平分線交于點(diǎn)A2，得∠A2；則∠A2＝14α…；∠A2021BC與∠A2021CD的平分線交于點(diǎn)A2022，則∠A2022＝1【分析】根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，可得∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，根據(jù)角平分線的定義可得∠A1BC=12∠ABC，∠A1CD=12∠ACD，然后整理得到∠A1=12∠A，同理可得∠A2=1【解答】解：∵A1B平分∠ABC，A1C平分∠ACD，∴∠A1BC=12∠ABC，∠A1CA=1∵∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，即12∠ACD＝∠A1+12∴∠A1=12（∠ACD﹣∠∵∠A+∠ABC＝∠ACD，∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，∴∠A1=12∠A=∠A2=12∠A1=12以此類推，∠An=12n∠∴∠A2022=1故答案為：14α，題型6：“密鋪”問題6.邊長相等的下列兩種正多邊形的組合，不能作平面鑲嵌的是②（請?zhí)钚蛱枺僬叫闻c正三角形②正五邊形與正三角形③正六邊形與正三角形④正八邊形與正方形【分析】分別求出各個(gè)正多邊形每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，再結(jié)合鑲嵌的條件即可作出判斷．【解答】解：①正三角形的每個(gè)內(nèi)角是60°，正方形的每個(gè)內(nèi)角是90°，∵3×60°+2×90°＝360°，能能作平面鑲嵌；②正三角形的每個(gè)內(nèi)角是60°，正五邊形每個(gè)內(nèi)角是180°﹣360°÷5＝108°，60m+108n＝360°，顯然n取任何正整數(shù)時(shí)，m不能得正整數(shù)，故不能作平面鑲嵌；③正三角形的每個(gè)內(nèi)角是60°，正六邊形的每個(gè)內(nèi)角是120°，∵2×60°+2×120°＝360°，能能作平面鑲嵌；④正八邊形的每個(gè)內(nèi)角是135°，正方形的每個(gè)內(nèi)角是90°，∵2×135°+90°＝360°，能能作平面鑲嵌．故答案為：②．【變式6-1】用正三角形和正六邊形作平面密鋪，若每一個(gè)頂點(diǎn)周圍有m個(gè)正三角形、n個(gè)正六邊形，則m，n滿足的關(guān)系式是m+2n＝6．【分析】正多邊形的組合能否進(jìn)行平面鑲嵌，關(guān)鍵是看位于同一頂點(diǎn)處的幾個(gè)角之和能否為360°．若能，則說明可以進(jìn)行平面鑲嵌；反之，則說明不能進(jìn)行平面鑲嵌．【解答】解：正多邊形的平面鑲嵌，每一個(gè)頂點(diǎn)處的幾個(gè)角之和應(yīng)為360度，而正三角形和正六邊形內(nèi)角分別為60°、120°，根據(jù)題意可知60°×m+120°×n＝360°，化簡得到m+2n＝6．故答案為：m+2n＝6．【變式6-2】如圖，用灰白兩色正方形瓷磚鋪設(shè)地面，第1個(gè)圖案用了4塊灰色的瓷磚，第2個(gè)圖案用了6塊灰色的瓷磚，第3個(gè)圖案用了8塊灰色的瓷磚，…，第n個(gè)圖案中灰色瓷磚塊數(shù)為2n+2．【分析】本題可分別寫出n＝1，2，3，…，時(shí)的黑色瓷磚的塊數(shù)，然后依此類推找出規(guī)律即可解決問題．【解答】解：n＝1時(shí)，黑瓷磚的塊數(shù)為：4；n＝2時(shí)，黑瓷磚的塊數(shù)為：6；n＝3時(shí)，黑瓷磚的塊數(shù)為：8；…；當(dāng)n＝n時(shí)，黑瓷磚的塊數(shù)為：2n+2．故答案為2n+2．【變式6-3】如圖是某廣場用地板鋪設(shè)的部分圖案，中央是一塊正六邊形的地板磚，周圍是正三角形和正方形的地板磚．從里向外的第1層包括6個(gè)正方形和6個(gè)正三角形，第2層包括6個(gè)正方形和18個(gè)正三角形，…，依此遞推，則第6層中含有正三角形個(gè)數(shù)是66，第n層中含有正三角形個(gè)數(shù)是12n﹣6．【分析】分析、歸納并發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用規(guī)律解決問題．【解答】解：第1層包括6個(gè)正三角形，第2層包括18個(gè)正三角形，…，每一層比上一層多12個(gè)，故第6層中含有正三角形的個(gè)數(shù)是6+12×5＝66（個(gè)），第n層中含有正三角形個(gè)數(shù)是6+12（n﹣1）＝12n﹣6，故答案為：66，12n﹣6．一．選擇題（共8小題）1．若一個(gè)正n邊形的內(nèi)角和為1080°，則它的每個(gè)外角度數(shù)是（）A．36° B．45° C．72° D．60°【分析】根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式列出方程，求出n的值，即可求出多邊形的邊數(shù)，再根據(jù)多邊形的外角和是360°，利用360°除以邊數(shù)可得外角度數(shù)．【解答】解：根據(jù)題意，可得（n﹣2）×180°＝1080°，解得n＝8，所以，外角的度數(shù)為360°÷8＝45°．故選：B．2．下列說法正確的是（）A．平角的度數(shù)是360° B．用兩個(gè)釘子把木條固定在墻上，數(shù)學(xué)原理是“兩點(diǎn)之間，線段最短” C．把彎曲的公路改直，就能縮短路程，利用的數(shù)學(xué)原理是“兩點(diǎn)確定一條直線” D．過某個(gè)多邊形一個(gè)頂點(diǎn)最多有5條對角線，則這個(gè)多邊形是八邊形【分析】由線段的性質(zhì)，直線的性質(zhì)，平角的概念，多邊形的對角線的概念，即可判斷．【解答】解：A、平角的的度數(shù)是180°，故A不符合題意；B、用兩個(gè)釘子把木條固定在墻上，數(shù)學(xué)原理是“兩點(diǎn)確定一條直線”，故B不符合題意；C、把彎曲的公路改直，就能縮短路程，利用的數(shù)學(xué)原理是“兩點(diǎn)之間，線段最短”，故C不符合題意；D、過某個(gè)個(gè)多邊形一個(gè)頂點(diǎn)最多有5條對角線，則這個(gè)多邊形是八邊，正確，故D符合題意．故選：D．3．如圖，在△ABC中，∠A＝50°，∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，則∠BDC的度數(shù)是（）A．72° B．85° C．65° D．80°【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和得出∠C＝60°，再利用角平分線得出∠DBC＝35°，進(jìn)而利用三角形內(nèi)角和得出∠BDC的度數(shù)．【解答】解：∵在△ABC中，∠A＝50°，∠ABC＝70°，∴∠C＝60°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=12∠ABC＝∴∠BDC＝180°﹣60°﹣35°＝85°．故選：B．4．一個(gè)多邊形從一個(gè)頂點(diǎn)最多能引出四條對角線，這個(gè)多邊形是（）A．四角形 B．五邊形 C．六邊形 D．七邊形【分析】根據(jù)從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以作對角線的條數(shù)公式（n﹣3）求出邊數(shù)即可得解．【解答】解：∵從一個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可以引四條對角線，設(shè)多邊形邊數(shù)為n，∴n﹣3＝4，解得n＝7，即這個(gè)多邊形是七邊形．故選：D．5．一副三角板按如圖所示放置，∠E＝45°，∠C＝30°，求∠EDC等于（）度．A．70° B．75° C．80° D．85°【分析】已條件可以求出∠EAB，∠CBA的度數(shù)，由三角形內(nèi)角和定理，求出∠BDA，即可得到∠EDC的度數(shù)．【解答】解∵△ABE是等腰直角三角形，∴∠EAB＝∠E＝45°，∵∠C＝30°，∴∠DBA＝90°﹣30°＝60°，∴∠ADB＝180°﹣∠DBA﹣∠DAB＝180°﹣45°﹣60°＝75°，∴∠EDC＝∠ADB＝75°．故選：B．6．△ABC中，如果∠A+∠B＝∠C，那么△ABC形狀是（）A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．等邊三角形【分析】根據(jù)在△ABC中，∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°可求出∠C的度數(shù)，進(jìn)而得出結(jié)論．【解答】解：∵在△ABC中，∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠C＝180°，解得∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形．故選：C．7．△ABC中，給出下列條件：①∠A＝∠B﹣∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝2∠B＝3∠C，④點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)，且CD=12其中能判定△ABC是直角三角形的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出最大的內(nèi)角，即可判斷①②③，然后根據(jù)點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)，且CD=12AB．求出∠A+∠B＝90°，即可判斷【解答】解：①∵∠A＝∠B﹣∠C，∴∠A+∠C＝∠B，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠B＝180°，∴∠B＝90°，∴△ABC是直角三角形；②∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∠A+∠B+∠C＝180°，∴最大角∠C＝180°×31+2+3∴△ABC是直角三角形；③∵∠A＝2∠B＝3∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A+12∠A+13∠∴∠A＝（10811所以△ABC不是直角三角形；④∵點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)，且CD=12∴AD＝CD＝BD，∴∠A＝∠DCA，∠B＝∠DCB，∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，∴2∠A+2∠B＝180°，∴∠A+∠B＝90°，∴△ABC是直角三角形，綜上所述：能判斷△ABC是直角三角形的有3個(gè)．故選：C．8．如圖，在△ABC中，∠A＝∠ABC，BH是∠ABC的平分線，BD和CD是△ABC兩個(gè)外角的平分線，D、C、H三點(diǎn)在一條直線上，下列結(jié)論中：①DB⊥BH；②∠D=90°-12∠A；③DH∥AB；④∠H=1A．①②③ B．①③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤【分析】①根據(jù)BH、BD是∠ABC與∠CBE的平分線，可得∠ABC＝2∠CBH，∠CBE＝2∠CBD，再由鄰補(bǔ)角的性質(zhì)，可得①正確；②根據(jù)BD和CD是△ABC兩個(gè)外角的平分線，可得∠D=180°-12(180°-∠ABC)-12(180°-∠ACB)，可得②正確；③根據(jù)∠A＝∠ABC，可得∠BCF＝∠A+∠ABC＝2∠ABC，可得∠BCD＝∠ABC，可得③正確；④根據(jù)∠D=90°-12∠A，∠DBH=90°，可得④正確；⑤根據(jù)∠ABC+∠CBE＝180【解答】解：①∵BH、BD是∠ABC與∠CBE的平分線，∴∠ABC＝2∠CBH，∠CBE＝2∠CBD，∵∠ABC+∠CBE＝180°，∴∠CBH+∠CBD＝90°，即∠DBH＝90°，∴DB⊥BH，故①正確；②∵BD和CD是△ABC兩個(gè)外角的平分線，∴∠D＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB＝180°-=180°-=1=1=90°-12③∵∠A＝∠ABC，∴∠BCF＝∠A+∠ABC＝2∠ABC，∵CD是∠BCF的平分線，∴∠BCD=∴DH∥AB，故③正確；④∵∠D=90∴∠H=90°-∠D=⑤∵∠ABC+∠CBE＝180°，BD平分∠CBE，∴∠CBD=∵∠A＝∠ABC，∴∠CBD=90∵∠D=90∴∠CBD＝∠D，故⑤正確．綜上所述，正確的有①②③④⑤．故選：D．二．填空題（共9小題）9．如圖所示，從八邊形ABCDEFGH的頂點(diǎn)A出發(fā)，最多可以作出5條對角線．【分析】利用n邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引出（n﹣3）條對角線可得答案．【解答】解：從八邊邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，最多可以引出該八邊形的對角線的條數(shù)是8﹣3＝5，故答案為：5．10．如圖，在四邊形ABCD中，∠D＝60°，若沿圖中虛線剪去∠D，則∠1+∠2＝240°．【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)外角之間的關(guān)系可得∠1+∠2＝240°．【解答】解：∵三角形的內(nèi)角和等于180°，∠D＝60°，∴∠1＝∠D+∠DFE，∠2＝∠D+∠DEF，∵∠DEF+∠DFE+∠D＝180°，∴∠1+∠2＝∠DEF+∠DFE+∠D+∠D＝180°+60°＝240°．故答案為：240°．11．如圖，∠ACD是△ABC的外角，且∠ACD＝65°，∠A＝35°，則∠B＝30度．【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角與外角之間的關(guān)系解答即可．【解答】解：∵∠ACD＝65°，∠A＝35°，∴∠B＝∠ACD﹣∠A，＝65°﹣35°＝30°．故答案為：30．12．如圖，一種滑翔傘的形狀是左右對稱的四邊形ABCD，其中∠BAD＝150°，∠B＝∠D＝40°，則∠BCD的度數(shù)是130°．【分析】根據(jù)題意滑翔傘的形狀是左右成軸對稱的四邊形ABCD，得出∠D＝40°，再利用四邊形內(nèi)角和定理求出∠BCD＝360°﹣150°﹣40°﹣40°，即可得出答案．【解答】解：∵一種滑翔傘的形狀是左右成軸對稱的四邊形ABCD，其中∠BAD＝150°，∠D＝∠B＝40°，∴∠BCD＝360°﹣150°﹣40°﹣40°＝130°．故答案為：130．13．如圖，若∠A＝∠B＝∠C＝35°，則∠CDB＝105°．【分析】延長BD交AC于D，由三角形的外角的性質(zhì)即可求解．【解答】解：延長BD交AC于D，∵∠BDC＝∠DEC+∠C，∠DEC＝∠A+∠B，∴∠BDC＝∠A+∠B+∠C，∴∠CDB＝35°+35°+35°＝105°，故答案為：105．14．如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，且BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB，若∠BA′C＝115°，則∠1+∠2的度數(shù)為100°．【分析】連接A'A，先求出∠BAC，再求出∠1+∠2＝2∠DAA'+2∠EAA'＝2∠BAC即可解決問題．【解答】解：如圖，連接AA'，∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，∴∠A'BC=12∠ABC，∠A'CB=1∵∠BA'C＝115°，∴∠A'BC+∠A'CB＝180°﹣115°＝65°，∴∠ABC+∠ACB＝130°，∴∠BAC＝180°﹣130°＝50°，∵沿DE折疊，∴∠DAA'＝∠DA'A，∠EAA'＝∠EA'A，∵∠1＝∠DAA'+∠DA'A＝2∠DAA'，∠2＝∠EAA'+∠EA'A＝2∠EAA'，∴∠1+∠2＝2∠DAA'+2∠EAA'＝2∠BAC＝2×50°＝100°，故答案為：100°．15．如圖，將一副三角尺的兩個(gè)銳角（30°角和45°角）的頂點(diǎn)P疊放在一起，沒有重疊的部分分別記作∠1和∠2，若∠1與∠2的和為61°，則∠APC的度數(shù)是68°．【分析】先求30°和45°重合部分的角的度數(shù)，再加上∠1與∠2的和即可得到答案．【解答】解：三角板重合部分的角的度數(shù)＝（30+45﹣61）÷2＝7°，∴∠APC＝7°+∠1+∠2＝7°+61°＝68°．故答案為：68°．16．如圖所示，△ABC中∠C＝80°，AC邊上有一點(diǎn)D，使得∠A＝∠ABD，將△ABC沿BD翻折得△A′BD，此時(shí)A′D∥BC，則∠ABC＝75度．【分析】設(shè)∠A＝∠ABD＝x，根據(jù)翻折得，∠A＝∠DBA′＝∠A′＝∠ABD＝x，由A′D∥BC，∠A′＝∠CBA′＝x，所以∠CBA＝∠CBA′+∠A′BD+∠ABD＝3x，由三角形內(nèi)角和定理求得即可．【解答】解：設(shè)∠A＝∠ABD＝x，∵△ABC沿BD翻折得△A′BD，∴∠A＝∠DBA′＝∠A′＝∠ABD＝x，∵A′D∥BC，∴∠A′＝∠CBA′＝x，∴∠CBA＝∠CBA′+∠A′BD+∠ABD＝3x，由三角形內(nèi)角和定理得，∠A+∠ABC+∠C＝180°，x+3x+80°＝180°，x＝25°，∴3x＝3×25°＝75°，故答案為：75．17．如圖①，我們知道，光線射向一個(gè)平面鏡被反射后，兩條光線與平面鏡的夾角相等（∠1＝∠2）．如圖②，光線照射到平面鏡甲上，會(huì)反射到平面鏡乙，然后光線又會(huì)射到平面鏡甲上，……．若∠α＝55°，∠γ＝75°，則∠β＝65°．【分析】根據(jù)題意可得：∠α＝∠1＝55°，∠β＝∠2，∠γ＝∠3＝75°，由三角形的內(nèi)角和定理可求解∠4的度數(shù)，結(jié)合平角的定義可求解．【解答】解：如圖，由題意知：∠α＝∠1＝55°，∠β＝∠2，∠γ＝∠3＝75°，∵∠1+∠3+∠4＝180°，∴∠4＝50°，∵∠2+∠4+∠β＝180°，∴∠β＝65°，故答案為：65．三．解答題（共9小題）18．求如圖中x的值．【分析】（1）由三角形的外角的性質(zhì)，可得x+（x+5）＝x+85，即可求解；（2）由四邊形的內(nèi)角和是360°，可得x+（x+40）+（x+20）+90＝360，即可求解．【解答】解：（1）∵x+（x+5）＝x+85，∴x＝80；（2）∵x+（x+40）+（x+20）+90＝360，∴x＝70．19．如圖，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC邊上的高，求∠ABD的度數(shù)．【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理與∠C＝∠ABC＝2∠A，即可求得∠A的度數(shù)，再根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余求得∠ABD的度數(shù)．【解答】解：∵∠C＝∠ABC＝2∠A，∴∠C+∠ABC+∠A＝5∠A＝180°，∴∠A＝36°．又∵BD是AC邊上的高，則∠ABD＝90°﹣∠A＝90°﹣36°＝54°．20．如圖，在△ABC中，∠B＝25°，∠BAC＝31°，過點(diǎn)A作BC邊上的高，交BC的延長線于點(diǎn)D，CE平分∠ACD，交AD于點(diǎn)E．求：（1）∠ACD的度數(shù)；（2）∠AEC的度數(shù)．【分析】（1）利用三角形的外角的性質(zhì)求解即可．（2）求出∠ECD，∠D，利用三角形的外角的性質(zhì)求解即可．【解答】解：（1）∵∠ACD＝∠B+∠BAC，∠B＝25°，∠BAC＝31°，∴∠ACD＝25°+31°＝56°．（2）∵AD⊥BD，∴∠D＝90°，∵∠ACD＝56°，CE平分∠ACD，∴∠ECD=12∠ACD＝∴∠AEC＝∠ECD+∠D＝28°+90°＝118°．21．已知，如圖三角形ABC，點(diǎn)D是三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接BD，CD．試探究∠BDC與∠A、∠1、∠2之間的關(guān)系并說明理由．【分析】由三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，得到∠BDC＝∠1+∠BED，∠BED＝∠A+∠2，于是可以得到結(jié)論．【解答】解：∠BDC＝∠1+∠2+∠A，理由如下：延長CD交AB于E，∵∠BDC＝∠1+∠BED，∠BED＝∠A+∠2，∴∠BDC＝∠1+∠2+∠A．22．如圖是一個(gè)凹多邊形，∠A＝90°，∠C＝106°，∠D＝116°，∠E＝100°；求∠1+∠2的值．【分析】連接BF，由∠A＝90°，得∠AFB+∠ABF＝90°，根據(jù)五邊形內(nèi)角和公式可得∠1+∠2+90°+106°+116°+100°＝540°，故∠1+∠2＝128°．【解答】解：連接BF，如圖：∵∠A＝90°，∴∠AFB+∠ABF＝90°，∵五邊形BCDEF的內(nèi)角和為（5﹣2）×180°＝540°，∴∠1+∠2+∠AFB+∠ABF+∠C+∠D+∠E＝540°，∴∠1+∠2+90°+106°+116°+100°＝540°，∴∠1+∠2＝128°．23．如圖，在△ABC中，AD是高，AE，BF分別是∠BAC，∠ABC的角平分線，它們相交于點(diǎn)O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAE和∠BOA的度數(shù)．【分析】因?yàn)锳D是高，所以∠ADC＝90°，又因?yàn)椤螩＝70°，所以∠DAC度數(shù)可求；因?yàn)椤螧AC＝50°，∠C＝70°，所以∠BAO＝25°，∠ABC＝60°，BF是∠ABC的角平分線，則∠ABO＝30°，故∠BOA的度數(shù)可求．【解答】解：∠DAC＝90°﹣∠C＝20°，∠ABC＝180°﹣∠C﹣∠BAC＝60°又∵AE，BF分別是∠BAC，∠ABC的平分線，∴∠ABF=12∴∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC＝5°，∵BF是∠ABC的角平分線∴∠ABO＝30°∴∠BOA＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝180°﹣25°﹣30°＝125°．24．我們將內(nèi)角互為對頂角的兩個(gè)三角形稱為“對頂三角形”．例如，在圖1中，△AOB的內(nèi)角∠AOB與△COD的內(nèi)角∠COD互為對頂角，則△AOB與∠COD為“對頂三角形”，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理知“對頂三角形”有如下性質(zhì)：∠A+∠B＝∠C+∠D．性質(zhì)理解：（1）如圖1，在“對頂三角形”△AOB與∠COD中，則∠AOB＝70°，則∠C+∠D＝110°．性質(zhì)應(yīng)用：（2）如圖2，在△ABC中，AD、BE分別平分∠BAC和∠ABC，若∠C＝60°，∠ADE比∠BED大6°，求∠BED的度數(shù)．拓展提高：（3）如圖3，BE、CD是△ABC的角平分線，且∠BDC和∠BEC的平分線DP和EP相交于點(diǎn)P，設(shè)∠A＝α，直接寫出∠P的度數(shù)（用含α的式子表示∠P）．【分析】（1）利用對頂三角形的性質(zhì)求解即可；（2）利用對頂三角形的性質(zhì)，結(jié)合圖形進(jìn)行分析即可求解；（3）由題意得∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，再由角平分線的定義可求得：∠ABE+∠ACD=12【解答】解：（1）在“對頂三角形”△AOB與∠COD中，則∠AOB＝70°，∴∠C+∠D＝∠A+∠B＝180°﹣∠AOB＝110°，故答案為：110；（2）在△ABC中，∠C＝60°，∴∠BAC+∠ABC＝120°．∵AD、BE分別平分∠BAC和∠ABC，∴∠FBA+∴∠ADE+∠BED＝60°．又∵∠ADE﹣∠BED＝6°，∴∠ADE＝33°，∠BED＝27°；（3）在△ABC中，∠A＝α，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣α．∵BE、CD分別平分∠ABC和∠ACB，∴∠ABE=∠CBE=∴∠ABE+∵∠BDC和∠BEC的平分線DP和EP相交于點(diǎn)P，∴∠CEP=12∵∠CEP+∠ACD＝∠CDP+∠P，∴∠P=即∠P=4525．如圖，△AOB與△COD中的∠AOB與∠COD是對頂角．（1）如圖1，證明：∠A+∠B＝∠C+∠D；（2）如圖2，AP，DP分別是∠BAO，∠CDO的平分線，探索∠P，∠B和∠C之間的數(shù)量關(guān)系并加以證明；（3）如圖3，∠BAO與∠CDO的相鄰補(bǔ)角平分線交于點(diǎn)P，探索∠P，∠B和∠C之間的數(shù)量關(guān)系并加以證明．【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°，根據(jù)對頂角相等∠AOB＝∠CDO，即可得證；（2）根據(jù)角平分線的定義得出∠BAP＝∠PAC=12∠BAO，∠BDP＝∠PDC=12∠CD