第1課時　周期性與奇偶性 高一數(shù)學

5.4.2

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)第1課時

周期性與奇偶性自主預習·新知導學合作探究·釋疑解惑易

錯

辨

析

自主預習·新知導學一、函數(shù)的周期性1.由正弦函數(shù)的圖象可知,橫坐標每隔2π個單位長度,就會出現(xiàn)縱坐標相同的點,這種“周而復始”的變化規(guī)律,體現(xiàn)了正弦函數(shù)具有什么樣的性質(zhì)?提示:周期性.2.設f(x)=sinx,根據(jù)誘導公式sin(x+2kπ)=sinx(k∈Z),你會得出怎樣的關系式?提示:f(x+2kπ)=f(x).3.(1)一般地,設函數(shù)f(x)的定義域為D,如果存在一個非零常數(shù)T,使得對每一個x∈D,都有x+T∈D,且

f(x+T)=f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù),非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期.(2)如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù),那么這個最小正數(shù)叫做f(x)的最小正周期.二、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性1.函數(shù)y=sinx和y=cosx是周期函數(shù)嗎?若是,請給出證明;若不是,請說明理由.提示:是.∵sin(x+2π)=sin

x,cos(x+2π)=cos

x,∴y=sin

x和y=cos

x都是周期函數(shù),且2π是它們的一個周期.2.函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)和f(x)=Acos(ωx+φ)(其中A,ω,φ為常數(shù),且A≠0,ω>0)是周期函數(shù)嗎?若是,請給出證明;若不是,請說明理由.3.正弦函數(shù)是周期函數(shù),2kπ(k∈Z,且k≠0)都是它的周期,最小正周期是2π.類似地,余弦函數(shù)也是周期函數(shù),2kπ(k∈Z,且k≠0)都是它的周期,最小正周期是2π.答案:π三、函數(shù)的奇偶性1.根據(jù)誘導公式三可知,對于x∈R,sin(-x)=-sinx,cos(-x)=cosx,這說明正弦函數(shù)、余弦函數(shù)具備怎樣的性質(zhì)?提示:奇偶性,正弦函數(shù)y=sin

x是奇函數(shù),余弦函數(shù)y=cos

x是偶函數(shù).3.正弦函數(shù)是奇函數(shù),余弦函數(shù)是偶函數(shù).4.函數(shù)

的奇偶性為(

)A.奇函數(shù)

B.偶函數(shù)C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)

D.非奇非偶函數(shù)答案:A【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)打“√”,錯誤的打“×”.(1)因為函數(shù)f(x)=x2滿足f(-3+6)=f(-3),所以f(x)=x2是以6為周期的周期函數(shù).(×)(2)正弦函數(shù)y=sinx的圖象關于y軸對稱.(×)(3)任何周期函數(shù)都有最小正周期.(×)(4)正弦函數(shù)y=sinx的圖象關于原點成中心對稱.(√)

合作探究·釋疑解惑探究一求與正弦函數(shù)、余弦函數(shù)有關的函數(shù)的周期(3)畫出函數(shù)y=|cos

x|的圖象如圖所示,

觀察圖象可知此函數(shù)的最小正周期是π.1.在本例(3)中,把函數(shù)y=|cosx|(x∈R)改為y=|sinx|(x∈R),則最小正周期為多少?解:畫出函數(shù)y=|sin

x|的圖象如圖所示,觀察圖象可知該函數(shù)的最小正周期是π.2.在本例(3)中,將函數(shù)y=|cosx|(x∈R)改為y=|sinx-2|(x∈R),則最小正周期是多少?解:因為-1≤sin

x≤1,所以y=|sin

x-2|=2-sin

x.畫出y=2-sin

x的圖象(圖略)可知最小正周期是2π.反思感悟求與三角函數(shù)有關的函數(shù)的周期的方法(1)定義法,即利用周期函數(shù)的定義求解.(2)公式法,形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(A,ω,φ是常數(shù),A≠0,ω≠0)的函數(shù)的周期為(3)觀察法,即通過觀察函數(shù)的圖象求其周期.【變式訓練1】

(多選題)下列函數(shù)是以π為周期的函數(shù)是(

)答案:ABC探究二判斷與正弦函數(shù)、余弦函數(shù)有關的函數(shù)的奇偶性分析:(1)先化簡,再判斷;(2)先求定義域,再判斷.反思感悟判斷函數(shù)的奇偶性的關鍵點:(1)看函數(shù)的定義域是否關于原點對稱;(2)看f(x)與f(-x)的關系.判斷三角函數(shù)的奇偶性時,可根據(jù)誘導公式先將函數(shù)式化簡再判斷.【變式訓練2】

(1)函數(shù)

(

)A.是奇函數(shù)

B.是偶函數(shù)C.是非奇非偶函數(shù) D.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)(2)已知a∈R,函數(shù)f(x)=sinx-|a|(x∈R)為奇函數(shù),則a=

.

所以f(x)是偶函數(shù),故選B.(2)函數(shù)定義域為R.∵f(x)為奇函數(shù),∴f(-x)=sin(-x)-|a|=-sin

x-|a|=-f(x)=-sin

x+|a|.∴|a|=0.∴a=0.答案:(1)B

(2)0探究三

三角函數(shù)周期性與奇偶性的綜合反思感悟解決三角函數(shù)的奇偶性與周期性綜合問題的方法:利用函數(shù)的周期性,可以把x+nT(n∈Z)的函數(shù)值轉(zhuǎn)化為x的函數(shù)值.利用奇偶性,可以找到-x與x的函數(shù)值的關系,從而解決求值問題.易

錯

辨

析函數(shù)的變形不等價導致判斷奇偶性錯誤所以f(-x)=f(x).所以f(x)是偶函數(shù).以上解答過程中都有哪些錯誤?出錯的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:忽視函數(shù)的定義域?qū)е洛e解.防范措施判斷函數(shù)的奇偶性,要按函數(shù)奇偶性的定義加以判斷,一般不