2024屆遼寧省沈陽市高三下冊5月數(shù)學(xué)仿真模擬試卷（四模）附解析

2024屆遼寧省沈陽市高三下學(xué)期5月數(shù)學(xué)仿真模擬試卷（四模）說明：1.測試時(shí)間：120分鐘總分：150分2.客觀題涂在答題紙上，主觀題答在答題紙的相應(yīng)位置上第Ⅰ卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則（）A. B.C. D.2.從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，那么互斥而不對立的兩個(gè)事件是（）A.至少有一個(gè)黑球與都是黑球 B.至少有一個(gè)黑球與都是紅球C.恰有一個(gè)黑球與恰有兩個(gè)黑球 D.至少有一個(gè)黑球與至少有一個(gè)紅球3.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在直線上.若向量，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.4.已知單位圓上一點(diǎn)，現(xiàn)將點(diǎn)繞圓心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（）A. B.C. D.5.已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（）A. B.C. D.6.雙曲線的第三定義是：到兩條相交直線的距離之積是定值的點(diǎn)的軌跡是（兩組）雙曲線.研究發(fā)現(xiàn)，函數(shù)的圖象實(shí)際上是雙曲線.進(jìn)一步探究可以發(fā)現(xiàn)對勾函數(shù)，的圖象是以直線，為漸近線的雙曲線.現(xiàn)將函數(shù)的圖象繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到焦點(diǎn)位于軸上的雙曲線，則它的離心率是（）A. B. C. D.7.已知定義在上的函數(shù)滿足：對任意，恒成立，其中為的導(dǎo)函數(shù)，則不等式的解集為（）A. B. C. D.8.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：任意一個(gè)三次多項(xiàng)式函數(shù)的圖象都只有一個(gè)對稱中心點(diǎn)，其中是的根，是的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù).若函數(shù)圖象的對稱點(diǎn)為，且不等式對任意恒成立，則（）A. B.C.的值不可能是 D.的值可能是二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，方程有一個(gè)虛根為，為虛數(shù)單位，另一個(gè)虛根為，則（）A. B.該方程的實(shí)數(shù)根為1C. D.10.如圖，在長方體中，，，是棱上的一點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，C，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面，則B.存在點(diǎn)，使得平面C.若，C，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面，則四棱錐的體積為定值D.若，C，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面，則四邊形的面積不為定值11.已知函數(shù)和其導(dǎo)函數(shù)的定義域都是，若與均為偶函數(shù)，則（）A.B.關(guān)于點(diǎn)對稱C.D.三、填空題：本題共三小題，每小題5分，共15分.12.若點(diǎn)在圓外，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.13.某班成立了A，B兩個(gè)數(shù)學(xué)興趣小組，A組10人，B組30人，經(jīng)過一周的學(xué)習(xí)后進(jìn)行了一次測試，在該測試中，A組的平均成績?yōu)?30分，方差為115，B組的平均成績?yōu)?10分，方差為215.則在這次測試中全班學(xué)生方差為__________.14.人們很早以前就開始探索高次方程的數(shù)值求解問題.牛頓（IssacNewton，1643—1727）在《流數(shù)法》一書中給出了牛頓法：用“作切線”的方法求方程的近似解.具體步驟如下：設(shè)是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，任意選取作為的初始近似值，過點(diǎn)作曲線的切線，設(shè)與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，并稱為的1次近似值；過點(diǎn)作曲線的切線，設(shè)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，稱為r的2次近似值.一般地，過點(diǎn)作曲線的切線，記與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，并稱為r的次近似值.若，取作為r的初始近似值，則的正根的二次近似值為__________.若，，設(shè)，，數(shù)列的前項(xiàng)積為.若任意，恒成立，則整數(shù)的最小值為__________.四、解答題：本題共5小題，共77分.15.（13分）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.（1）求角A的大?。唬?）若為銳角三角形，點(diǎn)F為的垂心，，求的取值范圍.16.（15分）如圖，三棱柱中，側(cè)面底面，，，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，，.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的余弦值.17.（15分）某校舉行籃球比賽，規(guī)則如下：甲、乙每人投3球，進(jìn)球多的一方獲得勝利，勝利1次，則獲得一個(gè)積分，平局或者輸方不得分.已知甲和乙每次進(jìn)球的概率分別是和，且每人進(jìn)球與否互不影響.（1）若，求乙在一輪比賽中獲得一個(gè)積分的概率；（2）若，且每輪比賽互不影響，乙要想至少獲得3個(gè)積分且每輪比賽至少要超甲2個(gè)球，從數(shù)學(xué)期望的角度分析，理論上至少要進(jìn)行多少輪比賽？18.（17分）已知拋物線：，過點(diǎn)的直線與拋物線E交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)拋物線E在點(diǎn)A，B處的切線分別為和，已知與x軸交于點(diǎn)M，與x軸交于點(diǎn)N，設(shè)與的交點(diǎn)為P.（1）證明：點(diǎn)P在定直線上；（2）若面積為，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）若P，M，N，T四點(diǎn)共圓，求點(diǎn)P的坐標(biāo).19.記，若存在，滿足：對任意，均有，則稱為函數(shù)在上的最佳逼近直線.已知函數(shù)，.（1）請寫出在上的最佳逼近直線，并說明理由；（2）求函數(shù)在上的最佳逼近直線.

數(shù)學(xué)答案1.【正確答案】D【分析】本題考查并集運(yùn)算、交集運(yùn)算、補(bǔ)集運(yùn)算、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的值域，屬于基礎(chǔ)題.化簡集合，，再對各選項(xiàng)逐項(xiàng)判定，即可求出結(jié)果.解：因?yàn)榧?，，所以，故A錯(cuò)誤，D正確；所以，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，故C錯(cuò)誤.故選D.2.【正確答案】C【分析】本題考查互斥事件與對立事件，屬于基礎(chǔ)題.列舉每個(gè)事件所包含的基本事件，結(jié)合互斥事件和對立事件的定義，依次驗(yàn)證即可得到結(jié)果.解：A.“至少有一個(gè)黑球”發(fā)生時(shí)，“都是黑球”也會(huì)發(fā)生，故A不互斥，當(dāng)然不對立；B.“至少有一個(gè)黑球”說明有黑球，黑球的個(gè)數(shù)可能是1或2，而“都是紅球”說明沒有黑球，黑球的個(gè)數(shù)是0，這兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生，且必有一個(gè)發(fā)生，故B是對立的；C.“恰有1個(gè)黑球”與“恰有2個(gè)黑球”互斥，但不是必有一個(gè)發(fā)生，故不對立；D.“至少有一個(gè)黑球”，黑球的個(gè)數(shù)可能是1或2，表明紅球個(gè)數(shù)為0或1，這與“至少有1個(gè)紅球”不互斥，因此它們不對立.故選C.3.【正確答案】C【分析】本題投影向量的計(jì)算，向量的數(shù)量積的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.根據(jù)題意，設(shè)的坐標(biāo)為，求出的值，進(jìn)而計(jì)算可得答案.解：根據(jù)題意，設(shè)的坐標(biāo)為，所以，所以，又由點(diǎn)在直線上，則，故，故在上的投影向量.故選：C.4.【正確答案】C【分析】本題考查任意角的三角函數(shù)的定義，考查兩角和與差的余弦公式，屬于基礎(chǔ)題.記，的終邊分別為，，由條件知，，又，結(jié)合兩角和與差的余弦公式計(jì)算即可求解.解：記，的終邊分別為，，由條件知，，故得，即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，故選C.5.【正確答案】C【分析】本題考查數(shù)列與函數(shù)相結(jié)合，數(shù)列求和以及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，裂項(xiàng)相消法求和，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，屬于中檔題.利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率，得到，然后利用裂項(xiàng)相消法求解數(shù)列的前項(xiàng)和即可.解：函數(shù)，可得：，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為，可得.，則數(shù)列的前項(xiàng)的和為.故選C.6.【正確答案】D【分析】本題主要考查雙曲線的漸近線與離心率，考查正切的二倍角公式，屬于中檔題.首先確定旋轉(zhuǎn)前雙曲線的漸近線，得到該函數(shù)對應(yīng)的雙曲線焦點(diǎn)在，夾角（銳角）的角平分線上，根據(jù)斜率與傾斜角關(guān)系、二倍角正切公式求雙曲線漸近線斜率，進(jìn)而求雙曲線離心率.解：由題意得的兩條漸近線分別為，，所以該函數(shù)對應(yīng)的雙曲線焦點(diǎn)在，夾角（銳角）的角平分線上，所以繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到焦點(diǎn)位于軸上的雙曲線一條漸近線的傾斜角為，因?yàn)?，所以（?fù)值舍去），設(shè)此時(shí)雙曲線方程為，，，則，故.故選：D.7.【正確答案】D【分析】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與構(gòu)造法的應(yīng)用，考查了邏輯推理能力與運(yùn)算能力，屬于中檔題.設(shè)函數(shù)，結(jié)合已知條件，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，不等式，即，得到，解之即可.解：設(shè)函數(shù)，因?yàn)閷θ我?，恒成立，所以，∴在上單調(diào)遞增.∵不等式，即，∴，解得，∴不等式的解集為，故選D.8.【正確答案】A【分析】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，屬于中檔題.由題意可得且，由此列式求得與的值，可判斷A，B；，等價(jià)于，利用放縮法求得不等式右側(cè)的最小值，可得的范圍，由此判斷C與D.解：由題意得，∵，，∴，解得，，故A正確，B錯(cuò)誤；此時(shí)，∵，∴等價(jià)于，當(dāng)時(shí)，，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立），從而，故，故C，D錯(cuò)誤.故選A.9.9.BD【詳解】由是方程的根，得，整理得，而，因此，解得，對于A，，A錯(cuò)誤；對于BC，方程，變形為，顯然此方程還有一個(gè)實(shí)根1，另一個(gè)虛根，B正確，C錯(cuò)誤；對于D，，D正確.10.BCD【詳解】在長方體中，若，C，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面，平面平面，平面平面，平面平面，則，同理，對于A，由，C，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面，得，則，，于是，若E不是棱的中點(diǎn)，則有，A錯(cuò)誤；對于B，當(dāng)E是棱的中點(diǎn)時(shí)，由選項(xiàng)A知，F(xiàn)為的中點(diǎn)，四邊形是平行四邊形，則，而平面，平面，因此平面，B正確；對于C，由長方體性質(zhì)知，且平面，平面，則平面，同理可得平面，即點(diǎn)E，F(xiàn)到平面的距離為定值，又的面積為定值，因此三棱錐和三棱錐的體積都為定值，四棱錐的體積為定值，C正確；對于D，當(dāng)點(diǎn)E為中點(diǎn)時(shí)，是菱形，，，四邊形的面積為，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，F(xiàn)與D重合，四邊形為矩形，面積為，四邊形的面積不為定值，D正確.11.BC【詳解】假設(shè)，則，則，與都為偶函數(shù)，則所設(shè)函數(shù)符合題意，此時(shí)，故A錯(cuò)誤；因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，即，令，則，所以關(guān)于點(diǎn)對稱，故B正確；又，，所以，由，得，則，所以，由知函數(shù)周期為4，則的周期也為4，則，所以C正確.因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，即，即，因?yàn)?，所以，所以，則，故，所以，所以，又，，所以，所以無法確定的值，所以D錯(cuò)誤；12.13.265【分析】利用各層方差與總體方差之間的關(guān)系式可求全班學(xué)生方差.【詳解】依題意，，，，∴（分），∴全班學(xué)生的平均成績?yōu)?15分.全班學(xué)生成績的方差為.14.2【詳解】，切線方程為，故，當(dāng)時(shí)，，.，，切線方程為，則，，故，函數(shù)為增函數(shù)，，，故，故，即，為整數(shù)，.15.【正確答案】（1）（2）16.【正確答案】（1）證明見解析；（2）解：（1）由題意得，即.因?yàn)槠矫嫫矫?，且交線為，由，平面，得平面.由平面，得，.因?yàn)?，，且平面，所以平?由平面，得.設(shè)，，有，解得：即所以，滿足，即.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為x，y，z軸的正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.，，，設(shè)平面的法向量，由，得到平面的一個(gè)法向量.又，設(shè)直線與平面所成角的大小為，則，.所以直線與平面所成角的余弦值為.17.【正確答案】（1）（2）12【詳解】（1）設(shè)事件表示甲在一輪比賽中投進(jìn)個(gè)球，表示乙在一輪比賽中投進(jìn)個(gè)球，則，，，；，，，.若乙在一輪比賽中獲得一個(gè)積分，則乙勝利1次，故其概率.（2）設(shè)事件C表示乙每場比賽至少要超甲2個(gè)球，則；設(shè)隨機(jī)變量X表示n輪比賽后，乙在每輪比賽至少要超甲2個(gè)球的情況下獲得的積分，顯然，故，要滿足題意，則，即，又，故，令，，則在恒成立，故在上單調(diào)遞增，又的最大值為則的最大值為，的最小值為，而故理論上至少要進(jìn)行12輪比賽.18.【正確答案】（1）（2）或（3）解：（1）由，得，，設(shè)，，，所以方程為：，整理得.同理可得，方程為：聯(lián)立方程方程解得，因?yàn)辄c(diǎn)T在拋物線內(nèi)部，可知直線的斜率存在，且與拋物線必相交，設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立得：，故，所以，所以，，可知所以點(diǎn)在定直線上.（2）在，的方程中，令，得，，所以面積故或所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為或（3）若，則，重合，與題設(shè)矛盾.拋物線焦點(diǎn)，由得直