人教版七年級數(shù)學下冊同步精講精練專題：與相交線有關(guān)的角度計算(原卷版+解析)

七年級下冊數(shù)學《第五章相交線與平行線》專題與相交線有關(guān)的角度計算題型一直接利用相交線的性質(zhì)求角度題型一直接利用相交線的性質(zhì)求角度【例題1】（1）寫出∠AOE的余角和補角；（2）若∠BOF＝30°，求∠AOE和∠COG的度數(shù)．【變式1-1】（2022秋?江北區(qū)校級期末）如圖，直線AB，CD相交于點O，OA平分∠EOC，若∠EOD＝88°，求∠BOD的度數(shù)．【變式1-2】（2022秋?天河區(qū)校級期末）如圖，直線AB與CD相交于點O，OE是∠BOC的平分線，如果∠BOC：∠DOF：∠AOC＝1：2：4．求∠BOE和∠DOF的度數(shù)．【變式1-3】（2022秋?清水縣校級期末）如圖，直線AB與CD相交于點O，∠COE＝80°，∠COF：∠AOC＝2：3，射線OE平分∠BOF，求∠BOD的度數(shù)．【變式1-4】（2022春?華陰市期末）如圖，直線AB與CD相交于點O，OE是∠BOC的平分線，如果∠BOC：∠DOF：∠AOC＝1：3：5．求∠EOF的度數(shù)．【變式1-5】（2022秋?永興縣期末）如圖，直線AB和直線CD相交于點O，OB平分∠EOD．（1）若∠EOC＝110°，求∠BOD的度數(shù)；（2）若∠DOE：∠EOC＝2：3，求∠AOC的度數(shù)．【變式1-6】（2022秋?夏邑縣期末）如圖，直線AB、CD相交于點O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠AOD＝2∠BOD．（1）求∠DOE的度數(shù)；（2）求∠BOF的度數(shù)．【變式1-7】（2022秋?江夏區(qū)校級期末）如圖，直線AB、CD相交于點O，OA平分∠EOC．（1）若∠BOD＝38°，求∠EOD的度數(shù)；（2）若∠EOC=45∠EOD，求∠【變式1-8】（2022秋?榮昌區(qū)期末）如圖，直線AB與CD相交于點O，OC平分∠AOM，且∠AOM＝90°，射線ON在∠BOM內(nèi)部．（1）求∠AOD的度數(shù)；（2）若∠BOC＝5∠NOB，求∠MON的度數(shù)．題型二利用垂線的性質(zhì)求角度題型二利用垂線的性質(zhì)求角度【例題2】（2022秋?興化市校級期末）如圖，直線AB與CD相交于點O，OE⊥AB，OF⊥CD．（1）圖中與∠COE互余的角是；（把符合條件的角都寫出來）（2）如果∠AOC=27∠EOF【變式2-1】（2022春?惠州期末）如圖所示，直線AB，CD相交于點O，射線OE、OF在∠AOD內(nèi)，且OD平分∠BOE，OF⊥CD，已知∠AOC：∠AOD＝1：5，求∠EOF的度數(shù)．【變式2-2】（2022秋?綠園區(qū)期末）如圖：已知直線AB、CD相交于點O，EO⊥CD．（1）若∠AOC＝34°，求∠BOE的度數(shù)；（2）若∠BOD：∠BOC＝1：4，求∠AOE的度數(shù)．【變式2-3】（2022秋?南關(guān)區(qū)校級期末）如圖，OB⊥OD，OC平分∠AOD，∠BOC＝40°，求∠AOB的大?。咀兪?-4】（2022春?長垣市期末）如圖，直線AB與CD相交于點O，OE平分∠AOD．（1）如果∠AOC＝60°，求∠DOE的度數(shù)；（2）如圖，作OF⊥OE，試說明OF平分∠BOD．【變式2-5】（2022春?道外區(qū)期末）如圖，直線AB、CD相交于點O，OE平分∠AOC．（1）若∠DOE＝130°，求∠BOC的度數(shù)；（2）過點O作OF⊥OE，請直接寫出和∠BOF互補的角．【變式2-6】（2021秋?玄武區(qū)期末）如圖，直線AB、CD相交于點O，OE⊥CD，垂足為O，OM平分∠BOE，∠AOC＝50°．（1）求∠DOM的度數(shù)；（2）在∠AOM的內(nèi)部畫射線ON，使得∠MON＝45°，那么ON是∠AOD的平分線嗎？請說明理由．【變式2-7】（2022春?蚌埠期末）已知，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．（1）如圖1，若OA⊥OB，∠BOC＝60°，求∠MON的度數(shù)；（2）如圖2，若∠AOB＝80°，∠MON：∠AOC＝2：7，求∠AON的度數(shù)．題型三通過計算說明兩角的數(shù)量關(guān)系題型三通過計算說明兩角的數(shù)量關(guān)系【例題3】（2022春?渭城區(qū)期中）將下面的解答過程補充完整：已知：如圖，直線AB，CD相交于點O，OE平分∠AOF，∠COE＝90°．試說明：∠FOB＝2∠AOC．解：因為OE平分∠AOF，所以∠AOE＝∠EOF．（）因為∠COE＝90°，所以∠AOC+∠AOE＝90°．因為直線AB，CD相交于點O，所以∠EOD＝180°﹣∠COE＝90°，所以∠EOF+∠FOD＝90°．所以∠AOC＝（）．因為直線AB，CD相交于點O，所以（），所以∠FOB＝∠FOD+∠BOD＝2∠AOC．【變式3-1】（2021秋?蓮都區(qū)期末）如圖，直線AE與CD相交于點B，BF⊥AE．（1）若∠DBE＝60°，求∠FBD的度數(shù)；（2）猜想∠CBE與∠DBF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【變式3-2】如圖，直線AB與CD相交于O．OF是∠BOD的平分線，OE⊥OF．（1）若∠BOE比∠DOF大38°，求∠DOF和∠AOC的度數(shù)；（2）試問∠COE與∠BOE之間有怎樣的大小關(guān)系？請說明理由．（3）∠BOE的余角是，∠BOE的補角是．【變式3-3】直線AB、CD相交于點O，OE平分∠BOD，OF⊥CD，垂足為O．（1）若∠EOF＝54°，求∠AOC的度數(shù)；（2）①在∠AOD的內(nèi)部作射線OG⊥OE；②試探索∠AOG與∠EOF之間有怎樣的關(guān)系？并說明理由．【變式3-4】（2022春?香坊區(qū)期末）如圖，直線AB、CD相交于點O，∠BOM＝∠DON＝90°．（1）如圖1，若∠COM＝35°，求∠BON的度數(shù)；（2）如圖1，請直接寫出圖中所有互余的角；（3）如圖2，若射線OE在∠MOB的內(nèi)部，且12∠MON﹣∠BOE＝45°，請比較∠MOE與∠DOE【變式3-5】已知：如圖，直線AB，CD相交于點O，EO⊥CD，垂足為O，OF平分∠BOD，對∠EOF=12∠題型四通過計算說明兩直線垂直題型四通過計算說明兩直線垂直【例題4】（2022春?南昌期中）如圖，直線AB、CD相交于點O，OD平分∠BOE，OF平分∠AOE．（1）判斷OF與OD的位置關(guān)系，并證明；（2）若∠AOC＝30°，求∠EOF的度數(shù)．【變式4-1】（2022秋?拱墅區(qū)期末）如圖，直線AB、CD相交于點O，OM⊥AB．（1）若∠1＝∠2，證明：ON⊥CD；（2）若∠1=13∠BOC，求∠【變式4-2】（2022春?墨玉縣期末）如圖，直線AB．CD相交于點O．∠AOC＝28°．OE平分∠AOD，OF平分∠BOD．（1）求∠BOF的度數(shù)：（2）判斷射線OE與OF之間的位置關(guān)系．并說明理由．【變式4-3】（2022春?香洲區(qū)期末）如圖，直線AB與CD相交于點O，OF、OD分別是∠AOE、∠BOE的平分線．（1）若∠DOE＝28°，求∠AOD的度數(shù)；（2）請寫出射線OD與OF之間有什么特殊的位置關(guān)系，并說明理由．【變式4-4】如圖，直線AB與CD相交于點O，∠AOD＝20°，∠DOF：∠FOB＝1：7，射線OE平分∠BOF．（1）求∠EOB的度數(shù)；（2）射線OE與直線CD有什么位置關(guān)系？請說明理由．【變式4-5】（2022春?沂水縣期中）直線AB，CD相交于點O．OE，OF，OG分別是∠AOC，∠BOD，∠AOD的平分線．（1）畫出這個圖形．（2）射線OE，OF在同一條直線上嗎？為什么？（3）OE與OG有什么位置關(guān)系？說明理由．題型五與相交線有關(guān)的角度計算綜合題題型五與相交線有關(guān)的角度計算綜合題【例題5】（2022秋?渠縣期末）若直線AB和直線ED相交于點O，OC為∠BOE內(nèi)部的射線，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．（1）若∠BOD＝58°，求∠AOF和∠EOF的度數(shù)？（2）若∠BOD是任意角α（0°＜α＜90°），求∠EOF的度數(shù)？（3）請猜想，∠EOF度數(shù)會改變嗎？若改變，請說明理由；若不改變，則∠EOF度數(shù)是多少？【變式5-1】（2022春?大足區(qū)期末）如圖，直線AB和CD交于點O，射線OE平分∠AOD，∠BOD＝46°．（1）求∠COE的度數(shù)；（2）若射線OF⊥AB于點O，請補全圖形，并求∠EOF的度數(shù)．【變式5-2】（2022春?潛山市月考）如圖，直線AB，CD相交于點O，OB平分∠DOE，（1）如圖1，若∠COE＝110°，求∠BOD的度數(shù)（2）如圖2，若∠BOE：∠COE＝1：3，求∠AOC的度數(shù)；（3）在（2）的條件下，畫OF⊥CD，請直接寫出∠EOF的度數(shù)．【變式5-3】（2022春?麒麟?yún)^(qū)期末）直線AB，CD相交于點O，OF⊥CD于點O，作射線OE，且OC在∠AOE的內(nèi)部．（1）①當OE、OF在如圖1所示位置時，若∠BOD＝20°，∠BOE＝130°，求∠EOF的度數(shù)；②當OE、OF在如圖2所示位置時，若OF平分∠BOE，證明OC平分∠AOE．（2）若∠AOF＝2∠COE，請直接寫出∠BOE與∠AOC之間的數(shù)量關(guān)系．【變式5-4】（2021秋?鄞州區(qū)期末）如圖，直線AB，CD相交于點O，OE平分∠BOC．【基礎(chǔ)嘗試】（1）如圖1，若∠AOC＝40°，求∠DOE的度數(shù)；【畫圖探究】（2）作射線OF⊥OC，設(shè)∠AOC＝x°，請你利用圖2畫出圖形，探究∠AOC與∠EOF之間的關(guān)系，結(jié)果用含x的代數(shù)式表示∠EOF．【拓展運用】（3）在第（2）題中，∠EOF可能和∠DOE互補嗎？請你作出判斷并說明理由．【變式5-5】（2021秋?羅湖區(qū)期末）如圖①，直線AB與直線CD相交于點O，∠COE＝90°，過點O作射線OF．（1）若射線OF平分∠AOC且∠BOF＝130°，求∠BOE的度數(shù)；（2）若將圖①中的直線CD繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)至圖②，∠COE＝90°，當射線OE平分∠BOF時，射線OC是否平分∠AOF，請說明理由；（3）若∠BOE＝20°，∠BOF＝130°，將圖①中的直線CD繞點O按每秒5°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)α度（0°＜α＜180°），∠COE始終保持為90°，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時間為t秒，當∠AOC+∠EOF＝90°時，求t的值．【變式5-6】如圖，直線CD與EF相交于點O，∠COE＝60°，將一直角三角尺AOB的直角頂點與O重合，OA平分∠COE．（1）求∠BOD的度數(shù)；（2）將三角尺AOB以每秒3°的速度繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，同時直線EF也以每秒9°的速度繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)運動時間為t秒（0≤t≤40）．①當t為何值時，直線EF平分∠AOB；②若直線EF平分∠BOD，直接寫出t的值．七年級下冊數(shù)學《第五章相交線與平行線》專題與相交線有關(guān)的角度計算題型一直接利用相交線的性質(zhì)求角度題型一直接利用相交線的性質(zhì)求角度【例題1】（1）寫出∠AOE的余角和補角；（2）若∠BOF＝30°，求∠AOE和∠COG的度數(shù)．【分析】（1）如果兩個角的和等于90°（直角），就說這兩個角互為余角．如果兩個角的和等于180°（平角），就說這兩個角互為補角，由此即可判斷；（2）由對頂角的性質(zhì)可得∠AOE的度數(shù)，由角平分線的定義可求∠COG．【解答】解：（1）∠AOE的余角是∠AOC，∠BOD；補角是∠AOF，∠EOB；（2）∠AOE＝∠BOF＝30°；∵∠DOF＝90°，∴∠COF＝90°，∵∠BOC＝∠BOF+∠COF，∴∠BOC＝90°+30°＝120°，∵OG平分∠BOC，∴∠COG=12∠【點評】本題考查角的計算，余角，補角的概念，關(guān)鍵是掌握余角，補角的定義，角平分線的定義，對頂角的性質(zhì)．【變式1-1】（2022秋?江北區(qū)校級期末）如圖，直線AB，CD相交于點O，OA平分∠EOC，若∠EOD＝88°，求∠BOD的度數(shù)．【分析】根據(jù)∠EOD＝88°，求出∠EOC，根據(jù)角平分線定義得到∠AOC=12∠EOC【解答】解：∵∠EOD＝88°，∴∠EOC＝180°﹣88°＝92°，∵OA平分∠EOC，∠EOC＝92°，∴∠AOC=12∠EOC∴∠BOD＝∠AOC＝46°．【點評】本題考查了角平分線的定義和對頂角的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟記對頂角相等．【變式1-2】（2022秋?天河區(qū)校級期末）如圖，直線AB與CD相交于點O，OE是∠BOC的平分線，如果∠BOC：∠DOF：∠AOC＝1：2：4．求∠BOE和∠DOF的度數(shù)．【分析】設(shè)∠BOC＝x°，則∠DOF＝2x°，∠AOC＝4x°，由鄰補角的性質(zhì)，求出x的值，再根據(jù)角平分線，計算出∠COE的度數(shù)，計算即可．【解答】解：設(shè)∠BOC＝x°，則∠DOF＝2x°，∠AOC＝4x°，由題意得：x+4x＝180，解得：x＝36，∴∠BOC＝36°，∠DOF＝72°，∠AOC＝144°，∵OE是∠BOC的平分線，∴∠BOE＝∠COE=12∠BOC【點評】此題主要考查了補角、垂直、以及角的計算，關(guān)鍵是理清圖中角之間的和差關(guān)系．【變式1-3】（2022秋?清水縣校級期末）如圖，直線AB與CD相交于點O，∠COE＝80°，∠COF：∠AOC＝2：3，射線OE平分∠BOF，求∠BOD的度數(shù)．【分析】根據(jù)角平分線的定義以及對頂角、平角的定義，列方程求解即可．【解答】解：∵射線OE平分∠BOF，∴∠BOE＝∠FOE=12∠由于∠COF：∠AOC＝2：3，可設(shè)∠COF＝2α，則∠AOC＝3α，又∵∠COE＝80°，∴∠BOE＝∠FOE=12∠BOF＝80°﹣2∵∠AOF+∠BOF＝180°，∴5α+2（80°﹣2α）＝180°，解得α＝20°，∴∠BOD＝∠AOC＝3α＝60°，答：∠BOD的度數(shù)為60°．【點評】本題考查角平分線，鄰補角以及對頂角，理解對頂角相等，鄰補角以及角平分線的定義是正確解答的前提．【變式1-4】（2022春?華陰市期末）如圖，直線AB與CD相交于點O，OE是∠BOC的平分線，如果∠BOC：∠DOF：∠AOC＝1：3：5．求∠EOF的度數(shù)．【分析】根據(jù)角的比例關(guān)系以及鄰補角的定義可求出∠BOC，∠AOC，再根據(jù)角平分線的定義求出∠BOE，∠COE，求出∠DOF即可求出答案．【解答】解：∵∠BOC：∠AOC＝1：5．∠BOC+∠AOC＝180°，∴∠BOC＝180°×11+5=30°，∠∵OE是∠BOC的平分線，∴∠BOE＝∠COE=12∠∵∠BOC：∠DOF＝1：3，∠BOC＝30°，∴∠DOF＝90°，∴∠EOF＝90°﹣15°＝75°，答：∠EOF的度數(shù)為75°．【點評】本題考查鄰補角、對頂角以及角平分線，理解角平分線的定義以及鄰補角、對頂角的性質(zhì)是正確解答的前提．【變式1-5】（2022秋?永興縣期末）如圖，直線AB和直線CD相交于點O，OB平分∠EOD．（1）若∠EOC＝110°，求∠BOD的度數(shù)；（2）若∠DOE：∠EOC＝2：3，求∠AOC的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)平角的定義以及角平分線的意義進行計算即可；（2）根據(jù)鄰補角的定義求出∠DOE，再根據(jù)角平分線的定義求出∠BOD的大小，再由對頂角相等得出答案．【解答】解：（1）∵直線AB和直線CD相交于點O，∠EOC＝110°，∴∠DOE＝180°﹣∠EOC＝70°，又∵OB平分∠EOD．∴∠BOD＝∠BOE=12∠（2）∵∠DOE：∠EOC＝2：3，∠DOE+∠EOC＝180°，∴∠DOE＝180°×25=72°，∠EOC又∵OB平分∠EOD．∴∠BOD＝∠BOE=12∠∴∠AOC＝∠BOD＝36°．【點評】本題考查對頂角、鄰補角以及角平分線，理解對頂角、鄰補角的定義是正確計算的前提．【變式1-6】（2022秋?夏邑縣期末）如圖，直線AB、CD相交于點O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠AOD＝2∠BOD．（1）求∠DOE的度數(shù)；（2）求∠BOF的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)鄰補角的和等于180°求出∠BOD的度數(shù)，然后根據(jù)角平分線的定義解答；（2）先求出∠COE的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義求出∠EOF，然后根據(jù)角的和差關(guān)系即可得解．【解答】解：（1）∵∠AOD＝2∠BOD，∠AOD+∠BOD＝180°，∴∠BOD=1∵OE平分∠BOD，∴∠DOE＝∠BOE=12∠BOD（2）∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝180°﹣30°＝150°，∵OF平分∠COE，∴∠EOF=12∠COE∴∠BOF＝∠EOF+∠BOE＝75°﹣30°＝45°．【點評】本題考查了對頂角相等的性質(zhì)，角平分線的定義，比較簡單，準確識圖并熟記性質(zhì)與概念是解題的關(guān)鍵．【變式1-7】（2022秋?江夏區(qū)校級期末）如圖，直線AB、CD相交于點O，OA平分∠EOC．（1）若∠BOD＝38°，求∠EOD的度數(shù)；（2）若∠EOC=45∠EOD，求∠【分析】（1）根據(jù)對頂角相等求出∠AOC，再根據(jù)角平分線的定義計算即可；（2）根據(jù)題意求出∠EOC＝80°，再根據(jù)角平分線的定義、對頂角相等計算即可．【解答】解：（1）∵∠BOD＝38°，∴∠AOC＝∠BOD＝38°，∵OA平分∠EOC，∴∠AOE＝∠AOC＝38°，∴∠EOD＝180°﹣38°×2＝104°；（2）∵∠EOC+∠EOD＝180°，∠EOC=45∠∴∠EOC＝80°，∵OA平分∠EOC，∴∠AOC=12∠∴∠BOD＝∠AOC＝40°．【點評】本題考查的是對頂角、鄰補角、角平分線的定義，掌握對頂角相等是解題的關(guān)鍵．【變式1-8】（2022秋?榮昌區(qū)期末）如圖，直線AB與CD相交于點O，OC平分∠AOM，且∠AOM＝90°，射線ON在∠BOM內(nèi)部．（1）求∠AOD的度數(shù)；（2）若∠BOC＝5∠NOB，求∠MON的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義求出∠AOC＝45°，然后根據(jù)鄰補角的定義求解即可；（2）由∠BOC＝5∠NOB可求解∠NOB＝27°，結(jié)合∠BOM＝90°，利用角的和差可求解∠MON的度數(shù)．【解答】解（1）∵∠AOM＝90°，OC平分∠AOM，∴∠AOC=12∠AOM∵∠AOC+∠AOD＝180°，∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝180°﹣45°＝135°，即∠AOD的度數(shù)為135°；（2）∵∠BOC＝∠AOD＝135°，∠BOC＝5∠NOB，∴∠NOB＝27°，∵∠AOM＝90°，∴∠BOM＝90°，∴∠MON＝∠BOM﹣∠NOB＝90°﹣27°＝63°．【點評】本題考查了對頂角、鄰補角，角平分線的定義，此類題目熟記概念并準確識圖是解題的關(guān)鍵．題型二利用垂線的性質(zhì)求角度題型二利用垂線的性質(zhì)求角度【例題2】（2022秋?興化市校級期末）如圖，直線AB與CD相交于點O，OE⊥AB，OF⊥CD．（1）圖中與∠COE互余的角是；（把符合條件的角都寫出來）（2）如果∠AOC=27∠EOF【分析】（1）若兩角之和為90°，則稱這兩個角“互為余角”，簡稱“互余”．據(jù)此進行求解；（2）根據(jù)∠AOC+∠EOF＝180°進行求解．【解答】解：（1）∵∠AOC+∠COE＝90°，∠AOC＝∠BOD，∴與∠COE互余的角是∠AOC和∠BOD．故答案為：∠AOC和∠BOD；（2）∵∠EOF+∠AOC＝∠AOE+∠AOF+∠AOC＝∠AOE+∠COF＝180°，∠AOC=27∠∴∠EOF+2∴∠EOF＝140°．【點評】本題考查了垂直的定義和余角的知識，注意結(jié)合圖形進行求解．【變式2-1】（2022春?惠州期末）如圖所示，直線AB，CD相交于點O，射線OE、OF在∠AOD內(nèi)，且OD平分∠BOE，OF⊥CD，已知∠AOC：∠AOD＝1：5，求∠EOF的度數(shù)．【分析】由∠AOC：∠AOD＝1：5結(jié)合鄰補角互補、對頂角相等，可求出∠BOD的度數(shù)，根據(jù)OD平分∠BOE，可求出∠EOD，根據(jù)垂直的定義求出∠DOF＝90°，則∠EOF可求．【解答】解：∵∠AOC：∠AOD＝1：5，∠AOC＝∠BOD，∴∠BOD：∠AOD＝1：5．∵∠AOD+∠BOD＝180°，∴∠BOD＝30°，∵OD平分∠BOE，∴∠BOD＝∠EOD＝30°，∵OF⊥CD，∴∠DOF＝90°，∴∠EOF＝60°．【點評】本題考查了對頂角、鄰補角，熟記概念并靈活運用是解題的關(guān)鍵，鄰補角、對頂角成對出現(xiàn)，在相交直線中，一個角的鄰補角有兩個．鄰補角、對頂角都是相對與兩個角而言，是指的兩個角的一種位置關(guān)系．它們都是在兩直線相交的前提下形成的．【變式2-2】（2022秋?綠園區(qū)期末）如圖：已知直線AB、CD相交于點O，EO⊥CD．（1）若∠AOC＝34°，求∠BOE的度數(shù)；（2）若∠BOD：∠BOC＝1：4，求∠AOE的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)垂直定義可得∠EOC＝90°，然后利用平角定義進行計算即可解答；（2）根據(jù)平角定義和已知易得∠BOD＝36°，從而利用對頂角相等可得∠AOC＝∠BOD＝36°，然后再利用角的和差關(guān)系進行計算即可解答．【解答】解：（1）∵EO⊥CD，∴∠EOC＝90°，∵∠AOC＝34°，∴∠BOE＝180°﹣∠AOC﹣∠COE＝56°，∴∠BOE的度數(shù)為56°；（2）∵∠BOD：∠BOC＝1：4，∠BOD+∠BOC＝180°，∴∠BOD＝180°×1∴∠AOC＝∠BOD＝36°，∵∠COE＝90°，∴∠AOE＝∠AOC+∠COE＝126°，∴∠AOE的度數(shù)為126°，【點評】本題考查了垂線，對頂角、鄰補角，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形進行分析是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2022秋?南關(guān)區(qū)校級期末）如圖，OB⊥OD，OC平分∠AOD，∠BOC＝40°，求∠AOB的大小．【分析】根據(jù)垂直的定義及角的和差關(guān)系求出∠COD＝55°，再根據(jù)角平分線的定義求出∠AOB即可．【解答】解：∵OB⊥OD，∴∠BOD＝90°，又∵∠BOC＝40°，∴∠COD＝90°﹣40°＝50°，∵OC平分∠AOD，∴∠AOD＝2∠COD＝100°，∴∠AOB＝∠AOD﹣∠BOD＝100°﹣90°＝10°，即∠AOB＝10°．【點評】本題考查角平分線的定義，垂線，理解互相垂直、角平分線的定義是正確解答的前提．【變式2-4】（2022春?長垣市期末）如圖，直線AB與CD相交于點O，OE平分∠AOD．（1）如果∠AOC＝60°，求∠DOE的度數(shù)；（2）如圖，作OF⊥OE，試說明OF平分∠BOD．【分析】（1）根據(jù)平角的定義，角平分線的定義進行計算即可；（2）根據(jù)垂直的定義，平角以及角平分線的定義即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）∵∠AOC+∠AOD＝180°，∠AOC＝60°，∴∠AOD＝180°﹣60°＝120°，∵OE平分∠AOD，∴∠DOE＝∠AOE=12∠答：∠DOE的度數(shù)為60°；（2）∵OF⊥OE，∴∠EOF＝90°，即∠DOE+∠DOF＝90°，∵∠AOE+∠EOF+∠FOB＝180°，∴∠AOE+∠FOB＝180°﹣90°＝90°，又∵OE平分∠AOD，∴∠DOE＝∠AOE，∴∠DOF＝∠BOF，即OF平分∠BOD．【點評】本題考查對頂角，鄰補角，角平分線，理解對頂角、鄰補角以及角平分線的定義是正確解答的前提．【變式2-5】（2022春?道外區(qū)期末）如圖，直線AB、CD相交于點O，OE平分∠AOC．（1）若∠DOE＝130°，求∠BOC的度數(shù)；（2）過點O作OF⊥OE，請直接寫出和∠BOF互補的角．【分析】（1）根據(jù)鄰補角的定義先求出∠EOC，然后求出求出∠AOC，再根據(jù)鄰補角的定義求出∠BOC即可；（2）因為OF⊥OE，所以∠FOC+∠EOC＝90°，則∠BOF+∠AOF＝90°，而∠AOF＝∠EOC，所以∠BOF＝∠FOC，根據(jù)補角的定義寫出∠BOF的補角即可．【解答】解：（1）∵∠DOE＝130°，∴∠EOC＝50°，∵OE平分∠AOC，∴∠AOC＝2∠EOC＝2×50°＝100°，∴∠BOC＝180°﹣100°＝80°；（2）∵OF⊥OE，∴∠FOC+∠EOC＝90°，∴∠BOF+∠AOF＝90°，∵∠AOF＝∠EOC，∴∠BOF＝∠FOC，∴與∠BOF互補的角是∠AOF和∠DOF．【點評】本題考查角平分線的定義，對頂角，鄰補角，理解鄰補角、補角余角以及角平分線的定義是正確解答的前提．【變式2-6】（2021秋?玄武區(qū)期末）如圖，直線AB、CD相交于點O，OE⊥CD，垂足為O，OM平分∠BOE，∠AOC＝50°．（1）求∠DOM的度數(shù)；（2）在∠AOM的內(nèi)部畫射線ON，使得∠MON＝45°，那么ON是∠AOD的平分線嗎？請說明理由．【分析】（1）根據(jù)∠AOC與∠BOD是對頂角，∠BOE＝∠BOD+∠DOE，OM平分∠BOE，解答即可；（2）根據(jù)角平分線的定義求出∠AOD的度數(shù)即可．【解答】解：（1）∵∠AOC與∠BOD是對頂角，∴∠BOD＝∠AOC＝50°，∵OE⊥CD，∴∠DOE＝90°，∴∠BOE＝∠BOD+∠DOE＝90°+50°＝140°，∵OM平分∠BOE，OM平分∠BOE，∴∠BOM=1∴∠DOM＝∠BOM﹣∠BOD＝70°﹣50°＝20°；（2）ON平分∠AOD，∵∠DOM＝20°，∠MON＝45°，∴∠DON＝∠DOM+∠MON＝45°+20°＝65°，∵∠AOC＝50°，∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝180°﹣50°＝130°，∴∠DON=12∠∴ON平分∠AOD．【點評】本題考查的是對頂角、鄰補角的概念和性質(zhì)、角平分線的定義，掌握對頂角相等、鄰補角之和等于180°是解題的關(guān)鍵．【變式2-7】（2022春?蚌埠期末）已知，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．（1）如圖1，若OA⊥OB，∠BOC＝60°，求∠MON的度數(shù)；（2）如圖2，若∠AOB＝80°，∠MON：∠AOC＝2：7，求∠AON的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)角平分線的意義，得到∠COM=12∠AOC，∠CON=1（2）先求出∠MON，再根據(jù)∠MON：∠AOC＝2：7，求出∠AOC，再根據(jù)角平分線的意義得出∠AOM，進而求出答案．【解答】解：（1）∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC，∠BOC＝60°，∴∠AOC＝90°+60°＝150°，∵OM平分∠AOC，∴∠COM=12∠∵ON平分∠BOC，∴∠CON=12∠BOC∴∠MON＝∠COM﹣∠CON＝75°﹣30°＝45°；（2）∵∠COM=12∠AOC，∠CON=1∴∠MON=12（∠AOC﹣∠BOC）=1∵∠MON：∠AOC＝2：7，∴∠AOC＝140°，∵OM平分∠AOC，∴∠AOM=12∠∴∠AON＝∠AOM+∠MON＝70°+40°＝110°【點評】考查角平分線的意義，理清圖形中各個角之間的關(guān)系是正確解答的關(guān)鍵．題型三通過計算說明兩角的數(shù)量關(guān)系題型三通過計算說明兩角的數(shù)量關(guān)系【例題3】（2022春?渭城區(qū)期中）將下面的解答過程補充完整：已知：如圖，直線AB，CD相交于點O，OE平分∠AOF，∠COE＝90°．試說明：∠FOB＝2∠AOC．解：因為OE平分∠AOF，所以∠AOE＝∠EOF．（）因為∠COE＝90°，所以∠AOC+∠AOE＝90°．因為直線AB，CD相交于點O，所以∠EOD＝180°﹣∠COE＝90°，所以∠EOF+∠FOD＝90°．所以∠AOC＝（）．因為直線AB，CD相交于點O，所以（），所以∠FOB＝∠FOD+∠BOD＝2∠AOC．【分析】根據(jù)角平分線的定義、對頂角相等、角平分線的定義解答即可．【解答】解：因為OE平分∠AOF，所以∠AOE＝∠EOF．（角平分線的定義）因為∠COE＝90°，所以∠AOC+∠AOE＝90°．因為直線AB，CD相交于點O，所以∠EOD＝180°﹣∠COE＝90°，所以∠EOF+∠FOD＝90°．所以∠AOC＝∠FOD（等角的余角相等）．因為直線AB，CD相交于點O，所以∠AOC＝∠BOD（對頂角相等），所以∠FOB＝∠FOD+∠BOD＝2∠AOC．【點評】本題考查的是對頂角、鄰補角、角平分線的定義，掌握對頂角相等、角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2021秋?蓮都區(qū)期末）如圖，直線AE與CD相交于點B，BF⊥AE．（1）若∠DBE＝60°，求∠FBD的度數(shù)；（2）猜想∠CBE與∠DBF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）由BF⊥AE得∠EBF＝90°，即可計算；（2）由∠CBE＝∠ABD，∠ABF＝90°，即可解決問題．【解答】（1）解：∵BF⊥AE，∴∠EBF＝∠ABF＝90°，∵∠FBD＝∠EBF﹣∠DBE，∴∠FBD＝90°﹣60°＝30°；（2）∠CBE﹣∠DBF＝90°．證明：∵∠ABD﹣∠FBD＝∠ABF，∴∠ABD﹣∠FBD＝90°，∵∠CBE＝∠ABD，∴∠CBE﹣∠DBF＝90°．【點評】本題考查角度的計算，關(guān)鍵是掌握垂直的定義，對頂角相等．【變式3-2】如圖，直線AB與CD相交于O．OF是∠BOD的平分線，OE⊥OF．（1）若∠BOE比∠DOF大38°，求∠DOF和∠AOC的度數(shù)；（2）試問∠COE與∠BOE之間有怎樣的大小關(guān)系？請說明理由．（3）∠BOE的余角是，∠BOE的補角是．【分析】（1）設(shè)∠BOF＝α，根據(jù)角平分線的定義得出∠DOF＝∠BOF＝α，得出方程38°+α+α＝90°，求出方程的解即可；（2）求出∠COE＝180°﹣∠DOE＝90°﹣∠DOF，根據(jù)垂直求出∠BOE＝90°﹣∠BOF，即可得出答案；（3）根據(jù)余角和補角定義求出即可．【解答】解：（1）設(shè)∠BOF＝α，∵OF是∠BOD的平分線，∴∠DOF＝∠BOF＝α，∵∠BOE比∠DOF大38°，∴∠BOE＝38°+∠DOF＝38°+α，∵OE⊥OF，∴∠EOF＝90°，∴38°+α+α＝90°，解得：α＝26°，∴∠DOF＝26°，∠AOC＝∠BOD＝∠DOF+∠BOF＝26°+26°＝52°；（2）∠COE＝∠BOE，理由是：∵∠COE＝180°﹣∠DOE＝180°﹣（90°+∠DOF）＝90°﹣∠DOF，∵OF是∠BOD的平分線，∴∠DOF＝∠BOF，∴∠COE＝90°﹣∠BOF，∵OE⊥OF，∴∠EOF＝90°，∴∠BOE＝90°﹣∠BOF，∴∠COE＝∠BOE；（3）∠BOE的余角是∠BOF和∠DOF，∠BOE的補角是∠AOE和∠DOE，故答案為：∠BOF和∠DOF，∠AOE和∠DOE．【點評】本題考查了余角、補角，對頂角、鄰補角，角平分線定義等知識點，能正確運用知識點進行推理是解此題的關(guān)鍵．【變式3-3】直線AB、CD相交于點O，OE平分∠BOD，OF⊥CD，垂足為O．（1）若∠EOF＝54°，求∠AOC的度數(shù)；（2）①在∠AOD的內(nèi)部作射線OG⊥OE；②試探索∠AOG與∠EOF之間有怎樣的關(guān)系？并說明理由．【分析】（1）依據(jù)OF⊥CD，∠EOF＝54°，可得∠DOE＝90°﹣54°＝36°，再根據(jù)OE平分∠BOD，即可得出∠BOD＝2∠DOE＝72°，依據(jù)對頂角相等得到∠AOC＝72°；（2）依據(jù)OE平分∠BOD，可得∠BOE＝∠DOE，再根據(jù)OF⊥CD，OG⊥OE，即可得到∠EOF+∠DOE＝90°，∠AOG+∠BOE＝90°，依據(jù)等角的余角相等，可得∠EOF＝∠AOG．【解答】解：（1）∵OF⊥CD，∠EOF＝54°，∴∠DOE＝90°﹣54°＝36°，又∵OE平分∠BOD，∴∠BOD＝2∠DOE＝72°，∴∠AOC＝72°；（2）①如圖所示：②∠AOG＝∠EOF；理由：∵OE平分∠BOD，∴∠BOE＝∠DOE，∵OF⊥CD，OG⊥OE，∴∠EOF+∠DOE＝90°，∠AOG+∠BOE＝90°，∴∠EOF＝∠AOG．【點評】本題主要考查了垂線，角平分線的定義以及余角的綜合運用，當兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，解決問題的關(guān)鍵是掌握：等角的余角相等．【變式3-4】（2022春?香坊區(qū)期末）如圖，直線AB、CD相交于點O，∠BOM＝∠DON＝90°．（1）如圖1，若∠COM＝35°，求∠BON的度數(shù)；（2）如圖1，請直接寫出圖中所有互余的角；（3）如圖2，若射線OE在∠MOB的內(nèi)部，且12∠MON﹣∠BOE＝45°，請比較∠MOE與∠DOE【分析】（1）先求出∠AOC，根據(jù)對頂角相等求出∠BOD，已知∠DON＝90°，可求得∠BON的度數(shù)；（2）根據(jù)互余的定義判斷即可，互余的兩個角和為90度；（3）可設(shè)∠MOC＝x，則∠AON＝x，∠AOC＝∠BOD＝90°﹣x，根據(jù)已知可得∠BOE=12x，進而得出∠MOE和∠【解答】解：（1）∵BOM＝90°，∴∠AOM＝90°，∵∠COM＝35°，∴∠AOC＝55°，∴∠BOD＝55°，∵∠DON＝90°，∴∠BON＝∠BOD+∠DON＝55°+90°＝145°；（2）∵∠AOC+∠COM＝90°，∴∠AOC與∠COM互余，∵∠AOC+∠AON＝90°，∴∠AOC與∠AON互余，∵∠BOD＝∠AOC，∴∠BOD與∠COM互余，∠BOD與∠AON互余；（3）∠MOE＝∠DOE，∵∠BOM＝∠DON＝90°，∴∠MOC＝∠AON，設(shè)∠MOC＝x，則∠AON＝x，∠AOC＝∠BOD＝90°﹣x，∵12∠MON﹣∠BOE∴12（90°+x）﹣∠BOE∴∠BOE=12∴∠MOE＝90°?12∠DOE＝∠BOE+∠BOE＝90°﹣x+12x＝90°?∴∠MOE＝∠DOE．【點評】本題考查了對頂角和鄰補角，解題的關(guān)鍵是根據(jù)概念會判斷并靈活運用，鄰補角、對頂角成對出現(xiàn)，在相交直線中，一個角的鄰補角有兩個．鄰補角、對頂角都是相對與兩個角而言，是指的兩個角的一種位置關(guān)系．它們都是在兩直線相交的前提下形成的．【變式3-5】已知：如圖，直線AB，CD相交于點O，EO⊥CD，垂足為O，OF平分∠BOD，對∠EOF=12∠【分析】根據(jù)對頂角的性質(zhì)得到∠AOC＝∠BOD，由角平分線的定義得到∠BOF=12∠BOD，等量代換得到∠BOF=12∠AOC，由垂直的定義得到∠COE＝90°，等量代換得到∠【解答】解：∵∠AOC＝∠BOD（對頂角相等），∠BOF=12∠∴∠BOF=12∠∵∠AOC＝180°﹣∠BOC（平角的定義），∴∠BOF＝90°?12∠∵EO⊥CD（已知），∴∠COE＝90°（垂直的定義）∵∠BOE+∠COE＝∠BOC（兩角和的定義），∴∠BOE＝∠BOC﹣∠COE．∴∠BOE＝∠BOC﹣90°（等量代換）∵∠EOF＝∠BOE+∠BOF（兩角和的定義）∴∠EOF＝（∠BOC﹣90°）+（90°?12∠∴∠EOF=12∠【點評】本題考查了對頂角、鄰補角、垂線以及角平分線的定義；弄清各個角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．題型四通過計算說明兩直線垂直題型四通過計算說明兩直線垂直【例題4】（2022春?南昌期中）如圖，直線AB、CD相交于點O，OD平分∠BOE，OF平分∠AOE．（1）判斷OF與OD的位置關(guān)系，并證明；（2）若∠AOC＝30°，求∠EOF的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義得到∠EOF=12∠AOE，∠EOD=1（2）根據(jù)對頂角相等、余角的概念計算即可．【解答】解：（1）OF⊥OD，理由如下：∵OD平分∠BOE，OF平分∠AOE，∴∠EOF=12∠AOE，∠EOD=1∵∠AOE+∠BOE＝180°，∴∠EOF+∠EOD＝90°，∴OF⊥OD；（2）∵∠AOC＝30°，∴∠BOD＝∠AOC＝30°，∴∠EOD＝∠BOD＝30°，∴∠EOF＝90°﹣∠EOD＝60°．【點評】本題考查的是對頂角、角平分線的定義、鄰補角的性質(zhì)，掌握角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2022秋?拱墅區(qū)期末）如圖，直線AB、CD相交于點O，OM⊥AB．（1）若∠1＝∠2，證明：ON⊥CD；（2）若∠1=13∠BOC，求∠【分析】（1）利用垂直的定義得出∠2+∠AOC＝90°，進而得出答案；（2）根據(jù)題意得出∠1的度數(shù)，即可得出∠BOD的度數(shù)．【解答】證明：（1）∵OM⊥AB，∴∠AOM＝∠BOM＝90°，∴∠1+∠AOC＝90°，∵∠1＝∠2，∴∠2+∠AOC＝90°，即∠CON＝90°，∴ON⊥CD；（2）∵∠1=13∠∴∠BOM＝2∠1＝90°，解得：∠1＝45°，∴∠BOD＝90°﹣45°＝45°【點評】此題主要考查了垂直的定義以及鄰補角、對頂角等知識，正確把握垂直的定義是解題關(guān)鍵．【變式4-2】（2022春?墨玉縣期末）如圖，直線AB．CD相交于點O．∠AOC＝28°．OE平分∠AOD，OF平分∠BOD．（1）求∠BOF的度數(shù)：（2）判斷射線OE與OF之間的位置關(guān)系．并說明理由．【分析】（1）根據(jù)對頂角相等和角平分線即可求出答案；（2）求出求出∠EOF的度數(shù)，根據(jù)垂直定義求出即可．【解答】解：（1）∵∠BOD＝∠AOC，∠AOC＝28°，∴∠BOD＝28°，∵OF平分∠BOD，∴∠BOF=1（2）垂直，理由如下：∵∠AOC＝28°，∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝180°﹣28°＝152°，∵OE平分∠AOD，OF平分∠BOD，∴∠EOD=12∠AOD∠DOF=12∠BOD∴∠EOF＝∠EOD+∠DOF＝76°+14°＝90°，∴OE⊥OF．【點評】此題考查了對頂角及鄰補角的定義，熟記對頂角及鄰補角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2022春?香洲區(qū)期末）如圖，直線AB與CD相交于點O，OF、OD分別是∠AOE、∠BOE的平分線．（1）若∠DOE＝28°，求∠AOD的度數(shù)；（2）請寫出射線OD與OF之間有什么特殊的位置關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義以及平角的定義進行計算即可；（2）根據(jù)角平分線的定義、平角的定義以及圖形中角的和差關(guān)系進行計算即可．【解答】解：（1）∵OD分別是∠BOE的平分線．∴∠BOD＝∠DOE=12∠∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝180°﹣28°＝152°；（2）OD⊥OF，理由如下：∵OF、OD分別是∠AOE、∠BOE的平分線．∴∠AOF＝∠EOF=12∠AOE，∠BOD＝∠DOE=1∴∠DOF＝∠EOF+∠DOE=12（∠AOE+∠=1＝90°，即OD⊥OF．【點評】本題考查角平分線，對頂角、鄰補角，掌握角平分線的定義以及鄰補角是正確解答的前提．【變式4-4】如圖，直線AB與CD相交于點O，∠AOD＝20°，∠DOF：∠FOB＝1：7，射線OE平分∠BOF．（1）求∠EOB的度數(shù)；（2）射線OE與直線CD有什么位置關(guān)系？請說明理由．【分析】（1）根據(jù)∠AOD＝20°和∠DOF：∠FOB＝1：7，求出∠BOF等于140°，所以∠EOB等于70°；（2）利用（1）中所求，進而得出∠EOC等于90°得出答案即可．【解答】解：（1）∵OE平分∠BOF，∴∠BOE＝EOF，∵∠DOF：∠FOB＝1：7，∠AOD＝20°，∴∠DOF=18∠BOD∴∠BOF＝140°，∴∠BOE=12∠BOE=12（2）由（1）得：∠EOC＝∠BOC+∠EOB＝70°+20°＝90°，則射線OE與直線CD垂直．【點評】此題主要考查了對頂角、鄰補角以及角平分線的性質(zhì)，主要利用對頂角相等，鄰補角的定義和角平分線的定義求解．【變式4-5】（2022春?沂水縣期中）直線AB，CD相交于點O．OE，OF，OG分別是∠AOC，∠BOD，∠AOD的平分線．（1）畫出這個圖形．（2）射線OE，OF在同一條直線上嗎？為什么？（3）OE與OG有什么位置關(guān)系？說明理由．【分析】（1）畫出這個圖形即可；（2）根據(jù)角平分線定義即可判斷射線OE，OF在同一條直線上；（3）由OG平分∠AOD，得∠AOG＝∠DOG，再由∠AOE＝∠DOF，∠AOE+∠DOF+∠AOD＝180°，得∠AOE+∠AOG＝90°，進而即可判斷OE與OG的位置關(guān)系．【解答】解：（1）如圖所示，（2）射線OE、射線OF在同一條直線上．理由如下：∵直線AB、CD相交于點O，∴∠AOC＝∠BOD，∠AOC+∠AOD＝180°，∵OE、OF分別是∠AOC、∠BOD的平分線，∴∠AOE=12∠AOC，∠DOF=1∴∠AOE＝∠DOF，∴∠AOE+∠DOF＝∠AOC，∴∠AOE+∠DOF+∠AOD＝180°，∴射線OE、射線OF在同一條直線上；（3）OE⊥OG．理由如下：∵OG平分∠AOD，∴∠AOG＝∠DOG，∵∠AOE＝∠DOF，∠AOE+∠DOF+∠AOD＝180°，∴∠AOE+∠AOG＝90°，∴OG⊥OE．【點評】本題考查了作圖﹣基本作圖、直線、射線、線段、角平分線的定義、對頂角、鄰補角，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)語句準確畫圖．題型五與相交線有關(guān)的角度計算綜合題題型五與相交線有關(guān)的角度計算綜合題【例題5】（2022秋?渠縣期末）若直線AB和直線ED相交于點O，OC為∠BOE內(nèi)部的射線，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．（1）若∠BOD＝58°，求∠AOF和∠EOF的度數(shù)？（2）若∠BOD是任意角α（0°＜α＜90°），求∠EOF的度數(shù)？（3）請猜想，∠EOF度數(shù)會改變嗎？若改變，請說明理由；若不改變，則∠EOF度數(shù)是多少？【分析】（1）由對頂角的性質(zhì)，得到∠AOE＝58°，再由角平分線的定義即可求解；（2）由角平分線的定義，對頂角的性質(zhì)得到，∠COE＝α，∠COF＝90°﹣α，從而求出∠EOF的度數(shù)；（3）由角平分線的定義推出∠EOF=12∠【解答】解：（1）∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，∴∠COE=12∠AOC，∠COF=1∴∠COE+∠COF=12（∠AOC+∠∴∠EOF=12∠AOB∵∠AOE＝∠BOD＝58°，∴∠AOF＝∠AOF+∠EOF＝58°+90°＝148°，（2）∵OE平分∠AOC，∴∠AOC＝2∠AOE，∵∠AOE＝∠BOD＝α，∴∠AOC＝2α，∴∠BOC＝180°﹣2α，∵OF平分∠BOC，∴∠COF=12∠BOC＝90°﹣∴∠EOF＝∠EOC+∠COF＝α+90°﹣α＝90°；（3）∠EOF的度數(shù)不變，∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，∴∠COE=12∠AOC，∠COF=1∴∠COE+∠COF=12（∠AOC+∠∴∠EOF=12∠AOB【點評】本題考查角的計算，關(guān)鍵是掌握角平分線的定義．【變式5-1】（2022春?大足區(qū)期末）如圖，直線AB和CD交于點O，射線OE平分∠AOD，∠BOD＝46°．（1）求∠COE的度數(shù)；（2）若射線OF⊥AB于點O，請補全圖形，并求∠EOF的度數(shù)．【分析】（1）由角平分線定義，對頂角，鄰補角的概念，可求．（2）分兩種情況，由垂直的定義可求解，【解答】解：（1）∵OE平分∠AOD，∴∠AOE=12∠∵∠BOD＝46°，∴∠AOD＝134°，∠AOC＝46°，∴∠AOE＝67°，∵∠COE＝∠AOC+∠AOE，∴∠COE＝46°+67°＝113°；（2）①當OF在AB上方時，∵OF⊥AB，∴∠AOF＝90°，∴∠EOF＝∠AOF﹣∠AOE＝23°．②當OF在AB下方時，∵OF⊥AB，∴∠AOF＝90°，∴∠EOF＝∠AOF+∠AOE＝157°．【點評】本題考查角平分線定義，對頂角，鄰補角的概念，關(guān)鍵是熟練掌握有關(guān)的概念．【變式5-2】（2022春?潛山市月考）如圖，直線AB，CD相交于點O，OB平分∠DOE，（1）如圖1，若∠COE＝110°，求∠BOD的度數(shù)（2）如圖2，若∠BOE：∠COE＝1：3，求∠AOC的度數(shù)；（3）在（2）的條件下，畫OF⊥CD，請直接寫出∠EOF的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義以及平角的意義進行計算即可；（2）根據(jù)角平分線以及∠BOE：∠COE＝1：3，利用按比例分配進行計算即可；（3）分兩種情況進行解答即可．【解答】解：（1）∵∠COE+∠DOE＝180°，∠COE＝110°，∴∠DOE＝180°﹣110°＝70°，又∵OB平分∠DOE，∴∠BOD＝∠BOE=12∠（2）∵OB平分∠DOE，∴∠BOD＝∠BOE=12∠∵∠BOE：∠COE＝1：3，∴∠BOD＝180°×1∴∠AOC＝∠BOD＝36°；（3）由（2）得∠DOE＝72°，當OF在直線CD的上方時，有∠EOF＝∠FOD+∠DOE＝90°+72°＝162°，當OF在直線CD的下方時，有∠EOF＝∠FOD﹣∠DOE＝90°﹣72°＝18°，因此∠EOF的度數(shù)為18°或162°．【點評】本題考查角平分線，鄰補角、對頂角，理解角平分線的定義，鄰補角以及對頂角的意義是正確解答的前提．【變式5-3】（2022春?麒麟?yún)^(qū)期末）直線AB，CD相交于點O，OF⊥CD于點O，作射線OE，且OC在∠AOE的內(nèi)部．（1）①當OE、OF在如圖1所示位置時，若∠BOD＝20°，∠BOE＝130°，求∠EOF的度數(shù)；②當OE、OF在如圖2所示位置時，若OF平分∠BOE，證明OC平分∠AOE．（2）若∠AOF＝2∠COE，請直接寫出∠BOE與∠AOC之間的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）①先利用角度的和差關(guān)系求得∠COE，再根據(jù)∠EOF＝90°﹣∠COE，可得∠EOF的度數(shù)；②先根據(jù)角平分線定義∠EOF＝∠FOB，再結(jié)合余角定義可得結(jié)論；（2）需要分類討論，當點E，F(xiàn)在直線AB的同側(cè)時，當點E，F(xiàn)在直線AB的異側(cè)；再分別表示∠AOC、∠BOE，再消去α即可．【解答】（1）①解：∵OF⊥CD于點O，∴∠DOF＝90°，∵∠BOD＝20°，∴∠BOF＝90°﹣20°＝70°，∵∠BOE＝130°，∴∠EOF＝∠BOE﹣∠BOF＝130°﹣70°＝60°；∴∠EOF的度數(shù)為60°；②證明：∵OF平分∠BOE，∴∠EOF＝∠FOB=12∠∵OF⊥CD，∴∠COF＝90°，∴∠COE+∠EOF＝∠AOC+∠BOF＝90°，∴∠COE＝∠AOC，即OC平分∠AOE；（2）解：3∠AOC+2∠BOE＝270°或∠AOC+2∠BOE＝270°，理由如下：當點E，F(xiàn)在直線AB的同側(cè)時，如圖，記∠COE＝α，則∠AOF＝2∠COE＝2α，∵OF⊥CD，∴∠COF＝90°，∴∠EOF＝90°﹣α，∠AOC＝∠AOF﹣∠COF＝2α﹣90°①，∴∠BOE＝180°﹣∠AOC﹣∠COE＝180°﹣（2α﹣90°）﹣α＝270°﹣3α②，①×3+②×2得，3∠AOC+2∠BOE＝270°；當點E和點F在直線AB的異側(cè)時，如圖，記∠COE＝α，則∠AOF＝2∠COE＝2α，∵OF⊥CD，∴∠COF＝90°，∴∠AOC＝∠COF﹣∠AOF＝90°﹣2α①，∴∠BOE＝180°﹣∠AOC﹣∠COE＝180°﹣（90°﹣2α）﹣α＝90°+α②，①+2×②得，∠AOC+2∠BOE＝270°．綜上可知，3∠AOC+2∠BOE＝270°或∠AOC+2∠BOE＝270°．【點評】本題考查了對頂角，角平分線定義，角的有關(guān)定義的應用，主要考查學生的計算能力，并注意數(shù)形結(jié)合．【變式5-4】（2021秋?鄞州區(qū)期末）如圖，直線AB，CD相交于點O，OE平分∠BOC．【基礎(chǔ)嘗試】（1）如圖1，若∠AOC＝40°，求∠DOE的度數(shù)；【畫圖探究】（2）作射線OF⊥OC，設(shè)∠AOC＝x°，請你利用圖2畫出圖形，探究∠AOC與∠EOF之間的關(guān)系，結(jié)果用含x的代數(shù)式表示∠EOF．【拓展運用】（3）在第（2）題中，∠EOF可能和∠DOE互補嗎？請你作出判斷并說明理由．【分析】（1）由補角的定義可求解∠BOC的度數(shù)，結(jié)合角平分線的定義可求∠COE的度數(shù)，再利用平角的定義可求解；（2）可分兩種情況：當OF在∠BOC內(nèi)部時，當OF在∠AOD內(nèi)部時，利用平角的定義及角平分線的定義分別求解即可；（3）在AB⊥CD，且OF與OB重合的時候，∠EOF可以和∠DOE互補．【解答】解：（1）∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝40°，∴∠BOC＝180°﹣40°＝140°，∵OE平分∠BOC，∴∠COE=12∠∵∠DOE+∠COE＝180°，∴∠DOE＝180°﹣70°＝110°；（2）∠EOF=12∠AOC或∠EOF＝180°?1當OF在∠BOC內(nèi)部時，如圖，∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝x°，∴∠BOC＝（180﹣x）°，∵OE平分∠BOC，∴∠COE=12∠BOC＝（90?∵OF⊥OC，∴∠COF＝90°，∴∠EOF＝90°﹣∠COE＝90°﹣（90?12x）°=即∠EOF=12∠當OF在∠AOD內(nèi)部時，如圖，∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝x°，