《高中數(shù)學(xué)解題思維與思想》

《高中數(shù)學(xué)解題思維與思想》

導(dǎo)讀

數(shù)學(xué)家G.波利亞在《怎樣解題》中說(shuō)過(guò)：數(shù)學(xué)教學(xué)的目的在于培養(yǎng)學(xué)生

的思維能力，培養(yǎng)良好思維品質(zhì)的途徑，是進(jìn)行有效的訓(xùn)練，本策略結(jié)合數(shù)學(xué)教

學(xué)的實(shí)際情況，從以下四個(gè)方面進(jìn)行講解：

一、數(shù)學(xué)思維的變通性

根據(jù)題設(shè)的相關(guān)知識(shí)，提出靈活設(shè)想和解題方案

二、數(shù)學(xué)思維的反思性

提出獨(dú)特見(jiàn)解，檢查思維過(guò)程，不盲從、不輕信。

三、數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)密性

考察問(wèn)題嚴(yán)格、準(zhǔn)確，運(yùn)算和推理精確無(wú)誤。

四、數(shù)學(xué)思維的開(kāi)拓性

對(duì)一個(gè)問(wèn)題從多方面考慮、對(duì)一個(gè)對(duì)象從多種角度觀察、對(duì)一個(gè)題目運(yùn)用多

種不同的解法。

什么”轉(zhuǎn)變，從而培養(yǎng)他們的思維能力。

《思維與思想》的即時(shí)性、針對(duì)性、實(shí)用性，已在教學(xué)實(shí)踐中得到了全面驗(yàn)

證。

一、高中數(shù)學(xué)解題思維策略.....................................................................2

第一講數(shù)學(xué)思維的變通性.................................................................2

第二講數(shù)學(xué)思維的反思性.................................................................9

第三講數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)密性................................................................13

第四講數(shù)學(xué)思維的開(kāi)拓性................................................................22

二、解密數(shù)學(xué)思維的內(nèi)核......................................................................29

數(shù)學(xué)解題的思維過(guò)程......................................................................29

數(shù)學(xué)解題的技巧..........................................................................29

一、熟悉化策略..........................................................................29

二、簡(jiǎn)單化策略..........................................................................30

三、直觀化策略：........................................................................30

四、特殊化策略..........................................................................31

五、一般化策略..........................................................................31

六、整體化策略..........................................................................31

七、間接化策略..........................................................................31

數(shù)學(xué)解題思維過(guò)程........................................................................31

數(shù)學(xué)解題方法............................................................................34

一、高中數(shù)學(xué)解題思維策略

第一講數(shù)學(xué)思維的變通性

一、概念

數(shù)學(xué)問(wèn)題千變?nèi)f化，要想既快又準(zhǔn)的解題，總用一套固定的方案是行不通的，必須具有

思維的變通性——善于根據(jù)題設(shè)的相關(guān)知識(shí)，提出靈活的設(shè)想和解題方案。根據(jù)數(shù)學(xué)思維變

通性的主要體現(xiàn)，本講將著重進(jìn)行以下幾個(gè)方面的訓(xùn)練：

(1)善于觀察

心理學(xué)告訴我們：感覺(jué)和知覺(jué)是認(rèn)識(shí)事物的最初級(jí)形式，而觀察則是知覺(jué)的高級(jí)狀態(tài)，

是一種有目的、有計(jì)劃、比較持久的知覺(jué)。觀察是認(rèn)識(shí)事物最基本的途徑，它是了解問(wèn)題、

發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題的前提。

任何一道數(shù)學(xué)題，都包含一定的數(shù)學(xué)條件和關(guān)系。要想解決它，就必須依據(jù)題目的具體

特征，對(duì)題目進(jìn)行深入的、細(xì)致的、透徹的觀察，然后認(rèn)真思考，透過(guò)表面現(xiàn)象看其本質(zhì)，

這樣才能確定解題思路，找到解題方法。

,...1111

例4口，求禾r——++-----+???+-----------.

1-22-33-4n(n+1)

這些分?jǐn)?shù)相加，通分很困難，但每項(xiàng)都是兩相鄰自然數(shù)的積的倒數(shù)，且

—1—一——,因此，原式等于1一4+4一1+…+!一一L=i一一!_問(wèn)題很快就解決了。

〃(〃+1)nH+1223〃鹿+1〃+1

(2)善于聯(lián)想

聯(lián)想是問(wèn)題轉(zhuǎn)化的橋梁。稍具難度的問(wèn)題和基礎(chǔ)知識(shí)的聯(lián)系，都是不明顯的、間接的、

復(fù)雜的。因此，解題的方法怎樣、速度如何，取決于能否由觀察到的特征，靈活運(yùn)用有關(guān)知

識(shí)，做出相應(yīng)的聯(lián)想，將問(wèn)題打開(kāi)缺口，不斷深入。

v-L.y^32

例如，解方程組4，一.

xy=—3

這個(gè)方程指明兩個(gè)數(shù)的和為2,這兩個(gè)數(shù)的積為-3。由此聯(lián)想到韋達(dá)定理，x、y是一

元二次方程產(chǎn)-2/-3=0的兩個(gè)根，

r丫—1v—3

所以4—一或1-.可見(jiàn)，聯(lián)想可使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單。

[y=3[y=-l

(3)善于將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化

數(shù)學(xué)家G.波利亞在《怎樣解題》中說(shuō)過(guò)：數(shù)學(xué)解題是命題的連續(xù)變換?？梢?jiàn)，解題過(guò)

程是通過(guò)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化才能完成的。轉(zhuǎn)化是解數(shù)學(xué)題的一種十分重要的思維方法。那么怎樣轉(zhuǎn)

化呢？概括地講，就是把復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單問(wèn)題，把抽象問(wèn)題轉(zhuǎn)化成具體問(wèn)題，把未知問(wèn)

題轉(zhuǎn)化成已知問(wèn)題。在解題時(shí)，觀察具體特征，聯(lián)想有關(guān)問(wèn)題之后，就要尋求轉(zhuǎn)化關(guān)系。

例4口，已知一"I---F—=-------,(abcHO,a+/?+cHO),

abca+b+c

求證a、h,c三數(shù)中必有兩個(gè)互為相反數(shù)。

恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化使問(wèn)題變得熟悉、簡(jiǎn)單。要證的結(jié)論，可以轉(zhuǎn)化為：(a+b)S+c)(c+a)=O

思維變通性的對(duì)立面是思維的保守性，即思維定勢(shì)。思維定勢(shì)是指一個(gè)人用同一種思維

方法解決若干問(wèn)題以后，往往會(huì)用同樣的思維方法解決以后的問(wèn)題。它表現(xiàn)就是記類(lèi)型、記

方法、套公式，使思維受到限制，它是提高思維變通性的極大的障礙，必須加以克服。

綜上所述，善于觀察、善于聯(lián)想、善于進(jìn)行問(wèn)題轉(zhuǎn)化，是數(shù)學(xué)思維變通性的具體體現(xiàn)。

要想提高思維變通性，必須作相應(yīng)的思維訓(xùn)練。

二、思維訓(xùn)練實(shí)例

(1)觀察能力的訓(xùn)練

雖然觀察看起來(lái)是一種表面現(xiàn)象，但它是認(rèn)識(shí)事物內(nèi)部規(guī)律的基礎(chǔ)。所以，必須重視觀

察能力的訓(xùn)練，使學(xué)生不但能用常規(guī)方法解題，而且能根據(jù)題目的具體特征，采用特殊方法

來(lái)解題。

例1已知a,仇c,4都是實(shí)數(shù)，求證J/+/””c)2+(b-d)2.

思路分析從題目的外表形式觀察到，要證的

結(jié)論的右端與平面上兩點(diǎn)間的距離公式很相似，而

左端可看作是點(diǎn)到原點(diǎn)的距離公式。根據(jù)其特點(diǎn)，

可采用下面巧妙而簡(jiǎn)捷的證法，這正是思維變通的體現(xiàn)。

證明不妨設(shè)A(a,/?),B(c,4)如圖1—2一1所示，

則=癡-c)2+9-4)2.

=yja2+b2,\0B\=Vc2+d2,

在AQAB中，由三角形三邊之間的關(guān)系知:

\O^+\OB\>\AB\當(dāng)且僅當(dāng)0在AB上時(shí)，等號(hào)成立。

因此，yja2+h2+yjc2+d2>7(a-c)2+(b-d)2.

思維障礙很多學(xué)生看到這個(gè)不等式證明題，馬上想到采用分析法、綜合法等，而此題

利用這些方法證明很繁。學(xué)生沒(méi)能從外表形式上觀察到它與平面上兩點(diǎn)間距離公式相似的原

因，是對(duì)這個(gè)公式不熟，進(jìn)一步講是對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握不牢固。因此，平時(shí)應(yīng)多注意數(shù)學(xué)公

式、定理的運(yùn)用練習(xí)。

例2已知3/+2y?=6x,試求+的最大值。

解由3%2+2),=6%得

32.0

y2——x+3x.

2

3

y~20,「.一/+3x20,「?04光W2.

a1Q

又x2+y2=x2——x24-3x=——(x-3)2+—,

222

1Q

2

.?.當(dāng)x=2時(shí)，/+丫2有最大值，最大值為――(2-3)+-=4.

思路分析要求/+卜2的最大值，由已知條件很快將/+y2變?yōu)橐辉魏瘮?shù)

1Q

/■(?=一耳?！?)2+耳，然后求極值點(diǎn)的X值，聯(lián)系到y(tǒng)2?o,這一條件，既快又準(zhǔn)地求出最大

值。上述解法觀察到了隱蔽條件，體現(xiàn)了思維的變通性。

思維障礙大部分學(xué)生的作法如下：

3

由3x?+2y2=6x得>2=_]*2+3》，

X2+>2=—一+3x=-g(x—3)2+g,

/.當(dāng)x=3時(shí)，x'+y?取最大值，最大值為￡

這種解法由于忽略了V之0這一條件，致使計(jì)算結(jié)果出現(xiàn)錯(cuò)誤。因此，要注意審題，不

僅能從表面形式上發(fā)現(xiàn)特點(diǎn)，而且還能從已知條件中發(fā)現(xiàn)其隱蔽條件，既要注意主要的已知

條件，

又要注意次要條件，這樣，才能正確地解題，提高思維的變通性。

有些問(wèn)題的觀察栗從相應(yīng)的圖像著手。

例3已知二次函數(shù)/(X)=ax~+bx+c=0(a>0),滿足關(guān)系

/(2+x)=/(2—x),試比較/(0.5)與/(不)的大小。

思路分析由已知條件/(2+x)=/(2-x)可知，在與x=2左右等距離的點(diǎn)的函數(shù)值相

等，說(shuō)明該函數(shù)的圖像關(guān)于直線x=2對(duì)稱，又由

已知條件知它的開(kāi)口向上，所以，可根據(jù)該函數(shù)的大致

圖像簡(jiǎn)捷地解出此題。

解(如圖1一2—2)由/(2+幻=/(2-幻，

知/(幻是以直線x=2為對(duì)稱軸，開(kāi)口向上的拋物線

它與x=2距離越近的點(diǎn)，函數(shù)值越小。

v|2-0.5|>|2-^|/(0.5)>/(〃)

思維障礙有些同學(xué)對(duì)比較/(0.5)與/(不)的大小,只想到求出它們的值。而此題函數(shù)

/(X)的表達(dá)式不確定無(wú)法代值，所以無(wú)法比較。出現(xiàn)這種情況的原因，是沒(méi)有充分挖掘已知

條件的含義，因而思維受到阻礙，做題時(shí)要全面看問(wèn)題，對(duì)每一個(gè)已知條件都栗仔細(xì)推敲，

找出它的真正含義，這樣才能順利解題。提高思維的變通性。

(2)聯(lián)想能力的訓(xùn)練

例4在A4BC中，若NC為鈍角，則fgAlgB的值

(A)等于1(B)小于1⑹大于1(D)不能確定

思路分析此題是在A4BC中確定三角函數(shù)rgA/gB的值。因此，聯(lián)想到三角函數(shù)正切的

兩角和公式fg(A+8)=’gA+fgB可得下面解法。

1-tgAtgB

解；NC為鈍角，.“gCvO.在A48C中A+B+C=%.\C=%一(A+8)

且A、8均為銳角，

：?tgC=吆卜-(A+B)]=Tg(A+8)=.”咒<0.

JgAtgB

tgA>O,tgB>0,/.1-tgAtgB>0.即tgAtgB<1.

故應(yīng)選擇(B)

思維障礙有的學(xué)生可能覺(jué)得此題條件太少，難以下手，原因是對(duì)三角函數(shù)的基本公式

掌握得不牢固，不能準(zhǔn)確把握公式的特征，因而不能很快聯(lián)想到運(yùn)用基本公式。

例5若(z-x)2一4(丁一1)(^_2)=0,證明：2)=「+2.

思路分析此題一般是通過(guò)因式分解來(lái)證。但是，如果注意觀察已知條件的特點(diǎn)，不難

發(fā)現(xiàn)它與一元二次方程的判別式相似。于是，我們聯(lián)想到借助一元二次方程的知識(shí)來(lái)證題。

證明當(dāng)x-y/O時(shí)，等式(z-x)?—4(九一y)(y-z)=O

可看作是關(guān)于/的一元二次方程(x-y)產(chǎn)+(z-x?+(y-z)=O有等根的條件，在進(jìn)一步觀

察這個(gè)方程，它的兩個(gè)相等實(shí)根是1,根據(jù)韋達(dá)定理就有：

—~-=1即2y=x+z

x-y

若x-y=O,由已知條件易得z-x=O,即x=y=z,顯然也有2y=x+z.

例6已知以從c均為正實(shí)數(shù)，滿足關(guān)系式/+匕2=,2,又〃為不小于3的自然數(shù)，求

U:an+bn<cn.

思路分析由條件/+〃=c?聯(lián)想到勾股定理，。、b、C可構(gòu)成直角三角形的三邊，進(jìn)一

步聯(lián)想到三角函數(shù)的定義可得如下證法。

證明設(shè)a、b、c所對(duì)的角分別為A、B、C.則。是直角，A為銳角，于是

ab

sinA=—,cosA=—,且0<sinA<l,0<cosA<1,

cc

當(dāng)〃23時(shí)，有sin"Avsin'A,cosnA<cos2A

于是有sin"A+cosHA<sin2A+cos2A=1

即(-)n+(-r<1,

cc

從而就有a"+b"<cn.

思維阻礙由于這是一個(gè)關(guān)于自然數(shù)〃的命題，一些學(xué)生都會(huì)想到用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明，

難以進(jìn)行數(shù)與形的聯(lián)想，原因是平時(shí)不注意代數(shù)與幾何之間的聯(lián)系，單純學(xué)代數(shù)，學(xué)幾何，

因而不能將題目條件的數(shù)字或式子特征與直觀圖形聯(lián)想起來(lái)。

(3)問(wèn)題轉(zhuǎn)化的訓(xùn)練

我們所遇見(jiàn)的數(shù)學(xué)題大都是生疏的、復(fù)雜的。在解題時(shí)，不僅要先觀察具體特征，聯(lián)想

有關(guān)知識(shí)，而且要將其轉(zhuǎn)化成我們比較熟悉的，簡(jiǎn)單的問(wèn)題來(lái)解。恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，往往使問(wèn)題

很快得到解決，所以，進(jìn)行問(wèn)題轉(zhuǎn)化的訓(xùn)練是很必要的。

①轉(zhuǎn)化成容易解決的明顯題目

例11已知a+0+c==1,求證a、b、c中至少有一個(gè)等于1。

abc

思路分析結(jié)論沒(méi)有用數(shù)學(xué)式子表示，很難直接證明。首先將結(jié)論用數(shù)學(xué)式子表示，轉(zhuǎn)

化成我們熟悉的形式。a、b、c中至少有一個(gè)為1,也就是說(shuō)a-1、b—1、c—l中至少有一個(gè)

為零，這樣，問(wèn)題就容易解決了。

證明,/—H---F—=1,/.bc+ac+ab=abc.

abc

于是(<2-1)0—l)(c—1)=abc—(ab+ac+be—1)4-(o+b+c)=O.

a-l、b-l、c-l中至少有一個(gè)為零，即a、b、c中至少有一個(gè)為1。

思維障礙很多學(xué)生只在已知條件上下功夫，左變右變，還是不知如何證明三者中至少

有一個(gè)為1,其原因是不能把要證的結(jié)論“翻譯”成數(shù)學(xué)式子，把陌生問(wèn)題變?yōu)槭煜?wèn)題。

因此，多練習(xí)這種“翻譯”，是提高轉(zhuǎn)化能力的一種有效手段。

例12直線L的方程為x=—其中p>0;橢圓E的中心為。'(2+‘,0),焦點(diǎn)在X軸

22

上，長(zhǎng)半軸為2,短半軸為1,它的一個(gè)頂點(diǎn)為A(5,0),問(wèn)p在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，橢圓上

有四個(gè)不同的點(diǎn)，它們中的每一點(diǎn)到點(diǎn)A的距離等于該點(diǎn)到直線L的距離。

思路分析從題目的要求及解析幾何的知識(shí)可知，四個(gè)不同的點(diǎn)應(yīng)在拋物線

y2=2px(1)

是，又從已知條件可得橢圓E的方程為

-------Z—+y2=l(2)

4

因此，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為當(dāng)方程組(1)、(2)有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解時(shí)，求p的取值范圍。將

(2)代入(1)得：

2

X1+(7p-4)x+"-+2p=0.(3)

確定〃的范圍，實(shí)際上就是求(3)有兩個(gè)不等正根的充要條件，解不等式組:

(7p-4)2-4(K-+2p)>0

4

2+2p>0

4

7p-4<0

在p>0的條件下，得0<p<13.

本題在解題過(guò)程中，不斷地把問(wèn)題化歸為標(biāo)準(zhǔn)問(wèn)題：解方程組和不等式組的問(wèn)題。

?逆向思維的訓(xùn)練

逆向思維不是按習(xí)慣思維方向進(jìn)行思考，而是從其反方向進(jìn)行思考的一種思維方式。當(dāng)

問(wèn)題的正面考慮有阻礙時(shí)，應(yīng)考慮問(wèn)題的反面，從反面入手，使問(wèn)題得到解決。

例13已知函數(shù)/(幻=2/+郎+〃，求證廠(1)卜V⑵卜|/(3)|中至少有一個(gè)不小于1.

思路分析反證法被譽(yù)為“數(shù)學(xué)家最精良的武器之一”，它也是中學(xué)數(shù)學(xué)常用的解題方

法。當(dāng)要證結(jié)論中有“至少”等字樣，或以否定形式給出時(shí)，一般可考慮采用反證法。

證明(反證法)假設(shè)原命題不成立，即,(1)卜|/(2)|>|/(3)|都小于1。

1/(1)|<1-1<24-m+n<1-3<m+n<-\①

則<|/⑵|<1=><-1<8+2m+〃<1=><-9<2m+〃<一7②

?汝3)|<1-1<18+3m+〃<1-19<3m+n<-17③

①+③得-11<2m+〃<一9,

與②矛盾，所以假設(shè)不成立，即/⑴|、|/(2)|、|/(3)|中至少有一個(gè)不小于1。

(3)一題多解訓(xùn)練

由于每個(gè)學(xué)生在觀察時(shí)抓住問(wèn)題的特點(diǎn)不同、運(yùn)用的知識(shí)不同，因而，同一問(wèn)題可能得

到幾種不同的解法，這就是“一題多解”。通過(guò)一題多解訓(xùn)練，可使學(xué)生認(rèn)真觀察、多方聯(lián)

想、恰當(dāng)轉(zhuǎn)化，提高數(shù)學(xué)思維的變通性。

例14已知復(fù)數(shù)z的模為2,求|z-i|的最大值。

解法一(代數(shù)法)設(shè)2=工+9(九、yeR),

2

則1+y=4.\z-i\=《X?+(y-l)2=j5-2y.

曲2".當(dāng)k-2時(shí)皿=3.

解法二(三角法)設(shè)z=2(cose+isin6),

則|z-i\=J4cos2什(2sin6-1)2=j5-4sin"

/.當(dāng)sin。二一1時(shí),|z-z|=3.

IImax

圖1一2一3

解法三(幾何法)

V\z\=2,，點(diǎn)2是圓》2+y2=4上的點(diǎn)，

|z-i|表示Z與i所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離。

如圖1一2—3所示，可知當(dāng)z=-2i時(shí)，|z-i|=3.

IImax

解法四(運(yùn)用模的性質(zhì))

v|z-z|<|z|+|-z|=2+1=3

而當(dāng)z=—2i時(shí)，|z—z|=3.|z-(ax=3.

解法五(運(yùn)用模的性質(zhì))

=(z-0(z-z)=zz+(z-z)z+1=5+2/(z),(/(z)表z的虛部).

又力⑶歸2,.#—七=9,小—必=3.

第二講數(shù)學(xué)思維的反思性

一、概述

數(shù)學(xué)思維的反思性表現(xiàn)在思維活動(dòng)中善于提出獨(dú)立見(jiàn)解，精細(xì)地檢查思維過(guò)程，不盲從、不

輕信。在解決問(wèn)題時(shí)能不斷地驗(yàn)證所擬定的假設(shè)，獲得獨(dú)特的解決問(wèn)題的方法，它和創(chuàng)造性

思維存在著高度相關(guān)。本講重點(diǎn)加強(qiáng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性的訓(xùn)練，培養(yǎng)他們的創(chuàng)造性思維。

二、思維訓(xùn)練實(shí)例

(1)檢查思路是否正確，注意發(fā)現(xiàn)其中的錯(cuò)誤。

例1已知/(幻=〃尤+*，若一34/⑴40,34/(2)46,求/(3)的范圍。

b

錯(cuò)誤解法由條件得

-3<a+b<0①

<b

3<2。4—46

2②

②X2一①得6<<z<15③

①X2-②得④

333

辦小，1°/c43目010,十/r、,43

(5)+(4)付0—《3a4—4—，即—Wf(3)W—.

33333

錯(cuò)誤分析采用這種解法，忽視了這樣一個(gè)事實(shí)：作為滿足條件的函數(shù)/(幻=以+巳，

b

其值是同時(shí)受a和"制約的。當(dāng)a取最大(小)值時(shí)，匕不一定取最大(小)值，因而整個(gè)解

題思路是錯(cuò)誤的。

正確解法由題意有

f(X)=a+b

?h

f(2)=2a+-

、乙

12

解得：a=-[2/(2)-/(l)],b=

.?./(3)=3a+1=y/(2)-|/(l).

把/⑴和/(2)的范圍代入得y</(3)<y.

在本題中能夠檢查出解題思路錯(cuò)誤，并給出正確解法，就體現(xiàn)了思維具有反思性。只有牢

固地掌握基礎(chǔ)知識(shí)，才能反思性地看問(wèn)題。

例2證明勾股定理：已知在A48C中，ZC=90°,求證。2=/+。2.

ah

錯(cuò)誤證法在RfAA3c中，sinA=—,cosA=—，而sin?A+cos2A=1,

cc

(-)2+(-)2=1,即02=42+/.

錯(cuò)誤分析在現(xiàn)行的中學(xué)體系中，sin?A+cos2A=1這個(gè)公式本身是從勾股定理推出來(lái)

的。這種利用所要證明的結(jié)論，作為推理的前提條件，叫循環(huán)論證。循環(huán)論證的錯(cuò)誤是在不

知不覺(jué)中產(chǎn)生的，而且不易發(fā)覺(jué)。因此，在學(xué)習(xí)中對(duì)所學(xué)的每個(gè)公式、法則、定理，既要熟

悉它們的內(nèi)容，又要熟悉它們的證明方法和所依據(jù)的論據(jù)。這樣才能避免循環(huán)論證的錯(cuò)誤。

發(fā)現(xiàn)本題犯了循環(huán)論證的錯(cuò)誤，正是思維具有反思性的體現(xiàn)。

(2)驗(yàn)算的訓(xùn)練

驗(yàn)算是解題后對(duì)結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)的過(guò)程。通過(guò)驗(yàn)算，可以檢查解題過(guò)程的正確性，增強(qiáng)思

維的反思性。

例3已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和=2"+1,求見(jiàn).

n-1

錯(cuò)誤解法an=S?-=(2"+1)-(2向+1)=T-2"T=2.

錯(cuò)誤分析顯然，當(dāng)〃=1時(shí)，6=S,=3/2-=1,錯(cuò)誤原因，沒(méi)有注意公式*=S“-S,i

成立的條件是〃N).因此在運(yùn)用凡時(shí)，必須檢驗(yàn)〃=1時(shí)的情形。即：

a(〃=1)

a""(?>2,?6N)

例4實(shí)數(shù)a為何值時(shí)，圓尤2+V一2奴+/-1=o與拋物線y?=有兩個(gè)公共點(diǎn)。

錯(cuò)誤解法將圓/+y2_2奴+/_1=0與拋物線聯(lián)立，消去y,

得x2-(2a--)x+a2-1=0(x>0).①

2

A=0

因?yàn)橛袃蓚€(gè)公共點(diǎn)，所以方程①有兩個(gè)相等正根，得j2a-』>0

2

/z2-l>0.

17

解之，得a=L

8

錯(cuò)誤分析(如圖2—2—1；2-2-2)顯然，當(dāng)a=0時(shí)，圓與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)。

要使圓與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是方程①有一正根、一負(fù)根；或有兩個(gè)相等正根。

當(dāng)方程①有一正根、一負(fù)根時(shí)，得解之，得一1<。<1.

?2-1<0.

]71

因此，當(dāng)。二—或一1<〃<1時(shí)，圓-2ax+a2-1=0與拋物線y2=—九有兩個(gè)公共

82

點(diǎn)、o

思考題：實(shí)數(shù)a為何值時(shí)，圓X?+y?-2ax+/-1=0與拋物線=gx,

(1)有一個(gè)公共點(diǎn)；

(2)有三個(gè)公共點(diǎn)；

(3)有四個(gè)公共點(diǎn)；

(4)沒(méi)有公共點(diǎn)。

養(yǎng)成驗(yàn)算的習(xí)慣，可以有效地增強(qiáng)思維反思性。如：在解無(wú)理方程、無(wú)理不等式；對(duì)數(shù)方

程、對(duì)數(shù)不等式時(shí)，由于變形后方程或不等式兩端代數(shù)式的定義域可能會(huì)發(fā)生變化，這樣就

有可能產(chǎn)生增根或失根，因此必須進(jìn)行檢驗(yàn)，舍棄增根，找回失根。

(3)獨(dú)立思考，敢于發(fā)表不同見(jiàn)解

受思維定勢(shì)或別人提示的影響，解題時(shí)盲目附和，不能提出自己的看法，這不利于增強(qiáng)

思維的反思性。因此，在解決問(wèn)題時(shí)，應(yīng)積極地獨(dú)立思考，敢于對(duì)題目解法發(fā)表自己的見(jiàn)解，

這樣才能增強(qiáng)思維的反思性，從而培養(yǎng)創(chuàng)造性思維。

例530支足球隊(duì)進(jìn)行淘汰賽，決出一個(gè)冠軍，問(wèn)需要安排多少場(chǎng)比賽？

解因?yàn)槊繄?chǎng)要淘汰1個(gè)隊(duì)，30個(gè)隊(duì)要淘汰29個(gè)隊(duì)才能決出一個(gè)冠軍。因此應(yīng)安排29

場(chǎng)比賽。

思路分析傳統(tǒng)的思維方法是：30支隊(duì)比賽，每次出兩支隊(duì)，應(yīng)有15+7+4+2+1

=29場(chǎng)比賽。而上面這個(gè)解法沒(méi)有盲目附和，考慮到每場(chǎng)比賽淘汰1個(gè)隊(duì)，要淘汰29支隊(duì),

那么必有29場(chǎng)比賽。

例6解方程父—2x+3=cosx.

考察方程兩端相應(yīng)的函數(shù)y=(x-1)2+2,y=cosx,它們的圖象無(wú)交點(diǎn)。

所以此方程無(wú)解。

例7設(shè)a、￡是方程/一2日+攵+6=0的兩個(gè)實(shí)根，則(a-+(￡-1)2的最小值是

()

49

(A)--;(B)8;(C)18;(0不存在

4

思路分析本例只有一個(gè)答案正確，設(shè)了3個(gè)陷阱，很容易上當(dāng)。

利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系易得：a+/3=2k,a/3=k+6,

(a-1)-+(y?-1)"—ex—2a+1+-2/?+1

=(a+-2aB—2(a+￡)+2

3K49

=4(攵一丁)-.

44

40

有的學(xué)生一看到-竺，常受選擇答案(A)的誘惑，盲從附和。這正是思維缺乏反思性的

4

體現(xiàn)。如果能以反思性的態(tài)度考察各個(gè)選擇答案的來(lái)源和它們之間的區(qū)別，就能從中選出正

確答案。

???原方程有兩個(gè)實(shí)根a、（3,

A=422-4（攵+6）20,k<-2或Z23.

當(dāng)人23時(shí)，（a-l）2+（￡—1尸的最小值是8；當(dāng)后《一2時(shí)，（a—1尸+（￡-1）2的最小值是

18；

這時(shí)就可以作出正確選擇，只有（B）正確。

第三講數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)密性

二、概述

在中學(xué)數(shù)學(xué)中，思維的嚴(yán)密性表現(xiàn)為思維過(guò)程服從于嚴(yán)格的邏輯規(guī)則，考察問(wèn)題時(shí)嚴(yán)格、準(zhǔn)確，進(jìn)行運(yùn)算

和推理時(shí)精確無(wú)誤。數(shù)學(xué)是一門(mén)具有高度抽象性和精密邏輯性的科學(xué)，論證的嚴(yán)密性是數(shù)學(xué)的根本特點(diǎn)之

一。但是，由于認(rèn)知水平和心里特征等因素的影響，中學(xué)生的思維過(guò)程常常出現(xiàn)不嚴(yán)密現(xiàn)象，主要表現(xiàn)在

以下幾個(gè)方面：

概念模糊概念是數(shù)學(xué)理論體系中十分重要的組成部分。它是構(gòu)成判斷、推理的要素。因此必須弄清概念，

搞清概念的內(nèi)涵和外延，為判斷和推理奠定基礎(chǔ)。概念不清就容易陷入思維混亂，產(chǎn)生錯(cuò)誤。

判斷錯(cuò)誤判斷是對(duì)思維對(duì)象的性質(zhì)、關(guān)系、狀態(tài)、存在等情況有所斷定的一種思維形式。數(shù)學(xué)中的判斷

通常稱為命題。在數(shù)學(xué)中，如果概念不清，很容易導(dǎo)致判斷錯(cuò)誤。例如，"函數(shù)y=（；）-*是一個(gè)減函數(shù)”

就是一個(gè)錯(cuò)誤判斷。

推理錯(cuò)誤推理是運(yùn)用已知判斷推導(dǎo)出新的判斷的思維形式。它是判斷和判斷的聯(lián)合。任何一個(gè)論證都

是由推理來(lái)實(shí)現(xiàn)的，推理出錯(cuò)，說(shuō)明思維不嚴(yán)密。

例如，解不等式尤〉工.

X

11.

解V%>-,X0->1,/.X>1,或尤<一1.這個(gè)推理是錯(cuò)誤的。在由X>—推導(dǎo)X2>1時(shí)，沒(méi)

XX

有討論龍的正、負(fù)，理由不充分，所以出錯(cuò)。

二、思維訓(xùn)練實(shí)例

思維的嚴(yán)密性是學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵之一。訓(xùn)練的有效途徑之一是查錯(cuò)。

（1）有關(guān)概念的訓(xùn)練

概念是抽象思維的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)推理離不開(kāi)概念。“正確理解數(shù)學(xué)概念是掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的前提。”《中

學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》（試行草案）

不等式log-2）（3--2x-4）>10gg2）（無(wú)2-3X+2）.

錯(cuò)誤解法vX2+2>1,

3x~—2x—4>x~一3x+2,

2尸+JC—6>0,/.x>一或光<-2.

2

,3

錯(cuò)誤分析當(dāng)x=2時(shí)，真數(shù)/-3x+2=o且彳=2在所求的范圍內(nèi)（因2>—），說(shuō)明解法錯(cuò)誤。原

2

因是沒(méi)有弄清對(duì)數(shù)定義。此題忽視了“對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零”這一條件造成解法錯(cuò)誤，表現(xiàn)出思維的不嚴(yán)密

性。

正確解法-/x2+2>1

1+713^1-V13

2x>------或x<-----------

3%—2.x-4>033

-3x+2>0/.《x〉2或x<1

3——2.x—4>x"—3x+2X>3或》<-2

/.x>2或x<—2.

求過(guò)點(diǎn)（0,1）的直線，使它與拋物線y?=2x僅有一個(gè)交點(diǎn)。

錯(cuò)誤解法設(shè)所求的過(guò)點(diǎn)（0,1）的直線為了=依+1,則它與拋物線的交點(diǎn)為

y=kx+\,

，消去）得：（區(qū)+1）2-2X=0.

y=2x

整理得k2x2+（2左-2）x+1=0.v直線與拋物線僅有一個(gè)交點(diǎn)，

.?.△=0,解得火=；.所求直線為y=；x+l.

錯(cuò)誤分析此處解法共有三處錯(cuò)誤：

第一，設(shè)所求直線為），=入+1時(shí)，沒(méi)有考慮左=0與斜率不存在的情形，實(shí)際上就是承認(rèn)了該直線的斜

率是存在的，且不為零，這是不嚴(yán)密的。

第二，題中要求直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，它包含相交和相切兩種情況，而上述解法沒(méi)有考慮相切的情

況，只考慮相交的情況。原因是對(duì)于直線與拋物線“相切”和“只有一個(gè)交點(diǎn)”的關(guān)系理解不透。

第三，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立后得一個(gè)一元二次方程，要考慮它的判別式，所以它的二次項(xiàng)系數(shù)不

能為零，即女。0,而上述解法沒(méi)作考慮，表現(xiàn)出思維不嚴(yán)密。

正確解法當(dāng)所求直線斜率不存在時(shí)，即直線垂直x軸，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)（0,1）,所以x=0,即y軸，它正好與拋

物線/=2x相切。

當(dāng)所求直線斜率為零時(shí)，直線為y=l,平行x軸，它正好與拋物線>2=2x只有一個(gè)交點(diǎn)。

設(shè)所求的過(guò)點(diǎn)（0,1）的直線為y=日+1（AH0）則

y=Ax+1,,11

\\,+（2Z-2）x+l=0.令△=（）,解得%=—.所求直線為），=—x+1.

=2x22

綜上，滿足條件的直線為：

y=1,x=0,y=gx+l.

判斷的訓(xùn)練

造成判斷錯(cuò)誤的原因很多，我們?cè)趯W(xué)習(xí)中，應(yīng)重視如下幾個(gè)方面。

①注意定理、公式成立的條件

數(shù)學(xué)上的定理和公式都是在一定條件下成立的。如果忽視了成立的條件，解題中難免出現(xiàn)錯(cuò)誤。

實(shí)數(shù)加，使方程，+（m+4z）x+1+2mi=0至少有一個(gè)實(shí)根。

錯(cuò)誤解法?.?方程至少有一個(gè)實(shí)根，

A=（m+4z）2-4（1+2mi）=/n2-20>0.

r.m>25/5,或m<—2^5.

錯(cuò)誤分析實(shí)數(shù)集合是復(fù)數(shù)集合的真子集，所以在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)成立的公式、定理，在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)不一定成

立，必須經(jīng)過(guò)嚴(yán)格推廣后方可使用。一元二次方程根的判別式是對(duì)實(shí)系數(shù)一元二次方程而言的，而此題目

盲目地把它推廣到復(fù)系數(shù)一元二次方程中，造成解法錯(cuò)誤。

正確解法設(shè)。是方程的實(shí)數(shù)根，則

a2+(m+4z)a+1+2mi=0,

/.a2+ma+1+(4a+2m)i-0.

由于。、機(jī)都是實(shí)數(shù)，

'2

a+ma+1=0

4。+2m=0

解得m=±2.

例4已知雙曲線的右準(zhǔn)線為x=4,右焦點(diǎn)廠(10,0),離心率e=2,求雙曲線方程。

2

錯(cuò)解1x=—=4,c=10,.-.a2=40,/.Z?2=c2-a2=60.

c

故所求的雙曲線方程為

/?1

4060

錯(cuò)解2由焦點(diǎn)戶(10,0)知c=10,

c

:e=—=2,/.a—5,b2=c2—a2=75.

a

故所求的雙曲線方程為

22

二上=1.

2575

錯(cuò)解分析這兩個(gè)解法都是誤認(rèn)為雙曲線的中心在原點(diǎn)，而題中并沒(méi)有告訴中心在原點(diǎn)這個(gè)

條件。由于判斷錯(cuò)誤，而造成解法錯(cuò)誤。隨意增加、遺漏題設(shè)條件，都會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤解法。

正解1設(shè)P(x,y)為雙曲線上任意一點(diǎn)，因?yàn)殡p曲線的右準(zhǔn)線為x=4,右焦點(diǎn)F(10,0),離

心率e=2,由雙曲線的定義知

,(龍_10)2+,2_

|x-4|-'

整理得(%-2)-上=].

1648

正解2依題意，設(shè)雙曲線的中心為(777,0)

a~2

---\-m=4A

ca=4

則c-\-m-10解得c=8

±=2.m=2.

a

所以h2=c2—a2=64—16=48,

(2)

故所求雙曲線方程為—-=i.

1648

②注意充分條件、必要條件和充分必要條件在解題中的運(yùn)用

我們知道：

如果A成立，那么8成立，即An8,則稱A是8的充分條件。

如果6成立，那么A成立，即3=>A,則稱A是8的必要條件。

如果A=B,則稱A是8的充分必要條件。

充分條件和必要條件中我們的學(xué)習(xí)中經(jīng)常遇到。像討論方程組的解，求滿足條件的點(diǎn)的軌跡等等。但充分

條件和必要條件中解題中的作用不同，稍用疏忽，就會(huì)出錯(cuò)。

例5解不等式Jx—l2x-3.

錯(cuò)誤解法要使原不等式成立，只需

x-l>0

<x-3>0,解得3WxW5.

x—12(x—3)一

A>0

A>Q

錯(cuò)誤分析不等式V>B成立的充分必要條件是:<B>0或

B<0

A>B2

x-l>0

二￡,所考慮

原不等式的解法只考慮了一種情況4%—3>0,而忽視了另一種情況<

九一12(九一3)2

的情況只是原不等式成立的充分條件,

充分條件當(dāng)成了充分必要條件。

正確解法要使原不等式成立，則

x-l>0

x-l>0

x-3>0Q

x-3<0

尤-12(X—3尸

/.3<x<5,或1WxW3.

原不等式的解集為{燈1W尤<5}

例6(軌跡問(wèn)題)求與y軸相切于右側(cè)，并與

（DC:/+>2-6x=0也相切的圓的圓心

的軌跡方程。

錯(cuò)誤解法如圖3—2—1所示，

已知。C的方程為（無(wú)一3>+V=9.

設(shè)點(diǎn)P（x,y）（x>0）為所求軌跡上任意一點(diǎn)，并且。P與）,軸相切于M點(diǎn)，

與。C相切于N點(diǎn)。根據(jù)已知條件得

|CPHPM\+3,即J（x-3）2+/=%+3.

化簡(jiǎn)得/=I2x（x>0）.

錯(cuò)誤分析本題只考慮了所求軌跡的純粹性（即所求的軌跡上的點(diǎn)都滿足條件），而沒(méi)有考

慮所求軌跡的完備性（即滿足條件的點(diǎn)都在所求的軌跡上）。事實(shí)上，符合題目條件的點(diǎn)的

坐標(biāo)并不都滿足所求的方程。從動(dòng)圓與已知圓內(nèi)切，可以發(fā)現(xiàn)以x軸正半軸上任一點(diǎn)為圓心，

此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為半徑（不等于3）的圓也符合條件，所以y=0（x>0月/。3）也是所求的

方程。即動(dòng)圓圓心的軌跡方程是y?=12x（x>0）和

y=0（x>0且x/3）。因此，在求軌跡時(shí)，一定要完整的、細(xì)致地、周密地分析問(wèn)題，這樣，

才能保證所求軌跡的純粹性和完備性。

③防止以偏概全的錯(cuò)誤

以偏概全是指思考不全面，遺漏特殊情況，致使解答不完全，不能給出問(wèn)題的全部答案，從

而表現(xiàn)出思維的不嚴(yán)密性。

例7設(shè)等比數(shù)列｛%｝的全"項(xiàng)和為若邑+$6=25”求數(shù)列的公比q.

錯(cuò)誤解法：S3+Sb=2Sg,

。1（1一/）,—q6）0。|（1一二）

..------------------1-------------------=Z-------------------

1-qq

整理得q“2q6_/_l）=0.

由qH0得方程2/一/一1=0.（2/+1）（/-1）=0,

/.q=一2或q=l

錯(cuò)誤分析在錯(cuò)解中，由囚（J/）+%（1-、6）=2R1—/）

\-q\-q\-q

整理得q'Qq。"-D=0.時(shí)，應(yīng)有4H0和qH1.在等比數(shù)列中，是顯然的，但公

比q完全可能為1,因此，在解題時(shí)應(yīng)先討論公比q=l的情況，再在令。1的情況下，對(duì)式子

進(jìn)行整理變形。

正確解法若4=1,則有S3=3q,S6=6469=9%.

但qwO,即得邑+§6H2S9,與題設(shè)矛盾，故

又依題意§3+56=259，

可得+。-力_2.%(1一『)

\—q\-q\—q

整理得^3(2<76-^3-1)=0.即(2/+l)(q3-1)=0,

因?yàn)閝Hl,所以二一1。0,所以2/+1=().

V4

所以q=~~.

2

說(shuō)明此題為1996年全國(guó)高考文史類(lèi)數(shù)學(xué)試題第(21)題，不少考生的解法同錯(cuò)誤解法，根

據(jù)評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)而痛失2分。

④避免直觀代替論證

我們知道直觀圖形常常為我們解題帶來(lái)方便。但是，如果完全以圖形的直觀聯(lián)系為依據(jù)來(lái)進(jìn)行推理，這就

會(huì)使思維出現(xiàn)不嚴(yán)密現(xiàn)象。

例8(如圖3—2—2),具有公共y軸的兩個(gè)直角坐標(biāo)平面a和￡所成的二面角a-y軸一￡

等于60。.已知￡內(nèi)的曲線C'的方程是>2=2px'(p>0),求曲線C'在a內(nèi)的射影的曲線方程。

錯(cuò)誤解法依題意，可知曲線。是拋物線，一

在￡內(nèi)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是尸(§0),p>0.

因?yàn)槎娼莂