橢圓的標準方程2

橢圓的標準方程【考點梳理】考點一：橢圓的定義1．定義：平面內與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡．2．焦點：兩個定點F1，F(xiàn)2.3．焦距：兩焦點間的距離|F1F2|.4．幾何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常數(shù))且2a>|F1F2|.考點二：橢圓的標準方程焦點在x軸上焦點在y軸上標準方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)圖形焦點坐標F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)a，b，c的關系b2＝a2－c2考點三：求軌跡方程的方法直譯法——“四步一回頭”，四步：（1）建立適當坐標系，設出動點M的坐標；

（2）寫出適合條件的點M的集合；

（3）將“翻譯”成代數(shù)方程；（4）化簡代數(shù)方程為最簡形式.【題型歸納】題型一：利用橢圓的定義求方程1．（2023秋·上海浦東新·高二校考）平面內點P到、的距離之和是10，則動點P的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出即可得出動點P的軌跡方程.【詳解】由題意，平面內點P到、的距離之和是10，∴動點的軌跡為橢圓,焦點在軸上,,解得：，∴，∴軌跡方程為:，故選:B.2．（2022秋·江蘇淮安·高二校聯(lián)考期中）若動點滿足方程，則動點P的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)方程可以利用幾何意義得到動點P的軌跡方程是以與為焦點的橢圓方程，從而求出軌跡方程.【詳解】由題意得：到與的距離之和為，且，故動點P的軌跡方程是以與為焦點的橢圓方程，故，，所以，，所以橢圓方程為.故選：C3．（2023·全國·高二專題練習）已知橢圓的左?右焦點分別為，過坐標原點的直線交于兩點，且，且，則橢圓的標準方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)橢圓的定義可求，結合三角形的面積可求，進而可得答案.【詳解】如圖，連接，由橢圓的對稱性得四邊形為平行四邊形，所以，得.又因為，所以四邊形為矩形，設，則，所以得或；則，則，橢圓的標準方程為.故選:C.題型二：橢圓的焦點三角形問題4．（2023秋·河南許昌·高二統(tǒng)考期末）已知為橢圓的兩個焦點，過的直線交橢圓于A，B兩點，若，則（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】B【分析】根據(jù)橢圓的定義，結合焦點三角形的周長即可求解.【詳解】由，即，可得，根據(jù)橢圓的定義，所以.故選：B.5．（2023秋·山東菏澤·高二山東省鄄城縣第一中學?？茧A段練習）已知點是橢圓上一點，橢圓的左、右焦點分別為、，且，則的面積為（

）A．6 B．12 C． D．【答案】C【分析】設，，由橢圓定義得，由余弦定理求出，從而利用三角形面積公式求出答案.【詳解】由橢圓，得，，.設，，∴，在中，由余弦定理可得：，可得，得，故.故選：C.6．（2023·全國·高二專題練習）已知是橢圓的左?右焦點，點在橢圓最大時，求（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用橢圓的定義結合余弦定理可得時最大，利用三角形的面積公式即得.【詳解】由橢圓的方程可得，，，則，所以，當且僅當則時等號成立，即為橢圓短軸端點時最大，此時，.故選：C.題型三：根據(jù)方程表示橢圓求參數(shù)問題7．（2023·江蘇·高二專題練習）已知曲線C：，則“”是“曲線C表示焦點在y軸上的橢圓”的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)曲線C表示焦點在y軸上的橢圓，列不等式求出的取值范圍，結合充分必要條件的定義即可判斷.【詳解】將曲線C的方程化為，若曲線C表示焦點在y軸上的橢圓，則，即，而“”不能推出“”；“”可以推出“”，故“”是“曲線C表示焦點在y軸上的橢圓”的必要不充分條件.故選：A.8．（2021秋·江蘇南通·高二統(tǒng)考期中）已知方程表示焦點在x軸上的橢圓，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A．（－3，1） B．（－3，5）C．（4，5） D．【答案】A【分析】由方程表示橢圓，結合橢圓的性質有，即可求m范圍.【詳解】由題設，，可得.故選：A9．（2022·江蘇·高二專題練習）已知命題p：方程表示焦點在軸上的橢圓，則使命題成立的充分不必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】若表示焦點在軸上的橢圓，可得即可得的范圍，再選取該范圍的一個真子集即可求解.【詳解】若方程表示焦點在軸上的橢圓，則，解得：．所以成立的充要條件是：．結合四個選項可知：成立的充分不必要條件是，故選：B.題型四：橢圓的標準方程的求法10．（2022秋·江蘇南通·高二?？茧A段練習）阿基米德是古希臘著名的數(shù)學家、物理學家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積．已知在平面直角坐標系中，橢圓的面積為，兩焦點與短軸的一個端點構成等邊三角形，則橢圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由橢圓面積公式求得關于的關系式，結合等邊三角形性質可得的基本關系，聯(lián)立方程即可求解.【詳解】由橢圓面積公式可得，當時，①，如圖，當為等邊三角形時，②，聯(lián)立①②得：，故橢圓的方程為.故選：B11．（2022秋·江蘇泰州·高二統(tǒng)考階段練習）已知橢圓的兩個焦點的坐標分別是和，且橢圓經(jīng)過點，則該橢圓的標準方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)橢圓的焦點可求，根據(jù)經(jīng)過點，可得，進而可求解，即可得橢圓方程.【詳解】因為焦點坐標為和，所以.橢圓經(jīng)過點，且焦點在x軸上，所以，所以，則橢圓的標準方程為.故選:A.12．（2023·江蘇·高二專題練習）與橢圓有相同焦點，且過點的橢圓方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可設橢圓的方程為，將代入可求得結果.【詳解】由題意可設橢圓的方程為.又所求橢圓過點，所以將代入橢圓方程，得，解得（舍去）.故所求的橢圓方程為.故選：B.題型五：與橢圓有關的軌跡問題13．（2023·江蘇·高二專題練習）點M與定點的距離和它到定直線的距離的比為，則點M的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)軌跡方程的求解方法列方程求解.【詳解】設，因為點M與定點的距離和它到定直線的距離的比為，所以，即，整理得，故選:C.14．（2023·江蘇·高二專題練習）如圖，在圓上任取一點P，過點P作x軸的垂線段PD，D為垂足，當點P在圓上運動時，線段PD的中點M的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】設，,，利用為線段的中點，得到點坐標與動點坐標之間的關系，將點坐標用點坐標表示，然后代入圓的方程即可得到動點的軌跡方程；【詳解】設，,，則,．為線段的中點，，即，．又點在圓上，，即．故點的軌跡方程為．故選：A15．（2023·江蘇·高二專題練習）已知動圓過動點，并且在定圓：的內部與其相內切，則動圓圓心的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】設，動圓的半徑為，由圓與圓的位置關系可得，判斷出的軌跡為以為焦點，長軸長為8的橢圓，即可求出的軌跡方程.【詳解】設，動圓的半徑為，則，因為動圓在定圓：的內部與其相內切，所以,所以，即，因為，,所以,由橢圓的定義可知：的軌跡為以為焦點，長軸長為8的橢圓，所以，所以動圓圓心的軌跡方程為.故選：A題型六：橢圓的最值問題16．（2023·江蘇·高二專題練習）已知，是橢圓的兩個焦點，點M在橢圓C上，的最大值為（

）A． B． C．2 D．4【答案】D【分析】根據(jù)橢圓的定義可得，結合基本不等式即可求得的最大值.【詳解】∵在橢圓上∴∴根據(jù)基本不等式可得，即，當且僅當時取等號.故選：D.17．（2023·江蘇·高二專題練習）已知點在橢圓上運動，點在圓上運動，則的最大值為（

）A． B． C．5 D．6【答案】B【分析】根據(jù)圓的性質，結合兩點間距離公式、配方法進行求解即可.【詳解】解：設圓的圓心為，則，設，則，所以，當且僅當時取得最大值，所以．故選：B．18．（2023·江蘇·高二專題練習）已知動點在橢圓上，F(xiàn)為橢圓C的右焦點，若點M滿足且，則的最大值為（

）A． B． C．8 D．63【答案】B【分析】依題意知，該橢圓的焦點，點M在以為圓心，1為半徑的圓上，當PF最長時，切線長PM最大，作出圖形，即可得到答案．【詳解】因為，所以點M在以為圓心，1為半徑的圓上，又因為，所以，PM為圓的切線，，所以當PF最長時，切線長PM最大．當點P與橢圓的左頂點重合時，最大，最大值為．此時的最大值為．故選：B．題型七：橢圓方程的綜合問題19．（2023·江蘇·高二專題練習）分別求滿足下列條件的橢圓的標準方程：(1)兩個焦點分別是，橢圓上的點P與兩焦點的距離之和等于8；(2)兩個焦點分別是，并且橢圓經(jīng)過點．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)橢圓定義以及焦點坐標可計算出，，即可求得橢圓方程；（2）由焦點坐標可知且在y軸上，設出標準方程代入計算即可.【詳解】（1）由已知得，因此．又因為，所以，易知橢圓的焦點在x軸上，所以所求橢圓的標準方程為．（2）因為橢圓的焦點在y軸上，設它的標準方程為．由已知得，又因為，所以．因為點在橢圓上，所以，即．從而有，解得或（舍去）．因此，從而所求橢圓的標準方程為．20．（2023·江蘇·高二專題練習）已知橢圓的焦點在軸上，且過點，焦距為，設為橢圓上的一點，、是該橢圓的兩個焦點，若，求：(1)橢圓的標準方程(2)的面積．【答案】(1)(2)【分析】設出橢圓的標準方程，利用待定系數(shù)法求出橢圓方程；利用橢圓定義以及余弦定理、面積公式求得結果.【詳解】（1）設橢圓的標準方程為，由已知得解得，，，故橢圓的標準方程為．（2）如圖，由橢圓的定義可得，由余弦定理可得，整理得，又，所以，故．21．（2023·江蘇·高二專題練習）已知橢圓C：，左，右焦點分別為，，橢圓C經(jīng)過，．(1)求橢圓C的方程；(2)若橢圓C上的點P使得，求的面積．【答案】(1)(2)1【分析】（1）由題意可知，，代入橢圓的標準方程進行求解即可；（2）假設橢圓C上存在點，使得，則，可求出，根據(jù)計算可得結果.【詳解】（1）因為橢圓C經(jīng)過，．則，解得，．所以橢圓C的方程為．（2）由（1）知，，假設橢圓C上存在點，使得，則，即，聯(lián)立，解得，．∴橢圓C上存在點P使得．∴．【雙基達標】單選題22．（2023秋·江蘇淮安·高二校考）焦點在y軸上，且長軸長與短軸長之比為，焦距為的橢圓方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)橢圓的標準方程，結合題干列出方程，即可.【詳解】因為焦點在y軸上，故設橢圓方程為，則，且，解得：，所以橢圓的標準方程為.故選：D23．（2023·江蘇·高二專題練習）已知動圓過點，并且在圓B：的內部與其相切，則動圓圓心的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圓與圓的位置關系，整理等式，根據(jù)橢圓的定義，可得答案.【詳解】由圓，則其圓心，半徑為，設動圓的圓心為，半徑為，由圓在圓的內部與其相切，則，由圓過點，則，即，所以動點的軌跡為以為焦點的橢圓，則，，，所以其軌跡方程為.故選：D.24．（2023秋·江蘇·高二校聯(lián)考開學考試）已知方程表示焦點在軸上的橢圓,則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意列出含有參數(shù)的不等式組求解即可.【詳解】根據(jù)題意,要使方程表示焦點在軸上的橢圓,需滿足,解得.故選:C.25．（2023·江蘇·高二專題練習）已知的周長為，，，則頂點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】依題意可得，根據(jù)橢圓的定義可知頂點的軌跡是以，為焦點長軸長為8的橢圓（不含軸上的頂點），從而求出軌跡方程.【詳解】解：∵的周長為，，∴，，∴頂點的軌跡是以，為焦點，長軸長為8的橢圓（不含軸上的頂點），又，，可得，∴頂點的軌跡方程為：．故選：D．26．（2023秋·江蘇淮安·高二?？茧A段練習）分別根據(jù)下列條件求橢圓標準方程：(1)一個焦點為(2)與橢圓有相同的焦點，且經(jīng)過點【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)已知可得a，c，然后由求出b，即可得橢圓方程；（2）根據(jù)已知橢圓方程可得焦點坐標，然后設所求橢圓方程為，代入已知點坐標，結合即可求解.【詳解】（1）由題知，，橢圓焦點在x軸上，又，所以，所以，橢圓方程為.（2）橢圓的焦點為，設所求橢圓方程為，則有，解得，所以所求橢圓方程為.27．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知平面上兩點，，動點P滿足．(1)求動點P的軌跡C的標準方程；(2)當動點P滿足時，求P點的縱坐標．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)動點滿足的幾何性質和橢圓的定義可得動點的軌跡方程；（2）設，根據(jù)和橢圓定義得關于的方程組，從而可求點P的縱坐標.【詳解】（1）因為，由橢圓的定義可得的軌跡為橢圓，其長軸長，故，又因為，，所以橢圓焦點在軸上，半焦距，故，故方程為：.（2）由（1）知，、是橢圓的兩個焦點，設，在中，因為，所以，即，又，所以，在中，，又，所以，得P點的縱坐標為．【高分突破】一、單選題28．（2023·高二課時練習）已知是橢圓上的點，、分別是橢圓的左、右焦點，若，則的面積為（

）A． B． C． D．9【答案】A【分析】由已知可得，然后利用余弦定理和橢圓定義列方程組可解.【詳解】因為，所以，又記，則，②2①整理得：，所以故選：A29．（2022秋·江蘇南京·高二統(tǒng)考階段練習）設點P為橢圓上一點，，分別為C的左、右焦點，且，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】結合余弦定理、橢圓的定義求得，從而求得的面積.【詳解】設，根據(jù)橢圓的定義以及余弦定理得，整理得，即，所以的面積為.故選：C30．（2023·高二課時練習）設P為橢圓上的點，，分別為橢圓C的左、右焦點，且，則（

）A． B．2 C． D．3【答案】B【分析】先利用橢圓得到，根據(jù)橢圓的定義可得到，結合可算出，，即可算出答案【詳解】解：由橢圓可得即，因為P為橢圓上的點，所以，因為，所以，，故，故選：B．31．（2022秋·江蘇南京·高二校考開學考試）已知圓C的方程為，，A為圓C上任意一點，若點P為線段AB的垂直平分線與直線AC的交點，則點P的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由橢圓定義確定點軌跡是橢圓，然后求出，可得其方程．【詳解】因為點P為線段AB的垂直平分線與直線AC的交點，所以，所以，而，所以點軌跡是以為焦點，長軸長是4的橢圓．設其方程為，，，，則，所以點軌跡方程是．故選：C．32．（2023·高二課時練習）已知分別是橢圓的左、右焦點，點，點在橢圓上，，分別是的中點，且的周長為，則橢圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】因為，所以三點共線，且，根據(jù)橢圓的定義求得，設，根據(jù)，求得，代入橢圓的方程，求得的值，即可求解.【詳解】因為，所以三點共線，且，因為分別為和的中點，所以，所以，設，，，由，可得，求得，，所以，因為點在橢圓上，所以，求得，，所以橢圓的方程為.故選：B.33．（2023·高二課時練習）若橢圓的左、右焦點分別為、，點P為橢圓C上一動點，則下列說法中不正確的是（

）A．當點P不在x軸上時，的周長是6B．當點P不在x軸上時，面積的最大值為C．存在點P，使D．的取值范圍是【答案】C【分析】根據(jù)橢圓定義以及焦距即可判斷選項A；當點位于上下頂點時，面積的最大即可判斷選項B；當點為橢圓短軸的一個端點時，為最大與比較即可判斷選項C；當點為橢圓的左右頂點時取得最值，即可判斷選項D.【詳解】由橢圓方程可知，，從而．對于選項A；根據(jù)橢圓定義，，又，所以的周長是，故選項A正確；對于選項B：設點，因為，則．因為，則面積的最大值為，故選項B正確；對于選項C：由橢圓性質可知，當點為橢圓短軸的一個端點時，為最大．此時，，又，則為正三角形，，所以不存在點，使，故選項C錯誤；對于選項D：由橢圓的性質可知，當點為橢圓的右頂點時，取最大值，此時；當點為橢圓的左頂點時，取最小值，此時，所以，故選項D正確．故選：C.【點睛】結論點睛：橢圓中焦點三角形的有關結論以橢圓上一點和焦點為頂點的中，若，則（1）焦點三角形的周長為；（2）當點為橢圓短軸的一個端點時，為最大；（3），當時，即點為橢圓短軸的一個端點時取最大值，為；（4）.二、多選題34．（2023秋·江蘇淮安·高二淮陰中學?？奸_學考試）若方程所表示的曲線為C，則下面四個說法中正確的是（

）A．曲線C可能是圓B．若，則C為橢圓C．若C為橢圓，且焦點在x軸上，則D．若C為橢圓，且焦點在y軸上，則【答案】AD【分析】根據(jù)方程為圓列式求解判斷A，排除B，根據(jù)橢圓標準方程的特征列不等式求解范圍即可判斷CD.【詳解】當即時，方程為，表示圓心為原點，半徑為1的圓，故選項A正確，選項B錯誤；若C為橢圓，且焦點在x軸上，則，解得，故選項C錯誤；若C為橢圓，且焦點在y軸上，則，解得，故選項D正確.故選：AD.35．（2023·江蘇·高二專題練習），是橢圓的兩個焦點，A是橢圓上一點，是直角三角形，則的面積為（

）A．9 B．C． D．【答案】AB【分析】對的直角進行分類討論，結合橢圓的定義以及標準方程求得正確答案.【詳解】由得，不妨，，則，當時，則①平方減去②得，∴，當(或者)時，，令，則，解得，則，.故選：AB.36．（2023秋·江蘇南通·高二江蘇省如皋中學?？奸_學考試）已知橢圓上一點，橢圓的左?右焦點分別為，則（

）A．若點的橫坐標為2，則B．的最大值為9C．若為直角，則的面積為9D．若為鈍角，則點的橫坐標的取值范圍為【答案】BCD【分析】對A，可直接解出點P坐標，求兩點距離；對B，最大值為對C，設，則，列勾股定理等式，可求面積；對D，所求點在以原點為圓心，為半徑的圓內，求出橢圓與該圓的交點橫坐標即可判斷.【詳解】橢圓的長半軸為，半焦距為，∴對A，時，代入橢圓方程得，，，A錯；對B，的最大值為，B對；對C，為直角，設，則，則有，則的面積為，C對；對D，以原點為圓心，為半徑作圓，則為圓的直徑，則點P在圓內時，為鈍角，聯(lián)立，消y得，故點的橫坐標的取值范圍為，D對.故選：BCD37．（2022秋·江蘇鹽城·高二江蘇省阜寧中學校考期中）已知橢圓的左、右焦點分別為，點為橢圓的一個動點，點，則下列結論正確的是（

）A．的周長為 B．的面積最大值為C．存在點，使得 D．的最大值為【答案】ABD【分析】利用橢圓的定義及幾何性質逐項判斷即可.【詳解】對A，由橢圓，可得的周長為：，故A正確；對B，當P為橢圓短軸頂點時，的面積最大，且最大面積為：，故B正確；對C，當P為橢圓短軸頂點時，為最大，此時，即為銳角，所以不存在點P使得，故C錯誤；對D，由橢圓，所以，又，所以，所以，故D正確.故選：ABD.38．（2023秋·江蘇常州·高二常州高級中學校考階段練習）已知P是橢圓上一點，橢圓的左、右焦點分別為，，則下列結論正確的是（

）A．△F1PF2的周長為16 B．C．點到x軸的距離為 D．【答案】ABC【分析】根據(jù)橢圓的定義、橢圓內三角形的周長、面積、向量數(shù)量積運算等知識求得正確答案.【詳解】依題意，，，所以三角形的周長為，A選項正確，設，所以，整理得，所以，B選項正確，設到軸的距離為，則，C選項正確，，D選項錯誤.故選：ABC39．（2022秋·江蘇常州·高二?？计谥校┮阎獧E圓C：的左、右焦點分別為，，點P在C上（異于左右頂點），記的面積為S，則（

）A．當時，B．的取值范圍為C．的面積的最大值為D．橢圓C上有且只有4個點P，使得是直角三角形【答案】BCD【分析】利用余弦定理和橢圓定義可求得，進而得到的面積，即可判斷A；設點，利用平面向量的數(shù)量積求得，結合的范圍，即可判斷B；當點為橢圓的短軸頂點時，面積的最大，求出最大面積即可判斷C；驗證討論的三個內角是否為直角的情況，即可判斷D．【詳解】在橢圓中，，且，對于A，在中，由余弦定理可得，即①，又，即②由②－①解得8，∴的面積為，故A錯誤；對于B，設點，則，，，∵，，∴，∴的取值范圍為，故B正確；對于C，當點為橢圓的短軸頂點時，點到軸的距離最大，所以面積的最大值為，故C正確；對于D，當點位于橢圓的上、下頂點時，，，則，所以不可能為直角；當時，，此時點位于第二或第三象限，有2個直角三角形；當時，，此時點位于第一或第四象限，有2個直角三角形．所以橢圓C上有且只有4個點P，使得是直角三角形，故D正確．故選：BCD．三、填空題40．（2023秋·江蘇常州·高二常州市第一中學校考階段練習）已知方程表示焦點在軸上的橢圓，則實數(shù)的取值范圍為．【答案】【分析】根據(jù)橢圓的標準方程的形式，列出不等式組，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，要使方程表示焦點在軸上的橢圓，則滿足，解得，即實數(shù)的取值范圍為.故答案為：41．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）橢圓的兩焦點分別為，點在橢圓上，若，則的大小為．【答案】【分析】根據(jù)橢圓的定義和標準方程，可得，，在中，由余弦定理，即可求解.【詳解】由橢圓，可得，則，因為，可得，，在中，由余弦定理得，因為，所以.故答案為：42．（2023·江蘇·高二專題練習）橢圓的焦點坐標為和，橢圓上任一點到兩個焦點的距離之和為10的橢圓的標準方