等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式（原卷版）

第四章《數(shù)列》比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式[核心素養(yǎng)·學(xué)習(xí)目標(biāo)]課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀掌握等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式及求取思路，熟練掌握等比數(shù)列的五個(gè)量之間的關(guān)系并能由三求二，能用通項(xiàng)與和求通項(xiàng).會(huì)利用等比數(shù)列性質(zhì)簡(jiǎn)化求和運(yùn)算，會(huì)利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)特征求最值.能處理與等比數(shù)列相關(guān)的綜合問題通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求能掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的相關(guān)計(jì)算公式，能熟練處理與等比數(shù)列的相關(guān)量之間的關(guān)系，用函數(shù)的思想解決等比數(shù)列的相關(guān)問題，會(huì)利用等比數(shù)列的性質(zhì)靈活解決與之相關(guān)的問題.課前預(yù)習(xí)課前預(yù)習(xí)一、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和1．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式2．等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)若Sn表示數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且Sn＝Aqn－A(Aq≠0，q≠±1)，則數(shù)列{an}是．3.兩個(gè)常用的結(jié)論：若數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列，則①Sn＋m＝Sn＋qnSm.②在等比數(shù)列中，若項(xiàng)數(shù)為2n(n∈N＋)，則eq\f(S偶,S奇)＝q.③Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比數(shù)列．1．在等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式中，共涉及五個(gè)量：a1，an，n，q，Sn，其中首項(xiàng)a1和公比q為基本量，且“知三求二”．2．前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用中，注意前n項(xiàng)和公式要分類討論，即當(dāng)q≠1和q＝1時(shí)是不同的公式形式，的情況．3．一般地，如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列且公比為q，求數(shù)列的前n項(xiàng)和時(shí)，可采用錯(cuò)位相減法的方法求解．二、等比數(shù)列和及綜合應(yīng)用1．解應(yīng)用問題的核心是建立數(shù)學(xué)模型．2．解決等比數(shù)列前n項(xiàng)和的實(shí)際應(yīng)用的一般步驟：(1)審題——(2)建模——(3)求解——(4)還原3．求解等比數(shù)列前n項(xiàng)和的實(shí)際問題要注意的問題(1)解答數(shù)列應(yīng)用題要注意步驟的規(guī)范性：設(shè)數(shù)列，判斷數(shù)列，解題完畢要作答．(2)在歸納或求通項(xiàng)公式時(shí)，一定要將項(xiàng)數(shù)n計(jì)算準(zhǔn)確．(3)在數(shù)列類型不易分辨時(shí)，要注意歸納遞推關(guān)系．(4)在近似計(jì)算時(shí)，要注意應(yīng)用對(duì)數(shù)方法，且要看清題中對(duì)近似程度的要求．4.兩個(gè)常用的結(jié)論：(1)等額本金還款法：即將本金平均分配到每一期進(jìn)行償還，每期還款金額＝eq\f(貸款本金,還款期數(shù))＋(貸款本金－已還本金總額)×利率．(2)等額本息還款法：即將本金和利息平均分配到每一期進(jìn)行償還．每期還款金額＝eq\f(A0r1＋rm,1＋rm－1)，其中A0為貸款時(shí)的資金，r為銀行貸款月利率，m為還款總期數(shù)(單位：月)．知識(shí)講解知識(shí)講解1.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式已知量首項(xiàng)a1，項(xiàng)數(shù)n與公比q首項(xiàng)a1，末項(xiàng)an與公比q公式Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a11－qn,1－q)，q≠1))Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)，q≠1))2.等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的函數(shù)特征當(dāng)公比q≠1時(shí)，設(shè)A＝eq\f(a1,q－1)，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是Sn＝A(qn－1).即Sn是n的指數(shù)型函數(shù).當(dāng)公比q＝1時(shí)，因?yàn)閍1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函數(shù).3.等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)等比數(shù)列{an}前n項(xiàng)和的三個(gè)常用性質(zhì)(1)數(shù)列{an}為公比不為－1的等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍構(gòu)成等比數(shù)列.(2)若{an}是公比為q的等比數(shù)列，則Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*).(3)若{an}是公比為q的等比數(shù)列，S偶，S奇分別是數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)和與奇數(shù)項(xiàng)和，則：①在其前2n項(xiàng)中，eq\f(S偶,S奇)＝q；②在其前2n＋1項(xiàng)中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝eq\f(a1＋a2n＋1q,1－－q)＝eq\f(a1＋a2n＋2,1＋q)(q≠－1).【大招總結(jié)】已知等比數(shù)列{}的公比為q，前n項(xiàng)和為，則有如下性質(zhì)：

(1).

(2)若(k)均不為0，則成等比數(shù)列，且公比為.

(3)若{}共有2n(n)項(xiàng)，則=q；

若{}共有(2n+1)(n)項(xiàng)，則=q.二級(jí)結(jié)論總結(jié)二級(jí)結(jié)論總結(jié)1.一般地，使用等比數(shù)列求和公式時(shí)需注意(1)一定不要忽略q＝1的情況；在應(yīng)用公式求和時(shí)，應(yīng)注意到Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)的使用條件為q≠1，而當(dāng)q＝1時(shí)應(yīng)按常數(shù)列求和，即Sn＝na1.(2)知道首項(xiàng)a1、公比q和項(xiàng)數(shù)n，可以用eq\f(a11－qn,1－q)；知道首尾兩項(xiàng)a1，an和q，可以用eq\f(a1－anq,1－q)；(3)在通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式中共出現(xiàn)了五個(gè)量：a1，n，q，an，Sn.知道其中任意三個(gè)，可求其余兩個(gè).(1)公式法求和

①直接用等差、等比數(shù)列的求和公式.

②掌握一些常見的數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.(2)倒序相加法求和

如果一個(gè)數(shù)列{}中，與首、末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng),的和相等，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即是用此法推導(dǎo)的.(3)錯(cuò)位相減法求和

錯(cuò)位相減法求和適用于型數(shù)列，其中、分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.(4)裂項(xiàng)相消法求和

利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，應(yīng)注意抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面剩兩項(xiàng)，再就是通項(xiàng)裂項(xiàng)后，有時(shí)需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂項(xiàng)前后保持相等.典型例題典型例題例1.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝2(an－1)，則an＝（

）A．2n B．2n－1C．2n D．2n－1【解題思路】利用數(shù)列的遞推關(guān)系式求出首項(xiàng)，然后判斷數(shù)列是等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式即可．【解答過程】解：當(dāng)n=1時(shí)a1=S當(dāng)n?2時(shí)，an=S所以數(shù)列{a所以通項(xiàng)公式為an故選：C．例2.設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S10S5A．32 B．154 C．21【解題思路】根據(jù)等比數(shù)列的求和公式或者等比數(shù)列的性質(zhì)解析即可；【解答過程】法一：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，若q=1，則S10S5由S10S5=5，得a1解得q5=4，則故選：C.法二：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，若q=1，則S10S5由等比數(shù)列的性質(zhì)知S5,S10?S5,S15?所以S15=21t，所以故選：C.例3.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和是Sn，且滿足a1=3,a2k=8a2kA．42023?1 C．3×41012?9【解題思路】根據(jù)給定的遞推公式，分奇偶探討數(shù)列an【解答過程】由k∈N?，a2k=8a因此數(shù)列{a顯然a2=8a所以S2023=(a故選：C.例4.記Sn為等比數(shù)列{?an}的前na1=8A．有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) B．有最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)C．無最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) D．無最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)【解題思路】求出公比q，求出Sn，然后分析{【解答過程】設(shè)公比為q，則q3=aSn當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn=16當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn=16所以{Sn}有最大項(xiàng)為S故選：A．例5.中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還.”其意思為：有一個(gè)人要走378里路，第一天健步行走，從第二天起因?yàn)槟_痛，每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，請(qǐng)問第二天走了多少里？【解題思路】根據(jù)題意可知，此人每天走的路程構(gòu)成等比數(shù)列an，公比為12，再根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可解出a1【解答過程】設(shè)第n天走的路程為an，n∈1,2,3,4,5,6，所以此人每天走的路程可構(gòu)成等比數(shù)列依題可知，公比為12，所以378=a1所以a2例6.已知等差數(shù)列an滿足a2=4，2a4?a5=7(1)求an與b(2)設(shè)cn=anbn，求【解題思路】（1）根據(jù)已知條件列出方程組，分別求出等差數(shù)列和等比數(shù)列的首項(xiàng)、公差或公比，根據(jù)定義寫出通項(xiàng)公式即可.（2）由錯(cuò)位相減法結(jié)合等比數(shù)列求和公式法進(jìn)行運(yùn)算即可求解.【解答過程】（1）由題意不妨設(shè)等差數(shù)列、等比數(shù)列的公差、公比分別為d,q，所以有a1+d=42注意到b1≠0,q≠?1，所以分別解得a1因此由定義可知an與bn的通項(xiàng)公式分別為（2）由（1）可知an所以由題意有cn當(dāng)n≥2,n∈N?時(shí)，有所以有2S以上兩式作差得Sn=?1?3×=?1+6?3×=5+3n?5當(dāng)n=1時(shí)，有S1綜上所述：cn的前n項(xiàng)和為S例7.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S(1)求數(shù)列an(2)設(shè)bn=n2+n?2na【解題思路】（1）根據(jù)公式an（2）根據(jù)（1）的結(jié)果化簡(jiǎn)數(shù)列bn【解答過程】（1）當(dāng)n=1時(shí)，S1=a當(dāng)n≥2時(shí)，Sn?1則Snan=2an?2得an2n?aan2n所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式a（2）bn即bnTn=1即Tn=1?12n+1所以Tn的最小值為T1=23所以23強(qiáng)化訓(xùn)練強(qiáng)化訓(xùn)練一、單選題1．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列判斷一定正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則2．設(shè)無窮等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A．為遞減數(shù)列 B．為遞增數(shù)列C．?dāng)?shù)列有最大項(xiàng) D．?dāng)?shù)列有最小項(xiàng)3．?dāng)?shù)列滿足，則滿足的的最小值為（

）A．16 B．15 C．14 D．134．已知數(shù)列滿足，若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對(duì)于任意的都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．公比為q的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，前n項(xiàng)積為，滿足．則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．的最大值為C．的最大值為 D．6．已知數(shù)列滿足，若數(shù)列前5項(xiàng)的和為31，則的值為（

）A．8 B．16 C．31 D．327．已知數(shù)列前項(xiàng)和為且為非零常數(shù)則下列結(jié)論中正確的是（）A．?dāng)?shù)列不是等比數(shù)列 B．時(shí)C．當(dāng)時(shí)， D．8．設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，并且滿足條件，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．

B．

C．的最大值為

D．的最大值為9．等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為，已知，，則（

）A． B．32 C．64 D．10．已知首項(xiàng)為1的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，則下列說法不正確的是（

）．A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是嚴(yán)格增數(shù)列C． D．11．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，下列一定成立的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則12．已知數(shù)列滿足，，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的有（

）．A．為等比數(shù)列 B．的通項(xiàng)公式為C．為遞減數(shù)列 D．的前n項(xiàng)和二、填空題13．已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則．14．在等比數(shù)列中，若，則.15．等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝48，前2n項(xiàng)和S2n＝60，則前3n項(xiàng)和S3