專題02 數(shù)形思想之與三角形有關(guān)的角重難點(diǎn)專練（解析版）-【考點(diǎn)培優(yōu)尖子生專用】2021-2022學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊專題訓(xùn)練（滬教版）

編者小k君小注：本專輯專為2022年初中滬教版數(shù)學(xué)第二學(xué)期研發(fā)，供中等及以上學(xué)生使用。思路設(shè)計(jì)：重在培優(yōu)訓(xùn)練，分選擇、填空、解答三種類型題，知識(shí)難度層層遞進(jìn)，由中等到壓軸，基礎(chǔ)差的學(xué)生選做每種類型題的前4題；基礎(chǔ)中等的學(xué)生必做前4題、選做5-8題；尖子生全部題型必做，沖刺壓軸題。專題02數(shù)形思想之與三角形有關(guān)的角重難點(diǎn)專練（解析版）錯(cuò)誤率：___________易錯(cuò)題號(hào)：___________一、單選題1．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=（）A．180° B．360° C．540° D．以上答案都不是【標(biāo)準(zhǔn)答案】B【思路指引】根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°，用∠AGB表示出∠A，∠B，用∠EMF表示出∠E，∠F，用∠CND表示出∠C，∠D，然后再根據(jù)對(duì)頂角相等的性質(zhì)解出它們的度數(shù)即可．【詳解詳析】解：如圖，∵三角形的內(nèi)角和等于180°，∴∠A+∠B=180°-∠AGB，∠E+∠F=180°-∠EMF，∠C+∠D=180°-∠CND．∵對(duì)頂角相等，∴∠AGB=∠MGN，∠EMF=∠GMN，∠CND=∠MNG．∵∠MGN+∠GMN+∠MNG=180°，∴∠A+∠B+∠E+∠F+∠C+∠D=180°-∠AGB+180°-∠EMF+180°-∠CND=540°-（∠AGB+∠EMF+∠CND）=540°-180°=360°．故選B【名師指路】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，以及對(duì)頂角相等的性質(zhì)，熟練掌握三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°是解答本題的關(guān)鍵．2．（2020·上海市梅隴中學(xué)七年級(jí)期中）三角形三個(gè)外角的比為2：3：4，則對(duì)應(yīng)的三個(gè)內(nèi)角之比為（）A．2：3：4 B．4：3：2 C．5：3：1 D．1：3：5【標(biāo)準(zhǔn)答案】C【思路指引】已知三角形三個(gè)外角的度數(shù)之比，可以設(shè)一份為k°，根據(jù)三角形的外角和等于360°列方程求三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，確定三角形內(nèi)角的度數(shù)，然后求出度數(shù)之比．【詳解詳析】設(shè)一份為k°，

∵三個(gè)外角之比為2：3：4，

∴三個(gè)外角的度數(shù)分別為2k°，3k°，4k°，

∵2k°+3k°+4k°=360°，解得k°=40°，

∴三個(gè)外角分別為80°，120°和160°，

∵三角形外角與它相鄰的內(nèi)角互補(bǔ)，與之對(duì)應(yīng)的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別是100°，60°和20°，

即三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)的比為5：3：1．

故選：C．【名師指路】此題考查三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是溝通外角和內(nèi)角的關(guān)系．3．（2020·上海外國語大學(xué)附屬雙語學(xué)校八年級(jí)期中）如圖所示，在中，，若，則等于（）A． B． C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】A【思路指引】根據(jù)等邊對(duì)等角和三角形內(nèi)角和定理可得∠B=∠C=（180°－∠A）=90°－，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和已知可證出∠DEB=∠CDF，結(jié)合平角的定義和三角形的內(nèi)角和定理可證∠EDF=∠B=90°－．【詳解詳析】解：∵，∴∠B=∠C=（180°－∠A）=90°－∵=∠C＋∠CDF∴∠DEB=∠CDF∵∠B＋∠DEB＋∠EDB=180°，∠EDF＋∠CDF＋∠EDB=180°∴∠EDF＋∠CDF＋∠EDB=∠B＋∠DEB＋∠EDB∴∠EDF=∠B=90°－故選A．【名師指路】此題考查的是等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)，掌握等邊對(duì)等角、三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．4．如圖，AB∥CD，∠1=45°，∠3=80°，則∠2的度數(shù)為（）A．30° B．35° C．40° D．45°【標(biāo)準(zhǔn)答案】B【詳解詳析】分析：根據(jù)平行線的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)解答即可．詳解：如圖，∵AB∥CD，∠1=45°，∴∠4=∠1=45°，∵∠3=80°，∴∠2=∠3-∠4=80°-45°=35°，故選B．點(diǎn)睛：此題考查平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)平行線的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)解答．5．（2021·上海奉賢區(qū)陽光外國語學(xué)校八年級(jí)期中）將一副三角板按圖中方式疊放，則角α等于（）A．30° B．45° C．60° D．75°【標(biāo)準(zhǔn)答案】D【思路指引】利用兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等和三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和計(jì)算．【詳解詳析】如圖，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，∴∠1=45°，根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，∴∠α=∠1+30°=75°.故選D.6．已知，如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BE是∠ABC的平分線，DE∥BC，則圖中等腰三角形一共有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【標(biāo)準(zhǔn)答案】D【思路指引】由AB=AC得△ABC為等腰三角形，利用三角形內(nèi)角和定理求出△ABC的各個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，然后由角平分線、平行線的性質(zhì)求得相關(guān)角的度數(shù)，依據(jù)等角對(duì)等邊判定等腰三角形，即可得出答案．【詳解詳析】解：∵AB=AC，∠A=36°，則△ABC是等腰三角形；∴∠ABC=∠ACB=(180°?∠A)=(180°?36°)=72°，∵BE是∠ABC的平分線，∴∠DBE=∠EBC=36°，∴∠DBE=∠A，∴BE=AE，則△ABE是等腰三角形；∵DE∥BC，∴∠EBC=∠BED=36°，∠ADE=∠ABC=72°，∠AED=∠ACB=72°；∴∠DBE=∠BED，∠ADE=∠AED，∴BD=ED，AD=AE，∴△BDE和△ADE是等腰三角形；∵∠BEC=180°?∠ACB?∠EBC=72°，∴∠BEC=∠ACB，∴BE=BC，則△BCE是等腰三角形；∴圖中等腰三角形的個(gè)數(shù)有5個(gè)；故選：D．【名師指路】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理等．解題的關(guān)鍵是進(jìn)行角的等量代換．7．（2021·上海市奉賢區(qū)匯賢中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，其中點(diǎn)B、C分別與點(diǎn)D、E對(duì)應(yīng)，如果B、D、C三點(diǎn)恰好在同一直線上，那么下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．∠ACB＝∠AED B．∠BAD＝∠CAEC．∠ADE＝∠ACE D．∠DAC＝∠CDE【標(biāo)準(zhǔn)答案】D【思路指引】利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)直接對(duì)A選項(xiàng)進(jìn)行判斷；利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，再利用角的和差可得，則可對(duì)B選項(xiàng)進(jìn)行判斷；利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，然后根據(jù)等腰三角形頂角相等時(shí)底角相等得到，則，則可對(duì)C選項(xiàng)進(jìn)行判斷；先判斷，而不能確定等于，則可對(duì)D選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【詳解詳析】∵繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到∴，則A選項(xiàng)的結(jié)論正確由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得即∴，則B選項(xiàng)的結(jié)論正確∵繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到∴和都是等腰三角形∵∴∴，則C選項(xiàng)的結(jié)論正確∵，即又∴∵AD不能確定平分∴不能確定等于∴不能確定等于，則D選項(xiàng)的結(jié)論錯(cuò)誤故選：D．【名師指路】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．8．如圖，將紙片繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，若，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】A【思路指引】在直角△A1CD中，求得∠DA1C的度數(shù)，然后在等腰△ACA1中利用等邊對(duì)等角求得∠AA1C的度數(shù)，即可求解．【詳解詳析】解：若AC⊥A1B1，垂足為D，

∵AC⊥A1B1，

∴直角△A1CD中，∠DA1C=90°-∠DCA1=90°-40°=50°．

∵CA=CA1，

∴∠CAA1=∠CA1A==70°，

∴∠AA1B=70°-50°=20°．

故選：A．【名師指路】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．9．（2021·上海市上南中學(xué)南校七年級(jí)期末）下列說法正確的是（）A．三角形的外角等于兩個(gè)內(nèi)角的和B．等腰三角形的角平分線和中線重合C．含60°的兩個(gè)直角三角形全等D．有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形【標(biāo)準(zhǔn)答案】D【思路指引】根據(jù)三角形的外角性質(zhì)、等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)、直角三角形全等的判定方法以及等邊三角形的判定方法逐項(xiàng)判斷即可．【詳解詳析】解：A、三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和，故本選項(xiàng)說法不正確；B、等腰三角形的頂角平分線和底邊上的中線重合，故本選項(xiàng)說法不正確；C、含有60°的兩個(gè)直角三角形的對(duì)應(yīng)邊不一定相等，則這兩個(gè)直角三角形不一定全等，故本選項(xiàng)說法不正確；D、有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形，故本選項(xiàng)說法正確．故選D．【名師指路】本題主要考查了三角形的外角性質(zhì)、等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)、直角三角形全等的判定、等邊三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)，靈活應(yīng)用相關(guān)判定和性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．10．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中線，CF是角平分線，CF交AD于點(diǎn)G，交BE于點(diǎn)H，下面說法：①△ABE的面積＝△BCE的面積；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④BH＝CH．其中正確的是（）A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③【標(biāo)準(zhǔn)答案】B【思路指引】根據(jù)等底等高的三角形的面積相等即可判斷①；根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC＝∠CAD，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可推出②；根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠FAG＝∠ACD，根據(jù)角平分線定義即可判斷③；根據(jù)等腰三角形的判定判斷④即可．【詳解詳析】∵BE是中線，∴AE＝CE，∴△ABE的面積＝△BCE的面積（等底等高的三角形的面積相等），故①正確；∵CF是角平分線，∴∠ACF＝∠BCF，∵AD為高，∴∠ADC＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠ABC＋∠ACB＝90°，∠ACB＋∠CAD＝90°，∴∠ABC＝∠CAD，∵∠AFG＝∠ABC＋∠BCF，∠AGF＝∠CAD＋∠ACF，∴∠AFG＝∠AGF，故②正確；∵AD為高，∴∠ADB＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠ABC＋∠ACB＝90°，∠ABC＋∠BAD＝90°，∴∠ACB＝∠BAD，∵CF是∠ACB的平分線，∴∠ACB＝2∠ACF，∴∠BAD＝2∠ACF，即∠FAG＝2∠ACF，故③正確；根據(jù)已知條件不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出BH＝CH，故④錯(cuò)誤；故選：B．【名師指路】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，三角形的角平分線、中線、高，等腰三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)，能綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，題目比較好，屬于中考題型．二、填空題11．（2021·上海奉賢·七年級(jí)期末）如圖，在中，，是邊上一點(diǎn)，將沿翻折，點(diǎn)落到點(diǎn)的位置，邊與邊交于點(diǎn)，如果，那么_________度．【標(biāo)準(zhǔn)答案】108【思路指引】根據(jù)折疊的性質(zhì)和等邊對(duì)等角表示出△DEF的三個(gè)內(nèi)角，利用三角形內(nèi)角和列出方程，求出∠B，可得∠BAC．【詳解詳析】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，設(shè)∠B=∠C=x，∵∠B=∠D，∴∠D=x，∵AE=ED，∴∠EAD=∠D=x，∵AE=AF，∴∠AEF=∠AFE=90°-，∵∠AEF+∠AEB=180°，∠AFE+∠EFD=180°，∴∠AEB=∠EFD=90°+，∵∠AEB=∠AED，∴∠AED=90°+，∴∠FED=x，在△EFD中，∠D+∠FED+∠EFD=180°，∴x+90°++x=180°，解得：x=36°，∴∠BAC=180°-36°×2=108°，故答案為：108．【名師指路】本題考查了折疊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是根據(jù)基本知識(shí)將圖形中相關(guān)角表示出來，利用三角形內(nèi)角和列方程．12．（2021·上海黃浦·七年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠A＝42°，點(diǎn)D是邊A上的一點(diǎn)，將△BCD沿直線CD翻折斜到△B′CD，B′C交AB于點(diǎn)E，如果B′D∥AC，那么∠BDC＝___度．【標(biāo)準(zhǔn)答案】111【思路指引】設(shè)∠BCD為α，∠CBD為β，列出關(guān)于α+β的方程，求出α+β，即可求出∠BDC．【詳解詳析】解：設(shè)∠BCD為α，∠CBD為β，∵B′D∥AC，∴∠B'DC+∠ACD=180°，由對(duì)稱性知∠BDC=∠B'DC，∴180°-（α+β）+180°-42°-（α+β）=180°，∴α+β=69°，∴∠BDC=180°-69°=111°，故答案為111．【名師指路】本題主要考查翻折的性質(zhì)，還有平行線的性質(zhì)，注意翻折是軸對(duì)稱變換，具有對(duì)稱性，平行線的三個(gè)基本性質(zhì)要牢記于心．13．（2021·上海浦東新·七年級(jí)期末）如圖，已知且點(diǎn)與點(diǎn)對(duì)應(yīng)，點(diǎn)與點(diǎn)對(duì)應(yīng)，點(diǎn)在上，，則的度數(shù)是______________________【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】由，可得AB=AD，∠ABC=∠ADE，利用等邊對(duì)等角∠ABD=∠ADB，可求∠ABD=，∠ADE=70°，由∠DAE=∠BAE-∠BAD=74°，利用三角形內(nèi)角和∠E=180°-∠DAE-∠ADE=36°即可．【詳解詳析】解：∵，∴AB=AD，∠ABC=∠ADE，∴∠ABD=∠ADB，∵，∴∠ABD=，∴∠ADE=∠ABC=∠ABD=70°，又∵∠DAE=∠BAE-∠BAD=114°-40°=74°，∵∠E=180°-∠DAE-∠ADE=180°-74°-70°=36°．故答案為：36．【名師指路】本題考查三角形全等性質(zhì)，等腰三角形判斷與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，掌握三角形全等性質(zhì)，等腰三角形判斷與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和是解題關(guān)鍵．14．（2021·上海靜安·七年級(jí)期末）如圖，五邊形ABCDE中，AB∥DE，BC⊥CD，∠1、∠2分別是與∠ABC、∠CDE相鄰的外角，則∠1+∠2等于____度．【標(biāo)準(zhǔn)答案】90．【思路指引】連接BD，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠CBD+∠CDB，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠ABD+∠EDB，即可求出答案．【詳解詳析】連接BD，∵BC⊥CD，∴∠C＝90°，∴∠CBD+∠CDB＝180°﹣90°＝90°，∵AB//DE，∴∠ABD+∠EDB＝180°，∴∠1+∠2＝(180°﹣∠ABC)+(180°﹣∠EDC)＝360°﹣(∠ABC+∠EDC)＝360°﹣(∠ABD+∠CBD+∠EDB+∠CDB)＝360°﹣(90°+180°)＝90°，故答案為：90．【名師指路】本題考查了平行線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，熟記三角形的內(nèi)角和及平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．（2021·上海市文來中學(xué)七年級(jí)期中）在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分線交于點(diǎn)O，設(shè)∠BOC=β．則∠A=___．【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和內(nèi)角與外角的關(guān)系，結(jié)合題目中所給條件，即可解答．【詳解詳析】解：∵∠A=180°?∠1?∠2，???①又∵∠ABC和∠ACB的外角平分線交于點(diǎn)O，∴∠1=180°?2∠3，∠2=180°?2∠4，????②又∵在△BOC中，∠BOC=180°?∠3?∠4，???③①②③聯(lián)立得∠A=180°?2β．故答案為180°?2β．【名師指路】本題考查三角形的內(nèi)角和定理和內(nèi)角與外角的關(guān)系，仔細(xì)觀察圖中各角的關(guān)系．16．（2021·上海市市北初級(jí)中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，在ABC中，AB＝AC，E是BC邊上一點(diǎn)，將ABE沿AE翻折，點(diǎn)B落到點(diǎn)D的位置，AD邊與BC邊交于點(diǎn)F，如果AE＝AF＝DE，那么∠B＝_________度．【標(biāo)準(zhǔn)答案】36【思路指引】由等腰三角形的性質(zhì)可得∠B=∠C，令∠B=∠C=x，根據(jù)折疊的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)分別用含有x的代數(shù)式表示出∠D，∠EFD，∠FED，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求解．【詳解詳析】∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

令∠B=∠C=x，

由折疊的性質(zhì)可得∠D=∠B=x，

∵AE=ED，

∴∠EAD=∠D=x，

∵AE=AF，

∴∠AEF=∠AFE=90°?，

∵∠AEF+∠AEB=180°，∠AFE+∠EFD=180°，

∴∠AEB+∠EFD=90°+，

∵∠AEB=∠AED，

∴∠AED=90°+，

∴∠FED=x，

在△EFD中，∠FED+∠EFD+∠D=180°，

即x+（90°+）+x=180°，

解得x=36°，

∴∠B=36°．故答案為：36．【名師指路】考查了翻折變換的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是能用含有x的代數(shù)式表示出∠D，∠EFD，∠FED．17．（2021·上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)期中）在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，，點(diǎn)D在邊BC上．將△ACD沿直線AD翻折得△AED，若DE⊥BC，則CD＝________________．【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】延長AD至F，可得∠ADB＝∠CDF＝45°，進(jìn)而求得；【詳解詳析】解：如圖，延長AD至F，∴∠CFD＝∠DEF＝45°，∴∠ADB＝∠CDF＝45°，∵∠B＝90°，∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝45°，∴∠BAD＝∠ADB，∴BD＝AB＝2，∴CD＝BC﹣BD＝，故答案是．【名師指路】本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是注意圖形的特殊性．18．（2021·上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)期中）如圖，已知△ABC中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAE＝30°，則∠DEC＝______．【標(biāo)準(zhǔn)答案】15°【思路指引】設(shè)∠DEC＝x，∠B＝∠C＝y(tǒng)，根據(jù)∠ADE＝∠AED＝x+y，∠AEC＝∠B+∠BAE即可列出方程，從而求解．【詳解詳析】解：設(shè)∠DEC＝x，∠B＝∠C＝y(tǒng)，∵∠ADE＝∠DEC+∠C＝x+y，又∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝x+y，則∠AEC＝∠AED+∠DEC＝2x+y，又∵∠AEC＝∠B+∠BAE＝y(tǒng)+30°，∴2x+y＝y(tǒng)+30°，解得x＝15°，∴∠DEC等于15°．故答案為：15°．【名師指路】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)，此題難度一般．19．（2021·上海奉賢區(qū)陽光外國語學(xué)校八年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，把△ABC沿DE翻折，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，要使△BCD也是等腰三角形，且BC=DC，則∠A的度數(shù)應(yīng)為________．【標(biāo)準(zhǔn)答案】或【思路指引】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)用∠A表示出∠B及∠ACB的度數(shù)，再根據(jù)圖形翻折變換的性質(zhì)得出∠ACD=∠A，再根據(jù)BC=DC可知∠B=∠BDC，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求出∠A的度數(shù)．【詳解詳析】解：∵△ABC是等腰三角形，AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵△CDE是△ADE翻折而成，∴∠ACD=∠A，∵BC=DC，∴∠B=∠BDC，∴∠B=∠ACB=2∠A，∵∠B+∠ACB+∠A=180°，即5∠A=180°，解得∠A=36°．故答案為：36°．【名師指路】本題考查的是圖形翻折變換的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，熟知圖形翻折變換后所得圖形與原圖形全等是解答此題的關(guān)鍵．20．如圖a是長方形紙帶，∠DEF=25°，將紙帶沿EF折疊成圖b，再沿BF折疊成圖c，則圖c中的∠CFE的度數(shù)是____________°．【標(biāo)準(zhǔn)答案】105°【詳解詳析】由圖a知，∠EFC=155°.圖b中，∠EFC=155°，則∠GFC=∠EFC-∠EFG=155°-25°=130°.圖c中，∠GFC=130°，則∠CFE=130°-25°=105°.故答案為105°.點(diǎn)睛：在長方形的折疊問題中，因?yàn)橛衅叫芯€和角平分線，所以存在一個(gè)基本的圖形等腰三角形，即圖b中的等腰△CEF，其中CE=CF，這個(gè)等腰三角形是解決本題的關(guān)鍵所在.21．（2021·上?！し罱淘焊街邪四昙?jí)期末）在中，，，將繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)A，B分別與，對(duì)應(yīng)，當(dāng)時(shí)，記直線與直線交點(diǎn)為E，那么的度數(shù)是______．【標(biāo)準(zhǔn)答案】或．【思路指引】根據(jù)中，，可知是等腰直角三角形，，再根據(jù)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)兩種情況，進(jìn)行作圖分析討論，然后得到結(jié)果．【詳解詳析】解：在中，，∴是等腰直角三角形，∴，①如下圖示，當(dāng)順時(shí)針繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到時(shí)，∵，則有，∴是等邊三角形，∴∴；②如下圖示，當(dāng)逆時(shí)針繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到時(shí)，∵，則有，∴是等邊三角形，∴∴；綜上所述，的度數(shù)是：或，故答案是：或．【名師指路】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、外角的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，并能進(jìn)行分類討論是解決問題的關(guān)鍵．三、解答題22．中，是的角平分線，是的高．（1）如圖1，若，，求的度數(shù)；（2）如圖2，試說明、、的數(shù)量關(guān)系．【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）11°；（2）∠DAE＝（∠C-∠B）【思路指引】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，可求得∠BAC的度數(shù)，由AD是∠BAC的平分線，可得∠DAC的度數(shù)；在直角△AEC中，可求出∠EAC的度數(shù)，所以∠DAE＝∠DAC-∠EAC，即可得出；（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，可求得∠BAC的度數(shù)，由AD是∠BAC的平分線，可得∠DAC的度數(shù)；在直角△AEC中，可求出∠EAC的度數(shù)，所以∠DAE＝∠DAC-∠EAC，即可得出；【詳解詳析】解：（1）∵∠B＝40°，∠C＝62°，∴∠BAC＝180°-∠B-∠C＝180°﹣40°﹣62°＝78°，∵AD是∠BAC的平分線，∴∠DAC=∠BAC＝39°，∵AE是BC邊上的高，在直角△AEC中，∵∠EAC＝90°-∠C＝90°﹣62°＝28°，∴∠DAE＝∠DAC-∠EAC＝39°﹣28°＝11°；（2）∵∠BAC＝180°-∠B-∠C，∵AD是∠BAC的平分線，∴∠DAC=∠BAC＝90°-（∠B+∠C），∵AE是BC邊上的高，在直角△AEC中，∵∠EAC＝90°-∠C，∴∠DAE＝∠DAC-∠EAC＝90°-（∠B+∠C）-（90°-∠C）=（∠C-∠B）；【名師指路】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理，三角形的高、角平分線的性質(zhì)，學(xué)生應(yīng)熟練掌握三角形的高、中線和角平分線這些基本知識(shí)，能靈活運(yùn)用解決問題．23．（2021·上海浦東新·七年級(jí)期末）在一個(gè)三角形中，如果一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍，這樣的三角形我們稱之為“靈動(dòng)三角形”．例如，三個(gè)內(nèi)角分別為120°、40°、20°的三角形是“靈動(dòng)三角形”；三個(gè)內(nèi)角分別為80°、75°、25°的三角形也是“靈動(dòng)三角形”等等．如圖，∠MON＝60°，在射線OM上找一點(diǎn)A，過點(diǎn)A作AB⊥OM交ON于點(diǎn)B，以A為端點(diǎn)作射線AD，交線段OB于點(diǎn)C（規(guī)定0°＜∠OAC＜90°）．（1）∠ABO的度數(shù)為_____°，△AOB_______．（填“是”或“不是”）“靈動(dòng)三角形”；（2）若∠BAC＝70°，則△AOC_______（填“是”或“不是”）“靈動(dòng)三角形”；（3）當(dāng)△ABC為“靈動(dòng)三角形”時(shí)，求∠OAC的度數(shù)．【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）30；是；（2）是；（3）30°或52.5°或80°．【思路指引】（1）利用三角形內(nèi)角和定理解決問題即可．（2）求出∠OAC即可解決問題．（3）分三種情形分別求出即可．【詳解詳析】解：（1）∵AB⊥OM，∴∠BAO＝90°，∵∠AOB＝60°，∴∠ABO＝90°﹣60°＝30°，∵90°＝3×30°，∴△AOB是“靈動(dòng)三角形”．故答案為：30，是．（2）∵∠OAB＝90°，∠BAC＝70°，∴∠OAC＝20°，∵∠AOC＝60°＝3×20°，∴△AOC是“靈動(dòng)三角形”．故答案為：是．（3：①當(dāng)∠ACB＝3∠ABC時(shí)，∵∠ABO＝30°，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝60°，∴∠OAC＝30°；②當(dāng)∠ABC＝3∠CAB時(shí)，∵∠ABO＝30°，∴∠CAB＝10°，∵∠OAB＝90°，∴∠OAC＝80°．③當(dāng)∠ACB＝3∠CAB時(shí)，∵∠ABO＝30°，∴4∠CAB＝150°，∴∠CAB＝37.5°，∴∠OAC＝52.5°．綜上所述，滿足條件的值為30°或52.5°或80°．【名師指路】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，分類思想，數(shù)學(xué)新定義問題，準(zhǔn)確理解新定義，靈活運(yùn)用分類思想是解題的關(guān)鍵．24．（2021·上海閔行·七年級(jí)期末）如圖，已知在等腰中，點(diǎn)D，點(diǎn)E和點(diǎn)F分別是，和邊上的點(diǎn)，且，，試說明．【標(biāo)準(zhǔn)答案】見解析．【思路指引】由等腰三角形的性質(zhì)可知，由三角形外角的性質(zhì)和等式的性質(zhì)可證，然后根據(jù)“ASA”證明即可．【詳解詳析】解：∵（已知），∴（等邊對(duì)等角）．∵（三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和），（已知），∴（等量代換）．∵（已知），∴（等式性質(zhì)）．在與中，，∴（ASA），∴（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）．【名師指路】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．25．（2021·上海閔行·七年級(jí)期末）如圖，中，，垂足為點(diǎn)D，，垂足為點(diǎn)E，，和交于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)，試說明．【標(biāo)準(zhǔn)答案】見解析．【思路指引】根據(jù)三角形全等的判定（ASA）和性質(zhì)和判定，以及三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)即可求解．【詳解詳析】∵，（已知），∴，，（垂直的意義），∴（等量代換）.∵，∴（等量代換）.∵（對(duì)頂角相等），∴在與中，∴（ASA），∴（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等），∴.∵，∴．【名師指路】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定和三角形內(nèi)外角的關(guān)系，掌握全等三角形的性質(zhì)和判定和三角形內(nèi)外角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．26．（2021·上海市西南模范中學(xué)七年級(jí)期中）如圖a，已知長方形紙帶ABCD，AB∥CD，AD∥BC，將紙帶沿EF折疊后，點(diǎn)C,D分別落在H，G的位置，再沿BC折疊成圖b（1）圖a中，若，則______，______（2）圖b中，，當(dāng)為何值時(shí)，【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）（2）【思路指引】（1）由AD∥BC，可得，根據(jù)折疊可得，根據(jù)平角的定義即可求得，在中，根據(jù)已知條件先求得，進(jìn)而求得,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得，進(jìn)而根據(jù)對(duì)頂角求得；（2）根據(jù)已知條件，將用含的代數(shù)式表示出來，進(jìn)而求得，根據(jù)題意列出方程，解方程即可求得的值．【詳解詳析】四邊形ABCD是長方形，，，，折疊，，，，，，，，故答案為：；（2），，，，由折疊可知，，，，，沿折疊到，，，若，則，解得，當(dāng)時(shí)，．【名師指路】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，折疊的性質(zhì)，理清題目中的角度關(guān)系是解題的關(guān)鍵．27．（2021·上海市川沙中學(xué)南校八年級(jí)期中）如圖，在中，平分，，求證：．【標(biāo)準(zhǔn)答案】見解析【思路指引】在上截取，連接，根據(jù)已知條件證明得△ABD≌△BED，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得DE＝AD，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠AED＝∠A，然后求出∠C＝∠CDE，根據(jù)等角對(duì)等邊可得CE＝DE，等量代換得到EC＝AD，即得答案BC＝BE＋EC＝AB＋AD．【詳解詳析】明：在上截取，連接，∵平分∴又∵，∴，∴，，又∵，∴可得∴∴【名師指路】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，等角對(duì)等邊的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形和等腰三角形是解題的關(guān)鍵．28．（2021·上海市川沙中學(xué)南校七年級(jí)期中）如圖1，、的角平分線、相交于點(diǎn)，（1）如果，那么的度數(shù)是多少，試說明理由并完成填空；（2）如圖2，，如果、的角平分線、相交于點(diǎn)，請直接寫出度數(shù)；（3）如圖2，重復(fù)上述過程，、的角平分線、相交于點(diǎn)得到，設(shè)，請用表示的度數(shù)（直接寫出答案）解：（1）結(jié)論：______度．說理如下：因?yàn)?、平分和（已知），所以，（角平分線的意義）．因?yàn)?，（）（完成以下說理過程）【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）32；三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；過程見解析；（2）；（3）．【思路指引】（1）根據(jù)角平分線的定義和三角形的外角的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)（1）的解法進(jìn)行求解即可；（3）利用（1）的結(jié)論求解即可．【詳解詳析】（1）結(jié)論：；理由如下：∵、的角平分線、相交于點(diǎn)∴，（角平分線的意義）∵，（三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和）∴，（等式性質(zhì)）∴（等量代換）∴；（2）∵、的角平分線、相交于點(diǎn)∴，（角平分線的意義）∵，（三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和）∴，（等式性質(zhì)）∴（等量代換）∴；（3）∵當(dāng)，、∴當(dāng)，=．【名師指路】本題主要考查了角的平分線的定義以及三角形的外角的性質(zhì)，掌握三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和成為解答本題的關(guān)鍵．29．（2021·上海市徐匯中學(xué)八年級(jí)期中）已知在△ABC中，AB＝AC，在邊AC上取一點(diǎn)D，以D為頂點(diǎn)，DB為一條邊作∠BDF＝∠A，點(diǎn)E在AC的延長線上，∠ECF＝∠ACB求證：（1）∠FDC＝∠ABD；（2）DB＝DF；（3）當(dāng)點(diǎn)D在AC延長線上時(shí)，DB＝DF是否依然成立？在備用圖中畫出圖形，并說明理由．【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）證明過程見解析；（2）證明過程見解析；（3）DB＝DF依然成立，理由見解析．【思路指引】（1）根據(jù)三角形的外角性質(zhì)和角的和差即可得到結(jié)論；

（2）過D作DG∥BC交AB于G，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論；

（3）過D作DG∥BC交AB于G，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ADG＝∠ACB，∠AGD＝∠ABC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ABC＝∠ACB，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解詳析】（1）證明：∵∠BDC＝∠A＋∠ABD，

即∠BDF＋∠FDC＝∠A＋∠ABD，

∵∠BDF＝∠A，

∴∠FDC＝∠ABD；

（2）證明：過D作DG∥BC交AB于G，

∴∠ADG＝∠ACB，∠AGD＝∠ABC，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

∴∠AGD＝∠ADG，

∴AD＝AG，

∴AB－AG＝AC－AD，

即BG＝DC，

∵∠ECF＝∠ACB＝∠AGD，

∴∠DGB＝∠FCD，

在△GDB與△CFD中，，

∴△GDB