人教高中數(shù)學(xué)-選修4-4第二講-一、曲線的參數(shù)方程課件

曲線的參數(shù)方程？救援點(diǎn)投放點(diǎn)

一架救援飛機(jī)在離災(zāi)區(qū)地面500m高處100m/s的速度作水平直線飛行。為使投放救援物資準(zhǔn)確落于災(zāi)區(qū)指定的地面（不記空氣阻力），飛行員應(yīng)如何確定投放時(shí)機(jī)呢？

即求飛行員在離救援點(diǎn)的水平距離多遠(yuǎn)時(shí)，開(kāi)始投放物資？如圖，建立平面直角坐標(biāo)系。

因此,不易直接建立x,y所滿足的關(guān)系式。x表示物資的水平位移量，y表示物資距地面的高度，

由于水平方向與豎直方向上是兩種不同的運(yùn)動(dòng)，xy500o物資投出機(jī)艙后，它的運(yùn)動(dòng)由下列兩種運(yùn)動(dòng)合成：（1）沿ox作初速為100m/s的勻速直線運(yùn)動(dòng)；（2）沿oy反方向作自由落體運(yùn)動(dòng)。

在這個(gè)運(yùn)動(dòng)中涉及到哪幾個(gè)變量？這些變量之間有什么關(guān)系？t時(shí)刻，水平位移為x=100t，離地面高度y，即：y=500-gt2/2，物資落地時(shí)，應(yīng)有y=0，得x≈10.10m；即500-gt2/2=0，解得，t≈10.10s，

因此飛行員在距離救援點(diǎn)水平距離約為1010米時(shí)投放物資，可以使其準(zhǔn)確落在指定位置。

參數(shù)方程的概念：

一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x，y都是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù)

那么方程組就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)x,y的變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡(jiǎn)稱參數(shù)。

并且對(duì)于t的每一個(gè)允許值，由方程組所確定的點(diǎn)M(x,y)都在這條曲線上，

參數(shù)是聯(lián)系變數(shù)x,y的橋梁，可以是一個(gè)有物理意義或幾何意義的變數(shù)，也可以是沒(méi)有明顯實(shí)際意義的變數(shù)。

相對(duì)于參數(shù)方程而言，直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程。例1:已知曲線C的參數(shù)方程是（為參數(shù)）

(1)判斷點(diǎn)M1(0，1)，M2(5，4)與曲線C的位置關(guān)系；(2)已知點(diǎn)M3（6，a）在曲線C上，求a的值。

解：(1)把點(diǎn)M1的坐標(biāo)(0,1)代入方程組，解得t=0，所以M1在曲線上．把點(diǎn)M2的坐標(biāo)(5,4)代入方程組，得到這個(gè)方程無(wú)解，所以點(diǎn)M2不在曲線C上．(2)因?yàn)辄c(diǎn)M3(6,a)在曲線C上，所以解得t=2,a=9所以，a=9.練習(xí)1、曲線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是()BA(1，4)；B(25/16,0)C(1,-3)D(±25/16,0)2、方程所表示的曲線上一點(diǎn)的坐標(biāo)是()DA(2，7)；B(1/3,2/3)C(1/2,1/2)D(1，0)3已知曲線C的參數(shù)方程是點(diǎn)M(5,4)該曲線上.(1)求常數(shù)a;（2）求曲線C的普通方程(1)由題意可知:1+2t=5，at2=4；a=1，t=2；代入第二個(gè)方程得:y=(x-1)2/4（4）證明這個(gè)參數(shù)方程就是所由于的曲線的方程.參數(shù)方程求法:

（1）建立直角坐標(biāo)系,設(shè)曲線上任一點(diǎn)P坐標(biāo)為;（2）選取適當(dāng)?shù)膮?shù);

（3）根據(jù)已知條件和圖形的幾何性質(zhì),物理意義,建立點(diǎn)P坐標(biāo)與參數(shù)的函數(shù)式;圓的參數(shù)方程復(fù)習(xí)：1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？它表示怎樣的圓？(x-a)2+(y-b)2=r2，表示圓心坐標(biāo)為

(a,b),半徑為r的圓。2.三角函數(shù)的定義？3.參數(shù)方程的定義？一般地，在取定的坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x,y都是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù)，即探求：圓的參數(shù)方程∵點(diǎn)P在∠P0OP的終邊上,

如圖,設(shè)⊙O的圓心在原點(diǎn),半徑是r.與x軸正半軸的交點(diǎn)為P0,圓上任取一點(diǎn)P,若OP0按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到OP位置所形成的角∠P0OP=θ,求P點(diǎn)的坐標(biāo)。根據(jù)三角函數(shù)的定義得解:設(shè)P（x,y）,(1)

我們把方程組(1)叫做圓心為原點(diǎn)、半徑為r的圓的參數(shù)方程。其中參數(shù)θ表示OP0到OP所成旋轉(zhuǎn)角，。yxorM(x,y)

圓周運(yùn)動(dòng)中，當(dāng)物體繞定軸作勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體上的各個(gè)點(diǎn)都作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，

怎樣刻畫運(yùn)動(dòng)中點(diǎn)的位置呢？那么θ=ωt.設(shè)|OM|=r，那么由三角函數(shù)定義，有如果在時(shí)刻t，點(diǎn)M轉(zhuǎn)過(guò)的角度是θ，坐標(biāo)是M(x,y)，即這就是圓心在原點(diǎn)O，半徑為r的圓的參數(shù)方程參數(shù)t有物理意義(質(zhì)點(diǎn)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)刻)考慮到θ=ωt，也可以取θ為參數(shù)，于是有圓心為原點(diǎn)半徑為r的圓的參數(shù)方程.

其中參數(shù)θ的幾何意義是OM0繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到OM的位置時(shí)，OM0轉(zhuǎn)過(guò)的角度

圓心為，半徑為r的圓的參數(shù)方程一般地，同一條曲線，可以選取不同的變數(shù)為參數(shù)，另外，要注明參數(shù)及參數(shù)的取值范圍。1.寫出下列圓的參數(shù)方程:(1)圓心在原點(diǎn),半徑為

:______________;(2)圓心為(-2,-3),半徑為1:______________.x=cosθy=sinθx=-2+cosθy=-3+sinθ2.若圓的參數(shù)方程為

,則其標(biāo)準(zhǔn)方程為:_________________.x=5cosθ+1y=5sinθ-1(x-1)2+(y+1)2=253.已知圓的方程是x2+y2-2x+6y+6=0,則它的參數(shù)方程為_(kāi)______________.x=1+2cosθy=-3+2sinθ練習(xí)解：x2+y2+2x-6y+9=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程,(x+1)2+(y-3)2=1∴參數(shù)方程為(θ為參數(shù))例1已知圓方程x2+y2+2x-6y+9=0,將它化為參數(shù)方程。練習(xí)：

例2如圖,圓O的半徑為2，P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，Q(6,0)是x軸上的定點(diǎn)，M是PQ的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P繞O作勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程。yoxPMQ解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是(x,y),則點(diǎn)P的坐標(biāo)是(2cosθ,2sinθ).由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得因此，點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程是例3已知x、y滿足,求的最大值和最小值．解：由已知圓的參數(shù)方程為2點(diǎn)P(x,y)是曲線為參數(shù))上任意一點(diǎn)，則的最大值為()A1B2CD練習(xí)1P(x,y)是曲線(α為參數(shù))上任意一點(diǎn),則的最大值為()AA．36B．6C．26D．25D3圓的圓心的軌跡是()A．圓B．直線C．橢圓D．雙曲線A(為參數(shù))上任意一點(diǎn),則4點(diǎn)P(x,y)是曲線的最大值為

..5已知點(diǎn)P是圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),定點(diǎn)A(12,0)，點(diǎn)M在線段PA上，且2|PM|=|MA|，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡．解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是(x,y),則點(diǎn)P的坐標(biāo)是(4cosθ,4sinθ).∵2|PM|=|MA|,∴由題設(shè)∴(x-12,y)=

因此，點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程是

例4(1)點(diǎn)P(m,n)在圓x2+y2=1上運(yùn)動(dòng),求點(diǎn)Q(m+n,2mn)的軌跡方程;(2)方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0.若該方程表示一個(gè)圓,求m的取值范圍和圓心的軌跡方程.

已知P(x,y)圓C：x2+y2－6x－4y+12=0上的點(diǎn)。(1)求的最小值與最大值(2)求x－y的最大值與最小值例5最值問(wèn)題例6參數(shù)法求軌跡

已知點(diǎn)A(2,0),P是x2+y2=1上任一點(diǎn),的平分線交PA于Q點(diǎn),求Q點(diǎn)的軌跡.AQ:QP=2:1

例7已知A（―1，0）、B（1，0）,P為圓上的一點(diǎn),求的最大值和最小值以及對(duì)應(yīng)P點(diǎn)的坐標(biāo).

參數(shù)方程和普通方程的互化

把它化為我們熟悉的普通方程，有

cosθ=x-3,sinθ=y;于是(x-3)2+y2=1，軌跡是什么就很清楚了在例1中，由參數(shù)方程直接判斷點(diǎn)M的軌跡是什么并不方便，

一般地,可以通過(guò)消去參數(shù)而從參數(shù)方程得到普通方程；曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式.

在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使x，y的取值范圍保持一致，否則，互化就是不等價(jià)的.把參數(shù)方程化為普通方程：（1）參數(shù)方程通過(guò)消元（代入消元、加減消元、利用三角恒等式消元等）消去參數(shù)化為普通方程。如：①參數(shù)方程消去參數(shù)

可得圓的普通方程(x-a)2+(y-b)2=r2.②參數(shù)方程（t為參數(shù)）可得普通方程y=2x-4通過(guò)代入消元法消去參數(shù)t,（x≥0）。注意：

在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使x，y的取值范圍保持一致。否則，互化就是不等價(jià)的.

例1、把下列參數(shù)方程化為普通方程，并說(shuō)明它們各表示什么曲線？解:(1)由得代入得到這是以（1，1）為端點(diǎn)的一條射線；所以把得到(1)(2)(3)x=t+1/ty=t2+1/t2(1)(x-2)2+y2=9(2)y=1-2x2（-1≤x≤1）(3)x2-y=2（x≥2或x≤-2）練習(xí)、將下列參數(shù)方程化為普通方程：步驟：（1）消參；（2）求定義域。練習(xí)將下列參數(shù)方程化為普通方程(2)B例2求參數(shù)方程表示（）（A）雙曲線的一支,這支過(guò)點(diǎn)（1,1/2）;（B）拋物線的一部分,這部分過(guò)（1,1/2）;（C）雙曲線的一支,這支過(guò)點(diǎn)（–1,1/2);（D）拋物線的一部分,這部分過(guò)（–1,1/2).例3、把下列參數(shù)方程化為普通方程，并說(shuō)明它們各表示什么曲線？例、將下列參數(shù)方程化為普通方程：(1)(2)(3)x=t+1/ty=t2+1/t2（1）（x-2）2+y2=9（2）y=1-2x2（-1≤x≤1）（3）x2-y=2（X≥2或x≤-2）步驟：（1）消參；（2）注意取值范圍。

參數(shù)方程化為普通方程的過(guò)程就是消參過(guò)程常見(jiàn)方法有三種：1.代入法：利用解方程的技巧求出參數(shù)t,然后代入消去參數(shù)2.三角法：利用三角恒等式消去參數(shù)3.整體消元法：根據(jù)參數(shù)方程本身的結(jié)構(gòu)特征,整體上消去

化參數(shù)方程為普通方程為F(x,y)=0：在消參過(guò)程中注意變量x、y取值范圍的一致性，必須根據(jù)參數(shù)的取值范圍，確定f(t)和g(t)值域得x、y的取值范圍。小結(jié)普通方程化為參數(shù)方程：普通方程化為參數(shù)方程需要引入?yún)?shù)：如：直線l的普通方程是2x-y+2=0，可以化為參數(shù)方程:

一般地,如果知道變量x,y中的一個(gè)與參數(shù)t的關(guān)系,例如x=f(t)，把它代入普通方程，求出另一個(gè)變量與參數(shù)t的關(guān)系y=g(t)，那么:就是曲線的參數(shù)方程。

在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使x,y的取值范圍保持一致例3求橢圓的參數(shù)方程：(1)設(shè)為參數(shù)；(2)設(shè)為參數(shù).為什么兩個(gè)參數(shù)方程合起來(lái)才是橢圓的參數(shù)方程？在y=x2中，x∈R,y≥0，因而與y=x2不等價(jià)；練習(xí):曲線y=x2的一種參數(shù)方程是（）.在A、B、C中，x,y的范圍都發(fā)生了變化，而在D中，x,y范圍與y=x2中x,y的范圍相同，代入y=x2后滿足該方程，從而D是曲線y=x2的一種參數(shù)方程.

在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使x，y的取值范圍保持一致。否則，互化就是不等價(jià)的.解：(1)，設(shè)，t為參數(shù)；(2)，設(shè)，為參數(shù)。練習(xí)把下列普通方程化為參數(shù)方程：練習(xí)把下列參數(shù)方程化為普通方程(3)(t是參數(shù))

練習(xí)P是雙曲線(t是參數(shù))上任一點(diǎn)，F(xiàn)1,F2是該焦點(diǎn)：求△F1F2的重心G的軌跡的普通方程。長(zhǎng)風(fēng)破浪會(huì)有時(shí)，直掛云帆濟(jì)滄海。努力，終會(huì)有所收獲，功夫不負(fù)有心人。以銅為鏡，可以正衣冠；以古為鏡，可以知興替；以人為鏡，可以明得失。前進(jìn)的路上，要不斷反思、關(guān)照自己的不足，學(xué)習(xí)更多東西，更進(jìn)一步。窮則獨(dú)善其身，達(dá)則兼濟(jì)天下。現(xiàn)代社會(huì)，有很多人，鉆進(jìn)錢眼，不惜違法亂紀(jì)；做人，窮，也要窮的有骨氣！古之立大事者，不惟有超世之才，亦必有堅(jiān)忍不拔之志。想干成大事，除了勤于修煉才華和能力，更重要的是要能堅(jiān)持下來(lái)。士不可以不弘毅，任重而道遠(yuǎn)。仁以為己任，不亦重乎?死而后已，不亦遠(yuǎn)乎?心中有理想，腳下的路再遠(yuǎn)，也不會(huì)迷失方向。太上有立德，其次有立功，其次有立言，雖久不廢，此謂不朽。任何事業(yè)，學(xué)業(yè)的基礎(chǔ)，都要以自身品德的修煉為根基。飯疏食，飲水，曲肱而枕之，樂(lè)亦在其中矣。不義而富且貴，于我如浮云。財(cái)富如浮云，生不帶來(lái)，死不帶去，真正留下的，是我們對(duì)這個(gè)世界的貢獻(xiàn)。英雄者，胸懷大志，腹有良策，有包藏宇宙之機(jī)，吞吐天地之志者也英雄氣概，威壓八萬(wàn)里，體恤弱小，善德加身。老當(dāng)益壯，寧移白首之心；窮且益堅(jiān)，不墜青云之志老去的只是身體，心靈可以永遠(yuǎn)保持豐盛。樂(lè)民之樂(lè)者，民亦樂(lè)其樂(lè)；憂民之憂者，民亦憂其憂。做領(lǐng)導(dǎo)，要能體恤下屬，一味打壓，盡失民心。勿以惡小而為之，勿以善小而不為。越是微小的事情，越見(jiàn)品質(zhì)。學(xué)而不知道，與不學(xué)同；知而不能行，與不知同。知行合一，方可成就事業(yè)。以家為家，以鄉(xiāng)為鄉(xiāng)，以國(guó)為國(guó)，以天下為天下。若是天下人都能互相體諒，紛擾世事可以停歇。志不強(qiáng)者智不達(dá)，言不信者行不果。立志越高，所需要的能力越強(qiáng)，相應(yīng)的，逼迫自己所學(xué)的，也就越多。臣心一片磁針石，不指南方不肯休。忠心，也是很多現(xiàn)代人缺乏的精神。吾日三省乎吾身。為人謀而不忠乎?與朋友交而不信乎?傳不習(xí)乎?若人人皆每日反省自身，世間又會(huì)多出多少君子。人人好公，則天下太平；人人營(yíng)私，則天下大亂。給世界和身邊人，多一點(diǎn)寬容，多一份擔(dān)當(dāng)。為天地立心，為生民立命，為往圣繼絕學(xué)，為萬(wàn)世開(kāi)太平。立千古大志，乃是圣人也。丹青不知老將至，貧賤于我如浮云。淡看世間事，心情如浮云天行健，君子以自強(qiáng)不息。地勢(shì)坤，君子以厚德載物。君子，生在世間，當(dāng)靠自己拼搏奮斗。博學(xué)之，審問(wèn)之，慎思之，明辨之，篤行之。進(jìn)學(xué)之道，一步步逼近真相，逼近更高。百學(xué)須先立志。天下大事，不立志，難成！海納百川，有容乃大；壁立千仞，無(wú)欲則剛做人，心胸要寬廣。其身正，不令而行；其身不正，雖令不從。身心端正，方可知行合一。子曰:“知者不惑，仁者不憂，勇者不懼?！闭嬲M(jìn)者，不會(huì)把時(shí)間耗費(fèi)在負(fù)性情緒上。好學(xué)近乎知，力行近乎仁，知恥近乎勇。力行善事，有羞恥之心，方可成君子。操千曲爾后曉聲，觀千劍爾后識(shí)器做學(xué)問(wèn)和學(xué)技術(shù)，都需要無(wú)數(shù)次的練習(xí)。第一個(gè)青春是上帝給的；第二個(gè)的青春是靠自己努力當(dāng)眼淚流盡的時(shí)候，留下的應(yīng)該是堅(jiān)強(qiáng)。人總是珍惜未得到的，而遺忘了所擁有的。誰(shuí)傷害過(guò)你，誰(shuí)擊潰過(guò)你，都不重要。重要的是誰(shuí)讓你重現(xiàn)笑容。幸運(yùn)并非沒(méi)有恐懼和煩惱；厄運(yùn)并非沒(méi)有安慰與希望。你不要一直不滿人家，你應(yīng)該一直檢討自己才對(duì)。不滿人家，是苦了你自己。最深的孤獨(dú)不是長(zhǎng)久的一個(gè)人，而是心里沒(méi)有了任何期望。要銘記在心；每一天都是一年中最完美的日子。只因幸福只是一個(gè)過(guò)往，沉溺在幸福中的人；一直不知道幸福卻很短暫。一個(gè)人的價(jià)值，應(yīng)該看他貢獻(xiàn)什么，而不應(yīng)當(dāng)看他取得什么。做個(gè)明媚的女子。不傾國(guó)，不傾城，只傾其所有過(guò)的生活。生活就是生下來(lái)，活下去。人生最美的是過(guò)程，最難的是相知，最苦的是等待，最幸福的是真愛(ài)，最后悔的是錯(cuò)過(guò)。兩個(gè)人在一起能過(guò)就好好過(guò)！不能過(guò)就麻利點(diǎn)分開(kāi)。當(dāng)一個(gè)人真正覺(jué)悟的一刻，他放下追尋外在世界的財(cái)富，而開(kāi)始追尋他內(nèi)心世界的真正財(cái)富。人若軟弱就是自己最大的敵人。日出東海落西山，愁也一天，喜也一天。遇事不轉(zhuǎn)牛角尖，人也舒坦，心也舒坦。烏云總會(huì)被驅(qū)散的，即使它籠罩了整個(gè)地球。心態(tài)便是黑暗中的那一盞明燈，可以照亮整個(gè)世界。生活不是單行線，一條路走不通，你可以轉(zhuǎn)彎。給我一場(chǎng)車禍。要么失憶。要么死。有些人說(shuō)：我愛(ài)你、又不是說(shuō)我只愛(ài)你一個(gè)。生命太過(guò)短暫，今天放棄了明天不一定能得到。刪掉了關(guān)于你的一切，唯獨(dú)刪不掉關(guān)于你的回憶。任何事都是有可能的。所以別放棄，相信自己，你可以做到的。、相信自己，堅(jiān)信自己的目標(biāo)，去承受常人承受不了的磨難與挫折，不斷去努力、去奮斗，成功最終就會(huì)是你的！既然愛(ài)，為什么不說(shuō)出口，有些東西失去了，就在也回不來(lái)了！對(duì)于人來(lái)說(shuō)，問(wèn)心無(wú)愧是最舒服的枕頭。嫉妒他人，表明他人的成功，被人嫉妒，表明自己成功。在人之上，要把人當(dāng)人；在人之下，要把自