2022-2023學(xué)年廣西壯族自治區(qū)百色市高一下學(xué)期期末預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣西壯族自治區(qū)百色市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)試題考試范圍：數(shù)學(xué)人教A（2019）必修第二冊(cè)（試卷總分150分，考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘）一、單選題1.若復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)復(fù)數(shù)，則，則，則，，所以．故選：C.2.已知，，與的夾角為60°，則（）A. B.7 C.3 D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所?故選：A.3.如圖是正方體的平面展開(kāi)圖，在原正方體中：①與所在直線平行；②與所在直線異面；③與所在直線互相垂直；④與所在直線成角是．以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是（）A.①②③ B.②④ C.③④ D.②③④〖答案〗B〖解析〗如圖，直線與是異面直線，故①錯(cuò)誤；直線與是異面直線，故②正確；直線，故③錯(cuò)誤；如圖，，所以異面直線與所成角為，而三角形是等邊三角形，所以，故④正確.故選：B4.在5件產(chǎn)品中，有3件一級(jí)品和2件二級(jí)品，從中任取2件，下列事件中概率為的是（）A.2件都是一級(jí)品 B.2件都是二級(jí)品C.一級(jí)品和二級(jí)品各1件 D.至少有1件二級(jí)品〖答案〗D〖解析〗設(shè)，，分別表示3件一級(jí)品，，分別表示2件二級(jí)品,任取2件，則樣本空間，共10個(gè)樣本點(diǎn)，且每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等，記事件A表示“2件都是一級(jí)品”，包含3個(gè)樣本點(diǎn)，則.記事件B表示“2件都是二級(jí)品”，包含1個(gè)樣本點(diǎn)，則.記事件C表示“2件中1件一級(jí)品、1件二級(jí)品”，包含6個(gè)樣本點(diǎn)，則.事件A，B，C兩兩互斥，所以，又由表示“至少有1件二級(jí)品”.故選：D.5.在中，已知，則的形狀為（）A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，所以，由正余弦定理可得，整理得，所以或，所以為等腰三角形或直角三角?故選：D6.某班在體育課上組織趣味游戲，統(tǒng)計(jì)了第一組14名學(xué)生的最終得分：13，10，12，17，9，12，8，9，11，14，15，12，10，12．這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是（）A.12 B.13 C.13.5 D.14〖答案〗D〖解析〗由題意，將14名學(xué)生的最終得分，從小到大排序：8，9，9，10，10，11，12，12，12，12，13，14，15，17，又由，所以這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為第12個(gè)數(shù)，即為14.故選：D.7.已知非零向量，，滿足，，，.則向量與的夾角（）A.45° B.60° C.135° D.150°〖答案〗C〖解析〗∵，，∴.∵，∴，，則，設(shè)向量與的夾角為，與反向,則.故選：C.8.已知三棱錐頂點(diǎn)都在球的球面上，底面是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形．若三棱錐的體積的最大值為，則球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)球O的半徑為R，的外心為，由題意得外接圓半徑為，面積為，所以，所以最大值，所以，即，解得，所以球O的表面積為.故選:A.二、多選題9.某學(xué)生社團(tuán)有男生32名，女生24名，從中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為7的樣本，某次抽樣結(jié)果為：抽到3名男生和4名女生，則下列說(shuō)法正確的是（）A.這次抽樣可能采用的是抽簽法B.這次抽樣不可能是按性別分層隨機(jī)抽樣C.這次抽樣中，每個(gè)男生被抽到的概率一定小于每個(gè)女生被抽到的概率D.這次抽樣中，每個(gè)男生被抽到的概率不可能等于每個(gè)女生被抽到的概率〖答案〗AB〖解析〗根據(jù)抽樣結(jié)果，此次抽樣可能采用的是抽簽法，A正確；若按分層抽樣，則抽得的男女人數(shù)應(yīng)為4人，3人，所以這次抽樣不可能按性別分層隨機(jī)抽樣，B正確；若按抽簽法，則每個(gè)男生被抽到的概率和每個(gè)女生被抽到的概率均相等，C,D錯(cuò)誤.故選:AB.10.下列說(shuō)法正確的是（）A.復(fù)數(shù)的虛部為B.方程的復(fù)數(shù)根為C.若，則復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限D(zhuǎn).復(fù)平面內(nèi)，實(shí)軸上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)〖答案〗BD〖解析〗對(duì)于A，，虛部為3，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，B正確；對(duì)于C，，則，復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上，C不正確；對(duì)于D，復(fù)平面內(nèi)，實(shí)軸上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，D正確.故選：BD.11.已知事件A，B，且，則（）A.如果，那么B.如果，那么C.如果A與B相互獨(dú)立，那么D.如果A與B相互獨(dú)立，那么〖答案〗ABD〖解析〗A：由，則，正確；B：由，則，正確；C：如果A與B相互獨(dú)立，則，，錯(cuò)誤；D：由C分析及事件關(guān)系知：，正確.故選：ABD.12.已知圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，，，點(diǎn)C在底面圓周上，且二面角為45°，則（）．A.該圓錐的體積為 B.該圓錐的側(cè)面積為C. D.的面積為〖答案〗AC〖解析〗依題意，，，所以，A選項(xiàng)，圓錐的體積為，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，圓錐的側(cè)面積為，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，設(shè)是的中點(diǎn)，連接，則，所以是二面角的平面角，則，所以，故，則，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，，所以，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.三、填空題13.如圖是用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的水平放置的正三角形的直觀圖，其中，則三角形的面積為_(kāi)_________.〖答案〗〖解析〗如圖，所以，且為正三角形，則，因此在中，，，故〖答案〗為：.14.某中學(xué)舉辦思維競(jìng)賽，現(xiàn)隨機(jī)抽取50名參賽學(xué)生的成績(jī)制作成頻率分布直方圖（如圖），估計(jì)學(xué)生的平均成績(jī)?yōu)開(kāi)_____分〖答案〗〖解析〗由直方圖知：平均成績(jī)?yōu)榉?故〖答案〗為：15.2022北京冬奧會(huì)期間，吉祥物冰墩墩成為“頂流”，吸引了許多人購(gòu)買(mǎi)，使一“墩”難求.甲?乙?丙3人為了能購(gòu)買(mǎi)到冰墩墩，商定3人分別去不同的官方特許零售店購(gòu)買(mǎi)，若甲?乙2人中至少有1人購(gòu)買(mǎi)到冰墩墩的概率為，丙購(gòu)買(mǎi)到冰墩墩的概率為，則甲，乙?丙3人中至少有1人購(gòu)買(mǎi)到冰墩墩的概率為_(kāi)__________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)榧滓?人中至少有1人購(gòu)買(mǎi)到冰墩墩的概率為，所以甲乙2人均購(gòu)買(mǎi)不到冰墩墩的概率，因?yàn)楸?gòu)買(mǎi)到冰墩墩的概率為，所以丙購(gòu)買(mǎi)不到冰墩墩的概率，所以甲乙丙3人都購(gòu)買(mǎi)不到冰墩墩的概率，于是甲乙丙3人中至少有1人購(gòu)買(mǎi)到冰墩墩的概率.故〖答案〗為：.16.在中，角所對(duì)的邊分別為，，角平分線交于點(diǎn)，，則的面積為_(kāi)____.〖答案〗〖解析〗在中，由余弦定理可得，即，解得AD=2，再由正弦定理得，顯然是銳角，則，∴，又是銳角，所以，故，由正弦定理得，所以，故〖答案〗為：四、解答題17.已知，，且與的夾角為.（1）求；（2）求與的夾角的余弦值.解：（1）由已知可得，所以，所以.（2）因?yàn)?，所?18.如圖,在四棱錐P－ABCD中,四邊形ABCD是菱形,PA=PC,E為PB的中點(diǎn)．求證:（1）平面AEC;（2）平面AEC⊥平面PBD．證明：（1）設(shè)連接,如圖所示:因?yàn)镺,E分別為,的中點(diǎn),所以,又因?yàn)槠矫?平面,所以平面．（2）連接,如圖所示:因?yàn)?為的中點(diǎn),所以,又因?yàn)樗倪呅螢榱庑?所以,因?yàn)槠矫?平面,且,所以平面,又因?yàn)槠矫?所以平面平面．19.2022年起，某省將實(shí)行“”高考模式，為讓學(xué)生適應(yīng)新高考的賦分模式，某校在一次?？贾惺褂觅x分制給高三年級(jí)學(xué)生的生物成績(jī)進(jìn)行賦分，具體賦分方案如下：先按照考生原始分從高到低按比例劃定、共五個(gè)等級(jí)，然后在相應(yīng)賦分區(qū)間內(nèi)利用轉(zhuǎn)換公式進(jìn)行賦分，等級(jí)排名占比，賦分分?jǐn)?shù)區(qū)間是；B等級(jí)排名占比，賦分分?jǐn)?shù)區(qū)間是71－85：等級(jí)排名占比，賦分分?jǐn)?shù)區(qū)間是56－70：等級(jí)排名占比，賦分分?jǐn)?shù)區(qū)間是41－55；等級(jí)排名占比，賦分分?jǐn)?shù)區(qū)間是30-40；現(xiàn)從全年級(jí)的生物成績(jī)中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的原始成績(jī)（未賦分）進(jìn)行分析，其頻率分布直方圖如圖所示：（1）求圖中的值及這100名學(xué)生的原始成績(jī)的中位數(shù)（中位數(shù)結(jié)果保留兩位小數(shù)）；（2）用樣本估計(jì)總體的方法，估計(jì)該校本次生物成績(jī)?cè)挤种辽俣嗌俜植拍苓_(dá)到賦分后的等級(jí)及以上（含等級(jí)）？（第（2）問(wèn)結(jié)果保留整數(shù)）解：（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)，可得：，解得，由頻率直方圖可判斷中位數(shù)落在第四組，設(shè)中位數(shù)為，則，解得，故抽取的這100名學(xué)生的原始成績(jī)的中位數(shù)的估計(jì)值為分.（2）由已知等級(jí)達(dá)到及以上所占排名等級(jí)占比為，由（1）可得，中位數(shù)，故原始分不少于分才能達(dá)到賦分后的等級(jí)及以上.20.大學(xué)畢業(yè)生小張和小李通過(guò)了某單位的招聘筆試考試，正在積極準(zhǔn)備結(jié)構(gòu)化面試，每天相互進(jìn)行多輪測(cè)試，每輪由小張和小李各回答一個(gè)問(wèn)題，已知小張每輪答對(duì)的概率為，小李每輪答對(duì)的概率為．在每輪活動(dòng)中，小張和小李答對(duì)與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響．（1）求兩人在兩輪活動(dòng)中都答對(duì)的概率；（2）求兩人在兩輪活動(dòng)中至少答對(duì)3道題的概率；（3）求兩人在三輪活動(dòng)中，小張和小李各自答對(duì)題目的個(gè)數(shù)相等且至少為2的概率．解：（1）依題意，設(shè)事件“小張兩輪都答對(duì)問(wèn)題”，“小李兩輪都答對(duì)問(wèn)題”，所以，．因?yàn)槭录嗷オ?dú)立，所以兩人在兩輪活動(dòng)中都答對(duì)的概率為．（2）設(shè)事“甲第一輪答對(duì)”，“乙第一輪答對(duì)”，“甲第二輪答對(duì)”，“乙第二輪答對(duì)”，“兩人在兩輪活動(dòng)中至少答對(duì)3道題”，則，由事件的獨(dú)立性與互斥性，可得，故兩人在兩輪活動(dòng)中至少答對(duì)3道題的概率為．（3）設(shè)事件，分別表示甲三輪答對(duì)2個(gè)，3個(gè)題目，，分別表示乙三輪答對(duì)2個(gè)，3個(gè)題目，則，，，，設(shè)事件“兩人在三輪活動(dòng)中，小張和小李各自答對(duì)題目的個(gè)數(shù)相等且至少為2”，則，且，，，分別相互獨(dú)立，所以．所以兩人在三輪活動(dòng)中，小張和小李各自答對(duì)題目的個(gè)數(shù)相等且至少為2的概率為．21.在中，角的對(duì)邊分別為，且滿足__________.從條件①?條件②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面橫線上作為已知，（1）求角A；（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.條件①：條件②：注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.解：（1）選擇條件①：由題意及正弦定理知，選擇條件②：因?yàn)?，所以，即，解得，又，所以?）由可得因?yàn)槭卿J角三角形，由（1）知得到，故，解得，所以，則，所以.22.記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為，，，已知．（1）求B；（2）從下面三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知條件，求a與c的值．條件①：；條件②：的而積為；條件③：．注：如果選擇不同的組合分別解答，接第一個(gè)解答計(jì)分．解：（1）由條件與正弦定理可知，，所以，又，所以．（2）選擇①②.由（1）得，由②得，所以，又，所以由余弦定理得，即，所以，解得，或，．故a與c的值分別為5，3或3，5．選擇①③．由余弦定理得，即，所以，解得，或，．故與c的值分別為5，3或3，5．選擇②③．由（1）得，由②得，所以，又，解得，或，．故a與c的值分別為5，3或3，5．23.在四棱錐中，底面是矩形，若，．（1）證明：平面平面；（2）若分別是的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在線段EF上移動(dòng)，求三棱錐的體積．（1）證明：在中，，可得，所以為直角三角形且，又因?yàn)榈酌媸蔷匦危瑒t，因?yàn)?，且平面，所以平面，又因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?（2）解：因?yàn)榈酌媸蔷匦?，且，可得，又因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，動(dòng)點(diǎn)在線段上移動(dòng)，則點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，即點(diǎn)到平面的距離的一半，由（1）知平面平面，且，取的中點(diǎn)，連接，可得，且，又因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面，所以平面，所?廣西壯族自治區(qū)百色市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)試題考試范圍：數(shù)學(xué)人教A（2019）必修第二冊(cè)（試卷總分150分，考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘）一、單選題1.若復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)復(fù)數(shù)，則，則，則，，所以．故選：C.2.已知，，與的夾角為60°，則（）A. B.7 C.3 D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所?故選：A.3.如圖是正方體的平面展開(kāi)圖，在原正方體中：①與所在直線平行；②與所在直線異面；③與所在直線互相垂直；④與所在直線成角是．以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是（）A.①②③ B.②④ C.③④ D.②③④〖答案〗B〖解析〗如圖，直線與是異面直線，故①錯(cuò)誤；直線與是異面直線，故②正確；直線，故③錯(cuò)誤；如圖，，所以異面直線與所成角為，而三角形是等邊三角形，所以，故④正確.故選：B4.在5件產(chǎn)品中，有3件一級(jí)品和2件二級(jí)品，從中任取2件，下列事件中概率為的是（）A.2件都是一級(jí)品 B.2件都是二級(jí)品C.一級(jí)品和二級(jí)品各1件 D.至少有1件二級(jí)品〖答案〗D〖解析〗設(shè)，，分別表示3件一級(jí)品，，分別表示2件二級(jí)品,任取2件，則樣本空間，共10個(gè)樣本點(diǎn)，且每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等，記事件A表示“2件都是一級(jí)品”，包含3個(gè)樣本點(diǎn)，則.記事件B表示“2件都是二級(jí)品”，包含1個(gè)樣本點(diǎn)，則.記事件C表示“2件中1件一級(jí)品、1件二級(jí)品”，包含6個(gè)樣本點(diǎn)，則.事件A，B，C兩兩互斥，所以，又由表示“至少有1件二級(jí)品”.故選：D.5.在中，已知，則的形狀為（）A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形〖答案〗D〖解析〗因?yàn)椋?，由正余弦定理可得，整理得，所以或，所以為等腰三角形或直角三角?故選：D6.某班在體育課上組織趣味游戲，統(tǒng)計(jì)了第一組14名學(xué)生的最終得分：13，10，12，17，9，12，8，9，11，14，15，12，10，12．這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是（）A.12 B.13 C.13.5 D.14〖答案〗D〖解析〗由題意，將14名學(xué)生的最終得分，從小到大排序：8，9，9，10，10，11，12，12，12，12，13，14，15，17，又由，所以這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為第12個(gè)數(shù)，即為14.故選：D.7.已知非零向量，，滿足，，，.則向量與的夾角（）A.45° B.60° C.135° D.150°〖答案〗C〖解析〗∵，，∴.∵，∴，，則，設(shè)向量與的夾角為，與反向,則.故選：C.8.已知三棱錐頂點(diǎn)都在球的球面上，底面是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形．若三棱錐的體積的最大值為，則球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)球O的半徑為R，的外心為，由題意得外接圓半徑為，面積為，所以，所以最大值，所以，即，解得，所以球O的表面積為.故選:A.二、多選題9.某學(xué)生社團(tuán)有男生32名，女生24名，從中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為7的樣本，某次抽樣結(jié)果為：抽到3名男生和4名女生，則下列說(shuō)法正確的是（）A.這次抽樣可能采用的是抽簽法B.這次抽樣不可能是按性別分層隨機(jī)抽樣C.這次抽樣中，每個(gè)男生被抽到的概率一定小于每個(gè)女生被抽到的概率D.這次抽樣中，每個(gè)男生被抽到的概率不可能等于每個(gè)女生被抽到的概率〖答案〗AB〖解析〗根據(jù)抽樣結(jié)果，此次抽樣可能采用的是抽簽法，A正確；若按分層抽樣，則抽得的男女人數(shù)應(yīng)為4人，3人，所以這次抽樣不可能按性別分層隨機(jī)抽樣，B正確；若按抽簽法，則每個(gè)男生被抽到的概率和每個(gè)女生被抽到的概率均相等，C,D錯(cuò)誤.故選:AB.10.下列說(shuō)法正確的是（）A.復(fù)數(shù)的虛部為B.方程的復(fù)數(shù)根為C.若，則復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限D(zhuǎn).復(fù)平面內(nèi)，實(shí)軸上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)〖答案〗BD〖解析〗對(duì)于A，，虛部為3，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，B正確；對(duì)于C，，則，復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上，C不正確；對(duì)于D，復(fù)平面內(nèi)，實(shí)軸上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，D正確.故選：BD.11.已知事件A，B，且，則（）A.如果，那么B.如果，那么C.如果A與B相互獨(dú)立，那么D.如果A與B相互獨(dú)立，那么〖答案〗ABD〖解析〗A：由，則，正確；B：由，則，正確；C：如果A與B相互獨(dú)立，則，，錯(cuò)誤；D：由C分析及事件關(guān)系知：，正確.故選：ABD.12.已知圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，，，點(diǎn)C在底面圓周上，且二面角為45°，則（）．A.該圓錐的體積為 B.該圓錐的側(cè)面積為C. D.的面積為〖答案〗AC〖解析〗依題意，，，所以，A選項(xiàng)，圓錐的體積為，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，圓錐的側(cè)面積為，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，設(shè)是的中點(diǎn)，連接，則，所以是二面角的平面角，則，所以，故，則，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，，所以，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.三、填空題13.如圖是用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的水平放置的正三角形的直觀圖，其中，則三角形的面積為_(kāi)_________.〖答案〗〖解析〗如圖，所以，且為正三角形，則，因此在中，，，故〖答案〗為：.14.某中學(xué)舉辦思維競(jìng)賽，現(xiàn)隨機(jī)抽取50名參賽學(xué)生的成績(jī)制作成頻率分布直方圖（如圖），估計(jì)學(xué)生的平均成績(jī)?yōu)開(kāi)_____分〖答案〗〖解析〗由直方圖知：平均成績(jī)?yōu)榉?故〖答案〗為：15.2022北京冬奧會(huì)期間，吉祥物冰墩墩成為“頂流”，吸引了許多人購(gòu)買(mǎi)，使一“墩”難求.甲?乙?丙3人為了能購(gòu)買(mǎi)到冰墩墩，商定3人分別去不同的官方特許零售店購(gòu)買(mǎi)，若甲?乙2人中至少有1人購(gòu)買(mǎi)到冰墩墩的概率為，丙購(gòu)買(mǎi)到冰墩墩的概率為，則甲，乙?丙3人中至少有1人購(gòu)買(mǎi)到冰墩墩的概率為_(kāi)__________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)榧滓?人中至少有1人購(gòu)買(mǎi)到冰墩墩的概率為，所以甲乙2人均購(gòu)買(mǎi)不到冰墩墩的概率，因?yàn)楸?gòu)買(mǎi)到冰墩墩的概率為，所以丙購(gòu)買(mǎi)不到冰墩墩的概率，所以甲乙丙3人都購(gòu)買(mǎi)不到冰墩墩的概率，于是甲乙丙3人中至少有1人購(gòu)買(mǎi)到冰墩墩的概率.故〖答案〗為：.16.在中，角所對(duì)的邊分別為，，角平分線交于點(diǎn)，，則的面積為_(kāi)____.〖答案〗〖解析〗在中，由余弦定理可得，即，解得AD=2，再由正弦定理得，顯然是銳角，則，∴，又是銳角，所以，故，由正弦定理得，所以，故〖答案〗為：四、解答題17.已知，，且與的夾角為.（1）求；（2）求與的夾角的余弦值.解：（1）由已知可得，所以，所以.（2）因?yàn)?，所?18.如圖,在四棱錐P－ABCD中,四邊形ABCD是菱形,PA=PC,E為PB的中點(diǎn)．求證:（1）平面AEC;（2）平面AEC⊥平面PBD．證明：（1）設(shè)連接,如圖所示:因?yàn)镺,E分別為,的中點(diǎn),所以,又因?yàn)槠矫?平面,所以平面．（2）連接,如圖所示:因?yàn)?為的中點(diǎn),所以,又因?yàn)樗倪呅螢榱庑?所以,因?yàn)槠矫?平面,且,所以平面,又因?yàn)槠矫?所以平面平面．19.2022年起，某省將實(shí)行“”高考模式，為讓學(xué)生適應(yīng)新高考的賦分模式，某校在一次?？贾惺褂觅x分制給高三年級(jí)學(xué)生的生物成績(jī)進(jìn)行賦分，具體賦分方案如下：先按照考生原始分從高到低按比例劃定、共五個(gè)等級(jí)，然后在相應(yīng)賦分區(qū)間內(nèi)利用轉(zhuǎn)換公式進(jìn)行賦分，等級(jí)排名占比，賦分分?jǐn)?shù)區(qū)間是；B等級(jí)排名占比，賦分分?jǐn)?shù)區(qū)間是71－85：等級(jí)排名占比，賦分分?jǐn)?shù)區(qū)間是56－70：等級(jí)排名占比，賦分分?jǐn)?shù)區(qū)間是41－55；等級(jí)排名占比，賦分分?jǐn)?shù)區(qū)間是30-40；現(xiàn)從全年級(jí)的生物成績(jī)中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的原始成績(jī)（未賦分）進(jìn)行分析，其頻率分布直方圖如圖所示：（1）求圖中的值及這100名學(xué)生的原始成績(jī)的中位數(shù)（中位數(shù)結(jié)果保留兩位小數(shù)）；（2）用樣本估計(jì)總體的方法，估計(jì)該校本次生物成績(jī)?cè)挤种辽俣嗌俜植拍苓_(dá)到賦分后的等級(jí)及以上（含等級(jí)）？（第（2）問(wèn)結(jié)果保留整數(shù)）解：（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)，可得：，解得，由頻率直方圖可判斷中位數(shù)落在第四組，設(shè)中位數(shù)為，則，解得，故抽取的這100名學(xué)生的原始成績(jī)的中位數(shù)的估計(jì)值為分.（2）由已知等級(jí)達(dá)到及以上所占排名等級(jí)占比為，由（1）可得，中位數(shù)，故原始分不少于分才能達(dá)到賦分后的等級(jí)及以上.20.大學(xué)畢業(yè)生小張和小李通過(guò)了某單位的招聘筆試考試，正在積極準(zhǔn)備結(jié)構(gòu)化面試，每天相互進(jìn)行多輪測(cè)試，每輪由小張和小李各回答一個(gè)問(wèn)題，已知小張每輪答對(duì)的概率為，小李每輪答對(duì)的概率為．在每輪活動(dòng)中，小張和小李答對(duì)與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響．（1）求兩人在兩輪活動(dòng)中都答對(duì)的概率；（2）求兩人在兩輪活動(dòng)中至少答對(duì)3道題的概率；（3）求兩人在三輪活動(dòng)中，小張和小李各自答對(duì)題目的個(gè)數(shù)相等且至少為2的概率．解：（1）依題意，設(shè)事件“小張兩輪都答對(duì)問(wèn)題”，“小李兩輪都答對(duì)問(wèn)題”，所以，．因?yàn)槭录嗷オ?dú)立，所以兩人在兩輪活動(dòng)中都答對(duì)的概率為．（2）設(shè)事“甲第一輪答對(duì)