湖南省郴州市2024屆高一下數學期末檢測試題含解析

湖南省郴州市2024屆高一下數學期末檢測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在數列中，，，則的值為：A．52 B．51 C．50 D．492．已知，則滿足的關系式是A．，且 B．，且C．，且 D．，且3．在邊長為2的菱形中，，是的中點，則A． B． C． D．4．如圖所示，在直角梯形BCEF中，∠CBF=∠BCE=90°，A，D分別是BF，CE上的點，AD∥BC，且AB=DE=2BC=2AF（如圖1），將四邊形ADEF沿AD折起，連結BE、BF、CE（如圖2）．在折起的過程中，下列說法中正確的個數（）①AC∥平面BEF；②B、C、E、F四點可能共面；③若EF⊥CF，則平面ADEF⊥平面ABCD；④平面BCE與平面BEF可能垂直A．0 B．1 C．2 D．35．設和分別表示函數的最大值和最小值，則等于（）A． B． C． D．6．已知圓，圓，則圓與圓的位置關系是（）A．相離 B．相交 C．外切 D．內切7．的內角的對邊分別為，分別根據下列條件解三角形，其中有兩解的是（）A．B．C．D．8．已知數列的前項和為，令，記數列的前項為，則（）A． B． C． D．9．在中，角，，所對的邊分別為，，，若，且，則的面積的最大值為()A． B． C． D．10．已知數列、、、、，可猜想此數列的通項公式是（）.A． B．C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若函數是奇函數，其中，則__________．12．在中角所對的邊分別為，若則___________13．已知x，y＝R+，且滿足x2y6，若xy的最大值與最小值分別為M和m，M+m＝_____.14．從甲、乙、丙、丁四個學生中任選兩人到一個單位實習，余下的兩人到另一單位實習，則甲、乙兩人不在同一單位實習的概率為________.15．經過點且在x軸上的截距等于在y軸上的截距的直線方程是________.16．已知，，則______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，某人在離地面高度為的地方，測得電視塔底的俯角為，塔頂的仰角為，求電視塔的高.（精確到）18．已知等差數列的首項為，公差為，前n項和為，且滿足，.（1）證明；（2）若，，當且僅當時，取得最小值，求首項的取值范圍.19．如圖，在三棱錐中，垂直于平面，.求證：平面.20．已知直線恒過定點，圓經過點和定點，且圓心在直線上．(1)求圓的方程；(2)已知點為圓直徑的一個端點，若另一端點為點，問軸上是否存在一點，使得為直角三角形，若存在，求出的值；若不存在，說明理由．21．用紅、黃、藍三種不同顏色給圖中3個矩形隨機涂色，每個矩形只涂一種顏色，求3個矩形顏色都不同的概率．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】

由，得到，進而得到數列首項為2，公差為的等差數列，利用等差數列的通項公式，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，數列滿足，即，又由，所以數列首項為2，公差為的等差數列，所以，故選A．【點睛】本題主要考查了等差數列的定義，以及等差數列的通項公式的應用，其中解答中熟記等差數列的定義，以及等差數列的通項公式是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．2、B【解析】

根據對數函數的性質判斷．【詳解】∵，∴，∵，∴，又，∴，故選B．【點睛】本題考查對數函數的性質，掌握對數函數的單調性是解題關鍵．3、D【解析】

選取向量為基底，用基底表示，然后計算．【詳解】由題意，，．故選D．【點睛】本題考查向量的數量積，平面向量的線性運算，解題關鍵是選取基底，把向量用基底表示．4、C【解析】

根據折疊前后線段、角的變化情況，由線面平行、面面垂直的判定定理和性質定理對各命題進行判斷，即可得出答案．【詳解】對①，在圖②中，連接交于點，取中點，連接MO，易證AOMF為平行四邊形，即AC//FM，所以AC//平面BEF，故①正確；對②，如果B、C、E、F四點共面，則由BC//平面ADEF，可得BC//EF，又AD//BC，所以AD//EF，這樣四邊形ADEF為平行四邊形，與已知矛盾，故②不正確；對③，在梯形ADEF中，由平面幾何知識易得EFFD，又EFCF，∴EF平面CDF，即有CDEF，∴CD平面ADEF，則平面ADEF平面ABCD，故③正確；對④，在圖②中，延長AF至G，使得AF=FG，連接BG，EG，易得平面BCE平面ABF，BCEG四點共面．過F作FNBG于N，則FN平面BCE，若平面BCE平面BEF，則過F作直線與平面BCE垂直，其垂足在BE上，矛盾，故④錯誤．故選：C．【點睛】本題主要考查線面平行、線面垂直、面面垂直的判定定理和性質定理的應用，意在考查學生的直觀想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題．5、C【解析】

根據余弦函數的值域，確定出的最大值和最小值，即可計算出的值.【詳解】因為的值域為，所以的最大值，所以的最小值，所以.故選：C.【點睛】本題考查余弦型函數的最值問題，難度較易.求解形如的函數的值域，注意借助余弦函數的有界性進行分析.6、C【解析】，，，，，即兩圓外切，故選．點睛：判斷圓與圓的位置關系的常見方法(1)幾何法：利用圓心距與兩半徑和與差的關系．(2)切線法：根據公切線條數確定．（3）數形結合法：直接根據圖形確定7、D【解析】

運用正弦定理公式，可以求出另一邊的對角正弦值，最后還要根據三角形的特點：“大角對大邊”進行合理排除.【詳解】A.,由所以不存在這樣的三角形.B.,由且所以只有一個角BC.中，同理也只有一個三角形.D.中此時，所以出現兩個角符合題意，即存在兩個三角形.所以選擇D【點睛】在直接用正弦定理求另外一角中，求出后，記得一定要去判斷是否會出現兩個角.8、B【解析】

由數列的前項和求通項，再由數列的周期性及等比數列的前項和求解．【詳解】因為，當時，得；當，且時，，不滿足上式，∴，所以，當時，；當是偶數時，為整數，則，所以；故對于任意正整數，均有：因為，所以．因為為偶數，所以，而，所以.故選：B．【點睛】本題考查數列的函數概念與表示、余弦函數的性質、正弦函數的誘導公式以及數列求和，解題的關鍵是當時，，和的推導，本題屬于難題．9、A【解析】

由以及，結合二倍角的正切公式，可得，根據三角形的內角的范圍可得，由余弦定理以及基本不等式可得，再根據面積公式可得答案.【詳解】因為，且，所以，所以，則.由于為定值，由余弦定理得，即.根據基本不等式得，即，當且僅當時，等號成立.所以.故選：A【點睛】本題考查了二倍角的正切公式，考查了余弦定理，考查了基本不等式，考查了三角形的面積公式，屬于中檔題.10、D【解析】

利用賦值法逐項排除可得出結果.【詳解】對于A選項，，不合乎題意；對于B選項，，不合乎題意；對于C選項，，不合乎題意；對于D選項，當為奇數時，，此時，當為偶數時，，此時，合乎題意.故選：D.【點睛】本題考查利用觀察法求數列的通項，考查推理能力，屬于中等題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

定義域上的奇函數，則【詳解】函數是奇函數，所以,又，則所以填【點睛】定義域上的奇函數，我們可以直接搭建方程，若定義域中則不能直接代指.12、【解析】,；由正弦定理，得，解得.考點：正弦定理.13、【解析】

設，則，可得，然后利用基本不等式得到關于的一元二次方程解方程可得的最大值和最小值，進而得到結論.【詳解】∵x，y＝R+，設，則，∴∴12t＝（2t+2）x+（4t+1）y，∴18t≥（t+1）（4t+1）＝4t2+5t+1，∴4t2﹣13t+1≤0，∴，∵xy的最大值與最小值分別為M和m，∴M，m，∴M+m.【點睛】本題考查了基本不等式的應用和一元二次不等式的解法，考查了轉化思想和運算推理能力，屬于中檔題.14、.【解析】

求得從甲、乙、丙、丁四個學生中任選兩人的總數和甲、乙兩人不在同一單位實習的方法數，由古典概型的概率計算公式可得所求值．【詳解】解：從甲、乙、丙、丁四個學生中任選兩人的方法數為種，甲、乙兩人不在同一單位實習的方法數為種，則甲、乙兩人不在同一單位實習的概率為．故答案為：．【點睛】本題主要考查古典概型的概率計算公式，考查運算能力，屬于基礎題．15、或【解析】

當直線不過原點時，設直線的方程為，把點代入求得的值，即可求得直線方程，當直線過原點時，直線的方程為，綜合可得答案.【詳解】當直線不過原點時，設直線的方程為，把點代入可得：，即此時直線的方程為：當直線過原點時，直線的方程為，即綜上可得：滿足條件的直線方程為：或故答案為：或【點睛】過原點的直線橫縱截距都為0，在解題的時候容易漏掉.16、【解析】

利用同角三角函數的基本關系求得的值，利用二倍角的正切公式，求得，再利用兩角和的正切公式，求得的值，再結合的范圍，求得的值．【詳解】，，，，，，故答案：.【點睛】本題主要考查同角三角函數的基本關系，兩角和的正切公式，二倍角的正切公式，根據三角函數的值求角，屬于基礎題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解析】

過作的垂線，垂足為，再利用直角三角形與正弦定理求解【詳解】解：設人的位置為，塔底為，塔頂為，過作的垂線，垂足為，則，，，，所以，答：電視塔的高為約.【點睛】本題考查利用正弦定理測量高度，考查基本分析求解能力，屬基礎題18、（1）證明見解析；（2）【解析】

（1）根據等差數列的前n項和公式,變形可證明為等差數列.結合條件,,可得,進而表示出.由為等差數列,表示出,化簡變形后結合不等式性質即可證明.（2）將三角函數式分組,提公因式后結合同角三角函數關系式化簡.再由平方差公式及正弦的和角與差角公式合并.根據條件等式,結合等差數列性質,即可求得.由,即可確定.當且僅當時，取得最小值,可得不等式組,即可得首項的取值范圍.【詳解】（1）證明:等差數列的前n項和為,則所以,,故為等差數列,因為,,所以,解得,因為,得故,從而.（2）而.由條件又由等差數列性質知：所以,因為,所以,那么.等差數列,當且僅當時,取得最小值.,所以.【點睛】本題考查了等差數列前n項和公式的應用,等差數列通項公式定義及變形式應用.三角函數式變形,正弦和角與差角公式的應用,不等式組的解法,綜合性強,屬于難題.19、證明見解析【解析】

分析：由線面垂直的性質可得，結合，利用線面垂直的判定定理可得平面.詳解：∵面，在面內，∴，又∵，，∴面.點睛：證明直線和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推論；（3）利用面面平行的性質；（4）利用面面垂直的性質，當兩個平面垂直時，在一個平面內垂直于交線的直線垂直于另一個平面.20、（1）；（2）見解析【解析】

（1）先求出直線過定點，設圓的一般方程，由題意列方程組，即可求圓的方程；（2）由（1）可知：求得直線的斜率，根據對稱性求得點坐標，由在圓外，所以點不能作為直角三角形的頂點，分類討論，即可求得的值．【詳解】(1)直線的方程可化為，由解得∴定點的坐標為．設圓的方程為，則圓心則依題意有解得∴圓的方程為；(2)由(1)知圓的標準方程為,∴圓心，半徑.∵是直徑的兩個端點，∴圓心是與的中點