數(shù)學(xué)（天津卷03）-2024年高考押題預(yù)測卷（全解全析）

第第頁2024年高考押題預(yù)測卷03【天津卷】數(shù)學(xué)·全解全析一、單項(xiàng)選擇題（本題共9小題，每小題5分，共45分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．設(shè)集合2，，，，則（

）A． B．2，C．2，4， D．【答案】B【解析】2，，，2，4，，又，2，，故選B．2．“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由，則，即，即，解得得，則不能推出，能推出，則“”是“”的必要不充分條件，故選B.3．函數(shù)（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的圖象大致形狀是（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】的定義域?yàn)镽.因?yàn)?，所以為奇函?shù)，故排除A、C.當(dāng)時(shí)，有，所以，，所以，故排除B，故選D4．2023年考研成績公布不久，對(duì)某?！败浖こ獭睂I(yè)參考的200名考生的成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，可以得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中分組的區(qū)間為，，，，同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值作代表值，則下列說法中不正確的是（

）A．這200名學(xué)生成績的眾數(shù)為370分B．這200名學(xué)生成績的平均分為377分C．這200名學(xué)生成績的70%分位數(shù)為386分D．這200名學(xué)生成績?cè)谥械膶W(xué)生有30人【答案】C【解析】顯然眾數(shù)是370，故A正確；平均分為，故B正確；設(shè)70%分位數(shù)為，則，得，故C錯(cuò)誤；，故D正確.故選：C5．已知，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】,故，故選B.6．若，求（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，所?故選A.7．若圓錐的內(nèi)切球（球面與圓錐的側(cè)面以及底面都相切）的半徑為1，當(dāng)該圓錐體積取最小值時(shí)，該圓錐體積與其內(nèi)切球體積比為（

）A．2：1 B．4：1 C．8：1 D．8：3【答案】A【解析】設(shè)圓錐的高為，底面半徑為，則當(dāng)球面與圓錐的側(cè)面以及底面都相切時(shí)，軸截面如圖，由可得：，即，圓錐的體積．當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．該圓錐體積的最小值為．內(nèi)切球體積為．該圓錐體積與其內(nèi)切球體積比．故選：A．8．雙曲線的右焦點(diǎn)為，過作與雙曲線的兩條漸近線平行的直線且與漸近線分別交于、兩點(diǎn)，若四邊形（為坐標(biāo)原點(diǎn)）存在外接圓，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意得，不妨設(shè)直線的方程為，直線的方程為，由題意可知，，，則四邊形為平行四邊形，則，由于平行四邊形存在外接圓，則，則，所以，，則，因此，該雙曲線的離心率為.故選：A.9．已知函數(shù)，函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，從小到大依次為，，，，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，；則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，；則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，即兩函數(shù)與圖象有四個(gè)不同的交點(diǎn)如下圖所示由圖可知，是方程的兩根，即的兩根所以是方程的兩根，即的兩個(gè)所以故選：D二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分．10．已知復(fù)數(shù)（其中是虛數(shù)單位），則.【答案】【解析】由已知條件可得.11．的展開式中的系數(shù)為.【答案】【解析】由通項(xiàng)公式可得，即的系數(shù)為.12．由直線上的任意一個(gè)點(diǎn)向圓引切線，則切線長的最小值為.【答案】【解析】圓心坐標(biāo)，半徑要使切線長最小，則只需要點(diǎn)到圓心的距離最小，此時(shí)最小值為圓心到直線的距離，此時(shí)，13．設(shè)，，若，則的最小值為.【答案】3【解析】由題意，因?yàn)?，，滿足，所以，，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)取得最小值.14．甲、乙、丙三人分別獨(dú)立地解一道題，甲做對(duì)的概率是，三人都做對(duì)的概率是，三人都做錯(cuò)的概率是，則乙、丙兩人各自做對(duì)這道題的概率分別為，甲、乙、丙三人中恰有一人做對(duì)這道題的概率為．【答案】，或，；【解析】設(shè)甲、乙、丙做對(duì)這道題分別為事件A、B、C，，由題意，，所以，解得或；設(shè)甲、乙、丙三人中恰有一人做對(duì)這道題的事件為D，，所以甲、乙、丙三人中恰有一人做對(duì)這道題的概率為.15．青花瓷，常簡稱青花，代表了我國古代勞動(dòng)人民智慧的結(jié)晶，是中國瓷器的主流品種之一.圖一是一個(gè)由波濤紋和葡萄紋構(gòu)成的正六邊形青花瓷盤，已知圖二中正六邊形的邊長為，圓的圓心為正六邊形的中心，半徑為，若點(diǎn)在正六邊形的邊上運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)且關(guān)于圓心對(duì)稱.（i）請(qǐng)用表示；（ii）請(qǐng)寫出的取值范圍.【答案】【解析】（i）在圓上運(yùn)動(dòng)且關(guān)于圓心對(duì)稱，為中點(diǎn)，；（ii）；當(dāng)為正六邊形頂點(diǎn)時(shí)，取得最大值；當(dāng)與正六邊形的邊垂直時(shí)，取得最小值；六邊形為正六邊形，為正三角形，；作，則為中點(diǎn)，；，即的取值范圍為.三、解答題：本題共5小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．16．（本小題滿分14分）已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.(1)求a的值：(2)求證：；(3)的值【解】（1）由及余弦定理，得，因?yàn)椋?（2）由及，得，由正弦定理得，因?yàn)?，所以?若，則，與題設(shè)矛盾，因此.（3）由（Ⅰ）得，因?yàn)?，所以，所以，所?另解：因?yàn)?，所?17．（本小題滿分15分）已知三棱錐中，平面，，，為上一點(diǎn)且滿足，，分別為，的中點(diǎn)．(1)求證：；(2)求直線與平面所成角的大?。?3)求點(diǎn)到平面的距離．【解】（1）因?yàn)槠矫?，，如圖以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸?軸?軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，因?yàn)?，所?（2）設(shè)平面的法向量，，則，即，取，得，設(shè)直線與平面所成角為，則，又，所以，所以直線與平面所成角的大小為.（3）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)椋?，所以點(diǎn)到平面的距離為.18．（本小題滿分15分）記是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列是等比數(shù)列，且滿足，．(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，（?。┣蟮那绊?xiàng)的和；（ⅱ）求.【解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，由題知：，解得，，，所以，；（2）（ⅰ），，，則；（ⅱ），，則，則，故，故，又，故.19．（本小題滿分15分）已知橢圓過點(diǎn)，焦距是短半軸長的倍，(1)求橢圓的方程；(2)點(diǎn)是橢圓上的三個(gè)不同點(diǎn)，線段交軸于點(diǎn)異于坐標(biāo)原點(diǎn)，且總有的面積與的面積相等，直線分別交軸于點(diǎn)兩點(diǎn)，求的值.【解】（1）設(shè)橢圓的半焦距為，由題意知，解得，橢圓的方程；（2）因?yàn)榈拿娣e與的面積總相等，故為的中點(diǎn)，結(jié)合對(duì)稱性可知兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，由題意直線斜率存在且不為0，并且縱截距不為0，設(shè)直線，故，，化簡得，由得，，設(shè)，則，則，直線，令得，，所以.20．（本小題滿分16分）設(shè)函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)設(shè)函數(shù)（i）當(dāng)時(shí)，取得極值，求的單調(diào)區(qū)間；（ii）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：.【