適用于新高考新教材廣西專版2025屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第七章平面向量復(fù)數(shù)第二節(jié)平面向量基本定理及向量坐標(biāo)運(yùn)算課件

第二節(jié)平面向量基本定理及向量坐標(biāo)運(yùn)算第七章課標(biāo)解讀1.了解平面向量基本定理及其意義.2.掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.3.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加、減與數(shù)乘運(yùn)算.4.理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件.強(qiáng)基礎(chǔ)增分策略知識(shí)梳理1.平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)

向量,那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1,λ2,使a=

.若e1,e2不共線,我們把{e1,e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)

.把一個(gè)向量分解為兩個(gè)

的向量,叫做把向量作正交分解.

不共線

λ1e1+λ2e2基底

互相垂直

微點(diǎn)撥1.組成基底的e1,e2必須是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,零向量不能作為基底.2.基底給定,同一向量的分解形式唯一.3.對(duì)于一個(gè)基底{e1,e2},若a=λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2,則

4.若a與b不共線,λa+μb=0,則λ=μ=0.微思考平面內(nèi)的任一向量可以用任意兩個(gè)非零向量表示嗎?提示

不一定.兩個(gè)向量只有不共線才能組成一個(gè)基底表示平面內(nèi)的任一向量.2.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

運(yùn)算坐標(biāo)表示(設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2))加a+b=(x1+x2,y1+y2)減a-b=(x1-x2,y1-y2)數(shù)乘λa=(λx1,λy1),其中λ∈R已知A(x1,y1),B(x2,y2),則

=(x2-x1,y2-y1).微點(diǎn)撥1.向量坐標(biāo)表示的本質(zhì)是向量的代數(shù)表示,其中坐標(biāo)運(yùn)算法則是運(yùn)算的關(guān)鍵.2.要區(qū)分點(diǎn)的坐標(biāo)與向量坐標(biāo),盡管在形式上它們類似,但意義完全不同,向量坐標(biāo)中既有方向的信息,也有大小的信息.3.平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a∥b?

.

微點(diǎn)撥若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a∥b的充要條件不能表示成

.因?yàn)閤2,y2有可能等于0,所以應(yīng)表示為x1y2-x2y1=0.x1y2-x2y1=0對(duì)點(diǎn)演練1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)若a,b不共線,且λ1a+μ1b=λ2a+μ2b,則λ1=λ2,μ1=μ2.(

)(3)平面向量不論經(jīng)過怎樣的平移變換之后其坐標(biāo)不變.(

)(4)當(dāng)向量的起點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí),向量的坐標(biāo)就是向量終點(diǎn)的坐標(biāo).(

)√×√√2.若a=(2,1),b=(-1,1),(2a+b)∥(a+mb),則m的值為(

)答案

A解析由題意,向量a=(2,1),b=(-1,1),可得2a+b=(3,3),a+mb=(2-m,1+m),因?yàn)?2a+b)∥(a+mb),可得3×(1+m)=3×(2-m),解得m=.3.(多選)設(shè)e1,e2是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量,則以下a,b可組成該平面內(nèi)一個(gè)基底的是(

)A.a=e1+e2,b=e1C.a=e1+e2,b=e1-e2D.a=e1-2e2,b=-e1+4e2答案

ACD

解析

對(duì)于A,a不能用b表示,故a,b不共線,故符合;對(duì)于B,b=a,所以a,b共線,故不符合;對(duì)于C,a不能用b表示,故a,b不共線,故符合;對(duì)于D,a不能用b表示,故a,b不共線,故符合.故選ACD.增素能精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一平面向量基本定理的應(yīng)用(多考向探究)考向1.用已知基底表示向量典例突破答案

A

名師點(diǎn)析應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算.C考向2.解析法(坐標(biāo)法)在向量中的應(yīng)用典例突破答案

[1,2]解析建立直角坐標(biāo)系如圖所示,方法總結(jié)應(yīng)用平面向量基本定理的兩種方法

答案

4

解析以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示,則

考向3.利用平面向量基本定理求參數(shù)的值(或取值范圍)典例突破A.-2 B.-1C.1 D.2答案

A

方法總結(jié)利用平面向量基本定理求參數(shù)值的基本思路利用定理的唯一性,對(duì)某一向量用基底表示兩次,然后利用系數(shù)對(duì)應(yīng)相等列方程(組)求解,即對(duì)于基底{e1,e2},若a=xe1+ye2,且a=me1+ne2(x,y,m,n∈R),則答案C

即λ+μ=t∈(0,1].綜上,λ+μ的取值范圍是[0,1].考點(diǎn)二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算典例突破

(1)3a+b-3c;(2)滿足a=mb+nc的實(shí)數(shù)m,n;解由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).(2)(方法1)∵mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),

突破技巧平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解題時(shí),首先利用加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算,然后根據(jù)“兩個(gè)向量相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)相等”這一原則,轉(zhuǎn)化為方程(組)進(jìn)行求解.A.(-3,-3) B.(7,9)C.(3,3) D.(-6,-10)答案

(1)C

(2)

(2)(2023甘肅高考診斷一)已知向量a=(m,2),b=(2,3m),若a與b共線且方向相反,則|2a+b|=

.

考點(diǎn)三平面向量共線的坐標(biāo)表示(多考向探究)考向1.利用向量共線求向量或點(diǎn)的坐標(biāo)典例突破例5.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A(4,0),B(4,4),C(2,6),則AC與OB的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為

.

答案

(3,3)

方法總結(jié)一般地,在求與一個(gè)已知向量a(a≠0)共線的向量時(shí),可設(shè)所求向量為λa(λ∈R).對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5已知梯形ABCD,其中AB∥CD,且DC=2AB,三個(gè)頂點(diǎn)A(1,2),B(2,1),C(4,2),則點(diǎn)D的坐標(biāo)為

.

答案

(2,4)

考向2.利用向量共線求參數(shù)典例突破A.-3 B.-2C.2 D.3(2)(2023廣東茂名二模)已知向量a=(-1,2),b=(3,λ),若a+2b與2a-b平行,則實(shí)數(shù)λ的值為(

)答案

(1)A

(2)D

故m+n的最大值為-3,故選A.(2)∵a=(-1,2),b=(3,λ),∴a+2b=(5,2+2λ),2a-b=(-5,4-λ).又a