2021-2022學年北京市西城區(qū)高考數(shù)學二模試卷（答案版）

2021-2022學年北京市西城區(qū)高考數(shù)學二模試卷

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。

1.已知集合力="|-4<x<2},5={X|X2^9},則NU3=()

A.(-4,3]B.[-3,2)C.(-4,2)D.[-3,3]

2.已知雙曲線的焦點分別為尸i,尸2,|FIF2|=4,雙曲線上一點P滿足||尸為I-甲乃||=2,則該雙曲線的離

心率為()

A.V2B.V3C.2D.3

3.已知{斯}為等差數(shù)列，首項。1=2,公差4=3,若即+。"+2=28,則〃=()

A.1B.2C.3D.4

4.下列函數(shù)中，與函數(shù)了=/的奇偶性相同，且在(0,+8)上有相同單調性的是()

A.y=&尸B.y=lnxC.,y=sinxD.y=x\x\

5.已知直線>=依+2與圓C：x2+f=2交于/,8兩點，且|/引=2,則%的值為()

A.士半B.±V3C.V3D.2

6.已知"是單位向量，向量三滿足：WaMW1,則向的取值范圍是()

11

A.(0,+8)B.(0,1]C.[-,+8)D.[-,1]

7.已知函數(shù)/(x)=2sin(2x+(p),取法,那么“阿=知是"/(x)在[―/勺上是增函數(shù)”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

8.已知/(x)=\lgx-a\,記關于x的方程/(x)=1的所有實數(shù)根的乘積為g(a),則g(a)()

A.有最大值，無最小值B.有最小值，無最大值

C.既有最大值，也有最小值D.既無最大值，也無最小值

第1頁(共22頁)

ox_i_ox<0

｛-2）"皿《a的定義域和值域的交集為空集，則正數(shù)。的取值范圍是（)

A.（0,1]B.（0,1）C.（1,4）D.（2,4）

10.如圖為某商鋪48兩種商品在2022年前3個月的銷售情況統(tǒng)計圖，已知/商品賣出一件盈利20元，

B商品賣出一件盈利10元.圖中點出、血、A3的縱坐標分別表示A商品2022年前3個月的銷售量，點

Bi、B2、治的縱坐標分別表示8商品2022年前3個月的銷售量.根據(jù)圖中信息，下列四個結論中正確的

是（）

①2月/、8兩種商品的總銷售量最多；②3月4、8兩種商品的總銷售量最多；

③1月/、3兩種商品的總利潤最多；④2月/、8兩種商品的總利潤最多.

A銷量

嗎

,場

?A

弭M

A.①③B.①④C.②③D.②④

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。

11.二項式（1+x）"（"6N*）的展開式中7的系數(shù)為21,則〃=.

12.已知復數(shù)z在復平面內所對應的點的坐標為（-1,2）,則為.

13.已知拋物線產(chǎn)=4x的焦點為尸，準線為/,則焦點到準線的距離為；直線y=舊與拋

\PF\

物線分別交于尸、0兩點（點尸在x軸上方），過點P作直線PQ的垂線交準線I于點H,則卜一=.

1*

14.已知數(shù)列｛即｝是首項為16,公比為習的等比數(shù)列，｛加｝是公差為2的等差數(shù)列.若集合力=｛〃EN*|斯〉

加｝中恰有3個元素，則符合題意的bi的一個取值為.

第2頁（共22頁）

15.已知四棱錐尸-N8C。的高為1,△為3和△尸口)均是邊長為近的等邊三角形，給出下列四個結論:

①四棱錐尸-ABCD可能為正四棱錐；

②空間中一定存在到P,A,B,C,。距離都相等的點；

③可能有平面為。，平面ABCD；

_12

④四棱錐尸-4BCD的體積的取值范圍是(3-].

其中所有正確結論的序號是.

三、解答題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。

八、4,l/BB/—

16.(13分)在△45C中，2gcos2-+2sin—cos-=#3.

222

(I)求5的大??；

(II)若B(a+c)=26,證明：Q=C.

第3頁(共22頁)

17.（13分）2021年12月9日，《北京市義務教育體育與健康考核評價方案》發(fā)布.義務教育體育與健康

考核評價包括過程性考核與現(xiàn)場考試兩部分，總分值70分.其中過程性考核40分，現(xiàn)場考試30分.該

評價方案從公布之日施行，分學段過渡、逐步推開.現(xiàn)場考試采取分類限選的方式，把內容劃分了四類，

必考、選考共設置22項考試內容.

某區(qū)在九年級學生中隨機抽取1100名男生和1000名女生作為樣本進行統(tǒng)計調查，其中男生和女生選考乒

乓球的比例分別為10%和5%,選考1分鐘跳繩的比例分別為40%和50%.假設選考項目中所有學生選擇

每一項相互獨立.

（I）從該區(qū)所有九年級學生中隨機抽取1名學生，估計該學生選考乒乓球的概率；

（II）從該區(qū)九年級全體男生中隨機抽取2人，全體女生中隨機抽取1人，估計這3人中恰有2人選考1

分鐘跳繩的概率；

（III）已知乒乓球考試滿分8分.在該區(qū)一次九年級模擬考試中，樣本中選考乒乓球的男生有60人得8

分，40人得7.5分，其余男生得7分；樣本中選考乒乓球的女生有40人得8分，其余女生得7分.記這

次模擬考試中，選考乒乓球的所有學生的乒乓球平均分的估計值為因，其中男生的乒乓球平均分的估計值

為陽，試比較田與電的大小.（結論不需要證明）

第4頁（共22頁）

18.（14分）如圖，在三棱柱/BC-Ni8iCi中，四邊形441cle是邊長為4的菱形，AB=BC=A，點、D

為棱/C上動點（不與4C重合），平面由AD與棱NiCi交于點E.

（I）求證：BBi//DE；

AT）O

（H）若就：從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇兩個條件作為已知，求直線4B與平面

囪8?！晁山堑恼抑?

條件①：平面ABC，平面//1QC；

條件②：ZAiAC=60a；

條件③：A\B=V2l.

第5頁（共22頁）

19.(15分)已知函數(shù)/(x)=嚕苧.

(I)若求a的值；

(II)當a>2時，

①求證：/(x)有唯一的極值點xi；

②記/(x)的零點為X0,是否存在。使得衛(wèi)We2?說明理由.

x0

第6頁(共22頁)

20.(15分)已知橢圓C：當+4=l(a>b>0)的左頂點為/(-2,0),圓O：x2+f=l經(jīng)過橢圓C的

ab

上、下頂點.

(I)求橢圓C的方程和焦距；

(II)已知尸，。分別是橢圓C和圓。上的動點(P,0不在坐標軸上)，且直線尸0與X軸平行，線段NP

的垂直平分線與了軸交于點圓。在點。處的切線與y軸交于點N.求線段長度的最小值.

第7頁(共22頁)

21.(15分)已知數(shù)列/：ai,ai,a2m，其中加是給定的正整數(shù)，且

-0-bi=min{a2i-l>an],i=\,■,m,X(A)=max{b\,bi,■,bm},

=

d=max{a2i1,an},i1>…，m,Y(A)—min{c\,ci,…，cm}.

這里，優(yōu)"{}表示括號中各數(shù)的最大值，〃徹{}表示括號中各數(shù)的最小值.

(I)若數(shù)列/：2,0,2,1,-4,2,求X(4),Y(A)的值；

(II)若數(shù)列/是首項為1,公比為q的等比數(shù)列，且XG4)=￥(/),求q的值；

(III)若數(shù)列4是公差4=1的等差數(shù)列，數(shù)列8是數(shù)列“中所有項的一個排列，求X(B)-Y(B)的所

有可能值(用加表示).

第8頁(共22頁)

2021-2022學年北京市西城區(qū)高考數(shù)學二模試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。

1.已知集合/={x|-4＜尤＜2},8={x|/W9},貝。（）

A.（-4,3]B.[-3,2）C.（-4,2）D.[-3,3]

解：因為4={x|-4＜尤＜2},B={X|X2^9}={X|-3^x^3},

則/U2={R-4＜xW3}.

故選：A.

2.已知雙曲線的焦點分別為尸i，尸2，\FiF2\=4,雙曲線上一點P滿足||尸尸i|-|P尸2||=2,則該雙曲線的離

心率為（）

A.V2B.V3C.2D.3

解：雙曲線的焦點分別為尸1,F2,|FIF2|=4,所以C=2,

雙曲線上一點P滿足||P尸I|-|尸「2||=2,所以。=1,

所以雙曲線的離心率e=g=2.

故選：C.

3.已知{斯}為等差數(shù)列，首項的=2,公差d=3,若即+即+2=28,則"=（）

A.1B.2C.3D.4

解：因為{斯}為等差數(shù)列，ai=2,公差d=3,

所以即=2+3（M-1）=3〃-1,

?！?。〃+2=3〃-1+3〃+5=28,

則〃=4.

故選：D.

4.下列函數(shù)中，與函數(shù)歹=尤3的奇偶性相同，且在（0,+8）上有相同單調性的是（）

A.y（2）*B.y~~C.jp=sinxD.jv^x|x|

解：因為函數(shù)為奇函數(shù)，且在（0,+8）上單調遞增，

1

＞=（5）%在（°，+8）上單調遞減，不符合題意；

歹=打、為非奇非偶函數(shù)，不符合題意；

y=sinx在（0,+°°）上不具有單調性，不符合題意；

y=x|x|為奇函數(shù)，當x＞0時，＞=/單調遞增，符合題意.

第9頁（共22頁）

故選：D.

5.已知直線y=fcr+2與圓C：》2+丁=2交于/,B兩點，且|48|=2,則%的值為()

A.土孚B.±V3C.V3D.2

解：由圓C：f+y2=2,得C(0,0),半徑廠=企，

圓心C到直線/：y=kx+2的距圖d=-J=!=.

西

|2|

又|48|=2,所以12+()2=2,

Vfc2+1

解得：k=+>/3.

故選：B.

6.已知)是單位向量，向量W滿足[W<1,則向的取值范圍是()

11

A.(0,+8)B.(0,1]C.[-,+8)D.[-,1]

—>—>1—>—>

解：因為e是單位向量，向量Q滿足-<a?e<1,

2

設三與:夾角為e,

17T1Tl

所以向的cos0Wl,即無熱〈丘區(qū)而可

1

又0<cos8Wl,------>1,

COS0

故選：C.

7.已知函數(shù)/(%)=2sin⑵+(p),191V貨那么“⑼=/是”/(x)在[一?勺上是增函數(shù)”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

解：?函數(shù)/(%)=2sin⑵+隼)，101V}

?*.xG[—/看],可得2x+(pW[一5+(p,-+(p],

-：f(x)在[—9]上是增函數(shù),

■JT"]TTC77

/?一可+cp三2ATTT—2，且,+(pW2Anr+2，k￡Z,

2Anr—石<(pW2左n+石，左eZ,

???|w|7v1}

第10頁(共22頁)

故"Iwl=1”是7(x)在[-？，上是增函數(shù)”的充分也不必要條件，

故選：A.

8.已知/(無)=\lgx-a\,記關于x的方程/(x)=1的所有實數(shù)根的乘積為g(a),則g(a)()

A.有最大值，無最小值B.有最小值，無最大值

C.既有最大值，也有最小值D.既無最大值，也無最小值

解：由/(x)=1可得/gx-a|=l,

所以/gx-a=1或/gx-a=-1,

即/gx=a+l或lgx=a-1,

解得xi=l()a+l或X2=10"I

a+1a2a

所以g(a)^xix2=10X10-i=10=100%

由指數(shù)函數(shù)的性質可知g(a)既無最大值，也無最小值.

故選：D.

2%r<n

{。-2)[Ma的定義域和值域的交集為空集，則正數(shù)0的取值范圍是<)

A.(0,1]B.(0,1)C.(1,4)D.(2,4)

解：由題意得函數(shù)定義域為{x|xWa},

當xWO時，f(x)=2X+3G(3,4],

要使得定義域和值域的交集為空集，

則0<aW3,

又0c無W“時，/(x)=(x-2)2,

若a22,則/(2)=0,此時顯然不滿足題意，

若0ca<2,則/(x)在(0,a]上單調遞減，f(x)e[(fl-2)2,4),

故/(x)G[(a-2)2,4)U(3,4],

aV(a—2)2

所以

0<a<2

解得0<a<l.

故選：B.

10.如圖為某商鋪45兩種商品在2022年前3個月的銷售情況統(tǒng)計圖，已知/商品賣出一件盈利20元，

2商品賣出一件盈利10元.圖中點出、血、血的縱坐標分別表示/商品2022年前3個月的銷售量，點

第11頁(共22頁)

Bi、B2、治的縱坐標分別表示8商品2022年前3個月的銷售量.根據(jù)圖中信息，下列四個結論中正確的

是（）

①2月/、8兩種商品的總銷售量最多；②3月N、8兩種商品的總銷售量最多;

③1月/、3兩種商品的總利潤最多；④2月/、2兩種商品的總利潤最多.

A銷量

嗎

,場

?A

珥?4%

A.①③B.①④C.②③D.②④

解：對于①②，根據(jù)統(tǒng)計圖可得，冽，山的縱坐標之和顯然最大，

故3月48兩種商品的總銷量最多，故②正確；

對于③④，因為/商品賣出一件盈利20元，3商品賣出一件盈利10元，

根據(jù)統(tǒng)計圖表，用對應點的縱坐標表示銷量，則易得，

2041+1081>20/3+1083>20/2+10比，故③正確；

故選：C.

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。

11.二項式（1+x）"（"6N*）的展開式中小的系數(shù)為21,則n=7.

解：展開式中含7的項為c衣2,

則番=21,解得"=7,

故答案為：7.

12.已知復數(shù)z在復平面內所對應的點的坐標為（-1,2）,則|幺為—遙

解：復數(shù)z在復平面內所對應的點的坐標為（-1,2）,貝！|z=-1+23

則碎I刁二二7日—尸I-1-2力=J（—1）2+（—2）2=V5.

故答案為：V5.

13.已知拋物線爐=4工的焦點為R準線為/,則焦點到準線的距離為2；直線y=次光-舊與拋物

線分別交于尸、。兩點（點尸在x軸上方），過點尸作直線尸。的垂線交準線/于點〃，則上—=:.

\PH\2

解：拋物線/=4x的焦點尸（1,0）,準線/為x=-l,

第12頁（共22頁）

所以焦點到準線的距離為2,

如圖，作尸P交準線/于點尸,

因為直線y=V3x-舊過焦點F,

則|即=|尸尸|,

因為PPU,所以PP〃x軸,

又直線y=-百的傾斜角為60°,

所以NFFP=60°,所以/HPP'=30°,

則四=也=四3。。=亙

\PH\\PH\2

｛a｝是公差為2的等差數(shù)列.若集合/=｛"CN*|a">

仇｝中恰有3個元素，則符合題意的bi的一個取值為-1（答案不唯一）

解：易得數(shù)列｛如｝逐項遞減，｛6〃｝逐項遞增,

故可考慮Qi-^瓦，a?>b2,>^3，。九―bn，（九24,71eN+）,

此時只需卜3>為即可，

a<o4

16x（1）2>瓦+4

即?〔，解得-4W6i<0,

16X（1）3W瓦+6

故符合題意的61的一個取值為-1（答案不唯一），

故答案為：-1（答案不唯一）.

15.已知四棱錐P-N8CZ）的高為1,△為8和△尸CD均是邊長為夜的等邊三角形，給出下列四個結論:

①四棱錐尸-4BCD可能為正四棱錐；

②空間中一定存在到P,A,B,C,。距離都相等的點；

第13頁（共22頁）

③可能有平面以。1?平面ABCD；

12

④四棱錐尸-/BCD的體積的取值范圍是(-，-],

33

其中所有正確結論的序號是①②④.

解：根據(jù)題意，設尸CU/3CD,則尸。=1,又因為和△PCD均是邊長為夜的等邊三角形，易得

OA=OB=OC=OD=1,且/40B=/COD=$

對①，當48=8。=。。=20=&時，底面為正方形，且。為底面中心，此時四棱錐尸-42CD可能

為正四棱錐，故①正確；

對②，OA=OB=OC=OD=OP=1,故一定存在到尸，A,B,C,。距離都相等的點。，故②正確；

對③，當平面平面ABCD時，因為POUBCD,故尸Ou平面PAD,此時//OD=TT,又因為

ZAOB=ZCOD=J,此時2,C重合，不滿足題意，③錯誤；

對④，設NBOC=。,則VPYBCD=1-SABCD-PO

111111

=^OA-OB+^OC-OD+^0B-OCsind+^OA-ODsinfji-8))=?1+sin。),

因為0E(0,IT),故sin0E(0,1],所以/_說。=其1+s6，如故④正確；

故答案為：①②④.

三、解答題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。

I—BBr-

16.(13分)在中，2A/^COS2—+2sin—cos-=，3.

222

(I)求8的大小；

(II)若(a+c)—2b,證明：a—c.

解：(I)因為在中，275cos+2sin—cos—=，3,

所以2Wx士與空+sin5=遍，可得sin(S+J)=0,

77Ti47r

因為加(0,TI),可得(—,—),

333

第14頁(共22頁)

所以5+^=71,

所以5=多

(II)證明：因為5=手可得COSB=4

所以由余弦定理可得b2=/+c2+ac,①，

因為舊(〃+c)=26,

所以以孚(a+c),②，

3

聯(lián)立①②，可得-(a2+2ac+c2)=a2+c2+ac,整理可得(a-c)2=0,

4

所以a=c,得證.

17.(13分)2021年12月9日，《北京市義務教育體育與健康考核評價方案》發(fā)布.義務教育體育與健康

考核評價包括過程性考核與現(xiàn)場考試兩部分，總分值70分.其中過程性考核40分，現(xiàn)場考試30分.該

評價方案從公布之日施行，分學段過渡、逐步推開.現(xiàn)場考試采取分類限選的方式，把內容劃分了四類，

必考、選考共設置22項考試內容.

某區(qū)在九年級學生中隨機抽取1100名男生和1000名女生作為樣本進行統(tǒng)計調查，其中男生和女生選考乒

乓球的比例分別為10%和5%,選考1分鐘跳繩的比例分別為40%和50%.假設選考項目中所有學生選擇

每一項相互獨立.

(I)從該區(qū)所有九年級學生中隨機抽取1名學生，估計該學生選考乒乓球的概率；

(II)從該區(qū)九年級全體男生中隨機抽取2人，全體女生中隨機抽取1人，估計這3人中恰有2人選考1

分鐘跳繩的概率；

(III)已知乒乓球考試滿分8分.在該區(qū)一次九年級模擬考試中，樣本中選考乒乓球的男生有60人得8

分，40人得7.5分，其余男生得7分；樣本中選考乒乓球的女生有40人得8分，其余女生得7分.記這

次模擬考試中，選考乒乓球的所有學生的乒乓球平均分的估計值為因，其中男生的乒乓球平均分的估計值

為陽，試比較由與兇的大小.(結論不需要證明)

解：(I)樣本中男生的人數(shù)為1100X10%=110人，

樣本中女生的人數(shù)為1000X5%=50人,

設從該區(qū)所有九年級學生中隨機抽取1名學生，該學生選考乒乓球為事件a

則該學生選考乒乓球的概率P(4)=nXZo=1U5;

(II)設從該區(qū)九年級全體男生中隨機抽取1人，選考跳繩為事件2,

從該區(qū)九年級全體女生中隨機抽取1人，選考跳繩為事件C,

由題意P(B)=0,4,P(C)=0.5,

第15頁(共22頁)

則從該區(qū)九年級全體男生中隨機抽取2人，全體女生中隨機抽取1人，

估計這3人中恰有2人選考1分鐘跳繩的概率為?x0.4x(1-0.4)x0.5+C^x0.42x(l-0.5)=

0.32；

/TTT、100X8+40X7.5+20X731

(ni)Mi=--------160--------=T'

_60x8+40x7.5+10x7_85

“2=HO=IT

所以m>n2.

18.(14分)如圖，在三棱柱48C-N181C1中，四邊形441cle是邊長為4的菱形，AB=BC=A,點D

為棱NC上動點(不與4C重合)，平面以8。與棱/Ci交于點E.

(I)求證：BBi//DE；

AT)Q

(II)若==-，從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇兩個條件作為已知，求直線AB與平面

AC4

81ADE所成角的正弦值.

條件①：平面ABC,平面//CC；

條件②：ZAiAC=60°；

條件③：48=V21.

A

(T)證明：在三棱柱/8C-N181cl中，AAi//BBi，

又881c平面ZCCi/i，44iu平面/CCi/i,

所以281〃平面4CC1/1,

又因為平面BiBDEC平面/CCi/i=_DE,

所以班1〃DE；

(II)解：選條件①②.

連接4C,取/C中點O,連接由。，BO.

在空形4CC4中,ZAiAC=60°,

所以△出/C為等邊三角形.

又因為。為NC中點，所以/1OL4C,

第16頁(共22頁)

又因為平面4BC，平面ACCiAi,

平面/BCD平面ACC\A\=AC,

?Ou平面ZCCi/i,S.AiO±AC,

所以N/O_L平面/8C,O8u平面/8C,

所以41O_LO2.

又因為4B=5C,所以5O_L4C.

軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,

則。(0,0,0),4(0,-2,0),4式0,0,2V3),B(3,0,0),0(0,L0),

所以麗=(一3,L0),DE=AA1=(0,2,2次).

設平面囪8￡)￡的一個法向量為蔡=(xi，yi，zi),

則E..二°，所以—3%i+=0

(dDE=02yl+243zr=0'

令Zi=-遮，則歹1=3,x1=l,故蔡=(1,3,-V3),

—>

又因為48=(3,2,0),

設直線AB與平面BiBDE所成角為9,

所以sin。=\cos{AB,n)|=巴"？=2，

\AB\\n\

一9

所以直線AB與平面BiBDE所成角的正弦值為一，

13

選條件②③.

連接4C,取NC中點O,連接40,BO.

第17頁(共22頁)

在菱形NCCi/i中，ZAlAC=60°,

所以△4NC為等邊三角形，

又。為NC中點，故NiO_L/C,且&。=2百，

又因為0B=3,ArB=VH,

2

所以4。2+。5=A1B,

所以4OJ_O8,

又因為/CnO3=。，所以平面4BC；

以下同選①②.

選條件①③，

取/C中點。，連接80,AiO,

在△N8C中，因為8/=8C,所以8O_L4C,且/O=2,05=3,

又因為平面48C_L平面ACCiAi,平面48CC平面ACCiAi=AC,

所以5。，平面/CCi/i，

因為CM。平面NCC14，所以8O_LCMi，

在RtABO/i中，。&=2V3,

又因為。4=2,441=4,

所以。掰+。壽=4掰，

所以41OL4O.

以下同選①②.

19.(15分)已知函數(shù)/G)=管空.

(I)若/(1)=五，求a的值;

(II)當a>2時,

①求證：f(X)有唯一的極值點XI；

②記/(x)的零點為X0,是否存在“使得迎We2?說明理由.

x0

lnx+a~,l+-—lnx—a

解:(/)因為f(x)x>0,所以/(x)=-------2—

(%+1)

因為/'/(1)=竽=/所以a=L

(〃)(x)的定義域是(0,+8),

1+——Inx—CL

/⑴=，

(x+1)

第18頁(共22頁)

,1

令f(x)=0,則1+亍一加％—a=0.

ii

設g(x)=1+--Inx-a,因為y=-/y=一伍》在(0,+°°)上單調遞減，

所以g(x)在(0,+°°)上單調遞減.

因為g(/")=l+e">0,g(1)=2-。<0,所以g(x)在(0,+8)上有唯一的零點,

所以，(%)=0有(0,+8)有唯一解，不妨設為%>e(e-a,1).

f(x)與/G)的情況如下，

X(0,xi)XI(XI，+8)

fG)+0-

f3增極大值減

所以/(x)有唯一的極值點

(2)由題意，lnxo=-a,則=?一。，

a2a

若存在a,使Ege?,則X]We2-avi,所以e-<xr<e-,

XO

因為g(x)在(0,+°°)單調遞減，g(e")=l+，>0,

則需g(>F)=ea-2-1^0,即〃W2,與已知矛盾.

所以，不存在a>2,使得包We?.

工0

20.(15分)已知橢圓C：3+4=l(a>b>0)的左頂點為/(-2,0),圓。：/+/=1經(jīng)過橢圓。的

ab

上、下頂點.

(I)求橢圓C的方程和焦距；

(II)已知P,。分別是橢圓C和圓。上的動點(尸，0不在坐標軸上)，且直線尸0與X軸平行，線段在

的垂直平分線與y軸交于點圓。在點。處的切線與了軸交于點N.求線段MV長度的最小值.

解：(I)由題意知，a=2,b=1,

c=Vet2—b2=V3,

第19頁(共22頁)

(II)由直線P0與x軸平行一，可、設尸(xi,yi),0(12,yi),則~7+y7；=l，螃+y/=L

41

根據(jù)橢圓與圓的對稱性，不妨取〃>0，

,：A(-2,0),P(xi，〃),

???直線斯的斜率為六，線段/尸的中點為(甘，和,

二線段4P的垂直平分線為y—9=—若(x—吟)，

x1-44-4禿-4J13

令x=o,貝I_w=與工”=---+——-------+=b

71222yl22ylT-7

圓。在點0處的切線方程為X2x+yiy=1,

,1

令x=0,則沖=丁,

當且僅當5y1=。即歹1=磬時，等號成立,

故線段長度的最小值為巡.

21.(15分)已知數(shù)列4：ai,Q2,…，aim，其中冽是給定的正整數(shù)，且加22.

令bi=min{ci2i-i，g}，z—L…，m,X(A)=max{b\,bi，…，bm}y

a—max{a2i-1,Q2"，z—L…，m,Y(A)—min{c\,ci,…，cm}?

這里，加辦{}表示括號中各數(shù)的最大值，加加{}表示括號中各數(shù)的最小值.

(I)若數(shù)列/：2,0,2,1,-4,2,求X(Z),Y(A)的值；

(II)若數(shù)列/是首項為1,公比為q的等比數(shù)列，且XC4)=丫(4),求夕的值；

(III)若數(shù)列4是公差d=l的等差數(shù)列，數(shù)列5是數(shù)列/中所有項的一個排列，求X(B)-Y(B)的所

有可能值(用機表示).

解：(I)由題設，"=0,歷=1,b3=-4,

則X(4)=加辦{0,1,-4}=1,ci=2,C2=2,。3=2,

則Y(A)=min{2,2,2}=2,

所以X(