2024屆福建省泉州市洛江區(qū)馬甲中學高一數(shù)學第二學期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

2024屆福建省泉州市洛江區(qū)馬甲中學高一數(shù)學第二學期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知集合，，則A． B． C． D．2．已知點，點，點在圓上，則使得為直角三角形的點的個數(shù)為（）A． B． C． D．3．已知平面向量，滿足，，且，則與的夾角為（）A． B． C． D．4．設且，則下列不等式成立的是（）A． B． C． D．5．甲、乙兩名同學八次數(shù)學測試成績的莖葉圖如圖所示，則甲同學成績的眾數(shù)與乙同學成績的中位數(shù)依次為（）A．85，85 B．85，86 C．85，87 D．86，866．如圖是一名籃球運動員在最近6場比賽中所得分數(shù)的莖葉圖，則下列關于該運動員所得分數(shù)的說法錯誤的是（）A．中位數(shù)為14 B．眾數(shù)為13 C．平均數(shù)為15 D．方差為197．在復平面內(nèi)，復數(shù)對應的點位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．若集合,則集合()A． B． C． D．9．已知是銳角，那么2是()A．第一象限 B．第二象限C．小于的正角 D．第一象限或第二象限10．等差數(shù)列，，，則此數(shù)列前項和等于（）．A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．數(shù)列{}的前項和為，若，則{}的前2019項和____.12．已知，為單位向量，且，若向量滿足，則的最小值為_____.13．若、為單位向量，且，則向量、的夾角為_______.（用反三角函數(shù)值表示）14．______．15．已知數(shù)列的通項公式,則_______.16．已知在數(shù)列中，，，則數(shù)列的通項公式______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．2015年我國將加快階梯水價推行，原則是“?；?、建機制、促節(jié)約”，其中“?；尽笔侵副ＷC至少80%的居民用戶用水價格不變．為響應國家政策，制定合理的階梯用水價格，某城市采用簡單隨機抽樣的方法分別從郊區(qū)和城區(qū)抽取5戶和20戶居民的年人均用水量進行調(diào)研，抽取的數(shù)據(jù)的莖葉圖如下（單位：噸）：（1）在郊區(qū)的這5戶居民中隨機抽取2戶，求其年人均用水量都不超過30噸的概率；（2）設該城市郊區(qū)和城區(qū)的居民戶數(shù)比為，現(xiàn)將年人均用水量不超過30噸的用戶定義為第一階梯用戶，并保證這一梯次的居民用戶用水價格保持不變．試根據(jù)樣本估計總體的思想，分析此方案是否符合國家“保基本”政策．18．已知函數(shù)，.（1）求解不等式；（2）若，求的最小值.19．己知函數(shù)．（1）若，，求；（2）當為何值時，取得最大值，并求出最大值．20．如圖，在△ABC中，已知AB=4，AC=6，點E為AB的中點，點D、F在邊BC、AC上，且，，EF交AD于點P.(Ⅰ)若∠BAC=，求與所成角的余弦值；(Ⅱ)求的值.21．已知向量，向量，向量，記與的夾角為．(Ⅰ)求(Ⅱ)求向量與向量的夾角的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】分析：由題意先解出集合A,進而得到結果。詳解：由集合A得,所以故答案選C.點睛：本題主要考查交集的運算，屬于基礎題。2、D【解析】

分、、是直角三種情況討論，求出點的軌跡，將問題轉化為點的軌跡圖形與圓的公共點個數(shù)問題，即可得出正確選項.【詳解】①若為直角，則，設點，，，則，即，此時，點的軌跡是以點為圓心，以為半徑的圓，圓與圓的圓心距為，，則圓與圓的相交，兩圓的公共點個數(shù)為；②若為直角，由于直線的斜率為，則直線的斜率為，直線的方程為，即，圓的圓心到直線的距離為，則直線與圓相交，直線與圓有個公共點；③若為直角，則直線的方程為，圓的圓心到直線的距離為，直線與圓相離，直線與圓沒有公共點.綜上所述，使得為直角三角形的點的個數(shù)為.故選：D.【點睛】本題考查符合條件的直角三角形的頂點個數(shù)，解題的關鍵在于將問題轉化為直線與圓、圓與圓的公共點個數(shù)之和的問題，同時也考查了軌跡方程的求解，考查化歸與轉化思想以及分類討論思想的應用，屬于難題.3、C【解析】

根據(jù)列方程，結合向量數(shù)量積的運算以及特殊角的三角函數(shù)值，求得與的夾角.【詳解】由于，故，所以，所以，故選C.【點睛】本小題主要考查兩個向量垂直的表示，考查向量數(shù)量積運算，考查特殊角的三角函數(shù)值，考查兩個向量夾角的求法，屬于基礎題.4、A【解析】項，由得到，則，故項正確；項，當時，該不等式不成立，故項錯誤；項，當，時，，即不等式不成立，故項錯誤；項，當，時，，即不等式不成立，故項錯誤．綜上所述，故選．5、B【解析】

根據(jù)莖葉圖的數(shù)據(jù)，選擇對應的眾數(shù)和中位數(shù)即可.【詳解】由圖可知，甲同學成績的眾數(shù)是85；乙同學的中位數(shù)是.故選：B.【點睛】本題考查由莖葉圖計算數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)，屬基礎計算題.6、D【解析】從題設中所提供的莖葉圖可知六個數(shù)分別是，所以其中位數(shù)是，眾數(shù)是，平均數(shù)，方差是，應選答案D．7、D【解析】

利用復數(shù)的運算法則、幾何意義即可得出．【詳解】在復平面內(nèi)，復數(shù)==1﹣i對應的點（1，﹣1）位于第四象限．故選D．【點睛】本題考查了復數(shù)的運算法則、幾何意義，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．8、D【解析】試題分析：作數(shù)軸觀察易得.考點：集合的基本運算.9、C【解析】是銳角,∴，∴是小于的正角10、B【解析】由a1+a2+a3=-24，a18+a19+a20=78，得得a1+a20=所以S20=故選D二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、1009【解析】

根據(jù)周期性，對2019項進行分類計算，可得結果?！驹斀狻拷猓焊鶕?jù)題意，的值以為循環(huán)周期，=1009故答案為：1009.【點睛】本題考查了周期性在數(shù)列中的應用，屬于中檔題。12、.【解析】

由題意設，，，由得出，它表示圓，由，利用向量的模的幾何意義從而得到最小值.【詳解】由題意設，，，因，即，所以，它表示圓心為，半徑的圓，又，所以，而表示圓上的點與點的距離的平方，由，所以，故的最小值為.故答案為：.【點睛】本題考查了平面向量的數(shù)量積與應用問題，也考查了圓的方程與應用問題，屬于中檔題.13、.【解析】

設向量、的夾角為，利用平面向量數(shù)量積的運算律與定義計算出的值，利用反三角函數(shù)可求出的值.【詳解】設向量、的夾角為，由平面向量數(shù)量積的運算律與定義得，，，因此，向量、的夾角為，故答案為.【點睛】本題考查利用平面向量的數(shù)量積計算平面向量所成的夾角，解題的關鍵就是利用平面向量數(shù)量積的定義和運算律，考查運算求解能力，屬于中等題.14、【解析】

,,故答案為.考點：三角函數(shù)誘導公式、切割化弦思想.15、【解析】

本題考查的是數(shù)列求和，關鍵是構造新數(shù)列，求和時先考慮比較特殊的前兩項，剩余7項按照等差數(shù)列求和即可．【詳解】令，則所求式子為的前9項和．其中，，從第三項起，是一個以1為首項，4為公差的等差數(shù)列，，故答案為1．【點睛】本題考查的是數(shù)列求和，關鍵在于把所求式子轉換成為等差數(shù)列的前項和，另外，帶有絕對值的數(shù)列在求和時要注意里面的特殊項．16、【解析】

通過變形可知，累乘計算即得結論．【詳解】∵（n+1）an＝nan+1，∴，∴，，…，，累乘得：，又∵a1＝1，∴an＝n，故答案為：an＝n．【點睛】本題考查數(shù)列的通項公式的求法，利用累乘法是解決本題的關鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）符合【解析】

：（1）先列舉出從5戶郊區(qū)居民用戶中隨機抽取2戶，其年人均用水量構成的所有基本事件，再列舉其中年人均用水量都不超過30噸的基本事件，最后計算即可．（2）設該城市郊區(qū)的居民用戶數(shù)為，則其城區(qū)的居民用戶數(shù)為5a．依題意計算該城市年人均用水量不超過30噸的居民用戶的百分率．【詳解】解：（1）從5戶郊區(qū)居民用戶中隨機抽取2戶，其年人均用水量構成的所有基本事件是：（19,25），（19,28），（19,32），（19,34），（25,28），（25,32），（25,34），（28,32），（28,34），（32,34）共10個．其中年人均用水量都不超過30噸的基本事件是:（19,25），（19,28），（25,28）共3個．設“從5戶郊區(qū)居民用戶中隨機抽取2戶，其年人均用水量都不超過30噸”的事件為，則所求的概率為．（2）設該城市郊區(qū)的居民用戶數(shù)為，則其城區(qū)的居民用戶數(shù)為5a．依題意，該城市年人均用水量不超過30噸的居民用戶的百分率為：．故此方案符合國家“?；尽闭撸军c睛】本題考查了古典概型在實際生活中的應用，要緊扣題意從題目中抽象出數(shù)學計算的模型．18、（1）或（2）【解析】

（1）對x分類討論解不等式得解；（2）由題得，再利用基本不等式求函數(shù)的最小值.【詳解】解：（1）當時，，解得.當時，，解得.所以不等式解集為或.（2），當且僅當，即時取等號.【點睛】本題主要考查分式不等式的解法，考查基本不等式求函數(shù)的最值，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.19、（1）；（1），1.【解析】

（1）由題得，再求出x的值；（1）先化簡得到，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的最大值及此時x的值.【詳解】（1）令，則，因為，所以．（1），當，即時，的最大值為1．【點睛】本題主要考查解簡單的三角方程，考查三角函數(shù)的最值，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.20、(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)以AC所在直線為x軸，過B且垂直于AC的直線于AC的直線為y軸建系,得到，，，，再由向量數(shù)量積的坐標表示，即可得出結果；(Ⅱ)先由A、P、D三點共線，得到，再由平面向量的基本定理，列出方程組，即可求出結果.【詳解】(Ⅰ)以AC所在直線為x軸，過B且垂直于AC的直線于AC的直線為y軸建系如圖，則，，，，∴，∴(Ⅱ)∵A、P、D三點共線，可設同理，可設由平面向量基本定理可得，解得∴，.【點睛】本題主要考查平面向量的夾角運算，以及平面向量的應用，熟記向量的數(shù)量積運算，以及平面向量基本定理即可，屬于?？碱}型.21、(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】

（Ⅰ）由向量夾角公式可求，再由三角函數(shù)的誘導公式，化簡得原式，利用三角函數(shù)的基本關系式，即可求解.（Ⅱ）作出圖象，結合直角中，求得，進而得到，