2023-2024學(xué)年江蘇省蘇州市中考聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷含解析

2023-2024學(xué)年江蘇省蘇州市青云中學(xué)中考聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題（本大題共12個(gè)小題，每小題4分，共48分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）

1.已知圓內(nèi)接正三角形的面積為3石，則邊心距是（）

D.B

A.2B.1c.G

2

2.若A-T---------貝J“△”可能是（)

aa—1

a+1aaa—1

A.-------B.-------C.------D.-------

aa—1a+1a

3.如圖，已知AB〃CD,DE±AF,垂足為E,若NCAB=50。,則ND的度數(shù)為（)

A.30°B.40°C.50°D.60°

Y2

4.若代數(shù)式工有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是（）

x—2

A.x=0B.x=2C.x#0D.x#2

5.已知函數(shù)y=（A-3）/+2x+l的圖象與x軸有交點(diǎn).則k的取值范圍是（）

A.k<4B.k<4C.k<4且片3D.七4且k彳3

6.《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的重要著作，方程術(shù)是它的最高成就.其中記載：今有共買物，人出八，盈三；人出

七，不足四，問人數(shù)、物價(jià)各幾何？譯文:今有人合伙購物，每人出8錢，會(huì)多3錢；每人出7錢，又會(huì)差4錢，問

人數(shù)、物價(jià)各是多少？設(shè)合伙人數(shù)為x人,物價(jià)為y錢，以下列出的方程組正確的是（）

y-8x=3y—8%=3Sx-y=38x-y=3

A.1B.C.<D.<

y-7x=47x-y=4y-lx=47x-y=4

7.下列運(yùn)算正確的是（)

3

A..JB.^)=3C.a*a2=a2D.(2a3)2=4a6

8.有理數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是（）

a

_L

-3-2-10123

A.a+b>0B.ab>0C.a-b<oD.a?b>0

9.如圖，矩形ABCD內(nèi)接于。O,點(diǎn)P是A。上一點(diǎn)，連接PB、PC,若AD=2AB,貝！Jcos/BPC的值為（）

2A/5rV33A/5

A.r>.-------L?------D.

52lo-

3x+2>5

10.不等式組〈uc1的解在數(shù)軸上表示為（)

5-2x>l

A.B.C.-L

01012012

D._JL

012

11.將一副三角板和一張對邊平行的紙條按如圖擺放，兩個(gè)三角板的一直角邊重合,含30。角的直角三角板的斜邊與

紙條一邊重合，含45。角的三角板的一個(gè)頂點(diǎn)在紙條的另一邊上，則N1的度數(shù)是（)

C.30°D.45°

12.某公司有11名員工，他們所在部門及相應(yīng)每人所創(chuàng)年利潤如下表所示，已知這11個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為1.

部門人數(shù)每人所創(chuàng)年利潤（單位：萬元）

A119

B38

C7X

D43

這11名員工每人所創(chuàng)年利潤的眾數(shù)、平均數(shù)分別是（）

A.10,1B.7,8C.1,6.1D.1,6

二、填空題：（本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分.）

k+]

13.已知雙曲線y=——經(jīng)過點(diǎn)（一1,2）,那么k的值等于.

x

14.如圖，在等腰R3A5C中，ZBAC=90°,AB=AC,BC=4五,點(diǎn)。是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接5D,以AO為

直徑的圓交BD于點(diǎn)E,貝！|線段CE長度的最小值為一.

15.一組數(shù)據(jù)7,9,8,7,9,9,8的中位數(shù)是

16.在平面直角坐標(biāo)系的第一象限內(nèi)，邊長為1的正方形ABCD的邊均平行于坐標(biāo)軸，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（a,a）,如圖,

2

若曲線y=—（x>0）與此正方形的邊有交點(diǎn)，則a的取值范圍是

17.如圖，已知點(diǎn)A（4,0）,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是線段OA上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)O,A）,過P,O兩點(diǎn)的二次函數(shù)

yi和過P,A兩點(diǎn)的二次函數(shù)y2的圖象開口均向下,它們的頂點(diǎn)分別為B,C,射線OB與射線AC相交于點(diǎn)D.當(dāng)4ODA

是等邊三角形時(shí)，這兩個(gè)二次函數(shù)的最大值之和等于

18.計(jì)算5個(gè)數(shù)據(jù)的方差時(shí)，得s2=1[（5-x）2+（8-X）2+（7-X）2+（4-x）2+（6-Q4,則最的值為.

三、解答題：（本大題共9個(gè)小題，共78分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

19.（6分）學(xué)校決定從甲、乙兩名同學(xué)中選拔一人參加“誦讀經(jīng)典”大賽，在相同的測試條件下，甲、乙兩人5次測試

成績（單位：分）如下:

甲：79,86,82,85,83.

乙：88,81,85,81,80.

_,46

請回答下列問題：甲成績的中位數(shù)是,乙成績的眾數(shù)是；經(jīng)計(jì)算知%乙=83，《.請你求出甲的方

差，并從平均數(shù)和方差的角度推薦參加比賽的合適人選.

20.（6分）在矩形ABC。中，點(diǎn)￡在8C上,=垂足為月.求證.5=AB若/田C=30°,且

45=4,求40.

21.（6分）今年，我國海關(guān)總署嚴(yán)厲打擊“洋垃圾”違法行動(dòng)，堅(jiān)決把“洋垃圾”拒于國門之外.如圖，某天我國一艘海

監(jiān)船巡航到A港口正西方的5處時(shí)，發(fā)現(xiàn)在5的北偏東60。方向，相距150海里處的C點(diǎn)有一可疑船只正沿C4方向

行駛，C點(diǎn)在A港口的北偏東30。方向上，海監(jiān)船向A港口發(fā)出指令，執(zhí)法船立即從A港口沿AC方向駛出，在。處

成功攔截可疑船只，此時(shí)。點(diǎn)與8點(diǎn)的距離為750海里.

（1）求8點(diǎn)到直線CA的距離；

（2）執(zhí)法船從A到。航行了多少海里？（結(jié)果保留根號）

22.（8分）已知：在。O中，弦AB=AC,AD是。。的直徑.

23.（8分）如圖，在正方形ABC。中，點(diǎn)P是對角線AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)AC重合）,連接05過點(diǎn)P作PF_LPB,

交直線。。于點(diǎn)尸.作PE，AC交直線。C于點(diǎn)E,連接AE,5b.

(1)由題意易知，AAOC且AABC,觀察圖，請猜想另外兩組全等的三角形/____皿；A________1^A______

(2)求證：四邊形AEFB是平行四邊形；

(3)已知Afi=20，APEB的面積是否存在最小值？若存在，請求出這個(gè)最小值；若不存在，請說明理由.

24.(10分)如圖，AB是。O的直徑，BC±AB,垂足為點(diǎn)B,連接CO并延長交。O于點(diǎn)D、E,連接AD并延長

交BC于點(diǎn)F.

(1)試判斷/CBD與NCEB是否相等，并證明你的結(jié)論;

求證：吧=電

(2)

BEBC

25.(10分)已知拋物線y=G2+6x+3的開口向上頂點(diǎn)為P

(1)若P點(diǎn)坐標(biāo)為(4,-1),求拋物線的解析式；

(2)若此拋物線經(jīng)過(4,一1),當(dāng)一1SXW2時(shí)，求y的取值范圍(用含a的代數(shù)式表示)

(3)若a=L且當(dāng)OWxWl時(shí)，拋物線上的點(diǎn)到x軸距離的最大值為6,求b的值

26.(12分)已知一個(gè)矩形紙片OACB,將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(11,0),點(diǎn)B(0,6),點(diǎn)P為

BC邊上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合)，經(jīng)過點(diǎn)O、P折疊該紙片，得點(diǎn)B，和折痕OP.設(shè)BP=t.

（II）如圖②，經(jīng)過點(diǎn)P再次折疊紙片，使點(diǎn)C落在直線PB，上，得點(diǎn)O和折痕PQ,若AQ=m,試用含有t的式子

表小m；

（in）在（H）的條件下，當(dāng)點(diǎn)C，恰好落在邊OA上時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果即可）.

27.（12分）自學(xué)下面材料后，解答問題。

分母中含有未知數(shù)的不等式叫分式不等式。如：=>0;在耳<0等。那么如何求出它們的解集呢?

x+1x-1

根據(jù)我們學(xué)過的有理數(shù)除法法則可知：兩數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)。其字母表達(dá)式為：

若a>0,b>0,貝!|->0;若a<0,b<0,則->0；

bb

若a>0,b<0,則-<0;若a<0,b>0,貝！J-<0.

bb

一、4a,{a>0(a<0

反之：若7>0,則/“或?n，

b[Z?>0[b<0

(1)若:<0,貝！L_或一.

Y—2

（2）根據(jù)上述規(guī)律，求不等式>0的解集.

x+1

參考答案

一、選擇題（本大題共12個(gè)小題，每小題4分，共48分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）

1、B

【解析】

根據(jù)題意畫出圖形，連接4。并延長交于點(diǎn)則設(shè)OD=x,由三角形重心的性質(zhì)得AZ>=3x,利用銳

角三角函數(shù)表示出80的長，由垂徑定理表示出5c的長，然后根據(jù)面積法解答即可.

【詳解】

如圖,

A

連接40并延長交于點(diǎn)。，則AOL5C,

設(shè)OD=x,則AZ>=3x,

.，BD

VtanZ.BAD=-----9

AD

/.BD=tan300*AZ)=6x9

:.BC=2BD=26x,

'：-BCAD=3s/3,

2

**?—x2xx3x=3yj3>

：.x=l

所以該圓的內(nèi)接正三邊形的邊心距為1,

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查正多邊形和圓，三角形重心的性質(zhì)，垂徑定理，銳角三角函數(shù)，面積法求線段的長，解答本題的關(guān)鍵是明確

題意，求出相應(yīng)的圖形的邊心距.

2、A

【解析】

直接利用分式的乘除運(yùn)算法則計(jì)算得出答案.

【詳解】

CT-1_1

aa-1'

.1d—1<2+1

A=------x----=---o

?-1aa

故選：A.

【點(diǎn)睛】

考查了分式的乘除運(yùn)算，正確分解因式再化簡是解題關(guān)鍵.

3、B

【解析】

試題解析：且/。18=50°,

:.ZECD=50°,

EDLAE,

.?.NCED=90。，

在RtCED中,Z￡>=90°-50°=40°.

故選B.

4、D

【解析】

根據(jù)分式的分母不等于0即可解題.

【詳解】

解：???代數(shù)式一￡匚有意義，

x-2

，x-2#),即xW2,

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了分式有意義的條件，屬于簡單題，熟悉分式有意義的條件是解題關(guān)鍵.

5、B

【解析】

試題分析：若此函數(shù)與x軸有交點(diǎn)，則(4-3)d+2x+l=0,A>0,即4-4(k-3)K),解得：k*,當(dāng)k=3時(shí)，此函數(shù)為一

次函數(shù)，題目要求仍然成立，故本題選B.

考點(diǎn)：函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)的特點(diǎn).

6、C

【解析】

【分析】分析題意，根據(jù)“每人出8錢，會(huì)多3錢；每人出7錢，又會(huì)差4錢，”可分別列出方程.

【詳解】

設(shè)合伙人數(shù)為x人，物價(jià)為y錢，根據(jù)題意得

8x-y=3

<

y-7x=4

故選c

【點(diǎn)睛】本題考核知識(shí)點(diǎn)：列方程組解應(yīng)用題.解題關(guān)鍵點(diǎn)：找出相等關(guān)系，列出方程.

7,D

【解析】

試題解析：A.2與不是同類二次根式，不能合并，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B.、=故原選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C.Z?二?=二，故原選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D.=：［?,二」1’,故該選項(xiàng)正確.

故選D.

8、C

【解析】

利用數(shù)軸先判斷出b的正負(fù)情況以及它們絕對值的大小，然后再進(jìn)行比較即可.

【詳解】

解：由。、8在數(shù)軸上的位置可知：a<l,b>l,且|a|>網(wǎng)，

'.a+b<l,ab<l,a-b<l,a+b<L

故選：C.

9、A

【解析】

連接BD,根據(jù)圓周角定理可得cosNBDC=cos/BPC,又BD為直徑，貝！|NBCD=90。，設(shè)DC為x,則BC為2x,根

據(jù)勾股定理可得BD=V^x,再根據(jù)3/1?)?=需=京=(,即可得出結(jié)論.

【詳解】

連接BD,

???四邊形ABCD為矩形，

；.BD過圓心O,

VZBDC=ZBPC(圓周角定理)

cosZBDC=cosZBPC

VBD為直徑，

.\ZBCD=90°,

..DC，

*BC~2,

.?.設(shè)DC為x,

則BC為2x,

BD=7DC2+BC~=商+(2療=逐x,

DC

??cosZBDC==

BD\[5x5

cosNBDC=cosZBPC,

故答案選A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了圓周角定理與勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握圓周角定理與勾股定理的應(yīng)用.

10、C

【解析】

先解每一個(gè)不等式，再根據(jù)結(jié)果判斷數(shù)軸表示的正確方法.

【詳解】

解：由不等式①，得3x>5-2,解得x>l,

由不等式②，得-2xN15解得爛2,

.??數(shù)軸表示的正確方法為C.

故選C.

【點(diǎn)睛】

考核知識(shí)點(diǎn)：解不等式組.

11、A

【解析】

試題分析：如圖,過A點(diǎn)作AB〃a,：.Z1=Z2,；a〃b,...AB〃b,/.Z3=Z4=30°,而N2+N3=45°,：.Z2=15°,

AZ1=15°.故選A.

a

b

考點(diǎn)：平行線的性質(zhì).

12、D

【解析】

根據(jù)中位數(shù)的定義即可求出x的值，然后根據(jù)眾數(shù)的定義和平均數(shù)公式計(jì)算即可.

【詳解】

解：這U個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)是第8個(gè)數(shù)據(jù)，且中位數(shù)為1,

..尤=5,

則這11個(gè)數(shù)據(jù)為3、3、3、3、1、1、1、1、1、1、1、8、8、8,19,

所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為1萬元，平均數(shù)為;=6萬元.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

此題考查的是中位數(shù)、眾數(shù)和平均數(shù)，掌握中位數(shù)的定義、眾數(shù)的定義和平均數(shù)公式是解決此題的關(guān)鍵.

二、填空題：（本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分.）

13、-1

【解析】

k+1k-1-1

分析：根據(jù)點(diǎn)在曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程的關(guān)系，將點(diǎn)（一1,2）代入y=——，得：2=——，解得：k=-l.

x-1

14、2b-2

【解析】

連結(jié)AE,如圖1,先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到AB=AC=4,再根據(jù)圓周角定理，由AD為直徑得到NAED=90。,

接著由NAEB=90。得到點(diǎn)E在以AB為直徑的O上，于是當(dāng)點(diǎn)O、E、C共線時(shí)，CE最小，如圖2,在RSAOC中

利用勾股定理計(jì)算出OC=26,從而得到CE的最小值為2G-2.

【詳解】

連結(jié)AE,如圖1,

VZBAC=90°,AB=AC,BC=472，

；.AB=AC=4,

VAD為直徑，

，NAED=90°,

二ZAEB=90°,

.?.點(diǎn)E在以AB為直徑的O上，

???O的半徑為2,

當(dāng)點(diǎn)O、E.C共線時(shí),CE最小，如圖2

在RtZkAOC中，VOA=2,AC=4,

OC=y/AC2+GA2=2^/5，

；.CE=OC-OE=2逐-2,

即線段CE長度的最小值為245-2.

故答案為：2逐-2.

【點(diǎn)睛】

此題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，解題關(guān)鍵在于結(jié)合實(shí)際運(yùn)用圓的相關(guān)性質(zhì).

15、1

【解析】

將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到小）的順序排列，如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的

中位數(shù).如果這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，據(jù)此可得.

【詳解】

解：將數(shù)據(jù)重新排列為7、7、1、1、9、9、9,

所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為1,

故答案為1.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查中位數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握中位數(shù)的定義.

16、yj2<4Z<y/2,+1

【解析】

因?yàn)锳點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,a),則C(a-1,a-1),根據(jù)題意只要分別求出當(dāng)A點(diǎn)或C點(diǎn)在曲線上時(shí)a的值即可得到

答案.

【詳解】

解：???A點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,a),

AC(a-1,a-1),

22

當(dāng)C在雙曲線丫=—時(shí)，則a-l=——，

xa-1

解得a=&+l；

22

當(dāng)A在雙曲線丫=—時(shí)，則2=一,

xa

解得a=72，

a的取值范圍是正WaW夜+L

故答案為&WaW夜+1.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查反比例函數(shù)與幾何圖形的綜合問題，解此題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意找到關(guān)鍵點(diǎn)，然后將關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)代入

反比例函數(shù)求得確定值即可.

17、2G

【解析】

連接PB、PC,根據(jù)二次函數(shù)的對稱性可知OB=PB,PC=AC,從而判斷出APOB和△ACP是等邊三角形，再根據(jù)

等邊三角形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】

解：如圖，連接PB、PC,

由二次函數(shù)的性質(zhì)，OB=PB,PC=AC,

,/△ODA是等邊三角形，

...ZAOD=ZOAD=60°,

...APOB和小ACP是等邊三角形，

VA(4,0),

AOA=4,

點(diǎn)B、C的縱坐標(biāo)之和為：OBxsin6(T+PCxsin60o=4x2=2也,

2

即兩個(gè)二次函數(shù)的最大值之和等于2石.

故答案為2班.

本題考查了二次函數(shù)的最值問題，等邊三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，作輔助線構(gòu)造出等邊三角形并利用等邊

三角形的知識(shí)求解是解題的關(guān)鍵.

18、1

【解析】

根據(jù)平均數(shù)的定義計(jì)算即可.

【詳解】

故答案為L

【點(diǎn)睛】

本題主要考查平均數(shù)的求法，掌握平均數(shù)的公式是解題的關(guān)鍵.

三、解答題：(本大題共9個(gè)小題，共78分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

19、(1)83,81；(2)s看=6,推薦甲去參加比賽.

【解析】

(1)根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)分別求解可得；

(2)先計(jì)算出甲的平均數(shù)和方差，再根據(jù)方差的意義判別即可得.

【詳解】

(1)甲成績的中位數(shù)是83分，乙成績的眾數(shù)是81分，

故答案為：83分、81分；

-1

(2)x甲=1x(79+82+83+85+86)=83,

=|x(-4)2+32+(-l)2+22+02]=6.

》甲=x乙，*＜反，

推薦甲去參加比賽.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了方差、平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)等統(tǒng)計(jì)量，其中方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動(dòng)大小的量，方差越大，表

明這組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越大，即波動(dòng)越大，數(shù)據(jù)越不穩(wěn)定；反之，方差越小，表明這組數(shù)據(jù)分布比較集中，各數(shù)據(jù)偏

離平均數(shù)越小，即波動(dòng)越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定.

20、(1)證明見解析；(2)1

【解析】

分析：(1)利用“AAS”證△ADF/4EAB即可得；

(2)由NADF+NFDC=90。、NDAF+NADF=90。得NFDC=NDAF=30。，據(jù)此知AD=2DF,根據(jù)DF=AB可得答案.

詳解：(1)證明：在矩形ABCD中，?.?AD〃BC,

/.ZAEB=ZDAF,

又；DFJ_AE,

ZDFA=90°,

/.ZDFA=ZB,

又；AD=EA,

/.△ADF^AEAB,

.\DF=AB.

(2)?.?/ADF+NFDC=90。，NDAF+NADF=90。，

.\ZFDC=ZDAF=30°,

；.AD=2DF,

VDF=AB,

.*.AD=2AB=L

點(diǎn)睛：本題主要考查矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握矩形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì).

21、(1)5點(diǎn)到直線CA的距離是75海里；(2)執(zhí)法船從A到O航行了(75-256)海里.

【解析】

(1)過點(diǎn)3作8H_LC4交C4的延長線于點(diǎn)根據(jù)三角函數(shù)可求5H的長；

(2)根據(jù)勾股定理可求在RtAABH中，根據(jù)三角函數(shù)可求A",進(jìn)一步得到AO的長.

【詳解】

解：(1)過點(diǎn)B作BHLCA交CA的延長線于點(diǎn)H,

,/ZMBC=60°,

/.ZCBA=30°,

'：ZNAD=30°,

AZBAC=120°,

5c4=180。-ABAC-ZCBA=3Q°,

.*.B7/=BCxsinZBCA=150x-=75（海里）.

2

答：5點(diǎn)到直線C4的距離是75海里；

（2），：BD=75近海里,5H=75海里，

:.DH=1BD，-BH2=75（海里），

VZBAH=180°-N5AC=60°,

BH

在R3A5“中，tanZBAH=——=6,

AH

：.AH=25y[3,

：.AD=DH-AH=（75-256）（海里）.

答：執(zhí)法船從A到O航行了（75-25班）海里.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題.能合理構(gòu)造直角三角形，并利用方向角求得三角

形內(nèi)角的大小是解決此題的關(guān)鍵.

22、證明見解析

【解析】

根據(jù)AB=AC,得到初=雙＞于是得至!|/ADB=NADC,根據(jù)AD是。O的直徑，得到NB=NC=90。，根據(jù)三角形

的內(nèi)角和定理得到NBAD=NDAC,于是得到結(jié)論.

【詳解】

證明：

a3=今。，

.,.ZADB=ZADC,

；AD是。O的直徑，

.,.ZB=ZC=90°,

AZBAD=ZDAC,

:，BD=CD，

/.BD=CD.

【點(diǎn)睛】

本題考查了圓周角定理，熟記圓周角定理是解題的關(guān)鍵.

23、(1)PEF,PCB,ADE,BCF；(2)見解析；(3)存在，2

【解析】

(1)利用正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定方法證明全等即可；

(2)由(1)可知APEFmAPCB,則有所=3C,從而得到A5=跖，最后利用一組對邊平行且相等即可證明；

(3)由(1)可知APEF絲APCB,則依=依，從而得到APB尸是等腰直角三角形，則當(dāng)P5最短時(shí)，APBF的

面積最小，再根據(jù)AB的值求出PB的最小值即可得出答案.

【詳解】

解：(1)四邊形ABC。是正方形，

AD=DC=BC,ZACD=ZACB=45°,

PE±AC,PB±PF,

ZEPC=ZBPF=90°，

NEPF=NCPB,ZPEC=ZPCE=45°,

:.PE=PC,

在"歷和APCB中，

NPEF=NBCP

<PE=PC

ZEPF=ZCPB

APEFmAPCB(ASA)

:.EF=BC=DC

.-.DE=CF

在AAD￡和ABCF中，

AD=BC

<ND=NBCF=90°,

DE=CF

"DE烏耶CF(SAS)

故答案為PEF,PCB,ADE,BCF.

(2)證明：由(1)可知APM之APCB,

:.EF=BC,

AB=BC

:.AB=EF

AB//EF

???四邊形AEEB是平行四邊形.

(3)解：存在，理由如下：

APEF^APCB

:.PF=PB

ZBPF=9C)

：.APBF是等腰直角三角形，

二/)3最短時(shí)，AP防的面積最小，

,當(dāng)時(shí)，必最短，此時(shí)尸8=AB-cos45°=20x變=2,

2

APBF的面積最小為-x2x2=2.

2

【點(diǎn)睛】

本題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)，平行四邊形的判定，掌握全等三角形的判定方法和平行四邊形的判定方法是

解題的關(guān)鍵.

24、(1)NCBD與NCEB相等，證明見解析；(2)證明見解析；(3)tan/CDF=巫二

3

【解析】

試題分析：

(1)由AB是。O的直徑，BC切。。于點(diǎn)B,可得NADB=NABC=90。，由此可得NA+NABD=NABD+NCBD=90。,

從而可得/A=/CBD,結(jié)合NA=NCEB即可得到/CBD=NCEB；

(2)由NC=NC,ZCEB=ZCBD,可得NEBC=NBDC,從而可得△EBCsaBDC,再由相似三角形的性質(zhì)即可得

到結(jié)論；

3

(3)設(shè)AB=2x,結(jié)合BC=-AB,AB是直徑，可得BC=3x,OB=OD=x,再結(jié)合NABC=90。，

2

可得OC=，I5x,CD=(V10-1)x；由AO=DO,可得NCDF=/A=NDBF,從而可得ADCFsaBCD,由此可得：

CDDFJ10-1DFJ10-1

--==:)=----，這樣即可得至！)tanNCDF=tanNDBF=------=------------.

BCBD--3BD3

試題解析：

(1)NCBD與NCEB相等，理由如下：

；BC切。O于點(diǎn)B,

；.NCBD=/BAD,

VZBAD=ZCEB,

.\ZCEB=ZCBD,

(2)VZC=ZC,ZCEB=ZCBD,

/.ZEBC=ZBDC,

.,.△EBC^ABDC,

.BDCD

???--------;

BEBC

3

(3)設(shè)AB=2x,VBC=-AB,AB是直徑,

2

/.BC=3x,OB=OD=x,

VZABC=90°,

oc=^/iox,

/.CD=(V1O-1)x,

VAO=DO,

/.ZCDF=ZA=ZDBF,

/.△DCF^ABCD,

.CD_DF_(Vld-l)x_V10-l

??——\/-----------------f

BCBD3

DF麗-1

,:tanZDBF=-----=

BD3

.?.tanZCDF=^-1.

3

DF

點(diǎn)睛：解答本題第3問的要點(diǎn)是：(1)通過證NCDF=NA=NDBF,把求tanNCDF轉(zhuǎn)化為求tan/DBF=——；(2)

BD

通過證ADCFsaBCD,得到乙=——.

BDBC

1,

25、(1)V=-x-2x+3；(2)l-4a<y<4+5a；(3)b=2或一10.

4

【解析】

(1)將P(4,-1)代入，可求出解析式

bb

(2)將(4,-1)代入求得：b=-4a-l,再代入對稱軸直線x=—-中，可判斷x=-一>2,且開口向上，所以y

2a2a

隨x的增大而減小，再把x=-l,x=2代入即可求得.

b

(3)觀察圖象可得，當(dāng)叱xWl時(shí)，拋物線上的點(diǎn)到x軸距離的最大值為6,這些點(diǎn)可能為x=0,x=l,x=—-三種情

2

b

況，再根據(jù)對稱軸x=—-在不同位置進(jìn)行討論即可.

2

【詳解】

解：(1)由此拋物線頂點(diǎn)為P(4,-1),

所以y=a(x-4)2-l=ax2—8ax+16a—1,HP16a_1=3,解得a='，b=-8a=-2

4

1,

所以拋物線解析式為：y=-x2-2x+3；

-4

(2)由此拋物線經(jīng)過點(diǎn)C(4,-1),

所以-l=16a+4b+3,即b=-4a—L

因?yàn)閽佄锞€y=ax2-(4a+1)%+3的開口向上，則有?！?

其對稱軸為直線苫=華1，而無=華口=2+二->2

2a2a2a

所以當(dāng)一1SXW2時(shí)，y隨著x的增大而減小

當(dāng)x=-1時(shí)，y=a+(4a+l)+3=4+5a

當(dāng)x=2時(shí),y=4a-2(4a+l)+3=l-4a

所以當(dāng)一l<x<2時(shí)，1—4a<y<4+5a；

(3)當(dāng)a=l時(shí)，拋物線的解析式為y=x?+bx+3

b

.?.拋物線的對稱軸為直線X=—

2

b

由拋物線圖象可知，僅當(dāng)x=0,*=1或*=一一時(shí)，拋物線上的點(diǎn)可能離x軸最遠(yuǎn)

2

分別代入可得，當(dāng)x=0時(shí)，y=3

當(dāng)x=l時(shí)，y=b+4

當(dāng)x="-時(shí),y=-d+3

24

b_

①當(dāng)一萬VO,即b>0時(shí)，3<y<b+4,

由b+4=6解得b=2

b

②當(dāng)叱――W1時(shí)，即一2WbW0時(shí)，△=b2-12<0,拋物線與x軸無公共點(diǎn)

2

由b+4=6解得b=2(舍去)；

b

③當(dāng)—萬>1,即bV-2時(shí)，b+4<y<3,

由b+4=—6解得b=-10

綜上，b=2或一10

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，以及最值問題，關(guān)鍵是對稱軸在不同的范圍內(nèi)，拋物線上的

點(diǎn)到x軸距離的最大值的點(diǎn)不同.

26、(I)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2瓜1).

(II)m=-t2-—t+6(0<t<ll).

66

（in）點(diǎn)p的坐標(biāo)為（上正，1）或（U+/,1）.

33

【解析】

（I）根據(jù)題意得，ZOBP=90°,OB=1,在RtAOBP中，由NBOP=30。，BP=t,得OP=2t,然后利用勾股定理，即

可得方程，解此方程即可求得答案.

（II）由小OBT、AQCT分別是由4OBP、△