安徽省皖中聯(lián)盟2024屆高三年級(jí)上冊(cè)第五次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

安徽省皖中名校聯(lián)盟2024屆高三上學(xué)期第五次聯(lián)考數(shù)學(xué)試

題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.若集合屈=1|3/一8x—3V0｝,N=｛x\y=y/l-2x｝,則McN=()

111「111「1/1「C1]

A.B.C.---0D.0,-

32jL22jL3JL2_

2.在等差數(shù)列｛0”｝中，若與+。17=12,貝！|%2=()

A.4B.6C.8D.12

3.若-工+3i是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程a/+6x+l=0的一個(gè)復(fù)數(shù)根，且z=a+bi,貝|

22

—=()

14-Z

A13.「13.八31.n31?

A.------1B.—I—iC.------1D.—I—1

55555555

4.已知向量@=(-1,2),B=(X,2),且3與彼的夾角余弦值為(，則無(wú)=()

A.1或2B.1或一11C.1D.-1或一11

5.設(shè)S“是等差數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和，若K，S5=5S3-5,則%=()

d6J

A.2B.-2C.3D.-1

6.已知函數(shù)/(x)=(1)后，在區(qū)間(2,3)上單調(diào)遞減，則正實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

A.(0,1)B.陷C.問(wèn)D.

7.戰(zhàn)國(guó)時(shí)期成書《經(jīng)說(shuō)》記載：“景：日之光，反蝕人，則景在日與人之間”?這是中國(guó)

古代人民首次對(duì)平面鏡反射的研究，體現(xiàn)了傳統(tǒng)文化中的數(shù)學(xué)智慧?在平面直角坐標(biāo)系

xQy中，一條光線從點(diǎn)(2,3)射出，經(jīng)了軸反射后與圓--6》+/+勺+9=0相交所得弦

長(zhǎng)為2百，則反射光線所在直線的斜率為()

4-3355-3

A.——或——B.——C.—D.——或一-

344335

-75口［(sin6+cos，)cos26

8.已知。是三角形的一個(gè)內(nèi)角，滿足cosO-sin。---,則--------；---------—\)

5sin。

2929

A.——B.-----C.一D.——

510510

試卷第1頁(yè)，共4頁(yè)

二、多選題

9.設(shè)正實(shí)數(shù)滿足Q+b=l,則（）

A.J-a+y/b>V2B.-H—>4

ab

4

C.4〃2+〃的最小值為1D.2。+2b的最小值為2g

10.已知直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0,-1）,且一個(gè)法向量為方二（私1）,若點(diǎn)力（-3,-4）,5（6,3）至！J/的

距離相等，則實(shí)數(shù)加的可能值為（）

7711

A.——B.-C.——D.-

9933

11.若函數(shù)〃x）=$3+/（）/+1則（）

A.r（l）=lB./（X）有兩個(gè)極值點(diǎn)

C.曲線V=/（x）的切線的斜率可以為一2D.點(diǎn)（1,1）是曲線y=〃x）的對(duì)稱中心

12.如圖，已知正方體力3CD-4耳G2的棱長(zhǎng)為I,。為底面/BCD的中心，/G交平

面4助于點(diǎn)￡,點(diǎn)尸為棱CD的中點(diǎn)，則（）

4Di

BC

A.4,E,。三點(diǎn)共線

B.三棱錐4-88的外接球的表面積為37t

C.直線4c與平面48。所成的角為45。

9

D.過(guò)點(diǎn)4,B,方的平面截該正方體所得截面的面積為三

8

三、填空題

13.寫出同時(shí)滿足下列條件的函數(shù)/（無(wú)）的一個(gè)解析

式.oya）=/（-X）；?（x+-/僅）.

14.現(xiàn)有甲乙兩個(gè)形狀完全相同的正四棱臺(tái)容器如圖所示，已知Z8=3C=6,

4A=B￡=2,現(xiàn)按一定的速度勻速往甲容器里注水，當(dāng)水的高度是正四棱臺(tái)高度的

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

一半時(shí)用時(shí)7分鐘，如果按照相同的速度勻速往乙容器里注水，當(dāng)水的高度是正四棱臺(tái)

高度的一半時(shí)用時(shí)分鐘.

15.《九章算術(shù)》中將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉席.如圖，在鱉席E43c中,

P/_L平面/BC,NB_LBC,P/=/B=EJBC=2,。,E分別為棱PC,P8上一點(diǎn)，貝U

AE+DE的最小值為.

P

16.已知)=(sins,coss),不=(J§cos0x,-cos0x),?>0,且毛，巧是函數(shù)

/(x)=的兩個(gè)零點(diǎn)，I網(wǎng)-馬京=兀，若函數(shù)g(x)=y(x)+g在區(qū)間

[m,neR,m<n)上至少有100個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)n-m的最小值為.

四、解答題

17.已知正項(xiàng)等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為5“,53=15,百,$2，邑+8成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛??｝的通項(xiàng)公式；

(2)令bn=an-T,求也｝的前"項(xiàng)和北.

18.已知AJBC內(nèi)角48,C所對(duì)的邊分別為a/,c,A/3(a2-Z>2-c2)=2ocsinB.

(1)求角A的大??；

(2)若.=右，/A4c的角平分線交3c于點(diǎn)。，求線段長(zhǎng)度的最大值.

19.已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為5“，且滿足邑=49,2%=4+9,數(shù)列也｝滿足

4=4抱用=34一

試卷第3頁(yè)，共4頁(yè)

(1)證明：數(shù)列也-力是等比數(shù)列，并求｛%｝,｛4｝的通項(xiàng)公式;

⑵已知數(shù)列｛5｝滿足的=「仿-“n；為〃為偶奇數(shù)數(shù)，,求數(shù)列匕｝的前2〃項(xiàng)和心

20.已知函數(shù)/(x)=a(lnx+a)-x.

⑴討論/(尤)的單調(diào)性;

(2)證明：當(dāng)a>0時(shí)，2a2一2a.

21.已知半徑為2的圓。的圓心在x軸的正半軸上，且直線/:3x-4y+4=0與圓C相切.

(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵若。的坐標(biāo)為(-2,4),過(guò)點(diǎn)。作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為"，N,求直線的

方程；

⑶過(guò)點(diǎn)/(1,0)任作一條不與V軸垂直的直線與圓C相交于區(qū)廠兩點(diǎn)，在x非正半軸上

是否存在點(diǎn)8,使得ZABE=ZABE?若存在，求點(diǎn)3的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22.如圖所示，正方形48co所在平面與梯形4BAW所在平面垂直，MB//AN,

NA=AB=2,BM=4,CN=2G.

(1)證明：平面48cD；

(2)在線段CM(不含端點(diǎn))上是否存在一點(diǎn)￡,使得二面角E-8N-M的余弦值為半,

CF

若存在求出的前值，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

參考答案：

1.A

【分析】分別求出集合M,N,由此求出MCN.

【詳解】解一元二次不等式3/-8x-3VO,得-夫尤43,故可=-j,3,

由于二次根式要求1-2x20,則N={x|y=Jl-2x}=(-00，；］，

所以McN=-1,1.

故選：A.

2.B

【詳解】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)計(jì)算即得.

【分析】在等差數(shù)列{與}中，2%2=%+%7，而為+47=12,因此2%2=12,

所以q2=6.

故選：B

3.A

【詳解】根據(jù)一元二次方程復(fù)數(shù)根的特點(diǎn)及韋達(dá)定理即可求出。、b,再由復(fù)數(shù)的運(yùn)算和共

輾復(fù)數(shù)可得結(jié)果.

【分析】若-工+出4是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程依?+法+i=o的一個(gè)復(fù)數(shù)根,

22

則另一個(gè)復(fù)數(shù)根為-

22

1

a6Z—1

，解得

b=l

則z=l+i,所以彳=1一"

而右彳（「i）（2-i）「3iJ3

故有1+z2+i（2+i）（2-i）555,

故選：A.

4.B

【分析】利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、向量夾角公式即可得出.

2

【詳解】v5-6=(-1,2)-(x,2)=4-x,\a\=45f|^|=A/X+4,

答案第1頁(yè)，共15頁(yè)

n./）4—Y3

肝（顯然…），

故有：x2+1Ox-11=0,解得x=l或x=-ll.

故選：B.

5.A

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差數(shù)列的前"項(xiàng)和公式得出等差數(shù)列的基本量，計(jì)算

可得結(jié)果.

【詳解】記等差數(shù)列｛%｝的公差為d,

由工=5'-5可得凡=54+10d=5（3%+3d）-5,整理得2%+4-1=0；

因?yàn)樯?；,S6=3S3,即6%+15d=3（3%+3。）；

21

整理可得q=27,聯(lián)立可得%=1,d=-,

故^。9="i+8d=2；

故選：A.

6.C

【詳解】利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合指數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)的單調(diào)性即可得解.

【分析】根據(jù)題意，函數(shù)〃x）=（：）E,令"“二

由正實(shí)數(shù)。知，函數(shù)t==/單調(diào)遞減，

因?yàn)椤癤）在區(qū)間（2,3）上單調(diào)遞減，

則/（尤）=（》單調(diào)遞增且t=Vi二晟>0,

a>0

所以1>1,解得：

a3

1-3?>0

故0的取值范圍是（of.

故選：C.

7.A

【分析】直接利用直線與圓的位置關(guān)系求出結(jié)果.

答案第2頁(yè)，共15頁(yè)

【詳解】根據(jù)題意，設(shè)8與點(diǎn)（2,3）關(guān)于了軸對(duì)稱，則B的坐標(biāo)為（-2,3）,

則反射光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,且與圓尤2-6無(wú)+V+4y+9=0相交.

設(shè)反射光線所在直線的方程為了-3=MX+2）,即丘-y+2左+3=0,

圓/一6》+丁+4>+9=0的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-3>+(y+2)2=4,

則圓心為（3,-2）,半徑『=2.

因?yàn)橄议L(zhǎng)I=2百＞

所以根據(jù)勾股定理得，圓心（3,-2）到反射光線的距離［==1，

B女+5|43

故d=+=T=l，即12/+25左+12=0,解得左=一二或左=一二.

J1+/34

故選：A

8.B

【分析】由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式sin20+cos2e=l,可求tan。的值，進(jìn)而利用三

角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)，即可計(jì)算得解.

【詳解】因?yàn)閏os0-sin6=-好，兩邊平方得l-2sin0cos0=L

55

49

即2sin^cos^=—,可得（sin6+cosOp=/l+-2sinecos6=—,

4

因?yàn)?。是三角形的一個(gè)內(nèi)角，且2sin6cose=M,所以sin。＞0,cos6＞＞0,

所以sinO+cos。＞0,得sin。+cos。=---,

5

又因?yàn)?05。-5由。=一避^,sin0+cos0=,

55

聯(lián)立解得：sin6=25,cos?=^~,故有：tan8=2,

55

“k士（sine+cos6）cos2esin6+cos6cos20-sin10tan3+11-tan209

sin。sin。cos七%inetan。1+tan電10

故選：B.

9.BCD

【分析】根據(jù)題意，利用二次函數(shù)性質(zhì)和基本不等式，分別判斷各個(gè)選項(xiàng)的對(duì)錯(cuò)，即可得結(jié)

果.

答案第3頁(yè)，共15頁(yè)

【詳解】對(duì)于A中，取“b=3,此時(shí)口+口」+1〈收，所以A不正確;

44\4\422

對(duì)于B中，由L+1=(L+1)(a+6)=2+2+3z2+2j2><3=4,

ababab\ab

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以B正確；

對(duì)于C中，由4/+〃=/+4(1-b)2=5b2-Sb+4,

414

因?yàn)?<6<1,所以當(dāng)6=《，。=《時(shí)，4/+〃取得最小值)，所以C正確；

對(duì)于D中，由2"+2"22,2'.26=26亍=23",

當(dāng)且僅當(dāng)2"=2J即”=6=；時(shí)，等號(hào)成立，所以D正確.

故選：BCD.

10.AC

【分析】分直線和直線與直線/相交兩種情況求解即可.

【詳解】由直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,-1),且一個(gè)法向量為力=(%/)，可得/：s+y+l=0,

3—4)77

當(dāng)直線48/〃時(shí)，則fH，即加=-4；

6-(一3)99

當(dāng)直線N3與直線/相交時(shí)，則A,3在直線/的兩側(cè)，

I—3m-4+11|6m+3+l|71

則"，=/,J，解得或加=-：.

Vl2+m2V/M2+1293

故選：AC.

11.BD

【分析】A項(xiàng)，求導(dǎo)賦值可得；B項(xiàng)，利用導(dǎo)函數(shù)研究單調(diào)性再求極值；C項(xiàng)，研究導(dǎo)函數(shù)

值域即可；D項(xiàng)，證明〃x)+〃2-x)=2.

【詳解】選項(xiàng)A,由題意得/'(x)=x2+2/⑴x,

所以廠(1)=1+2/(1),解得/，⑴=-1,A錯(cuò)誤；

選項(xiàng)B,由/''⑴=-1,則〃力=$3-/+1

/'(x)=x?—2尤=x(x—2),由/'(x)=0得x=0,或x=2,

貝！)當(dāng)x<0或無(wú)>2時(shí)，/牛)〉0；

答案第4頁(yè)，共15頁(yè)

當(dāng)0〈尤<2時(shí)，/'(無(wú))<0,

所以/(x)在(-“⑼和(2,+8)上單調(diào)遞增，在(0,2)上單調(diào)遞減，

則當(dāng)x=0時(shí)，/⑴有極大值；當(dāng)x=2時(shí)，/⑴有極小值.

所以/(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)，B正確；

選項(xiàng)C,/f(x)=x2-2x=(x-1)--1>-1,

所以曲線y=/(x)的切線的斜率不可能為-2,c錯(cuò)誤；

選項(xiàng)D,因?yàn)?卜)+/(2_苫)=；/_/+:+：(2_;<:)3_(2-xj+：

=—x3-x2+y+—(8+6x2-12x-x3卜(4-4x+x2+32,

所以點(diǎn)(1/)是曲線了=/(力的對(duì)稱中心，D正確.

故選：BD.

12.ABD

【分析】由題意可證得4,乙。三點(diǎn)都在平面4助與平面/CG4的交線上，可判斷A；由

題意可證得3D1平面/CG4,從而助工/G，可判斷B：由題意可證得

平面NCG4,則直線4c與平面4助所成的角為NC4Q,根據(jù)余弦定理，求解可判

斷C；取。。的中點(diǎn)G,因?yàn)槭珿〃C，〃48,所以等腰梯形48尸G就是過(guò)點(diǎn)4,民萬(wàn)的平

面截該正方體所得截面，求出面積可判斷D.

【詳解】因?yàn)?。為底?BCD的中心，所以。為8。和/C的中點(diǎn)，則OeAD,Oe/C,

因?yàn)?。u平面4A0,/Cu平面ACC^,所以O(shè)e平面AXBD,Oe平面ACC1Al,

所以點(diǎn)O是平面ABD與平面ACC.A,的公共點(diǎn)；

顯然4是平面4助與平面NCG4的公共點(diǎn)；

因?yàn)榻黄矫?助于點(diǎn)瓦NGU平面NCQ4,

所以E也是平面A.BD與平面ACC.A,的公共點(diǎn)，

所以4，瓦。三點(diǎn)都在平面4瓦5與平面/CG4的交線上，即4,瓦。三點(diǎn)共線，故A正確；

答案第5頁(yè)，共15頁(yè)

三棱錐4-BCD的外接球和正方體是同一個(gè)外接球，棱長(zhǎng)為1,所以2夫=6,

所以外接球的表面積S=4無(wú)尺2=3兀，故B正確；

4D}

BC

因?yàn)镃C，平面ABCD,BDu平面ABCD,所以AD，C。,

又BD1AC,ACHqC=C,AC,JCu平面ACC,A,,

所以8。1平面/CG4,BDu平面A.BD

所以平面平面/CG4,平面平面/CG4=Ato,

所以4c在平面4助的射影為4。,

即直線4c與平面4助所成的角為/a。，

22

4c=6,oc=孝，4。=^AXB-BO=卜;=乎

402+/<2_℃2_2拒

COS/。4。=浜，故C錯(cuò)誤;

2xAlOxAIC~3

取。。的中點(diǎn)G,連廠G,G4,2尸,48,因?yàn)槭珿〃C，〃48,

所以等腰梯形ABFG就是過(guò)點(diǎn)A,,B,F的平面截該正方體所得截面，如圖:

5/7

因?yàn)锳B=5,FG=AlG=BF=^~

答案第6頁(yè)，共15頁(yè)

所以等腰梯形4BFG的高為〃=

11I/—AI39

所以等腰梯形48尸G的面積為大（48+尸6）々=不V2+PX,

2212J4o

9

即過(guò)點(diǎn)4/*的平面截該正方體所得截面的面積為q,故D正確.

O

故選：ABD.

13./(x)=cos2x(答案不唯一)

【詳解】分析題中兩個(gè)條件得到了（X）的性質(zhì)，從而得解.

【分析】因?yàn)?⑴^L力，故函數(shù)/（X）是R上的偶函數(shù)，

又因?yàn)?[x+；）=-/（x）,故/（尤+兀）=-/卜+3=/'（尤），

因此函數(shù)/（X）是周期為兀的函數(shù)，

故滿足以上條件的一個(gè)函數(shù)為/（X）=C0S2X.

故答案為：/（x）=cos2x（答案不唯一）.

14.19

【詳解】利用臺(tái)體的體積公式，結(jié)合題意求得水流速度，再求出乙容器中水的容積，由此得

解.

【分析】設(shè)正四棱臺(tái)的高為2〃，由/8=6,44=2,正四棱臺(tái)的中截面是邊長(zhǎng)為4的正方形,

1OQ

當(dāng)水的高度是四棱臺(tái)高度的一半時(shí)，甲容器內(nèi)水的容積為§〃（4+8+16）=彳〃，

284

設(shè)水流速度為v,則7V=：■〃，v=~h,

33

當(dāng)乙容器中水的高度是四棱臺(tái)高度的一半時(shí)，水的容積為!〃（36+24+16）=,3

767

-h

所以當(dāng)水的高度是四棱臺(tái)高度的一半時(shí)用時(shí)為今-=19分鐘.

-h

3

故答案為：19.

153+-\/3

,2

答案第7頁(yè)，共15頁(yè)

TTTT

【分析】根據(jù)題意，求得NAPB=J/BPC=；,作出將aPBC沿著反轉(zhuǎn)動(dòng)到尸,4卅。四點(diǎn)

46

共面的平面圖形，利用兩角和的正弦公式得sin//PC="及，進(jìn)而求解即可.

4

【詳解】因?yàn)槭?，平面/3C,BCu平面/BC,所以尸

又4B工BC,4BcPA=4,4B,P4u平面P4B,所以3C1平面尸,

PBu平面P/B,則BC_LP8.

因?yàn)镻/_L平面N2C,A8i平面48C,所以尸N_L48,

貝|］尸8=2百,尸C=4,所以NAPB=三/BPC=%,

46

如圖，將小BC沿著尸8轉(zhuǎn)動(dòng)到尸,4伐。四點(diǎn)共面，

UQ.//八八.（兀兀、.兀7171.71V6+V2

止匕時(shí)sinZ.APC=sin一+—=sin—cos-bcos-sin=-----------

U6）46464

過(guò)A作于〃，則/E+QE的最小值為

r./A仁V6+V23+6

AAHl=PnAsinXAPC=y/6x----------=---------；

42

故答案為：史匹.

【分析】先利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算與三角恒等變換化簡(jiǎn)/（X）,再由/（X）的零點(diǎn)求得。

的值，進(jìn)而得到g（x）,結(jié)合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解.

【詳解】因?yàn)槿f(wàn)=（sins,COSGX）①>0,

所以/（X）二一;=yf3sinCDXCOSCDX-COS269X-

—sin2s--cos2Gx—1=sin2a）x--\-l,

22

答案第8頁(yè)，共15頁(yè)

令/(x)=0，即sin12gx—￡j=1,

故當(dāng)巧,巧是的兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，超此為/(%)的一個(gè)周期,

即『■=兀，解得0=1,故有g(shù)(x)=sin(2x-」-7，

令g(%)=0，貝心山(21-今］=，令2x-a=t,

因?yàn)?(x)在區(qū)間［九川(加,〃￡R,加<〃)上至少有100個(gè)零點(diǎn)，

則sin，=g在區(qū)間%,t2］上至少有100個(gè)不等根，

即〉=sinf與y=g在區(qū)間［h4］上至少有100個(gè)交點(diǎn)，其中4=2加-弓，芍=,

296兀

3

遼生分、r148兀

故答案為：y-

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)的幾種等價(jià)形式：函數(shù)>=/(%)-g(%)的零點(diǎn)。函數(shù)

V=/(x)-g(x)在x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)=方程/(x)-g(x)=0的根O函數(shù)了=/(x)與

>=g(x)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

17.(l)a?=4M-3

⑵4=14+(4n-7)x2"+1

【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列的前一項(xiàng)和公式以及等比中項(xiàng)的性質(zhì)，利用基本量法即可求出%”,

從而得出通項(xiàng)公式；

(2)利用第(1)小問(wèn)求出“，再由錯(cuò)位相減法進(jìn)行數(shù)列求和即可得出結(jié)論.

答案第9頁(yè)，共15頁(yè)

【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列〈。“｝的公差為d,因?yàn)镾"叫+〃,

所以&=3al+3d=15,S]=a1,S2—26+d,S4=4q+6d,

因?yàn)閹滓?邑+8成等比數(shù)列，

所以(2%+=%(4%+6d+8),

_25

徂』/=i甫r

侍[d=4或L-10,

、a=-----

[3

因?yàn)榇藬?shù)列各項(xiàng)均為正，

所以％=l,c/=4得an=4M-3.

(2)2=(4〃-3)2",

123,M

所以Tn=1X2+5X2+9X2+---+(4?-7)2+(4?-3)2",

所以2<=1X22+5X23+9X24+-+(47L7)2"+(4"-3)2"+I,

123,,+1

兩個(gè)等式相減得，-Tn=1X2+4X2+4X2+---+4.2"-(4?-3)2,

Q2ryn+\

所以_空=2+4-3?M,

所以7；=14+(4〃-7)x2。

18.(痔

【分析】(1)將V3(a2-Z>2-c2)=2<2csin5化成-2^bccosA=2acsmB,然后結(jié)合正弦定

理求解；

(2)運(yùn)用等面積法先表示出AD=^~，然后結(jié)合余弦定理以及基本不等式求解線段AD

長(zhǎng)度的最大值.

【詳解】(1)t：4^(ci2-b2-c2^=2tzcsinS,

「?由余弦定理可得一2VJbccos/=2acsinB,即一百bcosZ=asinB,

答案第10頁(yè)，共15頁(yè)

.二由正弦定理可得一百sin5cos4=sirUsinS,

e.*BG（0,7c）,sinB0,，一百cos/=siih4,艮Ptaib4=一百，

?7T

又/￡（0,兀），

27r

（2）因?yàn)閍=6，A=^,所以由余弦定理得/=/+C2_26CCOS/,

即3=/+/+6c,所以3=人2+c?+力。之2bc+be=3bc,

即歷＜1（當(dāng)且僅當(dāng)6=。=1時(shí)，等號(hào)成立），

因?yàn)镾“3C—S"BD+S“CD，

匚U|、|17.2乃1/TA.兀1J彳八.兀

所以一xcxbxsin——=—xcxADxsin—+—xxADxsin—,

232323

解得勺，

b+c

因?yàn)閎+c22癡（當(dāng)且僅當(dāng)6=c=l時(shí)，等號(hào)成立），

所以40=竟二V當(dāng)且僅當(dāng)6=c=l時(shí)，等號(hào)成立），

b+cbe22

所以/。長(zhǎng)度的最大值為3.

n

19.（1）證明見(jiàn)解析；an=2n-lfbn=3+n

o2n+lo

（2）——+2n2+n--

88

【分析】（1）設(shè)數(shù)列｛。“｝的公差為d,根據(jù)題意求得&=7和%=5,得到1=1,得到。“=2〃-1,

再由%-（〃+1）=3（2-冷，得至U也-〃｝為等比數(shù)列，進(jìn)而得到數(shù)列低｝的通項(xiàng)公式；

13"〃為奇數(shù)

（2）由（1）得到「：，±2結(jié)合分組求和，即可求解.

【詳解】（1）解：依題意，設(shè)數(shù)列｛與｝的公差為d,

因?yàn)镾?=49,所以7（%+%）=7/49,則&=7,

2

因?yàn)?a4=4+9,即14=%+9,所以%=5,

所以d=%-%=2,6=%-24=1,所以%=1+（〃-1）x2,即。〃=2〃一1.

答案第11頁(yè)，共15頁(yè)

所以=32-%=32-(2〃一1),所以%「(”+1)=3色,一〃),

又因?yàn)?=4,所以4-1=320,故數(shù)列他,-〃｝是首項(xiàng)為3,公比為3的等比數(shù)歹!J,

所以6“一〃=色一1)31=3",所以4=3"+〃.

3”,〃為奇數(shù)

(2)解：由(1)知?！?2〃-1,b=?>"+n,可得c“=

n21,“為偶數(shù)'

所以7L=%+C2+C3+'"+C2?A+C2n

=(31+33+35+---+32"4)+[(2x2-1y@x4-l卜…+Qx2n-\j

3(l-9,')(3+4H-1)Ho2n+l

23

1-9+2=------1-2n+n----

88

20.(1)答案見(jiàn)解析

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)求導(dǎo)，根據(jù)。的符號(hào)分類討論研究函數(shù)的單調(diào)性；

(2)原不等式等價(jià)于。(lna+a)-“V2/-2°,等價(jià)于證明InaW,構(gòu)造函數(shù)

g(a)=lna-a+l,求導(dǎo)研究函數(shù)單調(diào)性，求解最大值即可證明.

【詳解】(1)因?yàn)?(x)="(lnx+tz)-x,所以/

當(dāng)aWO時(shí)，r(x)<0,所以〃x)的單調(diào)減區(qū)間是(0,+為，

當(dāng)a>0時(shí)，/'(x)=『.令(無(wú))>0得0〈尤<a,令/'⑺<0得x>a,

所以〃x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(a,y)，單調(diào)遞增區(qū)間是(0,a).

(2)由(1)可得，當(dāng)x=a時(shí)，/(x)取得極大值，也是最大值，

所以/⑺工/(a)=Q(lna+a)-a.

設(shè)g(a)=lna-a+l,則/(°)=!一1,令g<a)>0得0<a<1,令g'(a)<0得a>1,

所以g(a)的單調(diào)遞減區(qū)間是(1,+s),單調(diào)遞增區(qū)間是(0,1),

所以g(a)<g(l)=O，WIna<a-l.

答案第12頁(yè)，共15頁(yè)

因?yàn)镮na4a-1,所以In”+a42“-1,所以。(lna+。)W2/-a,

所以a(lna+a)-aV2a2-2a,所以命題得證.

21.(l)(x-2)2+y2=4

(2)x-j-l=0

(3)存在滿足條件的3,且坐標(biāo)為(-2,0)

【分析】(1)根據(jù)點(diǎn)到直線的距離，結(jié)合待定系數(shù)法即可求解圓心，

(2)根據(jù)四點(diǎn)共圓可得圓。方程，進(jìn)而可得公共弦的直線方程，或者利用向量垂直的坐標(biāo)

關(guān)系可得切線方程，進(jìn)而可得直線方程，

(3)根據(jù)斜率和為0,結(jié)合斜率公式以及韋達(dá)定理即可化簡(jiǎn)求解.

【詳解】⑴設(shè)圓心1的坐標(biāo)為心,0)(。＞0),則圓C的方程為+盧=4,

因?yàn)橹本€%-4了+4=0與圓。相切，

|3a+4|

所以點(diǎn)C(a,0)到直線/:3x-4y+4=0的距離d=/,=2,

V3+H)

因?yàn)椤＃?,所以。=2,

所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(X-2)2+/=4；

(2)法1：由條件可知四點(diǎn)共圓，且。C直徑，記為圓。，

則D(0,2)泮徑"方'=26，

所以圓。的方程為/+/-4了-4=0,

因?yàn)閳A。的方程為Y+y2-4x=0,

兩圓方程相減可得-1=0,所以直線的方程為》-尸1=0；

法2：設(shè)河仁,乂)山優(yōu),居)，設(shè)直線W上任意不同于點(diǎn)的點(diǎn)為〃(尤,田，

根據(jù)標(biāo)_L而河得切線QM的方程為同-2)(x-2)+為了=4,

因?yàn)?。在直線?！吧?，所以-4(%-2)+4%=4,

同理-4(尤4-2)+4%=4,

從而直線的方程為-4(x-2)+4y=4,即x-y-1=0；

答案第13頁(yè)，共15頁(yè)

（3）設(shè)存在點(diǎn)8。,0）0。。）滿足條件,由題可設(shè)直線ZE：x=my+l,E（玉,力）/（再,力）,

\x=my