廣東省揭陽市第三中學(xué)高三上學(xué)期第3次月考數(shù)學(xué)（理）試題

揭陽三中2016―2017學(xué)年度第一學(xué)期高三級第3次月考數(shù)學(xué)試題（理科）一、選擇題（共12小題，每小題只有一個(gè)選項(xiàng)正確，每小題5分，共60分）1．若（1+2ai）i=1﹣bi，其中a、b∈R，i是虛數(shù)單位，則|a+bi|=（）A．+i B．5 C． D．2．已知M={y∈R|y=x2}，N={x∈R|x2+y2=2}，則M∩N=（）A．{（﹣1，1），（1，1）} B．{1} C．[0，1] D．3．下列說法正確的是（）A．“f（0）=0”是“函數(shù)f（x）是奇函數(shù)”的充要條件B．若p：?x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0，則￢p：?x∈R，x2﹣x﹣1＜0C．若p∧q為假命題，則p，q均為假命題D．“若α=，則sinα=”的否命題是“若α≠，則sinα≠”4．若α∈（0，），且cos2α+cos（+2α）=，則tanα（）A． B． C． D．5．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出．那么判斷框內(nèi)應(yīng)填（）A．k≤2015 B．k≤2016 C．k≥2015 D．k≥20166．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）A． B． C． D．7．已知變量x，y滿足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．8．若的展開式中常數(shù)項(xiàng)為1，則實(shí)數(shù)a=（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)f（x）是定義在[a﹣1，2a]上的偶函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，則關(guān)于x的不等式f（x﹣1）＞f（a）的解集為（）A． B．C． D．隨a的值而變化10．三棱錐P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=1，PA=，則該三棱錐外接球的表面積為（）A．5π B． C．20π D．4π11．如圖，F(xiàn)1、F2是雙曲線=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，過F1的直線l與雙曲線的左右兩支分別交于點(diǎn)A、B．若△ABF2為等邊三角形，則雙曲線的離心率為（）A．4 B．C． D．12．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S15＞0，S16＜0，則中最大的是（）A． B． C． D．二、填空題（共4小題，每小題5分，共20分）13．等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=a?2n+a﹣2，則an=_____．14．如圖，在邊長為1的正方形OABC中任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在陰影部分中的概率為______．15．已知菱形ABCD的邊長為2，∠BAD=120°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，DC上，BC=3BE，DC=λDF，若?=1，則λ的值為______．16．已知函數(shù)f（x）（x∈R）滿足f（1）=1，且f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）＜，則不等式f（x）＜的解集為______．三、解答題（本大題共7小題，滿分70分）17.已知公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，S7=70，且a1，a2，a6成等比數(shù)列．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)bn=，數(shù)列{bn}的最小項(xiàng)是第幾項(xiàng)，并求出該項(xiàng)的值．18．已知函數(shù)．（1）設(shè)，且，求θ的值；（2）在△ABC中，AB=1，，且△ABC的面積為，求sinA+sinB的值．19．一個(gè)盒子裝有六張卡片，上面分別寫著如下六個(gè)定義域?yàn)榈暮瘮?shù)： ，，，，，．（1）現(xiàn)從盒子中任取兩張卡片，將卡片上的函數(shù)相加得一個(gè)新函數(shù)，求所得函數(shù)是奇函數(shù)的概率；（2）現(xiàn)從盒子中進(jìn)行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一張記有偶函數(shù)的卡片則停止抽取，否則繼續(xù)進(jìn)行，求抽取次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．20．如圖，矩形ABEF所在的平面與等邊△ABC所在的平面垂直，AB=2，AF=1，O為AB的中點(diǎn)．（1）求證：OE⊥FC；（2）求二面角F﹣CE﹣B的余弦值．21．設(shè)函數(shù)f（x）=x2﹣2x+alnx（1）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；（2）若函數(shù)f（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1、x2（x1＜x2），①求實(shí)數(shù)a的范圍；②證明：＞﹣﹣ln2．請考生在2223題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題計(jì)分。22．(選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程)在直角坐標(biāo)系xOy中，半圓C的參數(shù)方程為（φ為參數(shù)，0≤φ≤π），以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（Ⅰ）求C的極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）直線l的極坐標(biāo)方程是，射線OM：θ=與半圓C的交點(diǎn)為O、P，與直線l的交點(diǎn)為Q，求線段PQ的長．23．（選修4﹣5：不等式選講）已知函數(shù)f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．（Ⅰ）當(dāng)a=﹣2時(shí)，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（Ⅱ）設(shè)a＞﹣1，且當(dāng)時(shí)，f（x）≤g（x），求a的取值范圍．

揭陽三中2016―2017學(xué)年度第一學(xué)期高三級第3次月考數(shù)學(xué)（理科）試題答案一、選擇題（每小題5分，共60分．）題號(hào)123456789101112答案DDDBABBCCABC二、填空題（每小題5，共20分）13.2n﹣1.14、；15、2；16、（1，+∞）三、解答題（共70分)17.解：（I）設(shè)公差為d且d≠0，則有，即，解得或（舍去），∴an=3n﹣2．（II）由（Ⅱ）得，=，∴bn===3n+﹣1≥2﹣1=23，當(dāng)且僅當(dāng)3n=，即n=4時(shí)取等號(hào)，故數(shù)列{bn}的最小項(xiàng)是第4項(xiàng)，該項(xiàng)的值為23．18.解：（1）==．由得于是（k∈Z）因?yàn)樗裕?）因?yàn)镃∈（0，π），由（1）知．因?yàn)椤鰽BC的面積為，所以，于是．①在△ABC中，設(shè)內(nèi)角A、B的對邊分別是a，b．由余弦定理得，所以a2+b2=7．②由①②可得或于是．由正弦定理得，所以．19．解:（1），，，，這三個(gè)函數(shù)都是奇函數(shù)”這三個(gè)函數(shù)任意兩個(gè)相加得到的函數(shù)是奇函數(shù),記事件A為“任取兩張卡片，將卡片上的函數(shù)相加得到的函數(shù)是奇函數(shù)”，由題意知………4分（2）可取．，……7分；………9分故的分布列為的數(shù)學(xué)期望為…12分20.解：（1）證明：連接OC，OF，∵AC=BC，O是AB的中點(diǎn)，∴OC⊥AB．又∵平面ABEF⊥平面ABC，平面ABEF∩平面ABC=AB，OC?平面ABC，∴OC⊥平面ABEF．∵OE?平面ABEF，于是OC⊥OE．又矩形ABEF，AB=2AF=2，∴OF⊥OE．又∵OF∩OC=O，∴OE⊥平面OFC，∴OE⊥FC．（2）解：由（1）得，AB=2AF=2，取EF的中點(diǎn)D，以O(shè)為原點(diǎn)，OC，OB，OD所在的直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．∵AB=AC，∴，于是有，從而，=（0，﹣2，0），設(shè)平面FCE的法向量=（x，y，z），由，得，取，同理，可求得平面BCE的一個(gè)法向量，設(shè)，的夾角為θ，則，由于二面角F﹣CE﹣B為鈍二面角，所以所求余弦值為．21．解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為，由題意可得：橢圓C兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為F1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0）．∴．∴a=2，又c=1，b2=4﹣1=3，故橢圓的方程為．（Ⅱ）當(dāng)直線l⊥x軸，計(jì)算得到：，，不符合題意．當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為：y=k（x+1），由，消去y得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0顯然△＞0成立，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則，又即，又圓F2的半徑，所以，化簡，得17k4+k2﹣18=0，即（k2﹣1）（17k2+18）=0，解得k=±1所以，，故圓F2的方程為：（x﹣1）2+y2=2．22．解：（1）函數(shù)f（x）=x2﹣2x+2lnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2x﹣2+，f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為2，切點(diǎn)為（1，﹣1），即有f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y+1=2（x﹣1），即為2x﹣y﹣3=0；（2）①函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f′（x）=，∵函數(shù)f（x）=x2﹣2x+alnx+1有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，且x1＜x2．∴f′（x）=0有兩個(gè)不同的根x1，x2，且0＜x1＜x2，∴，解得，0＜a＜；②證明：由（1）知，x1+x2=1，x1x2=a，則a=2x2（1﹣x2），因此，f（x1）=（x1﹣1）2+alnx1﹣1=x22+2x2（1﹣x2）ln（1﹣x2）﹣1（＜x2＜1），=x2+2（1﹣x2）ln（1﹣x2）﹣（＜x2＜1），令h（t）=t+2（1﹣t）ln（1﹣t）﹣，（＜t＜1），則h′（t）=1+2[﹣ln（1﹣t）﹣1]+=﹣2ln（1﹣t），∵＜t＜1，∴1﹣t2＞0，ln（1﹣t）＜0，∴h′（t）＞0，即h（t）在（，1）上單調(diào)遞增，則h（t）＞h（）=﹣﹣ln2，即有＞﹣﹣ln2．23．解：（Ⅰ）半圓C的參數(shù)方程為（φ為參數(shù)，0≤φ≤π），化為半圓C的普通方程為（x﹣1）2+y2=1（0≤y≤1），利用互化公式可得極坐標(biāo)方程：ρ2﹣2ρcosθ=0，∴半圓C的極坐標(biāo)方程是．（Ⅱ）設(shè)（ρ1，θ1）為點(diǎn)P的極坐標(biāo)，則，解得，設(shè)（ρ2，θ2）為點(diǎn)Q的極坐標(biāo)，則，解得，由于θ1=θ2，∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=4，所以