2023-2024學(xué)年山西省陽泉一中高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年山西省陽泉一中高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.復(fù)數(shù)z=2+i1?A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知向量a=(1,2)，b=A.?4 B.1 C.2 D.3.以下說法正確的是(

)

①棱柱的側(cè)面是平行四邊形；

②長方體是平行六面體；

③長方體是直棱柱；

④底面是正多邊形的棱錐是正棱錐；

⑤直四棱柱是長方體；

⑥四棱柱、五棱錐都是六面體．A.①②④⑥ B.②③④⑤4.底面半徑為1的圓錐的側(cè)面展開扇形面積是它的底面積的兩倍，則母線長為(

)A.1 B.2 C.2 D.5.已知i是虛數(shù)單位，i?1是關(guān)于x的方程x2+pA.4 B.?4 C.2 D.6.△ABC中，已知(AB|ABA.三邊互不相等的三角形 B.等邊三角形

C.等腰直角三角形 D.頂角為鈍角的等腰三角形7.已知點(diǎn)A(?2,1)，B(?1,?1A.(?12,?12) 8.已知a，b是不共線的向量，且AB=?2a+8bA.B，C，D三點(diǎn)共線 B.A，B，C三點(diǎn)共線

C.A，C，D三點(diǎn)共線 D.A，B，D三點(diǎn)共線二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.9在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則A.若A=30°，b=4，a=3，則△ABC恰有1解

B.若tanAtan10.已知△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對應(yīng)邊分別為a，b，c，且∠C=πA.△ABC面積的最大值為3

B.bcosA+a11.“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來，是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論.奔馳定理與三角形四心(重心、內(nèi)心、外心、垂心)有著神秘的關(guān)聯(lián).它的具體內(nèi)容是：已知M是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，△BMC，△AMC，△AMB的面積分別為A.若SA：SB：SC=1：1：1，則M為△ABC的重心

B.若M為△ABC的內(nèi)心，則BC?MA+AC?MB+三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.如圖，若斜邊長為22的等腰直角△A′B′C′(B′與O′

13.已知D，E分別為△ABC的邊AB、AC上的點(diǎn)，線段BE和CD相交于點(diǎn)P，若AD=3DB，且14.若△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，tanB=cosC?sinCcos四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知圓臺(tái)的上、下底面半徑分別是1和2，高是1.求：

(1)圓臺(tái)的表面積；

(16.(本小題15分)

已知|a|=4，|b|=8，a與b的夾角為2π3．

(1)17.(本小題15分)

如圖，已知四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，點(diǎn)M，N，Q分別是PA，BD，PD的中點(diǎn)．

(1)求證：18.(本小題17分)

設(shè)△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知csinCa?sinC=bsi19.(本小題17分)

設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，定義非零向量OM=(a,b)的“相伴函數(shù)”為f(x)=asinx+bcosx(x∈R)，向量OM=(a,b)稱為函數(shù)f(x)=asinx+b答案和解析1.【答案】A

【解析】解：復(fù)數(shù)2+i1?i=(2+i)(1+i)(1?2.【答案】A

【解析】【分析】本題考查平面向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算，是基礎(chǔ)題．

直接利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算列式求解．【解答】

解：∵a=(1,2)，b=(?2,3.【答案】C

【解析】解：①棱柱的兩個(gè)底面平行且側(cè)棱兩兩相互平行，故側(cè)面是平行四邊形，故正確；

②平行六面體是各面都為平行四邊形的六面體，而長方體是各面都為矩形的平行六面體，故正確；

③直棱柱是側(cè)棱與底面垂直的棱柱，顯然長方體的側(cè)棱與底面都垂直，故為直棱柱，故正確；

④底面是正多邊形且各側(cè)面為全等的等腰三角形的棱錐是正棱錐，故錯(cuò)誤；

⑤底面為長方形的直四棱柱是長方體，故錯(cuò)誤；

⑥四棱柱、五棱錐均有六個(gè)面，都是六面體，正確．

故選：C．

根據(jù)棱柱(直棱柱、平行六面體、多面體)、棱錐(正棱錐)的結(jié)構(gòu)特征判斷各項(xiàng)的正誤．

本題主要考查了棱柱(直棱柱、平行六面體、多面體)、棱錐(正棱錐)的結(jié)構(gòu)特征，屬于基礎(chǔ)題．4.【答案】C

【解析】解：設(shè)圓錐的母線長為l，

因?yàn)閳A錐的底面圓的半徑為1，所以底面積為π，

由題意，圓錐的側(cè)面展開扇形面積是它的底面積的兩倍，

所以圓錐的側(cè)面積為2π，

所以12×2π×1×l=2π，

解得l=2，即圓錐的母線長為2．5.【答案】A

【解析】解：i?1是關(guān)于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的一個(gè)根，

根據(jù)實(shí)系數(shù)一元二次方程的虛根成對原理，可得：?i?1也是原方程的一個(gè)虛根．

∴i?16.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查三角形形狀的判斷，考查角平分線、向量的數(shù)量積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．

根據(jù)AB|AB|+AC|AC|表示的向量在∠BAC的角平分線上，同時(shí)利用(AB|AB|+AC|AC|)?BC=0，推斷出∠BAC的角平分線垂直于邊BC，進(jìn)而可推斷出三角形為等腰三角形，同時(shí)根據(jù)向量積公式及AB|AB|?BC|BC7.【答案】A

【解析】解：由點(diǎn)A(?2,1)，B(?1,?1)，C(1,2)，D(3,4)，

則AB=(1,?8.【答案】C

【解析】解：因?yàn)锳B=?2a+8b，BC=3a?3b，CD=a+5b，

所以AD=2a+10b，AC=5b+a，BD=BC+CD=4a+2b，

若B，C，D三點(diǎn)共線，則BC=λBD，即3=4λ?3=2λ，9.【答案】BD【解析】解：對A，A=30°，b=4，a=3，因?yàn)閎sinA<a<b，所以△ABC有兩解，故A錯(cuò)誤；

對B，因?yàn)閠anAtanB=1，所以cosAcosB?sinAsinB=0，即cos(A+B)=0，A+B=π2，故C=π2，故B正確；

對10.【答案】AC【解析】解：對A選項(xiàng)，∵∠C=π3，c=2，∴cosC=12=a2+b2?42ab，

∴ab+4=a2+b2≥2ab當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)，取得等號(hào)，

∴ab≤4，∴S△ABC=12absinC=34ab≤3，∴11.【答案】AB【解析】解：對于A，取BC的中點(diǎn)D，連接MD，AM，

由SA：SB：SC=1：1：1，則MA+MB+MC=0，

所以2MD=MB+MC=?MA，

所以A，M，D三點(diǎn)共線，且AM=23AD，

設(shè)E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，同理可得CM=23CE，BM=23BF，

所以M為△ABC的重心，故A正確；

對于B，由M為△ABC的內(nèi)心，則可設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，

則有SA=12BC?r，SB=12AC?r，SC=12AB?r，

所以12BC?r?MA+12AC?r?MB+12AB?r?MC=0，

即BC?MA+AC?MB+AB?MC=0，故B正確；

對于C，由M為△ABC的外心，則可設(shè)△ABC的外接圓半徑為R，

因?yàn)椤螧AC=45°，∠ABC=60°，

則有∠BMC=2∠BAC=90°，∠AMC=2∠ABC=120°，∠AMB=2∠ACB=150°，

所以SA12.【答案】4【解析】解：根據(jù)題意，直觀圖△A′B′C′為斜邊長為22的等腰直角三角形，則其直角邊邊長為2，

故直觀圖△A′B′C′的面積S′=213.【答案】4【解析】解：因?yàn)锳P=AD+DP=34AB+λλ+1DC

=34AB+λλ+1(AC?AD)

34AB+λλ+1[14.【答案】3?【解析】解：因?yàn)閠anB=cosC?sinCcosC+sinC，所以sinBcosB=cosC?sinCcosC+sinC，

所以cosCcosB?sinCsinB=sinBcosC+cosBsinC，所以cos(B+C)=sin(B15.【答案】解：(1)如圖，圓臺(tái)OO′是大圓錐PO上面截掉小圓錐PO′得到的幾何體，

則O′，O分別為圓臺(tái)上、下底面的圓心，連接PO，則O′D=1，OC=2，O′O=1．

易得△PO′D∽△PO【解析】(1)根據(jù)相似可求解長度，即可由表面積公式求解，

(216.【答案】解：(1)∵a?b=|a|?|b|cos<a【解析】(1)根據(jù)向量數(shù)量積定義和運(yùn)算律可求得|a+b|2，進(jìn)而得到|a17.【答案】證明：(1)由題意：四棱錐P?ABCD的底面ABCD為平行四邊形，

點(diǎn)M，N，Q分別是PA，BD，PD的中點(diǎn)，

∴N是AC的中點(diǎn)，

∴MN/?/PC，

又∵PC?平面PCD，MN?平面PCD，

∴MN/?/平面PCD．

(2)由(1)，知MN//【解析】(1)推導(dǎo)出四棱錐P?ABCD的底面ABCD為平行四邊形，MN//PC，由此能證明MN18.【答案】解：(1)因?yàn)閏sinCa?sinC=bsinBa?sinA，

由正弦定理可得c2a?c=b2a?a，即a2+c2?b2=ac，則【解析】(1)利用正弦定理將角化邊，再由余弦定理計(jì)算可得；

(2)由正弦定理求出C，即可得到A，再由兩角和的正弦公式求出1