北京師范大學附屬杭州中學2024屆數(shù)學高一下期末達標檢測試題含解析

北京師范大學附屬杭州中學2024屆數(shù)學高一下期末達標檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．數(shù)列滿足“對任意正整數(shù)，都有”的充要條件是（）A．是等差數(shù)列 B．與都是等差數(shù)列C．是等差數(shù)列 D．與都是等差數(shù)列且公差相等2．設(shè)，表示兩條直線，，表示兩個平面，則下列命題正確的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則3．已知a,b,,且,,則()A． B． C． D．4．若，且，則下列不等式一定成立的是（）A． B．C． D．5．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到圖象，則函數(shù)的解析式是（）A． B．C． D．6．在中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若a、b、c成等比數(shù)列，且，則()A． B． C． D．7．若，，則的值是（）A． B． C． D．8．如圖，正方體中，異面直線與所成角的正弦值等于A． B． C． D．19．在中，，，，則的面積是（）A． B． C．或 D．或10．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某個幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在正方體中，是的中點，連接、，則異面直線、所成角的正弦值為_______.12．在數(shù)列中，，，則__________．13．已知為直線上一點，過作圓的切線，則切線長最短時的切線方程為__________．14．設(shè)x、y滿足約束條件，則的取值范圍是______.15．已知為銳角，則_______.16．已知函數(shù)，有以下結(jié)論：①若，則；②在區(qū)間上是增函數(shù)；③的圖象與圖象關(guān)于軸對稱；④設(shè)函數(shù)，當時，．其中正確的結(jié)論為__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知不共線的向量，，，.（1）求與的夾角的余弦值；（2）求.18．已知函數(shù).（1）用五點法作圖，填表井作出的圖像.x0y（2）求在，的最大值和最小值；（3）若不等式在上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.19．已知a，b，c分別為ΔABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，且.（1）求角A的大小；（2）若，且ΔABC的面積為，求a的值；（3）若，求的范圍.20．己知向量，，設(shè)函數(shù)，且的圖象過點和點.（1）當時，求函數(shù)的最大值和最小值及相應(yīng)的的值；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位后，再將得到的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的4倍，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖象，若在有兩個不同的解，求實數(shù)的取值范圍.21．已知公差不為0的等差數(shù)列的前項和為，，且成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】

將變形為和，根據(jù)等差數(shù)列的定義即可得出與都是等差數(shù)列且公差相等，反過來，利用等差數(shù)列的定義得到，變形即可得出，從而得到“”的充要條件是“與都是等差數(shù)列且公差相等”.【詳解】由得：即數(shù)列與均為等差數(shù)列且公差相等，故“”是“與都是等差數(shù)列且公差相等”的充分條件反之，與都是等差數(shù)列且公差相等必有成立變形得：故“與都是等差數(shù)列且公差相等”是“”的必要條件綜上，“”的充要條件是“與都是等差數(shù)列且公差相等”故選：D.【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的判斷，考查了充分必要條件的判斷，屬于中等題.2、D【解析】

對選項進行一一判斷，選項D為面面垂直判定定理.【詳解】對A，與可能異面，故A錯；對B，可能在平面內(nèi)；對C，與平面可能平行，故C錯；對D，面面垂直判定定理，故選D.【點睛】本題考查空間中線、面位置關(guān)系，判斷一個命題為假命題，只要能舉出反例即可.3、A【解析】

利用不等式的基本性質(zhì)以及特殊值法，即可得到本題答案.【詳解】由不等式的基本性質(zhì)有，，故A正確，B不正確；當時，，但，故C、D不正確.故選：A【點睛】本題主要考查不等式的基本性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.4、B【解析】

根據(jù)不等式性質(zhì)確定選項.【詳解】當時，不成立；因為，所以；當時，不成立；當時，不成立；所以選B.【點睛】本題考查不等式性質(zhì)，考查基本分析判斷能力，屬基礎(chǔ)題.5、C【解析】

由題意利用三角函數(shù)的圖象變換原則，即可得出結(jié)論．【詳解】由題意，將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，可得.故選C．【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖像變換，熟記圖像變換原則即可，屬于常考題型.6、A【解析】

先由a、b、c成等比數(shù)列，得到，再由題中條件，結(jié)合余弦定理，即可求出結(jié)果.【詳解】解：a、b、c成等比數(shù)列，所以，?所以，由余弦定理可知，又，所以.故選A．【點睛】本題主要考查解三角形，熟記余弦定理即可，屬于常考題型.7、B【解析】，，，故選B.8、D【解析】

由線面垂直的判定定理得：，又，所以面，由線面垂直的性質(zhì)定理得：，即可求解．【詳解】解：連接，因為四邊形為正方形，所以，又，所以面，所以，所以異面直線與所成角的正弦值等于1，故選D．【點睛】本題考查了線面垂直的判定定理及性質(zhì)定理，屬中檔題．9、C【解析】

先根據(jù)正弦定理求出角，從而求出角，再根據(jù)三角形的面積公式進行求解即可．【詳解】解：由，，，根據(jù)正弦定理得：，為三角形的內(nèi)角，或，或在中，由，，或則面積或．故選C.【點睛】本題主要考查了正弦定理，三角形的面積公式以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．10、B【解析】根據(jù)三視圖可知幾何體是組合體：上面是半個圓錐（高為圓柱的一半），下面是半個圓柱，其中圓錐底面半徑是，高是，圓柱的底面半徑是，母線長是，所以該幾何體的體積，故選B.【方法點睛】本題利用空間幾何體的三視圖重點考查學生的空間想象能力和抽象思維能力，屬于難題.三視圖問題是考查學生空間想象能力最常見題型，也是高考熱點.觀察三視圖并將其“翻譯”成直觀圖是解題的關(guān)鍵，不但要注意三視圖的三要素“高平齊，長對正，寬相等”，還要特別注意實線與虛線以及相同圖形的不同位置對幾何體直觀圖的影響.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

作出圖形，設(shè)正方體的棱長為，取的中點，連接、，推導出，并證明出，可得出異面直線、所成的角為，并計算出、，可得出，進而得解.【詳解】如下圖所示，設(shè)正方體的棱長為，取的中點，連接、，為的中點，則，，且，為的中點，，，在正方體中，且，則四邊形為平行四邊形，，所以，異面直線、所成的角為，在中，，，.因此，異面直線、所成角的正弦值為.故答案為：.【點睛】本題考查異面直線所成角的正弦值的計算，考查計算能力，屬于中等題.12、16【解析】

依次代入即可求得結(jié)果.【詳解】令，則；令，則；令，則；令，則本題正確結(jié)果：【點睛】本題考查根據(jù)數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列中的項，屬于基礎(chǔ)題.13、或【解析】

利用切線長最短時，取最小值找點：即過圓心作直線的垂線，求出垂足點．就切線的斜率是否存在分類討論，結(jié)合圓心到切線的距離等于半徑得出切線的方程．【詳解】設(shè)切線長為，則，所以當切線長取最小值時，取最小值，過圓心作直線的垂線，則點為垂足點，此時，直線的方程為，聯(lián)立，得，點的坐標為.①若切線的斜率不存在，此時切線的方程為，圓心到該直線的距離為，合乎題意；②若切線的斜率存在，設(shè)切線的方程為，即.由題意可得，化簡得，解得，此時，所求切線的方程為，即.綜上所述，所求切線方程為或，故答案為或．【點睛】本題考查過點的圓的切線方程的求解，考查圓的切線長相關(guān)問題，在過點引圓的切線問題時，要對直線的斜率是否存在進行分類討論，另外就是將直線與圓相切轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離等于半徑長，考查分析問題與解決問題的能力，屬于中等題．14、【解析】

由約束條件可得可行域，將問題轉(zhuǎn)化為在軸截距取值范圍的求解；通過直線平移可確定的最值點，代入點的坐標可求得最值，進而得到取值范圍.【詳解】由約束條件可得可行域如下圖陰影部分所示：將的取值范圍轉(zhuǎn)化為在軸截距的取值范圍問題由平移可知，當過圖中兩點時，在軸截距取得最大和最小值，，的取值范圍為故答案為：【點睛】本題考查線性規(guī)劃中的取值范圍問題的求解，關(guān)鍵是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化成直線在軸截距的取值范圍的求解問題，通過數(shù)形結(jié)合的方式可求得結(jié)果.15、【解析】

利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得，再根據(jù)角度關(guān)系，利用誘導公式即可得答案.【詳解】∵且，∴；∵，∴.故答案為：.【點睛】本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導公式，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意三角函數(shù)的符號問題.16、②③④【解析】

首先化簡函數(shù)解析式，逐一分析選項，得到答案.【詳解】①當時，函數(shù)的周期為，，或，所以①不正確；②時，，所以是增函數(shù)，②正確；③函數(shù)還可以化簡為，所以與關(guān)于軸對稱，正確；④，當時，，，④正確故選②③④【點睛】本題考查了三角函數(shù)的化簡和三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題型.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

（1）先計算出，再代入公式，求出余弦值；（2）直接利用公式計算求值.【詳解】（1）設(shè)的夾角為，∵，∴，又，可得，∴.（2）.【點睛】本題考查利用數(shù)量積求向量的夾角、模的計算，考查基本運算求解能力.18、（1）見解析；（2）時，，時，；（3）.【解析】

（1）當時，求出相應(yīng)的x，然后填入表中；標出5個點，然后用一條光滑的曲線把它們連接起來；（2）先根據(jù)x的范圍求出的范圍，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)可求出函數(shù)的最大值和最小值；（3）不等式在上恒成立，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，進一步轉(zhuǎn)化為m-2，m+2與函數(shù)在上的最值關(guān)系，列不等式后求得實數(shù)m的取值范圍.【詳解】（1）x0y131-10（2），，即，所以的最大值為3，最小值為2.（3），，由（2）知，，，且，即m的取值范圍為.【點睛】本題考查正弦函數(shù)的最值和恒成立問題，把不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為含m的代數(shù)式與的最值關(guān)系的問題是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.19、（1）（2）（3）【解析】

（1）利用正弦定理化簡即得A的大小；（2）先求出bc,b+c的值，再利用余弦定理求出a的值；（3）先求出，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)求b+c的范圍.【詳解】（1）由正弦定理得，，即...（2）由可得.∴由余弦定理得：（3）由正弦定理得若，則因為所以所以.所以的范圍【點睛】本題主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角函數(shù)最值的求法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力，屬于中檔題.20、（1）最大值為2，此時；最小值為－1，此時.（2）【解析】

（1）根據(jù)向量數(shù)量積坐標公式，列出函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)圖像過定點，求解函數(shù)解析式，當時，解出的范圍，根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)，可求最值；（2）根據(jù)三角函數(shù)平移伸縮變換，寫出解析式，畫出在上的圖象，根據(jù)圖像即可求解參數(shù)取值范圍.【詳解】解：（1）由題意知.根據(jù)的圖象過點和，得到，解得，.當時，，，最大值為2，此時，最小值為－1，此時.（2）將函數(shù)的圖象向右平移一個單位得，再將得到的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的4倍，縱坐標不變，得令，，如圖當時，在有兩個不同的解∴，即.【點睛】本題考查（1）三角函數(shù)最值問題（2）三角函數(shù)的平移伸縮變換，考查計算能力，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中等題型.21、（1）（2）【解析】

試題分析：（1）由已知條件，利用等差數(shù)列的前n項和公式和通項公式及等比數(shù)列的性質(zhì)列出方程組，求出等差數(shù)列的首項和公差，由此能求出數(shù)列