專題 四邊形的性質(zhì)與判定 中考數(shù)學(xué)

1/30專題四邊形的性質(zhì)與判定目錄原創(chuàng)精品資源學(xué)科網(wǎng)獨家享有版權(quán)，侵權(quán)必究！1/14TOC\o"1-3"\n\h\z\u題型01多邊形的相關(guān)計算題型02多邊形內(nèi)角和、外角和與角平分線、平行線的綜合問題題型03多邊形內(nèi)角和與外角和綜合問題題型04平面鑲嵌題型05根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)與判定求解題型06構(gòu)建三角形中位線解決問題題型07根據(jù)特殊四邊形的性質(zhì)與判定求解題型08與特殊四邊形有關(guān)的折疊問題題型09利用特殊四邊形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問題題型10特殊四邊形與函數(shù)綜合題型11與特殊四邊形有關(guān)的規(guī)律探究問題題型12與特殊四邊形有關(guān)的新定義問題題型13梯形的相關(guān)計算題型14四邊形的常見幾何模型題型15與特殊四邊形判定有關(guān)的綜合問題（時間：60分鐘）1/143題型01多邊形的相關(guān)計算1．（2023·陜西榆林·三模）若從某個多邊形的一個頂點出發(fā)，最多可以引6條對角線，則這個多邊形的內(nèi)角和度數(shù)為．2．（2022·陜西西安·模擬預(yù)測）一個正多邊形的內(nèi)角和是1440°，則此多邊形的邊數(shù)是，對角線共有條．3．（2022·陜西西安·模擬預(yù)測）一個多邊形的內(nèi)角和為1080°，從該多邊形的一個頂點出發(fā)引對角線，可以把這個多邊形分割成個三角形．題型02多邊形內(nèi)角和、外角和與角平分線、平行線的綜合問題1．（2021·山東煙臺·二模）如圖，CG平分正五邊形ABCDE的外角∠DCF，并與∠EAB的平分線交于點O，則∠AOG的度數(shù)為（

）A．144° B．126° C．120° D．108°2．（2023·江蘇宿遷·模擬預(yù)測）如圖，一束太陽光平行照射在正n邊形A1A2A3……

3．（2020·河南·二模）如圖，在ΔABC中，∠B=25°，點D是BC邊上一點，連接AD，且AD=BD，∠CAD=90°，CF平分∠ACB，分別交AD，AB于點E，F(xiàn)，則∠AEC的度數(shù)為．

題型03多邊形內(nèi)角和與外角和綜合問題1．（2023·江西撫州·二模）如圖，七邊形ABCDEFG中，AB、ED的延長線交于點O，若∠1、∠2、∠3、∠4的外角和等于220°，則∠BOD的度數(shù)為（

）

A．20° B．35° C．40° D．45°2．（2023·山西大同·模擬預(yù)測）等邊三角形、正方形及正五邊形各一個，按下圖放在同一平面內(nèi)，則∠1+∠2+∠3=（

）

A．102° B．104° C．106° D．108°3．（2023·河北秦皇島·二模）如圖，將四邊形ABCD剪掉一個角得到五邊形．下列判斷正確的是（

）結(jié)論①：變成五邊形后外角和不發(fā)生變化；結(jié)論②：變成五邊形后內(nèi)角和增加了360°；結(jié)論③：通過圖中條件可以得到∠1+∠2=240°；

A．只有①對 B．①和③對 C．①、②、③都對 D．①、②、③都不對4．（2022·陜西西安·模擬預(yù)測）已知一個正多邊形的內(nèi)角和與外角和的和為1620°，則這個正多邊形的邊數(shù)是．題型04平面鑲嵌1．（2024·河北石家莊·一模）有三個大小一樣的正六邊形，可按下列方式進(jìn)行拼接，方式1：如圖1；方式2：如圖2．（1）若有六個邊長均為1的正六邊形，采用方式1拼接，所得圖案的外輪廓的周長是；（2）有n個長均為1的正六邊形，采用上述兩種方式的一種或兩種方式混合拼接，若圖案的外輪廓的周長為18，則n的最大值為．2．（2023·河北滄州·二模）要設(shè)計一個裝彩鉛的圓柱體紙盒，已知每支鉛筆大小相同，底面均為正六邊形，邊長記作2a．下面我們來研究紙盒底面半徑的最小值．

（1）如果要裝6支彩鉛，嘉淇畫出了如圖1，圖2所示的兩種布局方案．方案Ⅰ中紙盒底面半徑的最小值為；方案Ⅱ中紙盒底面半徑的最小值為；（2）如果要裝12色的彩鉛，請你為廠家設(shè)計一種最佳的布局，使得底面圓的半徑最小，最小值為．3．（2022·河北·二模）如圖，將幾個全等的正八邊形進(jìn)行拼接，相鄰的兩個正八邊形有一條公共邊，圍成一圈后中間形成一個正方形．設(shè)正方形的邊長為1，則該圖形外輪廓的周長為；若n個全等的正多邊形中間圍成的圖形是正三角形，且相鄰的兩個正多邊形有一條公共邊，設(shè)正三角形的邊長為1，則該圖形外輪廓的周長是．題型05根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)與判定求解1．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖，菱形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，EF⊥BD，垂足為點H，EF分別交AD、DC及BC的延長線于點E、M、F，且ED：CF=1：2，則A．14 B．15 C．252．（2023·河北承德·一模）如圖，在菱形ABCD中，AC、BD(AC>BD)相交于點O，E、F分別為OA和OC上的點（不與點A、O、C重合）．其中AE=OF．過點E作GH⊥AC，分別交AD、AB于點G、H；過點F作IJ⊥AC分別交CD、CB于點J、I；連接GJ、HI，甲、乙、丙三個同學(xué)給出了三個結(jié)論：甲：隨著AE長度的變化，GH+IJ=BD始終成立．乙：隨著AE長度的變化，四邊形GHIJ可能為正方形．丙：隨著AE長度的變化，四邊形GHIJ的面積始終不變，都是菱形ABCD面積的一半．下列選項正確的是（）

A．甲、乙、丙都對 B．甲、乙對，丙不對C．甲、丙對，乙不對 D．甲不對，乙、丙對3．（2023·江蘇泰州·二模）證明：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．已知：如圖1，D、E分別是△ABC的邊AB、AC中點，求證：DE∥BC，下面是某學(xué)習(xí)小組探究證明思路時發(fā)現(xiàn)的三種添加輔助線的方法，請選擇其中一種，完成證明．方法1：延長DE至點F，使EF=DE，連接CF；方法2：過點C作CF∥AB交DE的延長線于方法3：過E作EF∥AB交BC于F，過A作AG∥BC交FE的延長線于點G．應(yīng)用：如圖2，D、E分別是△ABC的邊AB、AC中點，請用無刻度的直尺和圓規(guī)作△ABC的角平分線BP（要求：直尺和圓規(guī)分別只使用一次，并保留作圖痕跡）．4（2023·河南周口·三模）綜合與實踐

問題提出(1)如圖①，△ABC是等腰三角形，點D，E分別在腰AC，AB上，且BE=CD，連接BD，問題探究(2)如圖②，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，若AE=EF，AC=8，則BF=______；問題解決(3)今年全國兩會上，不少來自農(nóng)村、關(guān)注“三農(nóng)”工作的代表委員期待電力在全面推進(jìn)鄉(xiāng)村振興中發(fā)揮越來越重要的作用．某地區(qū)規(guī)劃出如圖③所示的四邊形ABCD地塊，計劃開發(fā)出一個生態(tài)宜居，綠色人文的農(nóng)業(yè)觀光區(qū)，其中AD⊥CD，BC⊥CD，∠BAD=120°，AE是現(xiàn)有的地下電纜，CE=AB．為滿足農(nóng)業(yè)用電，B點和C點分別設(shè)置了風(fēng)力發(fā)電機，現(xiàn)要埋電纜線路BP與線路AC，點P是AE的中點．已知埋每米電纜的費用是a元，請問埋電纜線路AC的費用是線路BP費用的幾倍？并說明理由．題型06構(gòu)建三角形中位線解決問題1．（2023·山東青島·模擬預(yù)測）如圖，四邊形EFGH頂點是四邊形ABCD各邊中點，若把EFGH涂滿紅油漆需要10桶，那么要把其余部分涂滿黑顏色，需要桶2．（2023·安徽·二模）如圖，在△ABC中，∠ABC=90°,AB=BC=6，延長BC到點D，CD=4，點E是AD的中點，BE交AC于點F，則△AEF的面積為．

3．（2023·浙江·模擬預(yù)測）已知四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，對角線AC與BD垂直相交于點E，點F，G分別為AB，

4．（2023·福建泉州·模擬預(yù)測）在△ABC中，F(xiàn)為邊AB上一點．

(1)如圖1，若AC2=AF?AB(2)若G為CF的中點，AC=4，①如圖2，若∠FBG=∠ACF，AB=5，求BF的長；②如圖3，若∠ABC=30°，∠A=∠BGF=45°，直接寫出BF的長．題型07根據(jù)特殊四邊形的性質(zhì)與判定求解1．（2024·山西朔州·一模）如圖，在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,M為對角線BD上的一點（不與點B,D重合），連接AM，過點M作MN⊥AM交邊CD于點N，連接AN．若BM:BD=2:5，則DN的長為．2．（2023·江蘇鹽城·模擬預(yù)測）如圖，已知，等邊△ABC中，AB=6，將△ABC沿AC翻折，得到△ADC，連接BD，交AC于O點，E點在OD上，且DE=2OE，F(xiàn)是BC的中點，P是AC上的一個動點，則PF?PE的最大值為．3．（2023·湖南婁底·三模）已知四邊形ABCD是矩形，連接BD．

(1)如圖1，∠ADB的平分線交AB于E，交CB的延長線于點F．∠DBF的平分線交DF于點H，交DA的延長線于點G，連接FG．①求證：BD=BF；②求證：四邊形GFBD為菱形；(2)在（1）的條件下，如圖2，連接AC交DF于點P，交BD于點O，若DP=HP，求ABAD4．（2023·黑龍江齊齊哈爾·模擬預(yù)測）綜合與實踐旋轉(zhuǎn)是幾何圖形運動中的一種重要變換，通常與我們所學(xué)過的全等三角形等等數(shù)學(xué)知識相結(jié)合來解決問題，有時我們還能從中探索學(xué)習(xí)一些新知．小苗在研究三角形旋轉(zhuǎn)過程中，進(jìn)行如下探究：如圖，已知正方形ABCD和正方形AEFG．

觀察猜想：（1）在圖1中，點E，F(xiàn)，G分別在邊AB，AC，AD上，直接寫出GDFC=實踐發(fā)現(xiàn)：（2）將正方形AEFG繞點A順時針旋轉(zhuǎn)至圖2所示位置，連接DG，F(xiàn)C，請問（1）中的結(jié)論是否發(fā)生變化？并加以證明：聯(lián)系舊知：（3）如果正方形ABCD的邊長為5，正方形AEFG的邊長為3．將正方形AEFG繞點A順時針旋轉(zhuǎn)至圖3所示位置，連接EG交AB于點M，交AC于點N，若NG=22，直接寫出EM的長探求新知：（4）在（3）的條件下，當(dāng)正方形AEFG繞點A順時針旋轉(zhuǎn)至點E，F(xiàn)，B三點共線時，直接寫出CG的長．題型08與特殊四邊形有關(guān)的折疊問題1．（2022·安徽合肥·模擬預(yù)測）如圖1，在五邊形紙片ABCDE中，∠A=120°，將五邊形紙片沿BD折疊，點C落在點P處，在AE上取一點Q，將△ABQ和△EDQ分別沿BQ、DQ折疊，點A、E恰好落在點P處．

（1）∠C+∠E=；（2）如圖2，若四邊形BCDP是菱形，且Q、P、C三點共線時，則BQAB=2．（2022·湖北荊州·三模）如圖，正方形紙片ABCD的邊長為8，E是AB邊上的動點．折疊紙片使點D與點E重合，折痕為FG，DC的對應(yīng)邊EC'交BC于點(1)如圖1，當(dāng)點E是AB的中點時，則AF的長______．(2)如圖2，設(shè)AE的長為x，四邊形CDFG面積為S．①求DF的長度（用含x的代數(shù)式表示）；②求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最小值．(3)如圖3，過點D作EC'的垂線，垂足為M，DM交FG于點①求△BHE的周長．②當(dāng)△BHE與△MNE的周長之差為2時，請直接寫出sin∠EHB3．（2023·河南駐馬店·二模）綜合與實踐數(shù)學(xué)活動課上，數(shù)學(xué)老師以“矩形紙片的折疊”為課題開展數(shù)學(xué)活動：將矩形紙片ABCD對折，使得點A，D重合，點B，C重合，折痕為EF，展開后沿過點B的直線再次折疊紙片，點A的對應(yīng)點為點N，折痕為BM．

(1)如圖（1）若AB=BC，則當(dāng)點N落在EF上時，BF和BN的數(shù)量關(guān)系是________，∠NBF的度數(shù)為________．思考探究：(2)在AB=BC的條件下進(jìn)一步進(jìn)行探究，將△BMN沿BN所在的直線折疊，點M的對應(yīng)點為點M'．當(dāng)點M'落在CD上時，如圖（2），設(shè)BN，BM'分別交EF于點J，K．若開放拓展：(3)如圖（3），在矩形紙片ABCD中，AB=2，AD=4，將紙片沿過點B的直線折疊，折痕為BM，點A的對應(yīng)點為點N，展開后再將四邊形ABNM沿BN所在的直線折疊，點A的對應(yīng)點為點P，點M的對應(yīng)點為點M'，連接CP，DP，若PC=PD，請直接寫出AM的長．(溫馨提示：12+3題型09利用特殊四邊形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問題1．（2022·安徽滁州·二模）如圖，在平行四邊形ABCD中，E是BD的中點，點M在AD上，連接ME并延長交BC于點N，連接DN交MC于點F．則下列四個結(jié)論：①AM=CN；②若MD=AM，∠A=90°，則BM=CM；③若MD=2AM，則S△MNC=S△BNE；④若AB=MN，則△MFN與

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·三模）如圖，在正方形紙片ABCD中，點E為正方形CD邊上的一點（不與點C，點D重合），將正方形紙片折疊，使點A落在點E處，點B落在點F處，EF交BC于點H，折痕為GM，連接AE、AH，AH交GM于點K下列結(jié)論：①△AME是等腰三角形；②AE=MG；③AE平分∠DEF；④AE=AH；⑤∠EAH=45°，其中正確結(jié)論的個數(shù)是（

A．1 B．2 C．3 D．43．（2023·山東泰安·二模）如圖，正△ABC的邊長為2，沿△ABC的邊AC翻折得△ADC，連接BD交AC于點O，點M為BC上一動點，連接AM，射線AM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°交BC于點N，連接MN、OM．以下四個結(jié)論：①△AMN是等邊三角形：②MN的最小值是3；③當(dāng)MN最小時S△CMN=18S菱形ABCD

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④4．（2023·四川成都·模擬預(yù)測）如圖1，將一張菱形紙片ABCD∠ADC>90°沿對角線BD剪開，得到△ABD和△BCD，再將△BCD以D為旋轉(zhuǎn)中心，按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角α，使α=2∠ADB，得到如圖2所示的△DB'C，連接AC，BB'，∠DAB=45°，有下列結(jié)論：①AC=BB'；②題型10特殊四邊形與函數(shù)綜合1．（2022·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖，一次函數(shù)y=?2x+6的圖象交x軸于點A，交y軸于點B，點P在線段AB上(不與點A，B重合)，過點P分別作OA和OB的垂線，垂足為C，D．當(dāng)矩形OCPD的面積為4時，點P的坐標(biāo)為()

A．(2，2) B．12，5 C．(1，4)或12，5 D．(1，2．（2022·江蘇常州·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=?43x+4的圖像與x軸、y軸分別交于點A、B，以AB為邊作菱形ABCD，BC∥x3．（2022·廣東深圳·模擬預(yù)測）如圖，ABCD是一矩形紙片，E是AB上的一點，且BE:EA=5:3，EC=155，把ΔBCE沿折痕EC向上翻折，若點B恰好落在AD邊上，設(shè)這個點是F，以點A為原點，以直線AD為x軸，以直線BA為y軸，則過點F、點C的一次函數(shù)解析式為：4．（2023·山東濟(jì)南·二模）如圖，一次函數(shù)y=?x+3的圖像與反比例函數(shù)y=kxk≠0在第一象限的圖像交于A1,a和B兩點，與

(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)若點M在y軸上，且△BMC的面積為4，求點M的坐標(biāo)；(3)將線段AB在平面內(nèi)平移，當(dāng)AB一個端點的對應(yīng)點P在x軸上，另一個端點的對應(yīng)點Q是平面內(nèi)一點，是否存在以A、B、P、Q為頂點的四邊形為矩形？若存在，求出所有符合條件的P點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．5．（2023·廣西貴港·三模）拋物線y=?12x2+32x+c與x軸交于A、B兩點，且點A在點B的左側(cè)，與y軸交于點

(1)求拋物線的解析式與A、B兩點的坐標(biāo)．(2)若點E的縱坐標(biāo)為0，且以A，E，(3)過點M作直線CD的垂線，垂足為N，若將△CMN沿CM翻折，點N的對應(yīng)點為N'，則是否存在點M，使點N'則恰好落在x軸上？若存在，求出此時點6．（2023·黑龍江齊齊哈爾·模擬預(yù)測）綜合與探究如圖，已知直線y=43x+4與x軸交于點A，與y軸交于點C，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A，C兩點，且與

(1)求拋物線的解析式；(2)D是第二象限內(nèi)拋物線上的動點，設(shè)點D的橫坐標(biāo)為m，求四邊形ABCD面積S的最大值及此時D點的坐標(biāo)；(3)若線段OC上有一點Q，則AQ+1717CQ(4)若點P在拋物線對稱軸上，是否存在點P，Q，使以點A，C，P，Q為頂點的四邊形為菱形？若存在，請寫出P點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．題型11與特殊四邊形有關(guān)的規(guī)律探究問題1．（2023·山東濟(jì)南·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，正方形A1B1C1O、A2B2C2C1、A3B3C3C2……；按如圖的方式放置，點A1、A2、A3……An在直線y=?x?1，點C1、C2、C3……CnA．3×2n?1?1,?3×C．3×2n?2?1,?3×2．（2023·黑龍江雞西·三模）如圖，△ABC中，∠B=90°，BC=3，BC邊上的高AB=1，點P1、Q1、H1分別在邊AB、AC、BC上，且四邊形P1Q1H1B為矩形，P1Q1:P1B=2:3，點P2、Q

3．（2022·廣東廣州·二模）如圖，將4個邊長都為2的正方形按如圖所示擺放，A1、A2、A3、A4分別是正方形的中心，若按此規(guī)律擺放n個這樣的正方形，則這

4．（2022·河北唐山·二模）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，邊長為1的正方形OAP1B的頂點A、B分別在x軸、y軸上，點P1在反比例函數(shù)y=kxx>0的圖象上，過P1A的中點B1作矩形B1（1）點P2的坐標(biāo)為（2）作出矩形B18A17A18題型12與特殊四邊形有關(guān)的新定義問題1．（2022·湖南長沙·一模）定義：一組鄰邊相等且對角互補的四邊形叫作完美四邊形．如圖1，四邊形ABCD中，AB=BC，∠B+∠D=180°（或∠A+∠C=180°），則四邊形ABCD叫作完美四邊形．

(1)概念理解：在以下四種圖形中：①平行四邊形：②菱形；③矩形；④正方形，一定是“完美四邊形”的是______；（填寫序號）(2)性質(zhì)探究：如圖2，完美四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，請用等式表示線段AC，BC，CD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明，(3)拓展應(yīng)用：如圖3，已知四邊形ABCD是完美四邊形，∠ADC=60°，AB+BC=6，AB≠BC，BC≠CD，當(dāng)1≤BC≤3時，求四邊形ABCD面積的最大值．2．（2023·江蘇無錫·二模）定義：如圖1，點C把線段AB分成兩部分，如果ACCB=2，那么點C

(1)應(yīng)用：如圖2，矩形ABCD中，AB=1，BC=2，E為CD上一點，將矩形ABCD沿BE折疊，使得點C落在AD邊上的點F處，延長BF交CD的延長線于點G，說明點E為線段GC(2)已知線段AB（如圖3），作線段AB的一個“白銀分割點”，（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）3．（2023·廣東廣州·一模）定義新概念：有一組鄰邊相等，且它們的夾角是直角的凸四邊形叫做等腰直角四邊形．(1)如圖①，等腰直角四邊形ABCD，AB=BC=4，∠ABC=90°．①若CD=3，AC⊥CD于點C，求AD的長；②若AD=DC，∠ADC=45°，求(2)如圖②，在矩形ABCD中AB=6，BC=15，點P是對角線BD上的一點，且BP=2PD，過點P作直線分別交邊AD，BC于點E，F(xiàn)，要使四邊形ABFE是等腰直角四邊形，求AE的長．4．（2023·廣西崇左·二模）箏形的定義：兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做箏形．(1)根據(jù)箏形的定義，寫出一種學(xué)過的滿足箏形的定義的四邊形：______；(2)如圖1，在正方形ABCD中，E是對角線BD延長線上一點，連接AE，CE．求證：四邊形(3)小明學(xué)習(xí)箏形后對箏形非常感興趣，購買了一只風(fēng)箏，通過測量它的主體（如圖2）得AB=AD，BC=DC，發(fā)現(xiàn)它是一個箏形，還得到AB=18cm，BC=40cm，∠ABC=120°，求箏形題型13梯形的相關(guān)計算1．（2023·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）如圖，四邊形ABDC中，∠ABC=∠BCD=90°，∠ACD=2∠D，AC+1=BC+CD，AB=3，則線段BD的長．2．（2023·上海虹口·二模）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，點E為BC延長線上一點，∠ADB=∠CDE，點F在BD上，聯(lián)結(jié)

(1)求證：AD?DE=AC?DC；(2)如果AD?CE=DF?DB，求證：四邊形DFCE為梯形．3．（2023·上海浦東新·一模）某地一段長為50米的混凝土堤壩，堤壩的橫斷面ABCD是等腰梯形（如圖所示），壩頂AD寬為8米，壩高為4米，斜坡AB的坡度為1:1.5．(1)求橫斷面ABCD的面積；(2)為了提高堤壩的防洪能力，現(xiàn)需將原堤壩按原堤壩要求和坡度加高1米，求加高堤壩需要多少立方米的混凝土？（堤壩的體積=橫斷面的面積×堤壩的長度）4．（2022·遼寧鐵嶺·三模）如圖1是一個直四棱柱，如圖2是它的三視圖，其俯視圖是等腰梯形．(1)根據(jù)圖2中給出的數(shù)據(jù)，可得俯視圖（等腰梯形）的高為______，腰長為______；(2)主視圖和左視圖中a＝______，b＝______，c＝______，d＝______；(3)請你根據(jù)圖1和問題（1）中的結(jié)果，計算這個直四棱柱的側(cè)面積．（結(jié)果可保留根號）題型14四邊形的常見幾何模型1．（2022·江蘇無錫·一模）如圖，在正方形ABCD中，點O是對角線BD的中點，點P在線段OD上，連接AP并延長交CD于點E，過點P作PF⊥AP交BC于點F，連接AF、EF，AF交BD于G，現(xiàn)有以下結(jié)論：①AP=PF；②DE+BF=EF；③PB?PD=2BF；④S△AEF為定值；⑤SA．①②③ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤2．（2022·安徽安慶·二模）我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形（如圖1）．下面就讓小聰同學(xué)帶領(lǐng)你們來探索垂美四邊形的奧秘吧！請看下面題目：（1）如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請說明理由．（2）試探索垂美四邊形ABCD兩組對邊AB，CD與BC，AD之間的數(shù)量關(guān)系．猜想結(jié)論：（要求用文字語言敘述）寫出證明過程（先畫出圖形，寫出已知、求證、證明）．（3）如圖3，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG，GE，已知AC=2cm，AB=3cm，則GE長為．(直接寫出結(jié)果，不需要寫出求解過程)3．（2023·陜西寶雞·一模）問題提出如圖1，在△ABC中，AB=12,AC=9,DE∥BC．若AD=4，則AE的值為__________．問題探究如圖2，在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，E、F、G、H分別為AB、BC、CD、AD的中點，連接EF、FG、GH、HE．若AC=14,BD=16,∠AOB=60°，求四邊形EFGH的面積．問題解決如圖3，某市有一塊五邊形空地ABCDE，其中∠BAE=∠ABC=∠BCD=90°,AB=600米，BC=800米，AE=650米，DC=400米，現(xiàn)計劃在五邊形空地內(nèi)部修建一個四邊形花園MNGH，使點M、N、G、H分別在邊AB、BC、CD、AE上，要求AH=CN,AM=CG,tan∠BNM=34,4．（2023·江蘇蘇州·三模）如圖1，在矩形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是邊DC，BC上的點，連接AE，DF，且AE⊥DF于點G，若

(1)請你幫助同學(xué)們解決上述問題，并說明理由．(2)如圖2，在△ABC中，∠BAC=90°，ABAC=34，點D為AC的中點，連接BD，過點A作AE⊥BD于點E，交BC

(3)如圖3，在四邊形ABCD中，∠BAD=90°，ABAD=34，AB=BC，AD=CD，點E，F(xiàn)分別在邊AB，

5．（2019·河南南陽·二模）問題背景如圖（1），在四邊形ABCD中，∠B+∠D＝180°，AB＝AD，∠BAD＝α，以點A為頂點作一個角，角的兩邊分別交BC，CD于點E，F(xiàn)，且∠EAF=1（1）特殊情景在上述條件下，小明增加條件“當(dāng)∠BAD＝∠B＝∠D＝90°時”如圖（2），小明很快寫出了：BE，DF，EF之間的數(shù)量關(guān)系為______．（2）類比猜想類比特殊情景，小明猜想：在如圖（1）的條件下線段BE，DF，EF之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請你幫助小明完成證明；若不成立，請說明理由．（3）解決問題如圖（3），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，點D，E均在邊BC上，且∠DAE＝45°，若BD=26．（2020·天津北辰·二模）平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是正方形，點A，C在坐標(biāo)系上，點B（6，6），P是射線OB上一點，將△AOP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，得△ABQ，Q是點P旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點．(1)如圖1，當(dāng)OP=22時，求點Q(2)如圖2，設(shè)點P（x，y）（0＜x＜6），△APQ的面積為S，求S與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出當(dāng)S取最小值時，點P的坐標(biāo)；(3)當(dāng)BP+BQ=82時，直接寫出點Q題型15與特殊四邊形判定有關(guān)的綜合問題1．（2023·江西南昌·二模）數(shù)學(xué)小組將兩塊全等的含30°角的三角尺按較長的直角邊重合的方式擺放，并通過平移對特殊四邊形進(jìn)行探究．如圖1，其中∠ADB=∠CBD=30°，∠ABD=∠BDC=90°，AB=CD=3，將Rt△BCD沿射線DB方向平移，得到Rt△B'C'D

A．先是平行四邊形，平移3個單位長度后是菱形B．先是平行四邊形，平移3個單位長度后是矩形，再平移23個單位長度后是菱形C．先是平行四邊形，平移3個單位長度后是矩形，再平移33個單位長度后是正方形D．在Rt△BCD2．（2023·浙江紹興·三模）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B=30°，∠C=60°，AB=6，AD=4，E、F是BC上的兩動點，且EF=4，點E從點B出發(fā)，當(dāng)點

A．平行四邊形→菱形→矩形→平行四邊形 B．平行四邊形→菱形→正方形→平行四邊形C．平行四邊形→菱形→正方形→菱形 D．平行四邊形→矩形→菱形→平行四邊形3．（2023·浙江紹興·三模）如圖，已知直線l1：y=43x+2與x軸，y軸分別相交于點A，M，與直線y=4相交于點C，直線l2：y=kx+2與直線y=4相交于點B，與x軸相交于點D．已知E0.5,0，F(xiàn)3,0，當(dāng)點D從點E運動到點A．平行四邊形→矩形→平行四邊形→正方形→平行四邊形B．平行四邊形→矩形→平行四邊形→菱形→平行四邊形C．平行四邊形→菱形→平行四邊形→矩形→平行四邊形D．平行四邊形→正方形→平行四邊形→矩形→平行四邊形4．（2023·福建莆田·二模）如圖，在△ABD中，AD<AB，點D在直線AB上方，將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACE，點B，D的對應(yīng)點分別是C，E，將線段BD繞著點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BF，點D的對應(yīng)點是F，連接BE，CF．當(dāng)∠DAB的度數(shù)從0°逐漸增大到180°的過程中．四邊形BFCE的形狀依次是：平行四邊形→____________→平行四邊形．畫線處應(yīng)填入（

）

A．菱形→矩形→正方形 B．矩形→菱形→正方形C．菱形→平行四邊形→矩形 D．矩形→平行四邊形→菱形5．（2023·河北石家莊·一模）如圖是用尺規(guī)過點P作直線l垂線的兩種方法，其中a，b，m，n分別表示畫相應(yīng)弧時所取的半徑，對圖中虛線段組成的四邊形，下列說法正確的是（）A．若a=b，方法Ⅰ中的四邊形為正方形 B．若a⊥b，方法Ⅰ中的四邊形為矩形C．若m=n，方法Ⅱ中的四邊形為菱形 D．若m⊥n，方法Ⅱ中的四邊形為正方形6．（2022·江蘇南京·二模）如圖，點E，F(xiàn)，G，H分別在矩形ABCD（AB＞AD）的四條邊上，連接EF，F(xiàn)G，GH，HE，得到四邊形EFGH．下列關(guān)于四邊形EFGH的說法：①存在無數(shù)個四邊形EFGH是平行四邊形；②存在無數(shù)個四邊形EFGH是菱形；③存在無數(shù)個四邊形EFGH是矩形；④存在無數(shù)個四邊形EFGH是正方形，正確的是（

）A．① B．①② C．①②③ D．①②③④（時間：60分鐘）一、單選題1．（2023·河北秦皇島·三模）題目：“如圖，用10個全等的正五邊形依次排列可以圍成環(huán)狀．若改為正n邊形若干個也能圍成環(huán)狀，除了n=5外，請求出其他所有n的可能的值．”對于其答案，甲答：n=6，乙答：n=8，則正確的是（

）

A．只有甲答的對 B．只有乙答的對C．甲、乙答案合在一起才完整 D．甲、乙答案合在一起也不完整2．（2023·河南信陽·三模）如圖，在數(shù)學(xué)實踐課上，某數(shù)學(xué)興趣小組將兩張矩形紙片重疊放置，重疊部分（陰影部分）為四邊形ABCD．下列說法正確的是（

）

A．四邊形ABCD一定為矩形 B．四邊形ABCD一定為菱形C．四邊形ABCD一定為正方形 D．四邊形ABCD一定為平行四邊形3．（2022·河南濮陽·一模）課外活動課上，小明用矩形ABCD玩折紙游戲，如圖，第一步，把矩形ABCD沿EF對折，折出折痕EF，并展開；第二步，將紙片折疊，使點A落在EF上A'點，若AB=2，則折痕BG的長等于（

A．233 B．433 C．4．（2023·云南昆明·二模）如果矩形ABCD滿足ABBC=5?12，那么矩形ABCD叫做“黃金矩形”，如圖，已知矩形ABCD是黃金矩形，對角線AC，BD相交于OA．AC=BD B．SC．AC=8?25 D．矩形ABCD的周長5．（2022·浙江舟山·三模）如圖，△ABC、△DBE和△FGC均為正三角形，以點D，E，F(xiàn)，G在△ABC的各邊上，DE和FG相交于點H，若S四邊形ADHF=S△HGEA．a(chǎn)+c=2b B．b2+c2=a6．（2023·浙江溫州·二模）三國時代的數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)作了一幅“青朱出入圖”（如圖1），利用割補的方法可以得到兩個小正方形的面積之和等于大正方形的面積，這樣就證明了勾股定理，圖2也是一幅青朱出入圖，設(shè)△ABM，△EFH，△CMQ的面積分別為S1，S2，S3，已知S1+S2

A．114 B．117 C．120 D．126二、填空題7．（2022·浙江杭州·一模）如圖為《北京2022年冬殘奧會會徽》紀(jì)念郵票，其規(guī)格為邊長14.92毫米的正八邊形，則正八邊形的內(nèi)角和為．8．（2023·福建寧德·模擬預(yù)測）已知拋物線y=?x2+2bx+nb>0的頂點為A，交y軸于點B；拋物線y=x2+2bx+m的頂點為C，交y軸于點D．若m?n=6，且以A，B，9．（2022·廣東江門·一模）在學(xué)習(xí)完勾股定理后，小芳被“弦圖”深深地吸引了，她也設(shè)計了一個類似“弦圖”的圖案（如圖），主體是一個菱形，把菱形分割成四個兩兩全等的直角三角形和一個矩形，這四個直角三角形中有兩個是等腰直角三角形，另兩個三角形的兩直角邊分別是6cm和8cm，那么中間的矩形的面積是10．（2022·遼寧錦州·二模）如圖，∠MON=45°，OP平分∠MON，OA1=1+2，過點A1作A1B1⊥ON交OP于點B1，在ON上截取A1A2，使A1A2=A1B1，過點A2作A2B2⊥ON交OP于點B2，過點B1作B1C1⊥A2B2垂足為C1，得正方形A1B1C1A2；在ON上繼續(xù)截取A2A311．（2023·福建莆田·三模）直線y=k1xk1>0與雙曲線y=k2x交于點A和點C，點B在x軸的正半軸上，作點B關(guān)于AC的對稱點D，現(xiàn)有結(jié)論：①BD一定垂直平分AC；②S△ABC=12．（2023·廣東廣州·一模）如圖，邊長為1的正方形ABCD中，點E為AD邊上動點（不與A、D重合），連接BE，將△ABE沿BE折疊得到△EBH，延長EH交CD于點F，連接BF，交AC于點N，連接CH．則下列結(jié)論：①∠EBF=45°；②△DEF的周長是定值2；③當(dāng)點E是AD中點時，CN=23；④點D到EF距離的最大值為2?1三、解答題13．（2022·北京朝陽·二模）在正方形ABCD中，E為BC上一點，點M在AB上，點N在DC上，且MN⊥DE，垂足為點F．(1)如圖1，當(dāng)點N與點C重合時，求證：MN=DE；(2)將圖1中的MN向上平移，使得F為DE的中點，此時MN與AC相交于點H，①依題意補全圖2；②用等式表示線段MH、HF，F(xiàn)N之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．14．（2023·陜西西安·二模）現(xiàn)有一塊矩形板材ABCD，AB=4，AD=6，點E為邊BC上一點，連接AE，過點E在矩形板材上作EF⊥AE，且EF=AE．(1)如圖1，若點F恰好落在邊CD上，則線段CF的長為_____；(2)如圖2，連接CF，求線段CF長度的最小值；(3)如圖3，連接DF，工人師傅能否在這塊矩形板材上裁出面積最小的四邊形AEFD？若能，請求出四邊形AEFD面積的最小值；若不能，請說明理由．15．（2023·山東青島·一模）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+3(a≠0)經(jīng)過A

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，動點D從點O開始沿OB向終點B以每秒1個單位長度的速度運動，動點E從點O開始沿OC向終點C以每秒2個單位長度的速度運動，過點E作GE⊥OC，交CB于點F，交拋物線y=ax2+bx+3于點G，連接BG，DF，點D，E從點O同時出發(fā)，當(dāng)其中一點到達(dá)端點時，另一點也隨之停止運動．設(shè)運動時間為t秒t≥0(3)將（2）中的正方形BDFG沿y軸翻折180°，得到正方形BDF'G'，然后將正方形BDFG'沿直線BC方向向下平移，設(shè)在平移過程中正方形BDF'G'與專題四邊形的性質(zhì)與判定解析目錄原創(chuàng)精品資源學(xué)科網(wǎng)獨家享有版權(quán)，侵權(quán)必究！1/14TOC\o"1-3"\n\h\z\u題型01多邊形的相關(guān)計算題型02多邊形內(nèi)角和、外角和與角平分線、平行線的綜合問題題型03多邊形內(nèi)角和與外角和綜合問題題型04平面鑲嵌題型05根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)與判定求解題型06構(gòu)建三角形中位線解決問題題型07根據(jù)特殊四邊形的性質(zhì)與判定求解題型08與特殊四邊形有關(guān)的折疊問題題型09利用特殊四邊形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問題題型10特殊四邊形與函數(shù)綜合題型11與特殊四邊形有關(guān)的規(guī)律探究問題題型12與特殊四邊形有關(guān)的新定義問題題型13梯形的相關(guān)計算題型14四邊形的常見幾何模型題型15與特殊四邊形判定有關(guān)的綜合問題（時間：60分鐘）2/30題型01多邊形的相關(guān)計算1．（2023·陜西榆林·三模）若從某個多邊形的一個頂點出發(fā)，最多可以引6條對角線，則這個多邊形的內(nèi)角和度數(shù)為．【答案】1260°/1260度【分析】根據(jù)從多邊形的一個頂點可以作對角線的條數(shù)公式n?3求出邊數(shù)，然后根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式n?2?180°【詳解】解：∵多邊形的一個頂點出發(fā)，最多可以引出6條對角線，∴n?3=6，∴n=9，∴該多邊形的內(nèi)角和為：9?2×180°=1260°故答案為：1260°．【點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式以及多邊形的對角線公式，解題的關(guān)鍵在于求出多邊形的邊數(shù)．2．（2022·陜西西安·模擬預(yù)測）一個正多邊形的內(nèi)角和是1440°，則此多邊形的邊數(shù)是，對角線共有條．【答案】1035【分析】設(shè)此多邊形的邊數(shù)是n，根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式和對角線條數(shù)的公式，列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)此多邊形的邊數(shù)是n，180°×n?2解得：n=10，∴對角線條數(shù)為：nn?3故答案為：10，35．【點睛】本題主要考查了多邊的內(nèi)角和，多邊形的對角線條數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握n邊形的內(nèi)角和為180°×n?2，對角線條數(shù)為n3．（2022·陜西西安·模擬預(yù)測）一個多邊形的內(nèi)角和為1080°，從該多邊形的一個頂點出發(fā)引對角線，可以把這個多邊形分割成個三角形．【答案】6【分析】首先根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式可得多邊形的邊數(shù)，再計算分成三角形的個數(shù)．【詳解】解：設(shè)此多邊形的邊數(shù)為x，由題意得：x?2×180=1080解得；x=8，從這個多邊形的一個頂點引對角線，可以把這個多邊形分成的三角形個數(shù)：8-2=6，故答案為：6．【點睛】此題主要考查了多邊形的內(nèi)角，關(guān)鍵是掌握多邊形的內(nèi)角和公式180n?2，理解從一個n邊形的一個頂點引對角線，可以把這個多邊形分成(n題型02多邊形內(nèi)角和、外角和與角平分線、平行線的綜合問題1．（2021·山東煙臺·二模）如圖，CG平分正五邊形ABCDE的外角∠DCF，并與∠EAB的平分線交于點O，則∠AOG的度數(shù)為（

）A．144° B．126° C．120° D．108°【答案】B【分析】根據(jù)正五邊形的性質(zhì)分別解得正五邊形的每個內(nèi)角、每個外角的度數(shù)，結(jié)合角平分線的性質(zhì)得到∠DCG=36°，∠OAB=54°，接著由四邊形的內(nèi)角和為360°解得∠AOC=54°，最后由鄰補角定義解題即可．【詳解】解：∵CG平分正五邊形ABCDE的外角∠DCF，∴∠DCG=∠GCF∵AO平分∠EAB，∴∠EAO=∠OAB，∵正五邊形ABCDE中，∴∠ABC=∴∠DCG=12∴∠OAB+∠ABC+∠BCD+∠DCG=54°+108°+108°+36°=306°∴∠AOC=360°?306°=54°∴∠AOG=180°?54°=126°，故選：B．【點睛】本題考查正多邊形的內(nèi)角和與外角和，涉及角平分線的性質(zhì)等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．2．（2023·江蘇宿遷·模擬預(yù)測）如圖，一束太陽光平行照射在正n邊形A1A2A3……

【答案】6【分析】過A2作A2B∥A1An，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠4=∠3，∠CA2B=∠1，求得∠【詳解】解：過A2作A

則∠4=∠3，∠C∵∠1?∠2=60°∴∠設(shè)正多邊形的內(nèi)角為x，則∠4=180°?x∴x=60°+∠3∴∠3=x?60°∵180°?x=x?60°，解得x=120°∴∠4=60°∴這個正多邊形的邊數(shù)為360°÷60°=6故答案為：6．【點睛】本題考查了根據(jù)正多邊形外角求正多邊形的邊數(shù)，平行線的性質(zhì)等知識，熟練掌握正多邊形的外角性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2020·河南·二模）如圖，在ΔABC中，∠B=25°，點D是BC邊上一點，連接AD，且AD=BD，∠CAD=90°，CF平分∠ACB，分別交AD，AB于點E，F(xiàn)，則∠AEC的度數(shù)為．

【答案】70°【分析】利用AD=BD，得到∠B＝∠BAD＝25°，再由直角三角形中兩銳角互余和角平分線的定義進(jìn)行計算即可；【詳解】∵AD＝BD，∴∠B＝∠BAD＝25°，∴∠ADC＝50°，∵∠CAD＝90°，∴∠ACD＝40°，∵CF平分∠ACD，∴∠ACE＝12∴∠AEC＝70°，故答案是：70°．【點睛】本題主要考查了外角和的性質(zhì)，角平分線的定義，直角三角形兩銳角互余關(guān)系，準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵．題型03多邊形內(nèi)角和與外角和綜合問題1．（2023·江西撫州·二模）如圖，七邊形ABCDEFG中，AB、ED的延長線交于點O，若∠1、∠2、∠3、∠4的外角和等于220°，則∠BOD的度數(shù)為（

）

A．20° B．35° C．40° D．45°【答案】C【分析】根據(jù)多邊形的外角和，求得∠BOH=140°，再利用鄰補角的定義，即可求出∠BOD的度數(shù)．【詳解】解：∵五邊形AOEFG的外角和為360°，且七邊形ABCDEFG中，∠1，∠2，∠3，∠4的外角和等于220°，∴∠BOH=360°?220°=140°，∴∠BOD=180°?140°=40°，故選：C．

【點睛】本題主要考查了多邊形外角和問題，解題關(guān)鍵是掌握多邊形的外角和等于360°．2．（2023·山西大同·模擬預(yù)測）等邊三角形、正方形及正五邊形各一個，按下圖放在同一平面內(nèi)，則∠1+∠2+∠3=（

）

A．102° B．104° C．106° D．108°【答案】A【分析】根據(jù)正方形，正三角形和正五邊形的內(nèi)角以及正多邊形的外角和即可即可求解．【詳解】正三角形的每個內(nèi)角為180°÷3=60°，正五邊形的每個內(nèi)角5?2×180°÷5=108°正方形的每一個內(nèi)角為360°÷4=90°，∴∠1+∠2+∠3=360°?90°?60°?108°=102°，故選：A．【點睛】本題考查了正多邊形的外角和與內(nèi)角和的關(guān)系，熟練掌握多邊形的外角和為360°是解題的關(guān)鍵．3．（2023·河北秦皇島·二模）如圖，將四邊形ABCD剪掉一個角得到五邊形．下列判斷正確的是（

）結(jié)論①：變成五邊形后外角和不發(fā)生變化；結(jié)論②：變成五邊形后內(nèi)角和增加了360°；結(jié)論③：通過圖中條件可以得到∠1+∠2=240°；

A．只有①對 B．①和③對 C．①、②、③都對 D．①、②、③都不對【答案】B【分析】根據(jù)多邊形的外角和是360°，判斷①，根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式即可判斷②，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：①任意多邊形的外角和是360°，故①正確；根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理5?2×180°?四邊形ABCD剪掉一個角得到五邊形內(nèi)角和增加了180°，故②錯誤，如圖所示，

∵∠1=∠4+∠A,∠2=∠3+∠A∴∠1+∠2=∠3+∠4+∠A+∠A=180°+∠A=180°+60°=240°，故③正確，故選：B．【點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和與外角和，三角形的外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．4．（2022·陜西西安·模擬預(yù)測）已知一個正多邊形的內(nèi)角和與外角和的和為1620°，則這個正多邊形的邊數(shù)是．【答案】9【分析】根據(jù)正多邊形內(nèi)角和公式和外角和列方程即可求解．【詳解】解：設(shè)正多邊形的邊數(shù)為n，則180×n?2∴n=9，∴這個正多邊形的邊數(shù)是9．故答案為：9．【點睛】本題考查多邊形內(nèi)角和外角，解題關(guān)鍵是掌握多邊形內(nèi)角和公式．題型04平面鑲嵌1．（2024·河北石家莊·一模）有三個大小一樣的正六邊形，可按下列方式進(jìn)行拼接，方式1：如圖1；方式2：如圖2．（1）若有六個邊長均為1的正六邊形，采用方式1拼接，所得圖案的外輪廓的周長是；（2）有n個長均為1的正六邊形，采用上述兩種方式的一種或兩種方式混合拼接，若圖案的外輪廓的周長為18，則n的最大值為．【答案】267【分析】本題考查平面鑲嵌，利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．（1）采用方式1拼接，則所得圖案的外輪廓的周長為4n+2，將n=6代入計算即可；（2）兩種方式的一種或兩種方式混合拼接，n越大，外輪廓周長越小，可得正六邊形間重疊的邊數(shù)越多，則把六個正六邊形繞一個六邊形拼接即可．【詳解】解：（1）有六個邊長均為1的正六邊形，采用方式1拼接，所得圖案的外輪廓的周長為6×4+2=26．故答案為：26；（2）按下圖拼接，圖案的外輪廓的周長為6×3=18，此時正六邊形的個數(shù)最多，即n的最大值為7．故答案為：7．2．（2023·河北滄州·二模）要設(shè)計一個裝彩鉛的圓柱體紙盒，已知每支鉛筆大小相同，底面均為正六邊形，邊長記作2a．下面我們來研究紙盒底面半徑的最小值．

（1）如果要裝6支彩鉛，嘉淇畫出了如圖1，圖2所示的兩種布局方案．方案Ⅰ中紙盒底面半徑的最小值為；方案Ⅱ中紙盒底面半徑的最小值為；（2）如果要裝12色的彩鉛，請你為廠家設(shè)計一種最佳的布局，使得底面圓的半徑最小，最小值為．【答案】6a7a3【分析】（1）由圖形可知，方案Ⅰ中紙盒底面半徑應(yīng)為正六邊形的對角線長加邊長，方案Ⅱ中紙盒底面半徑應(yīng)為正六邊形對角線長加邊長，再上邊長的一半，由此計算即可；（2）考慮將12個正六邊形對稱放置，然后確定其外接圓，利用正六邊形的邊長以及勾股定理求解最小半徑即可．【詳解】（1）如圖1所示，方案Ⅰ中紙盒底面半徑最小值即為OA的長度，∵正六邊形的邊長為2a，∴OA=2a+4a=6a；如圖2所示，方案Ⅱ中紙盒底面半徑最小值即為OB的長度，∴OA=a+2a+4a=7a；

故答案為：6a；7a；（2）如圖所示方式，裝12支鉛筆的底面圓半徑最小，此時最小半徑為OC，連接CQ、PC、PQ，∵正六邊形的邊長為2a，∴CP=3×23a=63∵∠CPQ=90°，∴CQ=C∴OC=1

故答案為：37【點睛】本題考查正多邊形與圓，以及鑲嵌問題，掌握正多邊形與圓的性質(zhì)，靈活運用勾股定理進(jìn)行計算是解題關(guān)鍵．3．（2022·河北·二模）如圖，將幾個全等的正八邊形進(jìn)行拼接，相鄰的兩個正八邊形有一條公共邊，圍成一圈后中間形成一個正方形．設(shè)正方形的邊長為1，則該圖形外輪廓的周長為；若n個全等的正多邊形中間圍成的圖形是正三角形，且相鄰的兩個正多邊形有一條公共邊，設(shè)正三角形的邊長為1，則該圖形外輪廓的周長是．【答案】2027【分析】根據(jù)正多邊形的性質(zhì)，每條邊相等，即可求解．求得該圖形外輪廓的周長，根據(jù)密鋪可知正n邊形，為正12邊形，據(jù)此即可求解．【詳解】解：∵正方形的邊長為1，∴該圖形外輪廓的周長為8?3×4若n個全等的正多邊形中間圍成的圖形是正三角形，則n邊形的一個內(nèi)角為360°?60°則n邊形的一個外角180°?150°=30°，∴n=360°÷30°=12，根據(jù)相鄰的兩個正多邊形有一條公共邊，則圖形外輪廓的周長為12?3故答案為：20，27【點睛】本題考查了正多邊形的性質(zhì)，多邊形的內(nèi)角和，外角和，平面鑲嵌，理解題意是解題的關(guān)鍵．題型05根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)與判定求解1．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖，菱形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，EF⊥BD，垂足為點H，EF分別交AD、DC及BC的延長線于點E、M、F，且ED：CF=1：2，則A．14 B．15 C．25【答案】D【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判斷，先由菱形的性質(zhì)得到AD∥BC，AC⊥BD，AD=BC，再證明AC∥EF，進(jìn)而證明四邊形AEFC是平行四邊形，得到AE=CF，由此可得到DE：BF=1:5，再證明△DEH∽△BFH，得到DHBH【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AC⊥BD，AD=BC，∵EF⊥BD，∴AC∥EF，∴四邊形AEFC是平行四邊形，∴AE=CF，∵ED：∴ED：∴ED:AD=ED：∴DE：∵AD∥BC∴△DEH∽△BFH，∴DHBH∴DH：故選：D．2．（2023·河北承德·一模）如圖，在菱形ABCD中，AC、BD(AC>BD)相交于點O，E、F分別為OA和OC上的點（不與點A、O、C重合）．其中AE=OF．過點E作GH⊥AC，分別交AD、AB于點G、H；過點F作IJ⊥AC分別交CD、CB于點J、I；連接GJ、HI，甲、乙、丙三個同學(xué)給出了三個結(jié)論：甲：隨著AE長度的變化，GH+IJ=BD始終成立．乙：隨著AE長度的變化，四邊形GHIJ可能為正方形．丙：隨著AE長度的變化，四邊形GHIJ的面積始終不變，都是菱形ABCD面積的一半．下列選項正確的是（）

A．甲、乙、丙都對 B．甲、乙對，丙不對C．甲、丙對，乙不對 D．甲不對，乙、丙對【答案】C【分析】連接HJ,GI，交于點M，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得出GE=EH,JF=FI，MG=MH，MJ=MI，GJ=HI，EO=FC，過點G作GK⊥BD于點K，過點J作JT⊥BD于點T，證明△DTJ≌△GEA,△DKG≌△JFC得出GH+IJ=BD，即可判斷甲，進(jìn)而得出四邊形AHJD是平行四邊形，四邊形HJBC是平行四邊形，即可判斷丙，反證法證明四邊形GHIJ不可能是正方形，即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接HJ,GI，交于點M，

∵四邊形ABCD是菱形，GH⊥AC，IJ⊥AC，∴GH∥根據(jù)菱形是軸對稱圖形，AC是GH,IJ，BD的垂直平分線，∴GE=EH,JF=FI，MG=MH，MJ=MI，GJ=HI，∵AE=OF，OA=OC，∴EO=FC，如圖所示，過點G作GK⊥BD于點K，過點J作JT⊥BD于點T，

則四邊形GEOK,TJFO是矩形，∴GK=EO=FC,KO=GE=12GH∵四邊形ABCD是菱形，∴∠DAO=∠DCO，∵GK∥∴∠DJT=∠DCA=∠GAE，∴△DTJ≌△GEA，∴DJ=AG，JC=GD，GE=DT，∴12即GH+IJ=BD，故甲正確；∵DJ=AG，又AG=AH，∴JD=AH，∴四邊形AHJD是平行四邊形，∴S△HCJ=1∴四邊形HJBC是平行四邊形，∴S△HIJ∴S四邊形即四邊形GHIJ的面積始終不變，都是菱形ABCD面積的一半，故丙正確；同理可得AGBI，CDGI是平行四邊形，∴GI∥∵當(dāng)GHIJ是正方形時，則GI⊥HJ，∴AD⊥DC，則四邊形ABCD是正方形，∵AC>BD，∴四邊形ABCD不是正方形，即四邊形GHIJ不可能是正方形，故乙錯誤，故選：C．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，菱形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．3．（2023·江蘇泰州·二模）證明：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．已知：如圖1，D、E分別是△ABC的邊AB、AC中點，求證：DE∥BC，下面是某學(xué)習(xí)小組探究證明思路時發(fā)現(xiàn)的三種添加輔助線的方法，請選擇其中一種，完成證明．方法1：延長DE至點F，使EF=DE，連接CF；方法2：過點C作CF∥AB交DE的延長線于方法3：過E作EF∥AB交BC于F，過A作AG∥BC交FE的延長線于點G．應(yīng)用：如圖2，D、E分別是△ABC的邊AB、AC中點，請用無刻度的直尺和圓規(guī)作△ABC的角平分線BP（要求：直尺和圓規(guī)分別只使用一次，并保留作圖痕跡）．【答案】見解析【分析】本題考查了作圖、平行線的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)和三角形中位線定理，證明：方法1：延長DE至點F，使EF=DE，連接CF，先證明△ADE≌△CEF得到AD=CF，∠A=∠F，則AB∥CF，加上BD=CF，則可判斷四邊形BDFC為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到DF=BC，DF∥BC，從而得到DE∥BC，方法2：過點C作CF∥AB交DE的延長線于F，先證明△ADE≌△CEF，得到相應(yīng)的邊長相等，可得到四邊形方法3：需要證明兩次三角形全等，以及證明兩次平行四邊形可得到結(jié)果；應(yīng)用：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)可得到答案；解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作【詳解】證明：方法1：延長DE至點F，使EF=DE，連接CF，如圖所示：，∵D、E分別是△ABC的邊AB、AC中點，∴AD=BD，AE=CE，在△ADE和△CEF中，AE=CE∠AED=∠CEF∴△ADE≌△CEF（SAS），∴AD=CF，∠A=∠F，∴AB∥CF，∵AD=BD=CF，∴四邊形BDFC為平行四邊形，∴DF=BC，DF∥BC，∴DE∥BC，DE=1方法2：過點C作CF∥AB交DE的延長線于，∵CF∥∴∠A=∠FCE，∵D、E分別是△ABC的邊AB、AC中點，∴AD=BD，AE=CE，在△ADE和△CEF中，∠A=∠FCEAE=CE∴△ADE≌△CEF（ASA），∴AD=FC，DE=EF，即AD=BD=FC，∴四邊形BDFC為平行四邊形，∴DF=BC，DF∥BC，∴DE∥BC，DE=1方法3：過E作EF∥AB交BC于F，過A作AG∥BC交FE的延長線于點G，如圖所示：，∵EF∥AB,AG∥BC，∴GF∥AB,AG∥BF，∴四邊形AGFB為平行四邊形，∴AG=BF,AB=GF，∵AG∥BC，∴∠G=∠CFE，∵D、E分別是△ABC的邊AB、AC中點，∴AD=BD，AE=CE，在△AGE和△CEF中，∠G=∠CFE∠GEA=∠FEC∴△AGD≌△CFE（AAS），∴AG=CF,GE=EF，∵EF∥AB,AG∥BC，∴∠GAE=∠DEA,∠DAE=GEA，∵AE=EA，∴△AGE≌△EDA（ASA），∴AG=DE.AD=GE，∵AD∥GF，∴四邊形AGED為平行四邊形，∴AG∥DE，AG=DE，∵AG∥BC，AG=FC，AG=BF，∴DE∥BC，DE=1應(yīng)用：如圖2，BP為所作的角平分線，，先在DE上截取DF=DB，連接BF并延長交AC于P點，由DB=DF得到∠DBF=∠DFB，再根據(jù)DE為△ABC的中位線得到DE∥BC，所以∠DFB=∠CBF，則∠DBF=∠CBF，從而得到BP平分4（2023·河南周口·三模）綜合與實踐

問題提出(1)如圖①，△ABC是等腰三角形，點D，E分別在腰AC，AB上，且BE=CD，連接BD，問題探究(2)如圖②，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，若AE=EF，AC=8，則BF=______；問題解決(3)今年全國兩會上，不少來自農(nóng)村、關(guān)注“三農(nóng)”工作的代表委員期待電力在全面推進(jìn)鄉(xiāng)村振興中發(fā)揮越來越重要的作用．某地區(qū)規(guī)劃出如圖③所示的四邊形ABCD地塊，計劃開發(fā)出一個生態(tài)宜居，綠色人文的農(nóng)業(yè)觀光區(qū)，其中AD⊥CD，BC⊥CD，∠BAD=120°，AE是現(xiàn)有的地下電纜，CE=AB．為滿足農(nóng)業(yè)用電，B點和C點分別設(shè)置了風(fēng)力發(fā)電機，現(xiàn)要埋電纜線路BP與線路AC，點P是AE的中點．已知埋每米電纜的費用是a元，請問埋電纜線路AC的費用是線路BP費用的幾倍？并說明理由．【答案】(1)BD=CE，理由見解析(2)8(3)埋電纜線路AC的費用是線路BP費用的2倍，理由見解析【分析】（1）由“SAS”可證△EBC≌△DCB，可得（2）由“SAS”可證△ADC≌△MDB，可得BM=AC，∠CAD=∠M，由等腰三角形的性質(zhì)可求（3）先證明四邊形ABEF是平行四邊形，可得FE=AB，F(xiàn)E∥AB，由“SAS”可證△ABC≌△FCB，得到【詳解】（1）解：BD=CE，證明：∵△ABC是等腰三角形，∴∠EBC=∠DCB，在△EBC與△DCB中，BE=CD∠EBC=∠DCB∴△EBC≌∴BD=CE；（2）解：如圖，延長AD到M，使AD=DM，連接BM，如圖②所示，

，∵AD是△ABC的中線，∴CD=BD，在△ACD和△MBD中，AD=MD∠ADC=∠MDB∴△ADC≌∴BM=AC，∠CAD=∠M，∵AE=EF，∴∠CAD=∠AFE，∵∠AFE=∠BFD，∴∠BFD=∠CAD=∠M，∴BF=BM=AC=8；故答案為：8；（3）解：∵AD⊥CD，BC⊥CD，∴AD∥BC，∵∠BAD=120°，∴∠ABC=60°，如圖③，延長BP交AD于點F，連接EF，CF，

，∵AD∥BC，∴∠PAF=∠PEB，∠PFA=∠PBE，∵點P是AE的中點，∴AP=EP，∴△AFP≌∴AF=BE，BP=PF，∴四邊形ABEF是平行四邊形，∴FE=AB，F(xiàn)E∥AB，∴∠FEC=∠ABC=60°，∵FE=AB，CE=AB，∴FE=CE，∴△FEC是等邊三角形，∴FE=FC，∠FCB=60°，∴AB=FC，∠ABC=∠FCB=60°，∵BC=CB，∴△ABC≌∴AC=FB=2BP，∵埋電纜線路AC的費用為a?AC=a?2BP=2aBP，埋電纜線路BP的費用為a?BP=aBP，∴埋電纜線路AC的費用是線路BP費用的2倍．【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．題型06構(gòu)建三角形中位線解決問題1．（2023·山東青島·模擬預(yù)測）如圖，四邊形EFGH頂點是四邊形ABCD各邊中點，若把EFGH涂滿紅油漆需要10桶，那么要把其余部分涂滿黑顏色，需要桶【答案】10【分析】本題考查的是中點四邊形，中位線定理和相似三角形的面積比等于相似比的平方；根據(jù)題意得出S四邊形【詳解】解：如圖所示，連接AC,BD，∵E,F分別是AD,AB的中點，∴EF∥BD∴△AEF∽△ADB∴S△AEF=1則S同理可得S∴S若把EFGH涂滿紅油漆需要10桶，那么要把其余部分涂滿黑顏色，需要10桶,故答案為：10．2．（2023·安徽·二模）如圖，在△ABC中，∠ABC=90°,AB=BC=6，延長BC到點D，CD=4，點E是AD的中點，BE交AC于點F，則△AEF的面積為．

【答案】15【分析】利用三角形的面積公式求出△ACD的面積，進(jìn)而求出△ABD的面積，利用中線平分面積，得到△ABE的面積，取AC的中點G，連接EG，得到EG∥CD,EG=12CD，推出△BFC∽△EFG【詳解】解：∵∠ABC=90°,AB=BC=6，CD=4，∴S△ABD∵點E是AD的中點，∴S△ABE取AC的中點G，連接EG，則：EG∥CD,EG=1

∴△BFC∽△EFG，∴EFBF∴EFBE∴S△AEF∴S△AEF故答案為：154【點睛】本題考查三角形的中位線定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造三角形的中位線和相似三角形．3．（2023·浙江·模擬預(yù)測）已知四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，對角線AC與BD垂直相交于點E，點F，G分別為AB，

【答案】見解析【分析】作直徑DH，根據(jù)三角形中位線定理求得OG=12CH，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)求得EF=12AB，再利用等角的余角相等求得【詳解】證明，作直徑DH，連接CH，

∵點G、O分別為DH、CD的中點，∴OG=1∵AC⊥BD，點F為AB的中點，∴EF=12AB∵DH為直徑，∴∠DCH=90°，∴∠H+∠HDC=90°，又∵∠H=∠DBC，∴∠ACB=∠HDC，∴AB=CH，∴EF=OG．【點睛】本題考查了圓周角定理，三角形中位線定理，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，正確引出輔助線解決問題是解題的關(guān)鍵．4．（2023·福建泉州·模擬預(yù)測）在△ABC中，F(xiàn)為邊AB上一點．

(1)如圖1，若AC2=AF?AB(2)若G為CF的中點，AC=4，①如圖2，若∠FBG=∠ACF，AB=5，求BF的長；②如圖3，若∠ABC=30°，∠A=∠BGF=45°，直接寫出BF的長．【答案】(1)見解析(2)①3；②BF=2【分析】（1）根據(jù)已知條件得出ACAF=AB（2）①解法1：延長FB到點D，使FB=BD，連結(jié)DC，設(shè)：BF=x，則BD=x，AD=5+x，AF=5?x，證明△ACF∽△ADC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出方程，解方程，即可求解；①解法2：取FA中點D，連結(jié)DG，設(shè)：AD=DF=x，則BD=5?x，證明△DGF∽△DBG，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出方程，解方程，即可求解；②解法1：延長FB到點D，使FB=BD，連結(jié)DC，過點C作CE⊥AB于點E，證明△DCF∽△DAC，得出DC2=AD?DF，在Rt△DEC中，DC2=DE2+EC2，則AD?DF=DE2+EC2，建立方程，解方程，即可求解；②解法2：過點C作CE⊥AB【詳解】（1）∵AC2∵∠A=∠A，∴△ACF∽△ABC；（2）

①解法1：延長FB到點D，使FB=BD，連結(jié)DC設(shè)：BF=x，則BD=x，AD=5+x，AF=5?x∵G為CF的中點，B為DF的中點，∴BG是△FDC的中位線，∴BG∴∠FBG=∠D，∵∠FBG=∠ACF，∴∠D=∠ACF，∵∠A=∠A，∴△ACF∽△ADC∴ACAD∴4解得：x1=3，∴BF=3

①解法2：取FA中點D，連結(jié)DG設(shè)：AD=DF=x，則BD=5?x∵G為CF的中點，D為AF的中點∴DG是△FAC的中位線∴DG∥AC∴∠FGD=∠ACF∵∠DBG=∠ACF，∴∠FGD=∠DBG，∵∠BDG=∠BDG，∴△DGF∽△DBG∴DGBD∴2解得：x1=1，∴AD=DF=1，∴BF=AB?AF=5?2=3②解法1：延長FB到點D，使FB=BD，連結(jié)DC，過點C作CE⊥AB于點E，

設(shè)：BF=BD=x，∵Rt△AEC中，∠A=45°∴AE=CE=AC∵Rt△BEC中，∠ABC=30°∴BE=3∴ED=BD+BE=x+26∴AD=ED+AE=x+26∵G為CF的中點，B為DF的中點∴BG是△FDC的中位線，∴BG∥∴∠BGF=∠FCD，∵∠BGF=∠A，∴∠FCD=∠A，∵∠D=∠D，∴△DCF∽△DAC，∴DCAD∴DC∵在Rt△DEC中，D∴AD?DF=D即2x解得：x1=210∴BF=2②解法2：過點C作CE⊥AB于點E，在AE上取點D，使CD=CF，

設(shè)：BF=x，∵Rt△AEC中，∠A=45°∴AE=CE=AC∵Rt△BEC中，∠ABC=30°∴BE=3∴EF=BE?BF=26∵CD=CF，CE⊥AB，∴DE=EF=26∴AD=AE?DE=22∵在Rt△DEC中，CD=∴CF=CD=2∵G為CF的中點，∴FG=1∵CD=CF，∠CFD=∠CDF，∴180°?∠CFD=180°?∠CDF，即∠BFG=∠CDA∵∠A=∠BGF，∴△DCA∽△FBG，∴DCAD∴DC?FG=AD?BF，∴2解得：x1=210∴BF=2【點睛】本題主要考查三角形的綜合性題目，包括相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形中點的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等，熟練掌握運用這些知識點是解題關(guān)鍵．題型07根據(jù)特殊四邊形的性質(zhì)與判定求解1．（2024·山西朔州·一模）如圖，在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,M為對角線BD上的一點（不與點B,D重合），連接AM，過點M作MN⊥AM交邊CD于點N，連接AN．若BM:BD=2:5，則DN的長為．【答案】3【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)判定及性質(zhì)，適當(dāng)添加輔助線解決問題是解題的關(guān)鍵．過點M作MG⊥AB于G，延長GM交CD于H，則GH⊥CD，根據(jù)矩形的性質(zhì)，可證△BGM∽△BAD，從而得出BG=165，AG=HD=245，MG=125，MH=18【詳解】解：過點M作MG⊥AB于G，延長GM交CD于H，則GH⊥CD，如圖：∵四邊形ABCD為矩形，∴∠BAD=∠ADC=∠AGH=90°，AD=BC=3，AB=CD=4，∴四邊形AGHD為矩形，∴AG=DH，GH=AD=3，GM∥∴△BGM∽△BAD，∴BGBA∵BM:BD=2:5，∴BGBA∴BG=25AB=∴AG=HD=AB?BG=4?8∴MH=GH?GM=3?6∵M(jìn)N⊥AM，∴∠AMN=90°，∴∠AMG+∠HMN=90°，∵∠AMG+∠MAG=90°，∴∠HMN=∠MAG，∵∠AGM=∠MHN=90°，∴△AGM∽△MHN，∴AGMH即：125解得：HN=9∴DN=HD?HN=12故答案為：322．（2023·江蘇鹽城·模擬預(yù)測）如圖，已知，等邊△ABC中，AB=6，將△ABC沿AC翻折，得到△ADC，連接BD，交AC于O點，E點在OD上，且DE=2OE，F(xiàn)是BC的中點，P是AC上的一個動點，則PF?PE的最大值為．【答案】3【分析】由折疊可證四邊形ABCD為菱形，BO是AC邊上的中線，如圖，連接AE、AF、PM，交BD于M，AF是BC邊上的中線，∠BAC的角平分線，則BM=2OM，AM=2MF，∠CAF=30°，由DE=2OE，可得OM=OE，則PE=PM，AE=AM，PF?PE=PF?PM，可知當(dāng)點P運動到點A時，PF?PE最大，最大為FM，勾股定理求AF=A【詳解】解：∵△ABC為等邊三角形，AB=6，∴AB=AC=BC=6，∵將△ABC沿AC翻折，得到△ADC，∴AD=CD=BC=AB=6，∴四邊形ABCD為菱形，∴DO=BO，AO=CO=3，BD⊥AC，∴BO是AC邊上的中線，如圖，連接AE、AF、PM，交BD于M，∵F是BC的中點，∴AF是BC邊上的中線，∠BAC的角平分線，∴BM=2OM，AM=2MF，∠CAF=30°，∵DE=2OE，∴OM=OE，∵BD⊥AC，∴PE=PM，AE=AM，∴PF?PE=∴當(dāng)點P運動到點A時，PF?PE最大，最大為FM，∵∠CAF=30°，∴CF=3，由勾股定理得，AF=A∴FM=1故答案為：3．【點睛】本題考查了三角形中線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，含30°的直角三角形等知識．根據(jù)題意確定最大值的情況是解題的關(guān)鍵．3．（2023·湖南婁底·三模）已知四邊形ABCD是矩形，連接BD．

(1)如圖1，∠ADB的平分線交AB于E，交CB的延長線于點F．∠DBF的平分線交DF于點H，交DA的延長線于點G，連接FG．①求證：BD=BF；②求證：四邊形GFBD為菱形；(2)在（1）的條件下，如圖2，連接AC交DF于點P，交BD于點O，若DP=HP，求ABAD【答案】(1)①證明見解析；②證明見解析(2)3【分析】（1）由矩形性質(zhì)得到AD∥BC，則∠ADF=∠BFD，再由角平分線定義得到∠ADF=∠BDF，則∠BFD=∠BDF，即可得出BD=BF；②由AD∥BC，得到∠ADB+∠FBD=180°，進(jìn)而根據(jù)相關(guān)角的關(guān)系得到BG⊥DF，再由①中BD=BF，確定DH=FH，利用兩個三角形全等的判定與性質(zhì)得出△BDH≌△GDHASA（2）根據(jù)題意得出PO是△BDH的中位線，有AC∥BG，進(jìn)而得到四邊形AGBC是平行四邊形，利用平行四邊形及矩形性質(zhì)得到AD=AG=12DG，再根據(jù)（1）②中四邊形BDGF是菱形，得出BD=2AD，在Rt【