2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第六章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用6.1.1函數(shù)的平均變化率學(xué)案含解析新人教B版選擇性必修第三冊

PAGE第六章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用6．1導(dǎo)數(shù)6．1.1函數(shù)的平均變更率最新課程標(biāo)準(zhǔn)1.理解函數(shù)平均變更率的概念，會求函數(shù)的平均變更率．(重點(diǎn))2．理解函數(shù)平均變更率的幾何意義和物理意義．(重點(diǎn))3．理解數(shù)學(xué)中“以直代曲”的思想.[教材要點(diǎn)]學(xué)問點(diǎn)一函數(shù)的平均變更率函數(shù)的平均變更率的定義一般地，已知函數(shù)y＝f(x)，x1，x2是其定義域內(nèi)不同的兩點(diǎn)，記Δx＝x2－x1，Δy＝y(tǒng)2－y1＝f(x2)－f(x1)＝f(x1＋Δx)－f(x1)，則當(dāng)Δx≠0時，商________＝eq\f(Δy,Δx)稱作函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[x1，x2](或[x2，x1])的平均變更率．學(xué)問點(diǎn)二函數(shù)的平均變更率的幾何意義即割線的斜率已知y＝f(x)圖像上兩點(diǎn)A(x1，f(x1))，B(x1＋Δx，f(x1＋Δx))，過A，B兩點(diǎn)割線的斜率是________________，即曲線割線的斜率就是函數(shù)的平均變更率．學(xué)問點(diǎn)三函數(shù)的平均變更率的物理意義即平均速度物體在某段時間內(nèi)的平均速度即函數(shù)的平均變更率．[基礎(chǔ)自測]1．推斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)Δx表示x2－x1，是相對于x1的一個增量，Δx的值可正可負(fù)，但不行為零．()(2)Δy表示f(x2)－f(x1)，Δy的值可正可負(fù)，也可以為零．()(3)eq\f(Δy,Δx)表示曲線y＝f(x)上兩點(diǎn)(x1，f(x1))，(x2，f(x2))連線的斜率．()(4)平均速度是刻畫某函數(shù)在區(qū)間[x1，x2]上的變更快慢的物理量．()2．已知函數(shù)y＝f(x)＝2x2的圖像上點(diǎn)P(1,2)及鄰近點(diǎn)Q(1＋Δx,2＋Δy)，則割線PQ的斜率為()A．4B．4xC．4＋2Δx2D．4＋2Δx3．如圖，函數(shù)y＝f(x)在[1,3]上的平均變更率為()A．1B．－1C．2D．－24．假如質(zhì)點(diǎn)M按規(guī)律s＝3＋t2(s的單位是m，t的單位是s)運(yùn)動，則在時間段[2,2.1]內(nèi)質(zhì)點(diǎn)M的平均速度等于()A．3m/sB．4mC．4.1m/sD．0.41m

題型一求函數(shù)的平均變更率例1(1)已知函數(shù)f(x)＝2x2－1的圖象上一點(diǎn)(1,1)及鄰近一點(diǎn)(1＋Δx,1＋Δy)，則eq\f(Δy,Δx)等于()A．4B．4xC．4＋2ΔxD．4＋2(Δx)2(2)已知函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(1,x)，分別計(jì)算f(x)在自變量x從1變到2和從3變到5時的平均變更率，并推斷在哪個區(qū)間上函數(shù)值變更得較快．eq\x(狀元隨筆)(1)由Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝f(1＋Δx)－f(1)可得．(2)eq\x(求Δx＝x2－x1)→eq\x(求Δy＝fx2－fx1)→eq\x(計(jì)算\f(Δy,Δx))方法歸納1．求函數(shù)平均變更率的三個步驟第一步，求自變量的增量Δx＝x2－x1；其次步，求函數(shù)值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)；第三步，求平均變更率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1).2．求平均變更率的一個關(guān)注點(diǎn)求點(diǎn)x1旁邊的平均變更率，可用eq\f(fx1＋Δx－fx1,Δx)的形式．跟蹤訓(xùn)練1函數(shù)y＝x2＋1在[1,1＋Δx]上的平均變更率是()A．2B．2xC．2＋ΔxD．2＋(Δx)2題型二求物體在某段時間內(nèi)的平均速度例2質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動規(guī)律s＝eq\f(1,2)gt2，則在時間區(qū)間(3,3＋Δt)內(nèi)的平均速度等于________．(g＝10m/s2)方法歸納求運(yùn)動物體平均速度的兩個步驟1．求時間變更量Δt和位移變更量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；2．求平均速度eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(Δs,Δt)跟蹤訓(xùn)練2一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程為s＝8－3t2，其中s表示位移，t表示時間．試求質(zhì)點(diǎn)在[1,1＋Δt]這段時間內(nèi)的平均速度．題型三平均變更率的幾何意義例3已知曲線y＝x2－1上兩點(diǎn)A(2,3)，B(2＋Δx,3＋Δy)，當(dāng)Δx＝1時，割線AB的斜率是________；當(dāng)Δx＝0.1時，割線AB的斜率是________．方法歸納已知y＝f(x)圖像上兩點(diǎn)A(x1，f(x1))，B(x1＋Δx，f(x1＋Δx))，過A，B兩點(diǎn)割線的斜率是eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx1＋Δx－fx1,Δx)，即曲線割線的斜率就是函數(shù)的平均變更率．跟蹤訓(xùn)練3已知函數(shù)y＝x2－1的圖像上一點(diǎn)A(3,8)及鄰近一點(diǎn)B(3＋Δx,8＋Δy)，則割線AB的斜率等于()A．6B．6＋ΔxC．6＋(Δx)2D．6xeq\x(溫馨提示：請完成課時分層作業(yè)十一)第六章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用6．1導(dǎo)數(shù)6．1.1函數(shù)的平均變更率新知初探·自主學(xué)習(xí)學(xué)問點(diǎn)一eq\f(y2－y1,x2－x1)學(xué)問點(diǎn)二eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx1＋Δx－fx1,Δx)[基礎(chǔ)自測]1．答案：(1)√(2)√(3)√(4)√2．解析：eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(21＋Δx2－2×12,Δx)＝4＋2Δx.答案：D3．解析：eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f3－f1,3－1)＝－1.答案：B4．解析：平均速度eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(3＋2.12－3＋22,0.1)＝eq\f(0.41,0.1)＝4.1(m/s)，故選C.答案：C課堂探究·素養(yǎng)提升例1解析：(1)∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－1－1＝2(Δx)2＋4Δx，∴eq\f(Δy,Δx)＝2Δx＋4.(2)自變量x從1變到2時，函數(shù)f(x)的平均變更率為eq\f(f2－f1,2－1)＝eq\f(2＋\f(1,2)－1＋1,1)＝eq\f(1,2)；自變量x從3變到5時，函數(shù)f(x)的平均變更率為eq\f(f5－f3,5－3)＝eq\f(5＋\f(1,5)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋\f(1,3))),2)＝eq\f(14,15).因?yàn)閑q\f(1,2)<eq\f(14,15)，所以函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(1,x)在自變量x從3變到5時函數(shù)值變更得較快．答案：(1)C(2)見解析跟蹤訓(xùn)練1解析：∵Δy＝(1＋Δx)2＋1－(12＋1)＝2Δx＋Δx2，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(2Δx＋Δx2,Δx)＝2＋Δx，故選C.答案：C例2解析：Δs＝eq\f(1,2)g×(3＋Δt)2－eq\f(1,2)g×32＝eq\f(1,2)×10×[6Δt＋(Δt)2]＝30Δt＋5(Δt)2，eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(Δs,Δt)＝30＋5Δt.答案：30＋5Δt跟蹤訓(xùn)練2解析：eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(8－31＋Δt2－8－3×12,Δt)＝－6－3Δt.例3解析：當(dāng)Δx＝1時，割線AB的斜率k1＝eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(2＋Δx2－1－22＋1,Δx)＝eq\f(2＋12－22,1)＝5