專題1.2 二次根式的乘除（重點(diǎn)題專項(xiàng)講練）（浙教版）（解析版）

專題1.2二次根式的乘除【典例1】【閱讀材料】小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫成另一個(gè)式子的平方，如3+22=（1+2）2．善于思考的小明進(jìn)行了以下探索：若設(shè)a+b2=（m+n2）2＝m2+2n2+2mn2（其中a、b、m、n均為整數(shù)），則有a＝m2+2n2，b＝2mn．這樣小明就找到了一種把類似a+【問題解決】（1）若a+b5=（m+n5）2，當(dāng)a、b、m、n均為整數(shù)時(shí)，則a＝，b＝．（均用含m、n（2）若x+43=（m+n3）2，且x、m、n均為正整數(shù)，分別求出x、m、n【拓展延伸】（3）化簡(jiǎn)5+26=【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)完全平方公式將等式右邊展開，然后分析求解；（2）根據(jù)完全平方公式將等式右邊展開，然后列方程求解；（3）根據(jù)完全平方公式和二次根式的性質(zhì)進(jìn)行變形化簡(jiǎn)．【解題過程】解：（1）（m+n5）2＝m2+25mn+5n2，∵a+b5=（m+n5）2，且a、b、m、n∴a＝m2+5n2，b＝2mn，故答案為：m2+5n2，2mn；（2）（m+n3）2＝m2+23mn+3n2，∵x+43=（m+n3）2∴2mn=4m又∵x、m、n均為正整數(shù)，∴m=1n=2x=13或即m＝1，n＝2，x＝13或m＝2，n＝1，x＝7；（3）原式==(=2故答案為：2+1．（2021春?江夏區(qū)校級(jí)月考）二次根式：a2，25m，3x2，a2-b2，aA．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【思路點(diǎn)撥】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義，同時(shí)滿足①被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)，②被開方數(shù)不含分母，才是最簡(jiǎn)二次根式，進(jìn)行選擇即可．【解題過程】解：a225m，a2-b2，3x2，13綜上所述，上述二次根式中，屬于最簡(jiǎn)二次根式的個(gè)數(shù)是4個(gè)．故選：C．2．（2021?羅莊區(qū)二模）等式x+2x-2A．x≠2 B．x≥﹣2 C．x≥﹣2且x≠2 D．x＞2【思路點(diǎn)撥】根據(jù)二次根式和分式有意義的條件列不等式組求解．【解題過程】解：由題意可得x+2≥0x-2解得：x＞2，故選：D．3．（2021春?海淀區(qū)校級(jí)期末）下列各式互為有理化因式的是（）A．a(chǎn)+b和a-b B．-a和aC．5-2和-5+2【思路點(diǎn)撥】根據(jù)有理化因式定義：如果兩個(gè)含有二次根式的非零代數(shù)式相乘，它們的積不含有二次根式，就說(shuō)這兩個(gè)非零代數(shù)式互為有理化因式，結(jié)合各個(gè)選項(xiàng)中兩個(gè)代數(shù)式特征作出判斷即可．【解題過程】解：A.a+b?a-b=(a+b)(a-b)，因此a+b和a-b不是有理化因式，故選項(xiàng)B．-a?a=-a，所以-a和aC．（5-2）（-5+2）＝﹣（5-2）2D．（xa+yb）?（xa+yb）＝（xa+yb）2，因此xa+yb和xa+故選：B．4．（2021秋?順義區(qū)期末）當(dāng)m＜0時(shí)，化簡(jiǎn)二次根式mnA．nmn B．-nmn C．1n【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題目的已知可知n＜0，然后進(jìn)行計(jì)算即可．【解題過程】解：由題意得：m＜0，n＜0，∴m=mn?（-1=-1故選：D．5．（2021秋?寶山區(qū)校級(jí)月考）若a＜0，化簡(jiǎn)2ab3-A．（2b﹣3a）ab B．（﹣2b﹣3a）ab C．（﹣2b+3a）ab D．（2b+3a）ab【思路點(diǎn)撥】根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)和二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)即可．【解題過程】解：∵a＜0，ab3≥0，∴b≤0，∴原式＝2|b|ab-3|a|ab=-2bab+3aab=（﹣2b+3故選：C．6．（2021秋?武穴市期中）化簡(jiǎn)2ab-bA．b2-b B．b2-2ab C．﹣b2-2ab D．﹣b22ab【思路點(diǎn)撥】根據(jù)二次根式有意義的條件進(jìn)行化簡(jiǎn)即可．【解題過程】解：當(dāng)b＜0，a＞0時(shí)，原式＝2ab×＝b?|b|-2ab＝﹣b2-2ab．當(dāng)b＞0，a＜0時(shí)，原式＝﹣2ab×＝﹣b?b-2ab＝﹣b2-2ab．故選：C．7．（2021秋?思明區(qū)校級(jí)期末）若a＝2021×2022﹣20212，b＝1013×1008﹣1012×1007，c=20192+2020+2021，則a，A．c＜b＜a B．a(chǎn)＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a【思路點(diǎn)撥】先化簡(jiǎn)各式，然后再進(jìn)行比較即可．【解題過程】解：a＝2021×2022﹣20212＝2021×（2022﹣2021）＝2021×1＝2021；b＝1013×1008﹣1012×1007＝（1012+1）（1007+1）﹣1012×1007＝1012×1007+1012+1007+1﹣1012×1007＝1012+1007+1＝2020；c==(2020-1=202=202∴2020＜2020∴b＜c＜a，故選：D．8．（2021春?鄞州區(qū)校級(jí)期末）已知﹣1＜a＜0，化簡(jiǎn)(a+1A．2a B．2a+2a C．2a【思路點(diǎn)撥】直接利用完全平方公式結(jié)合a的取值范圍、二次根式的性質(zhì)分別化簡(jiǎn)得出答案．【解題過程】解：∵﹣1＜a＜0，∴(a+=a=(a-＝a-1a-（=-2故選：D．9．（2021春?金安區(qū)校級(jí)期末）若xy＞0，則二次根式x-yx2化簡(jiǎn)的結(jié)果為【思路點(diǎn)撥】直接利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)得出答案．【解題過程】解：∵xy＞0，∴x，y同號(hào)，∵-y∴-yx∴y＜0，則x＜0，∴二次根式x-yx2化簡(jiǎn)的結(jié)果為：x?（故答案為：--y10．（2021秋?浦東新區(qū)校級(jí)月考）設(shè)27+102=a+b，其中a為正整數(shù)，0＜b＜1，則a﹣b＝【思路點(diǎn)撥】先把27+102化簡(jiǎn)求出a+b的值，再根據(jù)a為正整數(shù)，b在0，1之間求出符合條件的a的值，求出對(duì)應(yīng)的b【解題過程】解：∵27+102=25+2×5∴a+b＝5+2=6+（2∵a為正整數(shù)，0＜b＜1，∴a＝6，b=2-∴a﹣b＝6﹣（2-1）＝7-故答案為：7-211．（2021?寧波模擬）若x=2+2，y=2-2，則x6+y6的值是【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意可求出x2+y2，x2﹣y2，利用平方差公式可求得x4﹣y4，（x2﹣y2）（x4﹣y4）＝x6+y6﹣x2y4﹣y2x4，由此可得答案．【解題過程】解：由題意得：x2+y2＝2+2+2-2=4，x2﹣y2＝2+2-（2-2）＝22，x4﹣y4＝（x2+y2）（x2又（x2﹣y2）（x4﹣y4）＝x6+y6﹣x2y4﹣y2x4，∴可得：x6+y6＝32+x2y2（x2+y2）＝32+2×4＝40．故答案為：40．12．（2021秋?閔行區(qū)校級(jí)期中）已知x=n+1-nn+1+n，y=n+1+nn+1-n，且19x2+123【思路點(diǎn)撥】先將x，y分母有理化化簡(jiǎn)為含n的代數(shù)式，可得x+y＝4n+2，xy＝1，然后將xy＝1代入19x2+123xy+19y2＝1985，結(jié)果化簡(jiǎn)為x2+y2＝98，進(jìn)而求解．【解題過程】解：∵x=n+1-nn+1+n=(n+1-n)y=n+1+nn+1-n，(n+1+n)∴x+y＝4n+2，xy＝1，將xy＝1代入19x2+123xy+19y2＝1985得19x2+123+19y2＝1985，化簡(jiǎn)得x2+y2＝98，（x+y）2＝x2+y2+2xy＝98+2＝100，∴x+y＝10．∴4n+2＝10，解得n＝2．故答案為：2．13．（2020?浙江自主招生）若某個(gè)正整數(shù)m滿足121+2+【思路點(diǎn)撥】先把分母有理化，再裂項(xiàng)相加，中間可以抵消即可求解．【解題過程】解：∵121321431(m+1)m方程左邊==1-m+1m+1所以得1-m+1∴m+1m+1∴m+1(m+1解得m＝15．故答案為：15．14．（2021秋?寶山區(qū)校級(jí)月考）（1）nm12m3?(-1m【思路點(diǎn)撥】（1）利用二次根式的乘除法的法則以及二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)對(duì)式子進(jìn)行運(yùn)算即可；（2）先把系數(shù)相乘再把被開方數(shù)相乘，被開方數(shù)中的多項(xiàng)式要分解因式，約分后在化成最簡(jiǎn)的形式．【解題過程】解：（1）nm1=-n=-n=-n=-n=-n=-n（2）原式＝﹣9×＝﹣63＝﹣36|a|．15．（2021春?饒平縣校級(jí)期末）觀察下列各式，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：1+13=213；2+14=3（1）填空：4+16=，5+1（2）計(jì)算（寫出計(jì)算過程）：2014+1（3）請(qǐng)用含自然數(shù)n（n≥1）的代數(shù)式把你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律表示出來(lái)．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)已知等式得出規(guī)律，寫出所求結(jié)果即可；（2）利用二次根式性質(zhì)計(jì)算得到結(jié)果即可；（3）歸納總結(jié)得到一般性規(guī)律，寫出即可．【解題過程】解：（1）根據(jù)題意得：4+16=516；故答案為：516；61（2）2014+12016=（3）歸納總結(jié)得：n+1n+2=（n+1）1n+216．（2021秋?渭濱區(qū)期末）（一）閱讀下面內(nèi)容：12+11315+2（二）計(jì)算：（1）17+（2）1n+1+n（3）11+【思路點(diǎn)撥】（二）（1）原式分母有理化即可得到結(jié)果；（2）歸納總結(jié)得到一般性規(guī)律，寫出即可；（3）原式利用得出的規(guī)律計(jì)算即可得到結(jié)果．【解題過程】解：（二）（1）原式=7（2）n+1-（3）原式=2-1+3-17．（2020秋?梁平區(qū)期末）閱讀下述材料：我們?cè)趯W(xué)習(xí)二次根式時(shí)，熟悉了分母有理化及其應(yīng)用．其實(shí)，有一個(gè)類似的方法叫做“分子有理化”：與分母有理化類似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，從而消掉分子中的根式．比如：7-分子有理化可以用來(lái)比較某些二次根式的大小，也可以用來(lái)處理一些二次根式的最值問題．例如：比較7-6和6-5的大小．可以先將它們分子有理化．如下：因?yàn)?+6＞再例如：求y=x+2解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y=x+2當(dāng)x＝2時(shí)，分母x+2+x-2有最小值2，所以y的最大值是解決下述問題：（1）比較32-4和23（2）求y=1+x【思路點(diǎn)撥】（1）利用分母有理化得到32-4=232+4，23-10=223+10，利用3（2）根據(jù)二次根式有意義的條件得到由1+x≥0，x≥0，則x≥0，利用分母有理化得到y(tǒng)=11+x+x，由于x＝0時(shí)，1+x+【解題過程】解：（1）∵32-4=23-而32＞23，4＞∴32+4＞23∴32-4＜23（2）由1+x≥0，x≥0得x≥0，而y=1+x∵x＝0時(shí)，1+x+x有最小值∴y的最大值為1．18．（2020秋?遵化市期末）定義：若兩個(gè)二次根式a、b滿足a?b＝c，且c是有理數(shù)，則稱a與b是關(guān)于c的共軛二次根式．（1）若a與2是關(guān)于4的共軛二次根式，則a＝．（2）若2+3與4+3m是關(guān)于2的共軛二次根式，求【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)共軛二次根式的定義列等式可得a的值；（2）根據(jù)共軛二次根式的定義列等式可得m的值．【解題過程】解：（1）∵a與2是關(guān)于4的共軛二次根式，∴2a＝4，∴a=42=故答案為：22；（2）∵2+3與4+3m是關(guān)于∴（2+3）（4+3m）＝∴4+3m=22+3=∴m＝﹣2．19．（2021春?南川區(qū)期中）12+13＞212×13；6+3＞26×3；1（1）觀察上面的式子，請(qǐng)你猜想a+b與2ab（a≥0，b≥0）的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）請(qǐng)利用上述結(jié)論解決下面問題：如圖，某同學(xué)在做一個(gè)面積為800cm2，對(duì)角線相互垂直的四邊形風(fēng)箏時(shí)，求用來(lái)做對(duì)角線的竹條至少要多少厘米？【思路點(diǎn)撥】（1）參照題干例子可直接寫出，可用完全平方公式來(lái)說(shuō)明理由；（2）設(shè)對(duì)角線的長(zhǎng)分別為a厘米，b厘米，則12ab=800，再根據(jù)公式【解題過程】解：（1）a+b≥2ab（a≥0，b≥0∵a+b-2ab=(a)∴a+b≥2ab（2）設(shè)對(duì)角線的長(zhǎng)分別為a厘米，b厘米，由對(duì)角線互相垂直，四邊形面積可表示為12則12ab=∴ab＝1600，∵a+b≥2ab=2×∴所以用來(lái)做對(duì)角線的竹條至少要用80cm．20．（2021春?饒平縣校級(jí)期末）觀察下列等式：回答問題：①1+112+1②1+122+③1+132+14（1）根據(jù)上面三個(gè)等式的信息，猜想1+14（2）請(qǐng)按照上式反應(yīng)的規(guī)律，試寫出用n表示的等式；（3）驗(yàn)證你的結(jié)果．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)觀察，可得規(guī)律：1+1n2【解題過程】解：（1）根據(jù)上面三個(gè)等式的信息，猜想1+142故答案為：1120（2）1+1n2（3）1+=[n(n+1)=n(n+1)+1=n(n+1)+(n+1)-n＝1+121．（2021春?龍口市期中）閱讀下列解題過程例：若代數(shù)式(a-1)2+(a-3)2的值是解：原式＝|a﹣1|+|a﹣3|，當(dāng)a＜1時(shí)，原式＝（1﹣a）+（3﹣a）＝4﹣2a＝2，解得a＝1（舍去）；當(dāng)1≤a≤3時(shí)，原式＝（a﹣1）+（3﹣a）＝2＝2，符合條件；當(dāng)a＞3時(shí)，原式＝（a﹣1）+（a﹣3）＝2a﹣4＝2，解得a＝3（舍去）所以，a的取值范圍是1≤a≤3上述解題過程主要運(yùn)用了分類討論的方法，請(qǐng)你根據(jù)上述理解，解答下列問題（1）當(dāng)2≤a≤5時(shí)，化簡(jiǎn)：(a-2)2+（2）若等式(3-a)2+(a-7)2=4成立，則a（3）若(a+1)2+(a-5)2【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)即可求出答案；（2）先將等式的左邊進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后分情況討論即可求出答案；（3）先將等式的左邊進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后分情況討論即可求出答案；【解題過程】解：（1）∵2≤a≤5，∴a﹣2≥0，a﹣5≤0，∴原式＝|a﹣2|+|a﹣5|＝a﹣2﹣（a﹣5）＝3；（2）由題意可知：|3﹣a|+|a﹣7|＝4，當(dāng)a≤3時(shí)，∴3﹣a≥0，a﹣7＜0，