2024年高考數(shù)學(xué)沖刺真題題型四及答案

高中

沖刺2024年高考數(shù)學(xué)真題重組卷

真題重組卷04

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

第I卷（選擇題）

一'單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合要求的。

1.（2022?新高考1）若集合河={刈4<4},N={x\3x...1},則）

A.{x10?x<2}B.{x1x<2}C.{x13?x<16}D.{x\^?x<16}

2.（2023全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理））設(shè)z=,2、貝%=（）

1+1+1

A.l-2iB.l+2iC.2-iD.2+i

3.（2023?天津）調(diào)查某種花萼長(zhǎng)度和花瓣長(zhǎng)度，所得數(shù)據(jù)如圖所示，其中相關(guān)系數(shù)

r=0.8245,下列說法正確的是（）

A.花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度沒有相關(guān)性

B.花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)

C.花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度呈現(xiàn)正相關(guān)

D.若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關(guān)系數(shù)一定是0.8245

4.（2023?天津）“/=/”是“+及=2ab”的（）

A.充分不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

5.（2023全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理））4.有五名志愿者參加社區(qū)服務(wù)，共服務(wù)星期六、星期天兩天,

每天從中任選兩人參加服務(wù)，則恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)為（）

A.120B.60C.40D.30

6.（2023全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（文）（理））己知函數(shù)"x）=sin（s+9）在區(qū)間

高中1

高中

直線工=與和》=與為函數(shù)了=/（"的圖像的兩條對(duì)稱軸

7.（2023全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（文））在三棱錐尸-48。中，A/BC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,

PA=PB=2,PC=&,則該棱錐的體積為（）

B.V3

8.(2022?新高考II)已知函數(shù)“X)的定義域?yàn)镽,<f(x+y)+f[x-y)=f(x)f(y),f

(1)=1,則￡/%)=(

A.-3B.-2

二'多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有

多項(xiàng)符合題目的要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。

9.（2020新課標(biāo)全國(guó)I卷）已知曲線C:7M/+即2=].（）

A.若加>">0,則C是橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上

B.若加=">0,則C是圓，其半徑為6

D.若僅=0,?>0,則C是兩條直線

10.（2023新課標(biāo)全國(guó)II卷）在信道內(nèi)傳輸0,1信號(hào)，信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立.發(fā)送。時(shí)，收

到1的概率為a（0<a<l）,收到0的概率為1-a；發(fā)送1時(shí)，收到0的概率為4（0<尸<1）,

收到1的概率為1-/.考慮兩種傳輸方案單次傳輸和三次傳輸.單次傳輸是指每個(gè)信號(hào)只

發(fā)送1次，三次傳輸是指每個(gè)信號(hào)重復(fù)發(fā)送3次.收到的信號(hào)需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：

單次傳輸時(shí)，收到的信號(hào)即為譯碼三次傳輸時(shí)，收到的信號(hào)中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例

如，若依次收到1,0,1,則譯碼為1）.

A.采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1,0,1,則依次收到1,0,1的概率為（l-a）（l-￡）2

B.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則依次收到1,0,1的概率為/（1-6產(chǎn)

C.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則譯碼為1的概率為以1-￡）2+Q-03

D.當(dāng)0<a<0.5時(shí)，若發(fā)送0,則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方

案譯碼為0的概率

高中2

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11.（2023新課標(biāo)全國(guó)I卷）已知函數(shù)“X）的定義域?yàn)镽,〃肛）=//（》）+//5）,則

（）.

A./⑼=0B./⑴=0

C.“X）是偶函數(shù)D.x=0為/（x）的極小值點(diǎn)

第H卷（非選擇題）

三'填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.（2023?天津）在AXBC中，乙1=60。，|而|=1,點(diǎn)。為48的中點(diǎn)，點(diǎn)E為C。的中

點(diǎn)，若設(shè)AB=a,AC=b,則AE可用G,b表示為.

13.（2022?新高考I）（l-2）（x+y）8的展開式中的系數(shù)為（用數(shù)字作

X

答）.

14.（2023?北京）我國(guó)度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國(guó)時(shí)期就出現(xiàn)了類似于祛碼的用來(lái)

測(cè)量物體質(zhì)量的“環(huán)權(quán)”.已知9枚環(huán)權(quán)的質(zhì)量（單位：銖）從小到大構(gòu)成項(xiàng)數(shù)為9的數(shù)列

{%,},該數(shù)列的前3項(xiàng)成等差數(shù)列，后7項(xiàng)成等比數(shù)列，且q=1,a5=U,%=192,則

%=，數(shù)列{%}的所有項(xiàng)的和為.

四、解答題:本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟。

15.（本小題滿分13分）（2021?新高考H）在AABC中，角/,B,C所對(duì)的邊長(zhǎng)為a,

b,c,6=a+l,c=a+2.

（1）若2sinC=3sin/,求A4BC的面積；

（2）是否存在正整數(shù)“，使得A48c為鈍角三角形？若存在，求出。的值；若不存在，說

明理由.

16.（本小題滿分15分）（2023?新高考I）如圖，在正四棱柱48。-同月G。中，48=2,

BB

=4.點(diǎn)4，B1,C2,2分別在棱，x，CCj,上，AA2=\,

BB2=DD2=2,CC2=3.

（1）證明：B2C2//A2D2；

高中3

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（2）點(diǎn)P在棱3片上，當(dāng)二面角P-4c2-2為150。時(shí)，求52P.

17.（本小題滿分15分）（2023?新高考I）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如

下:若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對(duì)方投籃.無(wú)論之前投籃情況如何，甲每次投

籃的命中率均為0.6,乙每次投籃的命中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次

投籃的人是甲、乙的概率各為05

（1）求第2次投籃的人是乙的概率；

（2）求第i次投籃的人是甲的概率；

（3）已知：若隨機(jī)變量X,服從兩點(diǎn)分布，且尸（X,=1）=1-尸（X,=0）=%,，=1,2,???

n,則成fx,）=$>,.記前〃次（即從第1次到第〃次投籃）中甲投籃的次數(shù)為Y,求

Z=1Z=1

E（Y）.

18.（本小題滿分17分）（2023?新高考H）已知雙曲線C中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為

（―2^/5,0）,禺心率為.

（1）求C的方程；

（2）記C的左、右頂點(diǎn)分別為4，4，過點(diǎn)（-4,0）的直線與。的左支交于"，N兩點(diǎn),M

在第二象限，直線"4與板2交于尸，證明尸在定直線上.

19.（本小題滿分17分）（2022?甲卷（理））已知函數(shù)〃x）=^--lnx+x-a.

X

（1）若/（X）...o,求。的取值范圍；

高中4

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（2）證明：若/（X）有兩個(gè)零點(diǎn)玉，x2,則演工2<1?

沖刺2024年高考數(shù)學(xué)真題重組卷

真題重組卷04

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

第I卷（選擇題）

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合要求的。

1.（2022?新高考I）若集合M={x|4<4},N={x|3x...l},則”「|乂=（）

A.{x10?x<2}B.{x|—?x<2}C.{x]3?x<16}D.{x|^?x<16}

【答案】D

【解析】由石<4,得0”x<16,Af={x14<4}={x10,,x<16},

由3x...1,得x...；,N={x13x...1}={x|x…；},

={x|0”x<16}P]{x歸..；}={x|x<16}.故選：D.

2.（2。23全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理））設(shè)2=串法?,則屋（）

A.l-2iB.l+2iC.2-iD.2+i

【答案】B

2+ii(2+D2i-l

【詳解】由題意可得z==l-2i,

l+i2+i51-1+i-1

則2=1+3.故選：B.

3.（2023?天津）調(diào)查某種花萼長(zhǎng)度和花瓣長(zhǎng)度,所得數(shù)據(jù)如圖所示，其中相關(guān)系數(shù)

r=0.8245,下列說法正確的是（）

A.花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度沒有相關(guān)性

高中5

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B.花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)

C.花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度呈現(xiàn)正相關(guān)

D.若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關(guān)系數(shù)一定是0.8245

【答案】C

【解析】?.?相關(guān)系數(shù)”0.8245>0.75,且散點(diǎn)圖呈左下角到右上角的帶狀分布,

花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度呈正相關(guān).

若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關(guān)系數(shù)不一定是0.8245.故選：C.

4.（2023?天津）“/=尸”是“Y+及=2ab”的（）

A.充分不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】a2=b2,即（a+b）（a-6）=0,解得a=或。=6,

a2+b2=lab,即(a-=0,解得a=b,

故"/=b2”不能推出“/+6?=2ab"，充分性不成立,

/+/=2"”能推出“/=/，，，必要性成立,

故“/=/”是“cr+b-=2ab”的必要不充分條件.

故選：B.

5.（2023全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理））4.有五名志愿者參加社區(qū)服務(wù)，共服務(wù)星期六、星期天兩天,

每天從中任選兩人參加服務(wù)，則恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)為（）

A.120B.60C.40D.30

【答案】B

【詳解】不妨記五名志愿者為a/,G&e,

假設(shè)a連續(xù)參加了兩天社區(qū)服務(wù)，再?gòu)氖Ｓ嗟?人抽取2人各參加星期六與星期天的社區(qū)服

務(wù)，共有A；=12種方法，同理：6,c,d,e連續(xù)參加了兩天社區(qū)服務(wù)，也各有12種方法,

所以恰有1人連續(xù)參加了兩天社區(qū)服務(wù)的選擇種數(shù)有5x12=60種.

故選：B.

712兀

6.（2023全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（文）（理））已知函數(shù)/（x）=sin（（yx+9）在區(qū)間單調(diào)遞增,

直線和為函數(shù)（）的圖像的兩條對(duì)稱軸，則/5兀

x=9x=4y=/x)

O312

高中6

高中

A.B.C.

72

【答案】D

【詳解】因?yàn)?（x）=sin（G%+0）在區(qū)間

T7717T7T27r

所以萬(wàn)=了一/3,且0>°,則7=*"7=2,

當(dāng)x=F時(shí)，/（X）取得最小值，則2二+0=2阮一5，keZ,

662

nt—T5兀,keZ,不妨取左=0,貝|/(x)=sin[2x—~-j,

貝(J0=24兀---

6

7.（2023全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（文））在三棱錐尸-/BC中，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,

PA=PB=2,PC=4G,則該棱錐的體積為（）

A.1B.V3C.2D.3

【答案】A

【詳解】取N8中點(diǎn)E,連接PE,CE,如圖，

"BC是邊長(zhǎng)為2的等邊二角形，PA=PB=2,

:.PEVAB,CEA.AB,又尸E,C￡u平面「EC,PECCE=E,

481平面PEC,

又PE=CE=2八一=a,PC=遍,

2

故PC?=PE?+CE?,PEICE,

所以憶=/“￡c+%"Ec=；Sk￡c22=；xgxGxex2=l,故選：A

8.(2022?新高考H)已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)槌?，?(x+y)+/(x-y)=/a)/(y)，f

22

⑴=1,則左)=()

k=l

A.-3B.-2C.0D.1

高中7

高中

【答案】A

【解析】令y=l，M/(x+l)+/(x-1)=/(%),即/(x+l)=/(x)-/a-l),

■-fix+2)=f(x+1)-fix),f(x+3)=f(x+2)-f(x+1),

■-fix+3)=-/?，則+6)=-/(x+3)=f(x),

/(x)的周期為6,

令X=l,v=0得/(1)+f(1)=/(1)X/(O),解得〃0)=2,

X/(x+D=/(x)-/(x-l),

.?./⑵=f⑴-/(0)=-1，

f(3)=f(2)-f(1)=-2,

f(4)=f(3)-f(2)=-l,

/(5)=f(4)-f(3)=1,

f(6)=/(5)-/(4)=2,

6

■(左)=1-1-2-1+1+2=0,

k=\

22

￡/(Ar)=3x0+/(19)+/(20)+/(21)+/(22)=/(1)+f(2)+/(3)+/(4)=-3.

k=\

故選：A.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有

多項(xiàng)符合題目的要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。

9.(2020新課標(biāo)全國(guó)I卷)已知曲線C:加x?+即2=1.()

A.若〃》心0,則C是橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上

B.若加寸>0,則C是圓，其半徑為戰(zhàn)

C.若加〃<0,則C是雙曲線，其漸近線方程為y=±J-'x

Vn

D.若"2=0,?>0,則C是兩條直線

【答案】ACD

高中8

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【解析】對(duì)于A,若加〉〃〉0,則加—+町;2=］可化為__1___|_21_1=1,

mn

因?yàn)榧?gt;〃>0,所以

mn

即曲線。表示焦點(diǎn)在歹軸上的橢圓，故A正確；

對(duì)于B,若掰=〃〉0,貝1J加/+即2=1可化為+歹2=_,

n

此時(shí)曲線C表示圓心在原點(diǎn)，半徑為?的圓，故B不正確；

n

22

上+匕=1

對(duì)于C,若加〃<0,貝IJ加/+町2=1可化為11,

mn

此時(shí)曲線C表示雙曲線，

由必2+盯2=0可得"土一絲x,故C正確；

vn

對(duì)于D,若根=0,〃>0,則加/+切/=］可化為,

n

y=土?,此時(shí)曲線。表示平行于％軸的兩條直線，故D正確；

n

故選：ACD.

10.(2023新課標(biāo)全國(guó)II卷)在信道內(nèi)傳輸0,1信號(hào)，信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立.發(fā)送0時(shí)，收

到1的概率為a(0<a<l),收到0的概率為1-a；發(fā)送1時(shí)，收到0的概率為6(0<尸<1),

收到1的概率為1-4.考慮兩種傳輸方案單次傳輸和三次傳輸.單次傳輸是指每個(gè)信號(hào)只

發(fā)送1次，三次傳輸是指每個(gè)信號(hào)重復(fù)發(fā)送3次.收到的信號(hào)需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：

單次傳輸時(shí)，收到的信號(hào)即為譯碼三次傳輸時(shí)，收到的信號(hào)中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼(例

如，若依次收到1,0,1,則譯碼為1).

A.采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1,0,1,則依次收到1,0,1的概率為(1-a)(l-#)2

B.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則依次收到1,0,1的概率為夕(1-6產(chǎn)

C.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則譯碼為1的概率為夕(1-夕)2+(1_03

D.當(dāng)0<々<0.5時(shí)，若發(fā)送0,則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方

案譯碼為0的概率

【答案】ABD

【解析】對(duì)于A,依次發(fā)送1,0,1,則依次收到1,0,1的事件是發(fā)送1接收1、發(fā)送0

接收0、發(fā)送1接收1的3個(gè)事件的積，

高中9

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它們相互獨(dú)立，所以所求概率為(1-￡)(1-&)"￡)=4)2,A正確；

對(duì)于B,三次傳輸，發(fā)送1,相當(dāng)于依次發(fā)送1,I,1,則依次收到1,0,1的事件，

是發(fā)送1接收1、發(fā)送1接收0、發(fā)送1接收1的3個(gè)事件的積，

它們相互獨(dú)立，所以所求概率為(1-月)?夕(1-萬(wàn))=#(1-￡)2,B正確；

對(duì)于C,三次傳輸，發(fā)送1,則譯碼為1的事件是依次收到1,1,0、1,0,1、0,1,1和

1,1,1的事件和，

它們互斥，由選項(xiàng)B知，所以所求的概率為C](l-02+(1-〃)3=(1-02(1+2/)，c錯(cuò)誤;

對(duì)于D,由選項(xiàng)C知，三次傳輸，發(fā)送0,則譯碼為0的概率P=(l-a)2(l+2a),

單次傳輸發(fā)送0,則譯碼為0的概率P=1-a,而0<a<0.5,

因此P-尸'=(1一a)2(l+2a)-(1一a)=a(l-a)(l-2a)>0,即尸>P,D正確.

故選：ABD

I.(2023新課標(biāo)全國(guó)I卷)已知函數(shù)“X)的定義域?yàn)镽,f(孫)=y2f(x)+x2〃y),則

().

A./(0)=0B."1)=0

C.〃x)是偶函數(shù)D.x=0為/(x)的極小值點(diǎn)

【答案】ABC

【解析】方法一：因?yàn)?兇)=/〃X)+//(y)，

對(duì)于A,令x=y=0,/(0)=0/(0)+0/(0)=0,故A正確.

對(duì)于B,令x=y=l,/(1)=1/(1)+1/(1),則/⑴=0,故B正確.

對(duì)于C,令工=〉=一1,/(1)=/(-1)+/(-1)=2/(-1),則/(T)=0,

令"-1J(T)=〃尤)+x2/(-l)=〃尤)，

又函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,所以/(x)為偶函數(shù)，故C正確，

對(duì)于D,不妨令/(x)=0,顯然符合題設(shè)條件，此時(shí)/(x)無(wú)極值，故D錯(cuò)誤.

方法二：因?yàn)閒(xy)=y2f(x)+尤2/0),

對(duì)于A,令x=y=0,/(0)=0/(0)+0/(0)=0,故A正確.

對(duì)于B,令x=*l,/(1)=1/(1)+1/(1),則/⑴=0,故B正確.

高中10

高中

對(duì)于C,令x=y=T,/(I)=/(-I)+/(-1)=2/(-1),則于-1)3,

令y=-1)=〃x)+x2/(-l)=/(x)，

又函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,所以/(x)為偶函數(shù)，故C正確，

對(duì)于D,當(dāng)//力0時(shí)，對(duì)/'(中)=}//(》)+*/'3兩邊同時(shí)除以_￥2/，得到

/(孫)“X)J3)

2,2-J十八2'

xvynxy

x2ln|x|,x0

0,x=0

當(dāng)x>0月寸，f(x)=x21nx,貝!!/'(無(wú))=2xlnx+x2?工=x(21nx+l),

令/'(x)<0,得o<x<eW；令*H>。，得x>e+；

故/(x)在I。，/］上單調(diào)遞減，在￡［,+?>］上單調(diào)遞增，

因?yàn)椤▁)為偶函數(shù)，所以/(x)在上單調(diào)遞增，在-s,e費(fèi)上單調(diào)遞減,

顯然，此時(shí)x=0是/(x)的極大值，故D錯(cuò)誤.

故選：ABC.

第II卷(非選擇題)

三'填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分

12.(2023?天津)在ZU2C中，乙4=60。，|前|=1,點(diǎn)。為48的中點(diǎn)，點(diǎn)E為的中

點(diǎn)，若設(shè)48=@,AC=b,則/￡可用很表示為.

【答案】-a+-b.

42

【解析】在A43c中，ZA=60°,|SC|=1,點(diǎn)。為48的中點(diǎn)，點(diǎn)E為CO的中點(diǎn),

AB=a,AC=b,

高中11

高中

貝Ij京」（詬+/）」與+工就」1+攵

24242

13.（2022?新高考I）（1一2）（x+y）8的展開式中//的系數(shù)為（用數(shù)字作

X

答）.

【答案】-28.

［解析】a+4的通項(xiàng)公式為,

2635

當(dāng)r=6時(shí)，7；=C^xy,當(dāng)r=5時(shí)，T6=C1xy,

：.（1--）（x+yf的展開式中x2/的系數(shù)為C：-C；=-........-=28-56=-28.

x6!，2!5!，3!

14.（2023?北京）我國(guó)度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國(guó)時(shí)期就出現(xiàn)了類似于祛碼的用來(lái)

測(cè)量物體質(zhì)量的“環(huán)權(quán)”.已知9枚環(huán)權(quán)的質(zhì)量（單位：銖）從小到大構(gòu)成項(xiàng)數(shù)為9的數(shù)列

｛an｝,該數(shù)列的前3項(xiàng)成等差數(shù)列，后7項(xiàng)成等比數(shù)列，且4=1,a5=U,為=192,則

%=，數(shù)列｛4｝的所有項(xiàng)的和為.

【答案】48；384.

［解析】v數(shù)列0｝的后7項(xiàng)成等比數(shù)列,%>0,

a?=J。9=J12x192=48,

..。彳=3x2=6，

又該數(shù)列的前3項(xiàng)成等差數(shù)列，

...數(shù)歹U｛%｝的所有項(xiàng)的和為A；%）+6xfJ）=3x（；9+378=384.

四、解答題;本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明'證明過程及驗(yàn)算步驟。

15.（本小題滿分13分）（2021?新高考H）在AA8C中，角工，B,。所對(duì)的邊長(zhǎng)為°,

b,c,b=a+l,c=a+2.

（1）若2sinC=3sinZ,求AABC的面積；

（2）是否存在正整數(shù)a,使得AABC為鈍角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，說

高中12

高中

明理由.

【解析】(1)2sinC=3sin,

，根據(jù)正弦定理可得2c=3a,

'：b=a+\9c=a+2,

..a=4,b=5,c=6,

222

在A48c中，運(yùn)用余弦定理可得cos上~J=4+5_—J6=_L1

2ab2x4x58

sin2C+cos2C=1,

?1,.?1,c3V715s

S.=-absmC=—x4x5x----=-----.

NABRCr2284

(2)c>b>a,

A45C為鈍角三角形時(shí)，角。必為鈍角，

222

「a+b-c“2+(〃+1)2―(〃+2)2

cosC=----------=----------——----—<0,

2ab2a(a+1)

/.Q?—2a-3<0,

?「a>0,

:.0<a<3,

???三角形的任意兩邊之和大于第三邊，

:.a+b>c,艮RQ+Q+1>Q+2,艮13a>1,

:.\<a<3，

'：a為正整數(shù),

a=2.

16.（本小題滿分15分）（2023?新高考I）如圖，在正四棱柱45C。-4AG。中,AB=2,

AAX=4.點(diǎn)4,B2,G，3分別在棱，BB］,CC］，DD］上,AA2=1,

BB2=DD2=2,CC2=3.

(1)證明：B2C2//A2D2；

（2）點(diǎn)P在棱2片上，當(dāng)二面角P-4c2-2為150。時(shí)，求52P.

高中13

高中

【解析】(1)證明：根據(jù)題意建系如圖，則有：

8式0,2,2),C2(0,0,3),4(2,2,1),D2(2,0,2),

/=(0,-2,1),4^^(0,-2,1),

瓦己=4瓦，又B],c2,4,3四點(diǎn)不共線，

B2c2//；

(2)在(1)的坐標(biāo)系下，可設(shè)P(0,2,t),Ze[0,4],

又由（1）知。2（。，。，3）,4（2,2,1）,。式2,0,2）,

Q4=(2,2,-2),于=(0,2/-3),而=(0,-2,1),

設(shè)平面PA1C2的法向量為m=(x,y,z),

=2x+2y-2z=0仃

則〈_，取比=("1,3—,2),

m-C2P=2y+(t-3)z=0

設(shè)平面4c2打的法向量為n=(a,b,c),

[n-C?A?=2a+2b-2c=0口

則二^,取拓=(1,1,2),

ri-A2D2=—2b+c=0

根據(jù)題意可得|cos150。1=1cos<m,n>|J應(yīng)/,

\m\\n\

V36

?1232

2A/(-)+(-0+4XV6

?-4/+3=0,又fe[0,4],

解得f=1或1=3,

高中14

高中

P為Bf2的中點(diǎn)或B2B的中點(diǎn),

B2P=1.

17.(本小題滿分15分)(2023?新高考I)甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如

下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對(duì)方投籃.無(wú)論之前投籃情況如何，甲每次投

籃的命中率均為0.6,乙每次投籃的命中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次

投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.

(1)求第2次投籃的人是乙的概率；

(2)求第i次投籃的人是甲的概率；

(3)己知：若隨機(jī)變量％服從兩點(diǎn)分布，且尸(X,=1)=1-P(X,=0)=q,,i=l,2,???

n,則=記前〃次(即從第1次到第〃次投籃)中甲投籃的次數(shù)為丫，求

1=1Z=1

【解析】(1)設(shè)第2次投籃的人是乙的概率為尸,

由題意得尸=0.5x04+0.5x0.8=0.6；

(2)由題意設(shè)月為第"次投籃的是甲，

則Pn+l=0.6Pn+0.2(1-Pn)=0APn+0.2,

==貝U區(qū)-g｝是首項(xiàng)為公比為0.4的等比數(shù)歹!J,

.?.第，次投籃的人是甲的概率為P,

(3)由(2)得耳=

高中15

高中

由題意得甲第，次投籃次數(shù)匕服從兩點(diǎn)分布,且產(chǎn)區(qū)=1)=1-尸(X=0)=￡,

.田*)=叱)=以，

Z=11=1

12.

nin—U-(一)"]r9

當(dāng)?-i時(shí)，磯y)=Z4=玄n(|r'+v-——一針]+不

i=i0,=]D3]/31o33

~5

S?0

當(dāng)〃=0時(shí)，E(y)=o=口一()。]+

1o53

57H

綜上所述，^(K)=—[l-(-)"]+-,n^N.

1853

18.(本小題滿分17分)(2023?新高考H)已知雙曲線C中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為

(―2A/5,0),離心率為.

(1)求C的方程；

(2)記C的左、右頂點(diǎn)分別為4，4,過點(diǎn)(-4,0)的直線與c的左支交于/,N兩點(diǎn)，M

在第二象限，直線"4與乂交于尸，證明尸在定直線上.

【解析】(1)雙曲線C中心為原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為(-2石，0),離心率為追，

c2=a2+b2

則c=20,解得!"=2,

故雙曲線C的方程為巨=1；

416

(2)證明：過點(diǎn)(-4,0)的直線與C的左支交于M,N兩點(diǎn)，

則可設(shè)直線"N的方程為了=叼-4,M(X],以)，N(X2,%),

記C的左，右頂點(diǎn)分別為4，4，

則4(-2,0),4(2,0),

聯(lián)立卜:陽(yáng)；4,化簡(jiǎn)整理可得，(4病_32_32町+48=0,

[4x-y=16

故^=(—32加了-4x48x(4m2-1)=264m2+192>0_14m2-1^0,

高中16

高中

32m48

必+%

4m2-14m2-1

直線的方程為y=(x+2),直線N4方程y=一(x-2),

%+2x,-2

故x+2=%(再+2)=%(〃沙1-2)

x-2y他-2)%Q佻-6)

_明％-2(“+%)+2乂

陽(yáng)1%-6%

m—2,32,+2%

4m2-l4m2-11

48

4m2—1

-16m.

4/n^l乂￡

48m,3

Z^r6必

故六二解得、=7,

所以巧,=-1,

故點(diǎn)P在定直線x=-l上運(yùn)動(dòng).

19.(本小題滿分17分)(2022?甲卷(理))已知函數(shù)〃x)=^--lnx+x-a.

X

(1)若/(X)..O,求Q的取值范圍;

(2)證明：若/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)看，x2,則再馬<1.

【解析】a)〃x)的定義域?yàn)?0,+00),〃尤戶」+]=e+叩--,

XXX

令廣(x)〉0,解得X>1,故函數(shù)/(%)在(0,1)單調(diào)遞減，(1,+8)單調(diào)遞增，

故/(%)*=/(1)=e+l-a,要使得/(%)..0恒成立,僅需e+1-a..0,

故a”e+l,故。的取值范圍是(-8,e+1]；

(2)證明：由已知有函數(shù)/(%)要有兩個(gè)零點(diǎn)，故/(1)=e+l-a<0,即a>e+l,

不妨設(shè)0<西<1<%2，要證明玉々〈I，即證明々(,，

0<玉<1,-->19

即證明：又因?yàn)?⑴在(1,+00)單調(diào)遞增，

高中17

高中

即證明：f(x)</(-)O/(%1)</(-)-

2須石

構(gòu)造函數(shù)〃(x)=/(X)-/(―)，O<X<1,

X

/x)=/v)-[/(-)r=(XT)(/+「D，

XX

]_

構(gòu)造函數(shù)加(x)=靖+x-xex-1,

_11

m\x)=ex+l-ex(l--),因?yàn)?<xvl,所以1一一<0,

xx

故加口)>0在(0,1)恒成立，故m(x)在(0,1)單調(diào)遞增，

故m(x)<m(1)=0

又因?yàn)閤-IvO,故1(R)>0在(0,1)恒成立，故〃(%)在(0,1)單調(diào)遞增,

又因?yàn)椤?1)=0,故(1)=0,

故/(演)</(')，即玉々〈I。得證?

沖刺2024年高考數(shù)學(xué)真題重組卷

真題重組卷04(參考答案)

(考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分)

第I卷(選擇題)

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合要求的。

12345678

DBCBBDAA

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有

多項(xiàng)符合題目的要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。

91011

ACDABDABC

第II卷(非選擇題)

高中18

高中

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

1一1-

12.一。H—b13.—2814.48；384

42

四、解答題:本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟。

15.(本小題滿分13分)

【解析】(1)...2sinC=3sin4,

，根據(jù)正弦定理可得2c=3a,

'：b=a+\,c=a+2,

..47—4fb=5,c=6,

/+從一0242+52—621

在A48c中，運(yùn)用余弦定理可得cos上~J=_±=_L,

2ab2x4x58

???sin2C+cos2C=l,

sinC=y/l-cos2C=Jl-(1)2=容,

S.,=—aftsinC=—x4x5x.

"RC2284

(2)?:c>b>a，

A4BC為鈍角三角形時(shí)，角。必為鈍角，

「a2+b2-c2a2+(〃+1)2―(〃+2)2

cosC=---------------=--------------——-------—<0，

2ab2a(Q+1)

/./—2cl-3<0,

a>0,

:.0<a<3,

v三角形的任意兩邊之和大于第三邊，

:.a+b>cf艮PQ+Q+1>Q+2,艮

:A<a<3，

???Q為正整數(shù)，

..a=2?

16.(本小題滿分15分)

【解析】(1)證明：根據(jù)題意建系如圖，則有：

生(0,2,2),C2(0,0,3),4(2,2,1),D2(2,0,2),

.?.靖=(0,-2,1),1^=(0,-2,1),

高中19