山東省臨沂市2023-2024學(xué)年高二年級(jí)上冊(cè)期末考試數(shù)學(xué)試題 含答案

山東省臨沂市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末學(xué)科素養(yǎng)水平監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)

試題

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試

卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的.

1.已知直線’的一個(gè)方向向量為⑶火)，則/的傾斜角為()

兀兀兀

A.0B.—C.—D.一

643

2.已知三棱錐P—48C,點(diǎn)跖N分別為8C,我的中點(diǎn)，且2=￡,而=瓦1=3用2,瓦工表示麗，

貝4加=()

I-?-?—?]-?-?—?]—?-?—?]—>—>—>

A.—{ci+b-c)B.—(Jb+c-Q)C.—(c-ci-b)D.—((7-b-c)

3.已知方=(1,2,3),屈=(。)/+2),若點(diǎn)/乃。共線，則。=()

A.1B.2C.3D.4

4.已知拋物線。：/=2眇(0〉0)的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)P(%,2)在。上，|母>：,則直線尸尸的斜率為

()

3,243

±—B.zb—C.±—D.±-

2334

5.中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《周髀算經(jīng)》記載的“日月歷法”曰:“陰陽(yáng)之?dāng)?shù)，日月之法，十九歲為一章，四章為一部,

部七十六歲，二十部為一遂，遂千百五二十歲”，即1遂為1520歲.某療養(yǎng)中心恰有57人，他們的年齡(都為

正整數(shù))依次相差一歲，并且他們的年齡之和恰好為三遂，則最年輕者的年齡為()

A.52B.54C.58D.60

6.已知點(diǎn)2(—2,2),8(2,2),直線/過點(diǎn)。(0,4)且與線段相交，則/與圓(x—5>+(y—1了=2的位置

關(guān)系是()

A.相交B.相離C.相交或相切D.相切或相離

7.一個(gè)小球作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為y=5sin[2位-q-J,其中》單位:cm）是小球相對(duì)于平衡點(diǎn)的位

移，“單位:S）為運(yùn)動(dòng)時(shí)間，則小球的瞬時(shí)速度首次達(dá)到最大時(shí)，/=（）

511

A.1B.—C.—D.—

632

22

8.已知直線/：3x—歹―8=0與雙曲線。：=-勺=1（。＞0力＞0）的兩條漸近線分別交于點(diǎn)43（不重合），

ab

且42在以點(diǎn)（6,0）為圓心的圓上，則。的離心率為（）

B.72C.V3V6

二、選擇題:本共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要

求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）

A[cos(-x)]'=sinxB.

C.(G)=1%2D.(l-x3)1=l-3x2

10.設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為s”,｛4｝的前〃項(xiàng)和為7；,

滿足」=-n+b,且凡=百6,4=1(qW0

n

且gwi),貝ij()

A.｛4｝是等差數(shù)列B.S">0時(shí)，〃的最大值為26

若4=3,則>生=81

C.若4>1,則數(shù)列也｝是遞增數(shù)列D.

4-3

22

11.已知曲線。的方程是」-----匚=1（加€10.則)

m-24-m

A.若。是雙曲線，則加＞4或加＜2

B.若加＞4,則。表示焦點(diǎn)在1軸上的橢圓

14A7

C.若加=一,則。的離心率為四

32

D.若。是離心率為8的雙曲線，則。的焦點(diǎn)到其漸近線距離為1

12.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體48co—中，M,N分別為棱G2，GC的中點(diǎn)，則（）

A.AMIIBNB.點(diǎn)N到平面ABM的距離為注

2

C.平面/四欣與平面跖VS的夾角為45°D,直線跖V與平面45”所成的角為60°

三、填空題:本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.若直線A：(a+l)x-3y+l=0與4：x+@-4=0互相垂直，則。=.

14.已知空間向量Z=(2,1,2),B=-1),則￡在書上的投影向量的坐標(biāo)是.

15.已知橢圓C：W+/=l(a〉b〉0)的離心率為半，直線/與。交于48兩點(diǎn)，直線y=-2x與/的

交點(diǎn)恰好為線段43的中點(diǎn)，貝!!/的斜率為.

n+n

16.已知數(shù)列｛4｝中，a.a2a3---a=2,若函數(shù)/(x)=———巖——答——J(x)的導(dǎo)數(shù)為

/'(X),則八0)=.

四、解答題:本題共6個(gè)小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知函數(shù)/(x)=axlnx在x=l處的切線方程為x—J—1=0.

(1)求。的值；

(2)若過點(diǎn)/(0「e)的直線/與曲線了=/(x)相切，求/的方程.

18.已知等比數(shù)列｛%｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，且2%+&=4,4a：=a4a8.

(1)求｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)"=〃％,求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和&

19.已知以點(diǎn)。(—1』)為圓心的圓與圓C:(x—2>+(y+3)2=1相外切.

(1)求圓。的方程；

(2)若直線/：y=："x-2與圓。相交于求W〃V|的最小值及此時(shí)/的方程.

20.如圖，在直三棱柱48C-481G中，N8ZC=90°,4B=ZC=2,Z4=4,河是的中點(diǎn)，N是8c

的中點(diǎn)，p是8a與gc的交點(diǎn).

(1)在線段4N上找一點(diǎn)。，使得P。//平面4cM；

(2)在(1)的條件下，求尸。與平面4cAi的距離.

21.已知｛為｝為等差數(shù)列，為偶數(shù)，記S“Z分別為數(shù)列｛4｝，｛〃｝的前〃項(xiàng)和，

S4=28,7；=16.

(1)求｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)求卻

22.歐幾里德生活的時(shí)期，人們就發(fā)現(xiàn)橢圓有如下的光學(xué)性質(zhì):從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)射出的光線，經(jīng)橢圓內(nèi)壁

22_

反射后必經(jīng)過該橢圓的另一焦點(diǎn).現(xiàn)有橢圓C：?+A=l(a〉b〉0),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為26，從C的左焦點(diǎn)/發(fā)

ab

出的一條光線，經(jīng)C內(nèi)壁上一點(diǎn)尸反射后恰好與X軸垂直，且|。尸|=孚.

(1)求。的方程；

(2)設(shè)點(diǎn)/(2,1),若斜率不為0的直線/與。交于點(diǎn)均異于點(diǎn)Z),且A在以為直徑的圓

上，求A至心距離的最大值.

山東省臨沂市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末學(xué)科素養(yǎng)水平監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)

試題

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試

卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的.

1.已知直線/的一個(gè)方向向量為⑶百），則/的傾斜角為（）

兀兀兀

A.0B.—C.—D.一

643

【答案】B

【解析】

【分析】由直線的方向向量求得直線的斜率，由斜率即可求得傾斜角.

【詳解】由題意，k=1=tana，且ae（0,7i）,

7T

所以&

6

故選：B

2.已知三棱錐P—45C,點(diǎn)跖N分別為BC,E4的中點(diǎn)，且方=￡,而=反定=2,用表示通？，

則上W=（）

［一7一、

A.—(tz+b—c)B.—(6+c—a)C.—(c—a—b)D.-(a-b-c)

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)幾何體，結(jié)合向量的線性運(yùn)算公式，即可求解.

【詳解】MN=PN-PM=^PA-^（PB+PC^=^（a-b-c

P

N

A

<-----c

\

B

故選：D

3.已知羽=(1,2,3),屈=(a,a6+2),若點(diǎn)N,B,C共線，則a=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)三點(diǎn)共線轉(zhuǎn)化為向量共線，即屈=2萬.

【詳解】由題意可知，CB=AAB>

a=A.

即<b=22,解得：A=2,a=2,b=4.

6+2=3%

故選：B

4.已知拋物線。：/=2抄(,〉0)的焦點(diǎn)為/，點(diǎn)網(wǎng)/，2)在。上，|萬戶|=3,則直線尸尸的斜率為

()

3,243

A.±—B.±-C.±—D.±-

2334

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)焦半徑公式得到夕=1，從而得到叫)=±2,分兩種情況，求出答案.

【詳解】由焦半徑公式可得2+與==，解得)=1,

故拋物線C:》2=2y,

故/=±2,

當(dāng)/=2時(shí)，P(2,2),Ffo,1l

2--

直線PF的斜率為2=2，

2-0-4

當(dāng)升=-2時(shí)，尸(―2,2),尸

2--

直線PE的斜率為___2_=_3，

-2-0--4

3

綜上，直線PF的斜率為±二.

4

故選：D

5,中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《周髀算經(jīng)》記載的“日月歷法”曰:“陰陽(yáng)之?dāng)?shù)，日月之法，十九歲為一章，四章為一部,

部七十六歲，二十部為一遂，遂千百五二十歲”，即1遂為1520歲.某療養(yǎng)中心恰有57人，他們的年齡(都為

正整數(shù))依次相差一歲，并且他們的年齡之和恰好為三遂，則最年輕者的年齡為()

A.52B.54C.58D.60

【答案】A

【解析】

【分析】由等差數(shù)列性質(zhì)以及求和公式即可得解.

【詳解】將他們的年齡從小到大依次排列為火,4，…,%7，

所以57(%+%)=1520x3,%7=q+56,解得q=52.

2

故選：A.

6.已知點(diǎn)2(—2,2),8(2,2),直線/過點(diǎn)C(0,4)且與線段相交，貝1]/與圓(x—5尸+(y—1了=2的位置

關(guān)系是()

A.相交B.相離C.相交或相切D.相切或相離

【答案】D

【解析】

【分析】求得直線ZC,5c的斜率，進(jìn)而可求直線的方程，依據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可得結(jié)論.

4-24-2

【詳解】直線/C的斜率為3c=M=l，kBC=-4-=-l,

U+z0—2

???直線/經(jīng)過點(diǎn)C(0,4)且與線段AB相交，

，直線/的斜率的范圍為(-%,TUR，+")，

直線5C的方程為y-4=-l(x-0),即x+y—4=0,

由圓(x-5>+(y-I)?=2,可得圓心。(5,1),r=yj2>可知圓心。(5,1)在直線的右側(cè),

且圓心。的直線BC的方程的距離為d=J1一5+Q1-41=V/2-,

V2

直線的方程為y-4=-l(x-0),即X+.V—4=0,

由圓(x—5)2+3—1)2=2,可得圓心。(5,1),r=^2,

圓心D的直線BC的方程的距離為d=J1~5+1一-41=Vr2~,

V2

故直線/與圓相切或相離.

故選：D.

7.一個(gè)小球作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為y=5sin12m-D其中7(單位:cm)是小球相對(duì)于平衡點(diǎn)的位

移，/(單位:s)為運(yùn)動(dòng)時(shí)間，則小球的瞬時(shí)速度首次達(dá)到最大時(shí)，t=()

51

A.1B.一C.一D

63-5

【答案】C

【解析】

【分析】利用導(dǎo)數(shù)即可求解.

(2兀

【詳解】V二10兀cos2兀，----

I3

[2兀)27兀r

故當(dāng)cos[2而一?-J=1時(shí)，此時(shí)瞬時(shí)速度最大，2nt—石=2kn,keZ,

3

所以，二,時(shí)，此時(shí)瞬時(shí)速度首次達(dá)到最大,

3

故選：C

22

8.已知直線/：3x—y—8=0與雙曲線。:5-4=1（。>0,6>0）的兩條漸近線分別交于點(diǎn)（不重合）,

ab

且工乃在以點(diǎn)（6,0）為圓心的圓上，則C的離心率為（）

、#—1

B.V2

,2

【答案】B

【解析】

【分析】首先求點(diǎn)45的坐標(biāo)，以及中點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)，列式求解.

8a

bx=

y=-x3a-b

【詳解】聯(lián)立/a得＜

8b

3x-y-8=0y=

3a-b

8a

bx二

y——x3a+b

聯(lián)立｛a，得＜

-8b

3x-y-8=0y=

3a+b

\3a-b3a-by13a+匕3a+bJ

則線段45的中點(diǎn)為|，

19a-b9a-b）

8b2

由題意可知，野停=一5,整理為a=b,

24/3

----0-----0---6

9/一/

所以雙曲線為等軸雙曲線，離心率e=J5.

故選：B

二、選擇題:本共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要

求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）

D.(1-x3),=l-3x2

【答案】BC

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，分別進(jìn)行判斷即可.

【詳解】[cos(-x)]二(cosx)=-sinx,所以A錯(cuò)誤；

Inx-x-—

xx二mx-i,所以B正確;

Inx(inx)2(Inx)2

yjx5j=x2二3落,所以C正確；

(1-x3)=-3x2,所以D錯(cuò)誤.

故選：BC

c

10.設(shè)數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S",｛2｝的前〃項(xiàng)和為7；,滿足j=—"+6,且Ei=Si6,7；=l—，'(qwO

n

且9。1),則()

A.｛4｝是等差數(shù)列B.S“〉0時(shí)，”的最大值為26

【答案】ABD

【解析】

【分析】對(duì)于A,首先得S“=—/+27〃，根據(jù)之間的關(guān)系得a“=—2〃+28,〃eN*,由此即可判斷;

對(duì)于B,令S,=-〃2+27〃>0,解不等式即可判斷；對(duì)于C,由d-白=《-27；舉出反例即可判斷；對(duì)

于D,代入即可驗(yàn)算.

【詳解】對(duì)于A,由題意S,=—/+加,Su=—121+1力=—256+166=與，解得6=27,

所以S〃=f2+27",%=5]=26,

當(dāng)"22,"wN*時(shí)，ctn=Stl—Snl=(―〃-+27”)+(〃—1)—27-1)=—2n+28,

當(dāng)〃=1時(shí)，有為=-2+28=26,故%=-2〃+28,〃eN*,故A正確；

對(duì)于B,令S”=一〃2+27〃>0,解得〃<27,〃eN*,故B正確；

對(duì)于C,若4>1,則4=%—27；=1—/一2(1—q)=—(1—q)2<o,故c錯(cuò)誤;

—(1-3〉(1-37)37(1-32)

對(duì)于D,若夕=3,故D正確.

5332

T5-T3(1-3)-(1-3)3(1-3)

故選：ABD.

11.已知曲線。的方程是』-----J=l（冽eR）JPJ（

m-24-m

A.若。是雙曲線，則加＞4或加＜2

B.若加＞4,則。表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓

14H

c.若加二一，則。的離心率為

32

D.若。是離心率為④的雙曲線，則。的焦點(diǎn)到其漸近線距離為1

【答案】BCD

【解析】

【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)。是雙曲線得到不等式，求出2〈加＜4；B選項(xiàng)，m-2＞m-4＞0,故。表示焦

__+^—=1

點(diǎn)在X軸上的橢圓；C選項(xiàng)，求出82,求出離心率；D選項(xiàng)，根據(jù)離心率得到方程，求出加=3,

33

得到焦點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程，得到答案.

【詳解】A選項(xiàng)，若。是雙曲線，貝U（加—2）（4—加）＞0,解得2〈加＜4,A錯(cuò)誤;

B選項(xiàng),若加>4,——+——=1,

m-2m-4

則加一2＞加一4〉0,所以。表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，B正確;

id_1X?

C選項(xiàng)，若m=—,貝!J82，貝！Jc?=----=2,

3--33

33

V2_

。的離心率為。限一2，C正確;

V3

D選項(xiàng)，若。是離心率為行的雙曲線，—-----匚=1,

m-24-m

ylm-2+4-mr-5,0一

故-----/---=J2,斛得加=3,

Vm-2

C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（土近,0）,漸近線方程為＞=±x,

焦點(diǎn)到其漸近線距離為同二1,D正確.

Vi+i

故選：BCD

12.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體48co—44GA中，M,N分別為棱G2，GC的中點(diǎn)，則（）

A.AM//BNB.點(diǎn)N到平面ABM的距離為注

2

C.平面/8N與平面跖VS的夾角為45°D.直線跖V與平面48〃所成的角為60°

【答案】BC

【解析】

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法逐項(xiàng)分析即得.

【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,

則/（2,0,0）,8（2,2,0）,￡＞（0,0,0）,C］（0,2,2）,C（0,2,0）,

0（0,0,2）,見0,1,2）,N（0,2,1）,

在=（0,2,0）,麗=（0,1,-1）

由加=（—2,1,2）,麗=（—2,0,1）,可知用與麗不平行，故A錯(cuò)誤;

設(shè)平面ABM的法向量為"=（x,y,z）,

AM-n--2x+y+2z=0

則＜—.，令x=l,則y=O,z=l,

AB-n=2y=0

所以3=(1,0,1),

|麗臼1V2

則點(diǎn)N到平面的距離為='=?，故B正確;

|?|V22

設(shè)平面跖V5的法向量為加=(%i，%,zj,

MN-m=y.—z.-0

則《—."，令西=1,則凹=2,Z]=2,

BN-m=-2xl+Zj=0

所以送=(1,2,2),

設(shè)平面ABM與平面MNB的夾角為&，e(0。,90。],

n-mlxl+lx2_V2

貝ijcos0-

n\\mV2X3—2

所以平面48"與平面跖VS的夾角為45°，故C正確;

設(shè)直線"N與平面所成的角為%ae(0。,901，

../d-\|MN-n11

則sina—cos(M31N,〃)=?----廣1——(=y=~—

'71\\MN\-\n\\V2xV22

所以直線MN與平面48”所成的角為30°，故D錯(cuò)誤.

故選：BC

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量來解決線面角，面面角和點(diǎn)到直線的距離.

三、填空題:本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.若直線丸：(a+l)x-3y+l=0與/2：x+ay-4=0互相垂直，則。=.

【答案】g##0.5

【解析】

【分析】根據(jù)垂直關(guān)系得到方程，求出

2

【詳解】由題意得(a+1)—3a=0,解得a=g.

故答案為：y

14.已知空間向量Z=（2,1,2）,B=（1,1,-1）,則￡在B上的投影向量的坐標(biāo)是.

11

【答案】~5~?」一~

333

【解析】

【分析】利用空間向量投影向量公式計(jì)算出答案.

【詳解】o-S=(2,1,2)-(1,1,-1)=2+1-2=1,1^1=Vl+1+1=V3,

b(1,1,-1)(660

a-bb111-1

故￡在B上的投影向量的坐標(biāo)向

33J3'3'3/

故答案為:_9_5-_

333

26

15.已知橢圓C：\+=l（a〉b〉O）的離心率為半，直線/與。交于45兩點(diǎn)，直線y=-2x與/的

ab2

交點(diǎn)恰好為線段的中點(diǎn)，貝心的斜率為.

【答案】-##0.25

4

【解析】

【分析】根據(jù)橢圓的離心率可得/=2〃，設(shè)）,8（%,%），利用點(diǎn)差法，結(jié)合直線y=-2x與/的

交點(diǎn)恰好為線段的中點(diǎn)，即可求得答案.

V2，=l（a〉b〉0）的離心率為日,

【詳解】由題意知橢圓。：\+

a

V2a2-b21

故e，a2=2b2，

a2a22

設(shè)/（再,必）,3（々卷2），由題意知/的斜率存在，則X尸馬,

設(shè)線段的中點(diǎn)為〃（4,人）

則直線/的斜率為左=上匚及，直線y=-2x的斜率—2=及=旦±三

xx-X2XoX]+12

|22

9+五=1

1222

/b一/一名

由<21，兩式相減得M+=0>

紅21=1a2b2

L2b2

11V1-VK+V八

即得一十三9,一上?二0,即左.為二。，

abxx-x2x1+x2abx0

412左八71

故—z---z-=0^:.k=—

2b2b24

故答案為：一

4

2八%（X-%）（X—%）（x—4）

16.已知數(shù)列｛4｝中，…。=2〃+〃，若函數(shù)〃>)=二,/(x)的導(dǎo)數(shù)為

X—4J（X—4）（1一%）

/'（X）,則/'（0）=

【答案】64

【解析】

x一出）（%—%）（1—R）

【分析】降次作商得到%=4",并驗(yàn)證〃=1時(shí)的情況，設(shè)g(x)=,則

（X_/）（X_%）（X_%）

/(x)=xg(x),兩邊同時(shí)求導(dǎo)，最后代入數(shù)據(jù)即可.

【詳解】因?yàn)?a3=2"+"

所以q=4,當(dāng)〃22時(shí)，.1=2〃一〃

所以%=2〃2+"+”=22"=4〃.

因?yàn)椤?1也滿足，所以%=4〃.

（X4）（X%）（X4）

令g（x）=

則/（X）=Xg（x）,r（x）=g（x）+xg'（x）,

所以八°)=葭°)=圖署署孑=環(huán)

故答案為：64.

（X）（X%）（X6）

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)g(x)=,將問題轉(zhuǎn)化為

r(o)=g(o),從而得解.

四、解答題:本題共6個(gè)小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知函數(shù)/(x)=axlnx在x=1處的切線方程為x-y-1=0.

(1)求。的值；

(2)若過點(diǎn)/(0「e)的直線/與曲線y=相切，求/的方程.

【答案】(1)1(2)2x-j-e=0

【解析】

【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解；

(2.)設(shè)直線/與曲線歹=/(x)相切的切點(diǎn)坐標(biāo)為(為,%),由導(dǎo)數(shù)的幾何意義列式求出外,即可求出切線

方程.

【小問1詳解】

由題可得/'(x)=alnx+a,

由N=x-1的斜率為1,得/'(1)=1,即a=l.

【小問2詳解】

由⑴知,/'(x)=lnx+l,

設(shè)切點(diǎn)為(％Jo)，則/'(%)=111%+1,%=項(xiàng))111%,

又直線/過點(diǎn)/(0,-e),

,,xlnx+e

.,.lnxo+l=」n-nQ-,整理得x0=e,/(e)=2,

???直線/的方程為＞+e=2(x-0),即2x-y-e=O.

18.已知等比數(shù)列｛4｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，且2%+々=4,44=4%.

(1)求｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè))=〃%,求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和卻

【答案】⑴%=2"T

(2)北=(〃-1)2"+1

【解析】

【分析】(1)直接由等比數(shù)列性質(zhì)以及基本量的計(jì)算即可求解.

(2)由等比數(shù)列求和公式以及錯(cuò)位相減法即可求解.

【小問1詳解】

設(shè)數(shù)列｛2｝的公比為q(q>0).由4a；=a4a8，得=aj,

=4,解得q=2,

由2q+%=4,得2al+axq-4,

解得％=1,

.??｛叫的通項(xiàng)公式為4=2"T.

【小問2詳解】

?.?2=〃-2"T,

011

:.Tti=l-2+2-2+3-2-+---+n-T-,①

2T=1-21+2-22+3-23+---+(?-1)-2"-1+/7-2\②

①-②得

-Tn=2°+2i+22+-.+2"T-〃.2"

1-2"工2i

=---------n-T,

1-2

:.-Tn=T-i-n-T,

.U=(〃-1)2"+1.

19.已知以點(diǎn)。(—1,1)為圓心的圓與圓C:(x—2)2+(y+3>=1相外切.

(1)求圓。的方程；

(2)若直線/:>=機(jī)》-2與圓。相交于求的最小值及此時(shí)/的方程.

【答案】(1)(x+l)2+(j-l)2=16

(2)2A/6，x-3v-6=0

【解析】

【分析】(1)根據(jù)兩圓外切求出圓。的半徑可得答案；

(2)判斷出點(diǎn)尸在圓。內(nèi)，由圓的幾何性質(zhì)可知，當(dāng)尸。，〃乂時(shí)弦|跖V|最小，利用||=2JF=7談

求出再由上MN2=T求出直線/的方程.

【小問1詳解】

由已知得圓C的圓心坐標(biāo)為c(2,-3)，半徑廠=1,

圓。的半徑R=|QC|—尸=7(2+1)2+(-3-1)2—1=4，

...圓。的方程為(x+1)2+(J-1)2=16；

【小問2詳解】

由已知得直線/過定點(diǎn)產(chǎn)(0,-2),

???|PQ\=J(-1-0)2+(1+2>=疝7<4，

...0(0,—2)在圓。內(nèi)，

由圓的幾何性質(zhì)可知，當(dāng)尸。,"乂時(shí)，弦|M7V|最小，

此時(shí)|MV|=2^R2-PQ2.

又?.伊°|=麗，\MN\=2^/6,

當(dāng)W〃V|最小時(shí)，kMN-kPQ=-1,

,11

^MN=m=一T—=5，

...直線/的方程為y=；X—2,即X—3了一6=0.

20.如圖，在直三棱柱481cl中，NA4C=90°,4B=ZC=2,Z4=4,M是N3的中點(diǎn)，N是B6

的中點(diǎn)，尸是8G與瓦C的交點(diǎn).

(1)在線段4N上找一點(diǎn)。，使得尸。//平面4cM；

（2）在（1）的條件下，求尸。與平面4CA1的距離.

【答案】（1）證明見解析

⑵坪

【解析】

【分析】（1）首先以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，并求平面4cM的法向量拓，并利用參數(shù)表示向量畫,

利用向量尸。?方=0,即可證明線面平行;

（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，利用點(diǎn)到平面的距離的向量公式，即可求解.

【小問1詳解】

以A為原點(diǎn)，ZC,48,24所在直線分別為x軸，了軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則4(0,0,4),C(2,0,0),"(0,1,0),N(l,1,4),尸(1,1,2)

4C=(2,0,—4),刎=(0,1,-4),麗=(1,1,0),章=(1,1,—2)，

n-A,C=02x-4z=0

設(shè)平面4cM的法向量亢=（x,y,2）,貝"二

心4M=0y-4z=0

令z=l,得x=2,y=4,.?.元=(2,4,1)是平面4cM的一個(gè)法向量,

設(shè)而=2麗=(尢尢0),(0?2?1),

則網(wǎng)=而_而=(尢九0)_(1,1,_2)=(2_1"_1,2),

若聞//平面4cA/,則畫J_萬，

2

從而網(wǎng)?萬=0,即2（2—1）+4（%—1）+2=0,解得;1=§,

—■2—?

:.AXQ=-AXN,

當(dāng)。為線段4N上靠近N的三等分點(diǎn)時(shí)，P。//平面4cAi；

【小問2詳解】

——?2——?2

由(1)知4Q=§4N=](U,O)=

.麗臼日刊。4」）44萬,

"\n\~722+42+1~~721-21

：.PQ到平面AXMC的距離為等I.

2a,”〃為奇數(shù)

21.已知｛%｝為等差數(shù)列，bn=<記S,,M分別為數(shù)列｛an｝,｛〃｝的前〃項(xiàng)和,

4-9〃為偶數(shù)

邑=28,5=16.

（1）求｛%,｝的通項(xiàng)公式;

（2）求卻

【答案】（1）%=4〃—3

,、丁/3/-7〃,〃為偶數(shù)

"3〃2一5〃+4,〃為奇數(shù)

【解析】

【分析】（1）根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于等差數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)和公差的方程組，列式求解；

（2）根據(jù)數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式，以及數(shù)列｛