2022-2023學(xué)年四川省德陽市第五中學(xué)高二下學(xué)期5月月考理科數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1四川省德陽市第五中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期5月月考理科數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題（本大題共12個(gè)小題．每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求，請(qǐng)將〖答案〗填涂在答題卡上）1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗聯(lián)立，可得，故.故選:D.2.記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意可得.故選：C.3.已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足條件．則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由點(diǎn)，，可得，又由，可得，根據(jù)雙曲線的定義，可得點(diǎn)的軌跡表示以為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，且，可得，則，所以點(diǎn)的軌跡方程為.故選：C.4.給出下列四個(gè)選項(xiàng)中，其中正確的選項(xiàng)有（）A.“”是方程“表示橢圓的充要條件”，B.已知表示直線，，表示兩個(gè)不同的平面，若，，則，C.命題“，使得”的否定是：“，均有”，D.函數(shù)的圖像必過．〖答案〗D〖解析〗若表示橢圓，則需要滿足，解得且，故“”不是方程“表示橢圓的充要條件”，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B,若，，則，可能相交也可能平行，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C,命題“，使得”的否定是：“，均有”，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D,函數(shù)的圖像必過,故D正確，故選：D.5設(shè)，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，令，可得，令，可得，所?故選：A.6.函數(shù)的圖像是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)椋?，則，即，解得，或，解得，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，所以排除AD；當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以B正確；故選：B.7.某小區(qū)有5個(gè)區(qū)域要種上鮮花（如圖），現(xiàn)有四種不同品種的鮮花可供選擇，每個(gè)區(qū)域只能種一種鮮花，要求相鄰區(qū)域不能種同一種鮮花，則符合條件的方案有（）種A.36 B.48 C.54 D.72〖答案〗D〖解析〗如圖所示，依順序，A區(qū)域可種4種顏色，B區(qū)域可種3種顏色，C區(qū)域可種2種顏色，①D區(qū)域若與B區(qū)域同色，則E有兩種顏色可選；②D區(qū)域若不與B區(qū)域同色，則只有1種顏色可選，E也只有1種顏色可選，故有種方案.故選：D.8.已知曲線在點(diǎn)處的切線與曲線在點(diǎn)處的切線相同，則（）A.－1 B.－2 C.1 D.2〖答案〗B〖解析〗根據(jù)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可知：，，則兩函數(shù)在點(diǎn)和處的切線分別為：，化簡得由題意可得：，化簡得.故選：B.9.已知三棱錐的頂點(diǎn)都在球的球面上，底面是邊長為3的等邊三角形．若三棱錐的體積的最大值為，則球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)球O的半徑為R，的外心為，由題意得外接圓半徑為，面積為，所以，所以最大值，所以，即，解得，所以球O的表面積為.故選:A.10.設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，對(duì)任意都有成立，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由，則，設(shè)，，則在上單調(diào)遞減.則，即，即.故選：A.11.若點(diǎn)P為共焦點(diǎn)的橢圓和雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)，，分別是它們的左右焦點(diǎn).設(shè)橢圓離心率為，雙曲線離心率為，若，則（）A.4 B.3 C.2 D.1〖答案〗C〖解析〗設(shè)橢圓長軸為，雙曲線的實(shí)軸為，焦點(diǎn)為，設(shè)，，所以，，平方和相加可得，由則，所以，所以，即，，即.故選：C.12.函數(shù)，．若，則的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗根據(jù)題意，可得，則，由，可得，即，令（其中且）且，①當(dāng)時(shí)，可得，所以，不滿足題意，舍去；②當(dāng)時(shí)，，且，令，解得或（舍去），當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，也為最小值，所以，即，所以的最小值為.故選：C.第Ⅱ卷（非選擇題）二、填空題（共4小題，每小題5分，共20分．將〖答案〗填在答題卡上）13.若復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），z的共軛復(fù)數(shù)記為，則______．〖答案〗〖解析〗由共軛復(fù)數(shù)的概念可知，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)；所以.故〖答案〗為：.14.已知，求的常數(shù)項(xiàng)系數(shù)為______．〖答案〗〖解析〗因?yàn)椋?，展開式的通項(xiàng)為，令，解得，所以，故展開式的常數(shù)項(xiàng)為.故〖答案〗為：.15.設(shè)，過定點(diǎn)的動(dòng)直線與過定點(diǎn)的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則的最大值是______．〖答案〗10〖解析〗由得，故,由得,由于直線與直線互相垂直，所以,故所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最大值是10.故〖答案〗為：10.16.在如圖棱長為的正方體中，點(diǎn)、在棱、上，且，在棱上，為過、、三點(diǎn)的平面，則下列說法正確的是__________．①存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)，使面與正方體的截面為五邊形；②當(dāng)時(shí)，面與正方體的截面面積為；③只有一個(gè)點(diǎn)，使面與正方體的截面為四邊形；④當(dāng)面交棱于點(diǎn)，則、、三條直線交于一點(diǎn)．〖答案〗①②④〖解析〗由題設(shè)可得為所在棱的中點(diǎn).當(dāng)時(shí)，如圖（1），直線分別交與，連接并延長于，連接交于，則與正方體的截面為五邊形，故①正確.當(dāng)，如圖（2），此時(shí)與正方體的截面為正六邊形，其邊長為，其面積為，故B正確.當(dāng)重合或重合時(shí)，如圖（3），與正方體的截面均為四邊形，故③錯(cuò)誤.如圖（4），在平面內(nèi)，設(shè)，則，而平面，故平面，同理平面，故平面平面即、、三條直線交于一點(diǎn).故〖答案〗為：①②④.三、解答題（本大題共6個(gè)小題，滿分70分．解答應(yīng)寫在文字說明及演算步驟．）17.2022年1月初，某市爆發(fā)了一種新型呼吸道傳染疾病，該疾病具有較強(qiáng)的傳染性，為了盡快控制住該傳染病引起的疫情，該市疫情監(jiān)控機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)了1月12日到15日每天新增病例的情況，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表：1月x日12131415新增病例y人26292831（1）疫情監(jiān)控機(jī)構(gòu)對(duì)題中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)作線性回歸分析，可以根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)建立y關(guān)于x的線性相關(guān)關(guān)系，求y關(guān)于x的線性回歸方程；（2）預(yù)測(cè)到哪一天新增病例人數(shù)將超過36人.附：對(duì)于一組組數(shù)據(jù)，其回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：，．參考數(shù)據(jù)：．解：（1），，，∴，，∴回歸直線方程為y＝1.4x＋9.6.（2）由1.4x＋9.6＞36，，解得,所以1月19日新增病例人數(shù)將超過36人．18.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊長分別為a，b，c，已知．（1）求角A的大??；（2）求的取值范圍．解：（1）因?yàn)?，由正弦定理?又由余弦定理得，因?yàn)?，所?（2）由，可得，所以，且，則，因?yàn)?，所以，結(jié)合正弦函數(shù)圖象，可得，，所以的取值范圍為．19.如圖，在四棱錐中，已知底面是正方形，底面，且是棱上一點(diǎn).（1）若平面，證明：是的中點(diǎn).（2）線段上是否存在點(diǎn)，使二面角的余弦值是?若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.（1）證明：如圖，連接交于點(diǎn)O，連接，因?yàn)槭钦叫危設(shè)是的中點(diǎn)，又平面，平面，平面平面，所以，因?yàn)镺為的中點(diǎn)，所以E是的中點(diǎn).（2）解：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，.設(shè)（），設(shè)，，,，則，則，，，由且，可知是平面的一個(gè)法向量.設(shè)為平面的法向量，則，即，取，，，則，，解得，即.20.在同一平面直角坐標(biāo)系中，曲線按照伸縮變換后得到曲線方程.（1）求曲線的方程；（2）若過點(diǎn)的直線與橢圓交于相異的兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）由伸縮變換可知；將代入得，即曲線的方程為．（2）如下圖所示：設(shè)，，由得，從而，，即，因?yàn)辄c(diǎn)A在橢圓上，故，即，又在橢圓上，即，解得，由橢圓定義知，故，解得，又由題設(shè)知，故，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．21.已知函數(shù)．（1）若在上，最小值為0，求；（2）若在上有兩個(gè)零點(diǎn)，證明：．（1）解：的最小值為0，即最小值為0，，時(shí)，，遞減，時(shí)，，遞增，∴僅當(dāng)時(shí)，取最小值，即；（2）證明：，故可知：，兩邊取對(duì)數(shù)得，同理，，兩式相減并整理得：，欲證，只須證：，不妨設(shè)，原式化為：，令，則，令，，故為增函數(shù)，，故原式得證．請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答．注意：只能做所選定的題目．如果多做，則按所做第一個(gè)題目計(jì)分，做答時(shí)，請(qǐng)用2B鉛筆在答題卡上將所選題號(hào)后的方框涂黑．22.已知直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，圓的極坐標(biāo)方程為．（1）求圓的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)圓與直線交于點(diǎn)，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求．解：（1）由，得，將，代入，得圓C的直角坐標(biāo)方程為.（2）把參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式：，代入得，設(shè)，是上述方程的兩根，則有,,因此由t的幾何意義可知．23.已知函數(shù).（1）求的最小值；（2）若為正實(shí)數(shù)，且，證明不等式.（1）解：由題知，其函數(shù)圖象如圖所示，所以，.（2）證明：由（1）可知，則，解法一：利用基本不等式：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以，.解法二：利用柯西不等式：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以，.四川省德陽市第五中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期5月月考理科數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題（本大題共12個(gè)小題．每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求，請(qǐng)將〖答案〗填涂在答題卡上）1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗聯(lián)立，可得，故.故選:D.2.記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意可得.故選：C.3.已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足條件．則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由點(diǎn)，，可得，又由，可得，根據(jù)雙曲線的定義，可得點(diǎn)的軌跡表示以為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，且，可得，則，所以點(diǎn)的軌跡方程為.故選：C.4.給出下列四個(gè)選項(xiàng)中，其中正確的選項(xiàng)有（）A.“”是方程“表示橢圓的充要條件”，B.已知表示直線，，表示兩個(gè)不同的平面，若，，則，C.命題“，使得”的否定是：“，均有”，D.函數(shù)的圖像必過．〖答案〗D〖解析〗若表示橢圓，則需要滿足，解得且，故“”不是方程“表示橢圓的充要條件”，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B,若，，則，可能相交也可能平行，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C,命題“，使得”的否定是：“，均有”，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D,函數(shù)的圖像必過,故D正確，故選：D.5設(shè)，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，令，可得，令，可得，所?故選：A.6.函數(shù)的圖像是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，令，則，即，解得，或，解得，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，所以排除AD；當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以B正確；故選：B.7.某小區(qū)有5個(gè)區(qū)域要種上鮮花（如圖），現(xiàn)有四種不同品種的鮮花可供選擇，每個(gè)區(qū)域只能種一種鮮花，要求相鄰區(qū)域不能種同一種鮮花，則符合條件的方案有（）種A.36 B.48 C.54 D.72〖答案〗D〖解析〗如圖所示，依順序，A區(qū)域可種4種顏色，B區(qū)域可種3種顏色，C區(qū)域可種2種顏色，①D區(qū)域若與B區(qū)域同色，則E有兩種顏色可選；②D區(qū)域若不與B區(qū)域同色，則只有1種顏色可選，E也只有1種顏色可選，故有種方案.故選：D.8.已知曲線在點(diǎn)處的切線與曲線在點(diǎn)處的切線相同，則（）A.－1 B.－2 C.1 D.2〖答案〗B〖解析〗根據(jù)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可知：，，則兩函數(shù)在點(diǎn)和處的切線分別為：，化簡得由題意可得：，化簡得.故選：B.9.已知三棱錐的頂點(diǎn)都在球的球面上，底面是邊長為3的等邊三角形．若三棱錐的體積的最大值為，則球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)球O的半徑為R，的外心為，由題意得外接圓半徑為，面積為，所以，所以最大值，所以，即，解得，所以球O的表面積為.故選:A.10.設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，對(duì)任意都有成立，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由，則，設(shè)，，則在上單調(diào)遞減.則，即，即.故選：A.11.若點(diǎn)P為共焦點(diǎn)的橢圓和雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)，，分別是它們的左右焦點(diǎn).設(shè)橢圓離心率為，雙曲線離心率為，若，則（）A.4 B.3 C.2 D.1〖答案〗C〖解析〗設(shè)橢圓長軸為，雙曲線的實(shí)軸為，焦點(diǎn)為，設(shè)，，所以，，平方和相加可得，由則，所以，所以，即，，即.故選：C.12.函數(shù)，．若，則的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗根據(jù)題意，可得，則，由，可得，即，令（其中且）且，①當(dāng)時(shí)，可得，所以，不滿足題意，舍去；②當(dāng)時(shí)，，且，令，解得或（舍去），當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，也為最小值，所以，即，所以的最小值為.故選：C.第Ⅱ卷（非選擇題）二、填空題（共4小題，每小題5分，共20分．將〖答案〗填在答題卡上）13.若復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），z的共軛復(fù)數(shù)記為，則______．〖答案〗〖解析〗由共軛復(fù)數(shù)的概念可知，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)；所以.故〖答案〗為：.14.已知，求的常數(shù)項(xiàng)系數(shù)為______．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，所以，展開式的通項(xiàng)為，令，解得，所以，故展開式的常數(shù)項(xiàng)為.故〖答案〗為：.15.設(shè)，過定點(diǎn)的動(dòng)直線與過定點(diǎn)的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則的最大值是______．〖答案〗10〖解析〗由得，故,由得,由于直線與直線互相垂直，所以,故所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最大值是10.故〖答案〗為：10.16.在如圖棱長為的正方體中，點(diǎn)、在棱、上，且，在棱上，為過、、三點(diǎn)的平面，則下列說法正確的是__________．①存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)，使面與正方體的截面為五邊形；②當(dāng)時(shí)，面與正方體的截面面積為；③只有一個(gè)點(diǎn)，使面與正方體的截面為四邊形；④當(dāng)面交棱于點(diǎn)，則、、三條直線交于一點(diǎn)．〖答案〗①②④〖解析〗由題設(shè)可得為所在棱的中點(diǎn).當(dāng)時(shí)，如圖（1），直線分別交與，連接并延長于，連接交于，則與正方體的截面為五邊形，故①正確.當(dāng)，如圖（2），此時(shí)與正方體的截面為正六邊形，其邊長為，其面積為，故B正確.當(dāng)重合或重合時(shí)，如圖（3），與正方體的截面均為四邊形，故③錯(cuò)誤.如圖（4），在平面內(nèi)，設(shè)，則，而平面，故平面，同理平面，故平面平面即、、三條直線交于一點(diǎn).故〖答案〗為：①②④.三、解答題（本大題共6個(gè)小題，滿分70分．解答應(yīng)寫在文字說明及演算步驟．）17.2022年1月初，某市爆發(fā)了一種新型呼吸道傳染疾病，該疾病具有較強(qiáng)的傳染性，為了盡快控制住該傳染病引起的疫情，該市疫情監(jiān)控機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)了1月12日到15日每天新增病例的情況，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表：1月x日12131415新增病例y人26292831（1）疫情監(jiān)控機(jī)構(gòu)對(duì)題中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)作線性回歸分析，可以根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)建立y關(guān)于x的線性相關(guān)關(guān)系，求y關(guān)于x的線性回歸方程；（2）預(yù)測(cè)到哪一天新增病例人數(shù)將超過36人.附：對(duì)于一組組數(shù)據(jù)，其回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：，．參考數(shù)據(jù)：．解：（1），，，∴，，∴回歸直線方程為y＝1.4x＋9.6.（2）由1.4x＋9.6＞36，，解得,所以1月19日新增病例人數(shù)將超過36人．18.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊長分別為a，b，c，已知．（1）求角A的大?。唬?）求的取值范圍．解：（1）因?yàn)?，由正弦定理?又由余弦定理得，因?yàn)?，所?（2）由，可得，所以，且，則，因?yàn)?，所以，結(jié)合正弦函數(shù)圖象，可得，，所以的取值范圍為．19.如圖，在四棱錐中，已知底面是正方形，底面，且是棱上一點(diǎn).（1）若平面，證明：是的中點(diǎn).（2）線段上是否存在點(diǎn)，使二面角的余弦值是?若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.（1）證明：如圖，連接交于點(diǎn)O，連接，因?yàn)槭钦叫?，所以O(shè)是的中點(diǎn)，又平面，平面，平面平面，所以，因?yàn)镺為的中點(diǎn)，所以E是的中點(diǎn).（2）解：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空