2022-2023學(xué)年浙江省臺州市八校聯(lián)盟高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省臺州市八校聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．每個小題給出的四個備選項中只有一項是符合題目要求的，不選、多選、錯選均不得分．1.已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)（）A.0 B.2 C.－1 D.1〖答案〗D〖解析〗，因為復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，所以，解得.故選：D2.如圖，在中，，若，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，所以，所以.故選：C.3.已知空間中點A，B，直線l，平面α，若，，，，則下列結(jié)論正確的是（）．A. B.l與ɑ相交 C. D.以上都有可能〖答案〗B〖解析〗因為，，所以，又因為，，所以l與ɑ相交，故選：B4.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若，則b=（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗在中，角，，所對的邊分別是，，．若，，，利用正弦定理：，整理得：．故選：D．5.如圖，已知一個直四棱柱的側(cè)棱長為6，底面是對角線長分別是9和13的菱形，則這個四棱柱的側(cè)面積是（）．A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如圖，連接交點為O，則對角線，，所以，因為直四棱柱的底面是菱形，所以，所以，∴直四棱柱的側(cè)面積.故選：D.6.在中，為邊上的任意一點，點在線段上，且滿足，若，則的值為（）A. B. C.1 D.4〖答案〗A〖解析〗設(shè)，，所以，又，所以．故選：．7.如圖，在圓C中，，點A，B在圓上，，則的值為（）A.25 B.8 C.10 D.16〖答案〗B〖解析〗如圖所示，在圓中，過點作于，則為的中點，在中，，可得，所以，故選：B.8.已知四棱錐中，平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，，平面過PB，BC，PD的中點，則下列關(guān)于平面截四棱錐所得的截面正確的為（）A.所得截面是正五邊形 B.截面過棱PA的三等分點C.所得截面面積為 D.截面不經(jīng)過CD中點〖答案〗C〖解析〗在四棱錐中，，取中點分別為，連接，F(xiàn)G，GH，BD，AC，如圖，因底面為正方形，E，F(xiàn)，H分別是棱PB，BC，PD的中點，則，所以四邊形EFGH是平行四邊形.對于A，令，有，在PA上取點，使，連接EI，HI，JI，則，因為點平面EFGH，有平面EFGH，所以點平面平面EFGH，因此五邊形EFGHI是平面截四棱錐所得的截面多邊形，而，所以截面不是正五邊形，A錯誤；對于B，由A選項分析，可知截面過棱PA的四等分點，B錯誤；對于C，底面平面，則，而，則，又平面，因此平面平面，于是得，有，所以矩形EFGH面積等于，而，則邊EH上的高等于，所以，所以截面五邊形EFGHI面積為，C正確；對于D，截面經(jīng)過CD中點，D錯誤.故選：C二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯或不選的得0分．9.已知復(fù)數(shù)，，下列結(jié)論正確的有（）A. B.若，則的最大值為C. D.在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限〖答案〗ACD〖解析〗對于A，因為復(fù)數(shù)，，則，，所以，故選項A正確；對于B，設(shè)復(fù)數(shù)，則，則，所以復(fù)數(shù)對應(yīng)點的坐標(biāo)是以為圓心，以1為半徑的圓，而表示圓上一點到坐標(biāo)原點的距離，因為原點到圓心的距離，所以，則的最大值為，故選項B錯誤；對于C，因為，故選項C正確；對于D，因為復(fù)數(shù)，，則，其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，位于第二象限，故選項D正確，故選：ACD.10.在中，角、、的對邊分別為，，，若，，則使此三角形有兩解的的值可以是（）A.5 B. C.8 D.〖答案〗BC〖解析〗當(dāng)為銳角時，三角形有兩解.，，的值可以是，8，故選：BC.11.的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，其外接圓半徑為R，下列結(jié)論正確的有（）A.若，，則B.若，則可能是直角三角形C.若，則D.若，則是直角三角形〖答案〗ABD〖解析〗對于A，若，，在中，由正弦定理可得，則，故選項A正確；對于B，若，則由余弦定理可得，，因為，所以角為銳角，則可能是直角三角形，故選項B正確；對于C，若，由正弦定理可得，并不能得出，故選項C錯誤；對于D，若，由可得，則，化簡可得，則，即，也即，在中，因為且，所以，則，所以或，則為直角三角形，故選項D正確，故選：ABD.12.如圖，圓錐底面的直徑為3，，E為PB的中點，則下列說法正確的有（）A.圓錐的體積為B.圓錐內(nèi)切球的半徑為C.過P截圓錐所得截面面積最大為D.A點沿圓錐表面到E的最短路經(jīng)長為〖答案〗BCD〖解析〗因為，由解得，即圓錐母線長為，則高，故圓錐的體積為,故A錯誤,設(shè)內(nèi)切球的半徑為，垂直于交于點，如圖，則對，由于,所以,所以，故B正確，過點作平面截圓錐的截面面積的最大時，由于為等腰三角形，如圖，因為，故恰好時取到最大值，此時，故C正確；沿母線，剪開，并將圓錐的半側(cè)面展開如圖，易知，又弧長為，，所求最近路線長，D正確．故選：ACD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知向量，若，則________.〖答案〗.〖解析〗因為向量，且，所以，解得：.所以，所以.故〖答案〗為：.14.已知復(fù)數(shù)z滿足，則的取值范圍為______．〖答案〗〖解析〗表示對應(yīng)的點是單位圓上的點，的幾何意義表示單位圓上的點和之間的距離，的取值范圍轉(zhuǎn)化為點到圓心的距離加上半徑可得最大值，減去半徑可得最小值，所以最大距離為，最小距離為，所以的取值范圍為.故〖答案〗為：.15.已知圓柱體的底面半徑為，高為，一只蝸牛從圓柱體底部開始爬行，繞圓柱體4圈到達(dá)頂部，則蝸牛爬行的最短路徑長為______．〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意，從圓柱底部點繞圓柱體的側(cè)面旋轉(zhuǎn)4圈到達(dá)頂部的點，沿將側(cè)面展開后，最短路程，如圖所示，其中矩形的高等于圓柱的高，矩形的寬等于圓柱的底面圓的周長的4倍，即，所以蝸牛爬行的最短路徑為.故〖答案〗為：.16.在中，，，，對任意，有恒成立，點P是直線BA上，則的最小值是______．〖答案〗〖解析〗因為，所以，

由減法與數(shù)乘的幾何意義，為點到的垂線段，所以，

因為，，所以，，所以，

在中，由余弦定理易得，，

設(shè)關(guān)于直線對稱點為，連接，連接交于，

易得，此時最小，，，

即的最小值為.故〖答案〗為:.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已如i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)．（1）當(dāng)實數(shù)m取何值時，z是純虛數(shù)；（2）若，求值．解：（1）若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則，解得，所以．（2）當(dāng)時，，則，．18.已知在中，角A，B，C，所對的邊為a，b，c，若．（1）求角C的大??；（2）若，求面積的最大值．解：（1）由正弦定理及得，由余弦定理得，又因為，所以．（2）由（1）得，又，所以由得，因為，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，故的面積最大值為．19.臺州黃巖被譽為“模具之鄉(xiāng)”，為市場對球形冰淇淋的需求，特地制作了一款中空的正三棱柱模具，其內(nèi)壁恰好是球體的表面，且內(nèi)壁與棱柱的每一個面都相切（內(nèi)壁厚度忽略不計），店家可以將不同口味的冰淇淋放入該模具中，再通過按壓的方式得到球形冰淇淋。已知該模具底部邊長為3cm．（1）求內(nèi)壁的面積；（2）求制作該模具所需材料的體積；（3）求模具頂點到內(nèi)壁的最短距離．解：（1）由題意得：內(nèi)壁的面積就等于內(nèi)切球的表面積，如圖過側(cè)棱的中點作正三棱柱的截面，則球心為的中心，因為，所以內(nèi)切圓的半徑，即內(nèi)切球的半徑，所以內(nèi)切球的表面積.（2）由題意得：模型的體積就等于棱柱的體積減去內(nèi)切球的體積，由（1）得正三棱柱的高，因為，，所以.（3）由圖得，所以，所以到球面上的點的距離最小值為.20.已知在中，角A，B，C所對的邊為a，b，c，且滿足．（1）判斷角B與角C的關(guān)系，并說明理由；（2）若，求的范圍．解：（1）∵，，∴或，∴，∴，∴.∵，，∴∵，∴或，∵，∴.（2）由（1）知：，∴，∴∵，，∴，∴21.如圖，梯形ABCD，，，E為BC的中點，F(xiàn)是AD上的任意一點，設(shè)．（1）當(dāng)F是AD的三等分點時，試用向量，表示向量；（2）若，求證：的最小值與t無關(guān)．（1）解：連接FC，F(xiàn)D，如圖因為，所以，因為FE是的中線，所以，①當(dāng)點為靠近點的三等分點時，，；②當(dāng)點為靠近點的三等分點時，，.（2）證明：由（1）得，所以所以當(dāng)，即時，最小，的最小值為，與無關(guān).浙江省臺州市八校聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．每個小題給出的四個備選項中只有一項是符合題目要求的，不選、多選、錯選均不得分．1.已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)（）A.0 B.2 C.－1 D.1〖答案〗D〖解析〗，因為復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，所以，解得.故選：D2.如圖，在中，，若，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，所以，所以.故選：C.3.已知空間中點A，B，直線l，平面α，若，，，，則下列結(jié)論正確的是（）．A. B.l與ɑ相交 C. D.以上都有可能〖答案〗B〖解析〗因為，，所以，又因為，，所以l與ɑ相交，故選：B4.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若，則b=（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗在中，角，，所對的邊分別是，，．若，，，利用正弦定理：，整理得：．故選：D．5.如圖，已知一個直四棱柱的側(cè)棱長為6，底面是對角線長分別是9和13的菱形，則這個四棱柱的側(cè)面積是（）．A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如圖，連接交點為O，則對角線，，所以，因為直四棱柱的底面是菱形，所以，所以，∴直四棱柱的側(cè)面積.故選：D.6.在中，為邊上的任意一點，點在線段上，且滿足，若，則的值為（）A. B. C.1 D.4〖答案〗A〖解析〗設(shè)，，所以，又，所以．故選：．7.如圖，在圓C中，，點A，B在圓上，，則的值為（）A.25 B.8 C.10 D.16〖答案〗B〖解析〗如圖所示，在圓中，過點作于，則為的中點，在中，，可得，所以，故選：B.8.已知四棱錐中，平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，，平面過PB，BC，PD的中點，則下列關(guān)于平面截四棱錐所得的截面正確的為（）A.所得截面是正五邊形 B.截面過棱PA的三等分點C.所得截面面積為 D.截面不經(jīng)過CD中點〖答案〗C〖解析〗在四棱錐中，，取中點分別為，連接，F(xiàn)G，GH，BD，AC，如圖，因底面為正方形，E，F(xiàn)，H分別是棱PB，BC，PD的中點，則，所以四邊形EFGH是平行四邊形.對于A，令，有，在PA上取點，使，連接EI，HI，JI，則，因為點平面EFGH，有平面EFGH，所以點平面平面EFGH，因此五邊形EFGHI是平面截四棱錐所得的截面多邊形，而，所以截面不是正五邊形，A錯誤；對于B，由A選項分析，可知截面過棱PA的四等分點，B錯誤；對于C，底面平面，則，而，則，又平面，因此平面平面，于是得，有，所以矩形EFGH面積等于，而，則邊EH上的高等于，所以，所以截面五邊形EFGHI面積為，C正確；對于D，截面經(jīng)過CD中點，D錯誤.故選：C二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯或不選的得0分．9.已知復(fù)數(shù)，，下列結(jié)論正確的有（）A. B.若，則的最大值為C. D.在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限〖答案〗ACD〖解析〗對于A，因為復(fù)數(shù)，，則，，所以，故選項A正確；對于B，設(shè)復(fù)數(shù)，則，則，所以復(fù)數(shù)對應(yīng)點的坐標(biāo)是以為圓心，以1為半徑的圓，而表示圓上一點到坐標(biāo)原點的距離，因為原點到圓心的距離，所以，則的最大值為，故選項B錯誤；對于C，因為，故選項C正確；對于D，因為復(fù)數(shù)，，則，其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，位于第二象限，故選項D正確，故選：ACD.10.在中，角、、的對邊分別為，，，若，，則使此三角形有兩解的的值可以是（）A.5 B. C.8 D.〖答案〗BC〖解析〗當(dāng)為銳角時，三角形有兩解.，，的值可以是，8，故選：BC.11.的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，其外接圓半徑為R，下列結(jié)論正確的有（）A.若，，則B.若，則可能是直角三角形C.若，則D.若，則是直角三角形〖答案〗ABD〖解析〗對于A，若，，在中，由正弦定理可得，則，故選項A正確；對于B，若，則由余弦定理可得，，因為，所以角為銳角，則可能是直角三角形，故選項B正確；對于C，若，由正弦定理可得，并不能得出，故選項C錯誤；對于D，若，由可得，則，化簡可得，則，即，也即，在中，因為且，所以，則，所以或，則為直角三角形，故選項D正確，故選：ABD.12.如圖，圓錐底面的直徑為3，，E為PB的中點，則下列說法正確的有（）A.圓錐的體積為B.圓錐內(nèi)切球的半徑為C.過P截圓錐所得截面面積最大為D.A點沿圓錐表面到E的最短路經(jīng)長為〖答案〗BCD〖解析〗因為，由解得，即圓錐母線長為，則高，故圓錐的體積為,故A錯誤,設(shè)內(nèi)切球的半徑為，垂直于交于點，如圖，則對，由于,所以,所以，故B正確，過點作平面截圓錐的截面面積的最大時，由于為等腰三角形，如圖，因為，故恰好時取到最大值，此時，故C正確；沿母線，剪開，并將圓錐的半側(cè)面展開如圖，易知，又弧長為，，所求最近路線長，D正確．故選：ACD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知向量，若，則________.〖答案〗.〖解析〗因為向量，且，所以，解得：.所以，所以.故〖答案〗為：.14.已知復(fù)數(shù)z滿足，則的取值范圍為______．〖答案〗〖解析〗表示對應(yīng)的點是單位圓上的點，的幾何意義表示單位圓上的點和之間的距離，的取值范圍轉(zhuǎn)化為點到圓心的距離加上半徑可得最大值，減去半徑可得最小值，所以最大距離為，最小距離為，所以的取值范圍為.故〖答案〗為：.15.已知圓柱體的底面半徑為，高為，一只蝸牛從圓柱體底部開始爬行，繞圓柱體4圈到達(dá)頂部，則蝸牛爬行的最短路徑長為______．〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意，從圓柱底部點繞圓柱體的側(cè)面旋轉(zhuǎn)4圈到達(dá)頂部的點，沿將側(cè)面展開后，最短路程，如圖所示，其中矩形的高等于圓柱的高，矩形的寬等于圓柱的底面圓的周長的4倍，即，所以蝸牛爬行的最短路徑為.故〖答案〗為：.16.在中，，，，對任意，有恒成立，點P是直線BA上，則的最小值是______．〖答案〗〖解析〗因為，所以，

由減法與數(shù)乘的幾何意義，為點到的垂線段，所以，

因為，，所以，，所以，

在中，由余弦定理易得，，

設(shè)關(guān)于直線對稱點為，連接，連接交于，

易得，此時最小，，，

即的最小值為.故〖答案〗為:.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已如i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)．（1）當(dāng)實數(shù)m取何值時，z是純虛數(shù)；（2）若，求值．解：（1）若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則，解得，所以．（2）當(dāng)時，，則，．18.已知在中，角A，B，C，所對的邊為a，b，c，若．（1）求角C的大