專題4.11 相交線與平行線（幾何模型1）（知識講解）-2020-2021學(xué)年七年級數(shù)學(xué)下冊基礎(chǔ)知識專項講練（湘教版）

專題4.11相交線與平行線（幾何模型1）（知識講解）幾何模型1：M型模型（也稱“豬蹄模型”）圖一幾何模型2：鉛筆頭模型圖二幾何模型3：雞翅模型圖三幾何模型4：折雞翅模型圖四幾何模型5：多個M型模型證明思路參考幾何模型1幾何模型6：多個鉛筆頭模型證明思路參考幾何模型2類型一、M型模型 1（2020·寧波市惠貞書院七年級期中）如圖，，設(shè)，那么，，的關(guān)系式______．【答案】【分析】過作，過作，根據(jù)平行線的性質(zhì)可知，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解；解：如圖，過作，過作，∴，∴，，，∵，∴，∴，∴，∴，∴．故答案為：．【點撥】本題考查了平行線的性質(zhì)，兩直線平行同位角相等，兩直線平行內(nèi)錯角相等，正確理解平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；舉一反三：【變式1】（2020·四川成都市·天府四中七年級期中）如圖，，則____________________．【答案】【分析】過點做的平行線，利用平行線的性質(zhì)，即可證明．解：過點做的平行線，又又.故答案為：．【點撥】本題考查了通過平行線的性質(zhì)求解角度問題，解題關(guān)鍵在于過中間的點作已知直線的平行線．【變式2】（2019·遼寧大連市·七年級期末）閱讀材料：如圖1，點是直線上一點，上方的四邊形中，，延長，，探究與的數(shù)量關(guān)系，并證明.小白的想法是：“作（如圖2），通過推理可以得到，從而得出結(jié)論”.請按照小白的想法完成解答：拓展延伸：保留原題條件不變，平分，反向延長，交的平分線于點（如圖3），設(shè)，請直接寫出的度數(shù)（用含的式子表示）.【答案】閱讀材料：，見解析；拓展延伸：.【分析】（1）作，，，由平行線性質(zhì)可得，結(jié)合已知，可證，進而得到，從而，，將代入可得.（2）過H點作HP∥MN，可得∠CHA=∠PHA+∠PHC，結(jié)合（1）的結(jié)論和CG平分∠ECD可得∠PHC=∠FCH=120°-，即可得.解：【閱讀材料】作，，（如圖1）.∵，∴.∴.∵，∴.∴.∴.∵，∴.∵，∴.∴，.∴.∵，∴.【拓展延伸】結(jié)論：.理由：如圖，作，過H點作HP∥MN，∴∠PHA=∠MAH=，由（1）得FC∥MN，∴FC∥HP，∴∠PHC=∠FCH，∵,CG平分∠ECD，∴∠ECG=20°+，∴∠FCH==180°-()-(20°+)=120°-∴∠CHA=∠PHA+∠PHC=+（120°-）=120°-即：.【點評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)的運用，解決問題的關(guān)鍵是作平行線構(gòu)造內(nèi)錯角，運用等角的余角（補角）相等進行推導(dǎo)．余角和補角計算的應(yīng)用，常常與等式的性質(zhì)、等量代換相關(guān)聯(lián)．解題時注意方程思想的運用．類型二、鉛筆頭型模型2（2020·山東聊城市·七年級期末）直線AB、CD被直線EF所截，AB∥CD，點P是平面內(nèi)一動點．（1）若點P在直線CD上，如圖①，∠α＝50°，則∠2＝°．（2）若點P在直線AB、CD之間，如圖②，試猜想∠α、∠1、∠2之間的等量關(guān)系并給出證明；（3）若點P在直線CD的下方，如圖③，（2）中∠α、∠1、∠2之間的關(guān)系還成立嗎？請作出判斷并說明理由．【答案】（1）50；（2）∠α＝∠1+∠2，證明見解析；（3）不成立．理由見解析．【分析】（1）由題意直接根據(jù)平行線的性質(zhì)可直接求解；（2）由題意過P作PG∥AB，則PG∥AB∥CD，利用平行線的性質(zhì)即可求解；（3）根據(jù)題意過P作PH∥AB，則PH∥AB∥CD，利用平行線的性質(zhì)進行分析即可求解．解：（1）∵AB∥CD，∠α＝50°∴∠2＝∠α＝50°，故答案為：50；（2）∠α＝∠1+∠2．證明：過P作PG∥AB，∵AB∥CD，∴PG∥AB∥CD，∴∠2＝∠EPG，∠1＝∠FPG，∵∠α＝∠EPF＝∠EPG+∠FPG，∴∠α＝∠1+∠2；（3）不成立．理由：過P作PH∥AB，∵AB∥CD，∴PH∥AB∥CD，∴∠2＝∠EPH，∠1＝∠FPH，∵∠α＝∠EPF＝∠EPH﹣∠FPH，∴∠α＝∠2﹣∠1，故不成立．【點撥】本題主要考查平行線的性質(zhì)，注意掌握并靈活運用平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】（2020·河北邢臺市·八年級月考）如圖1，四邊形為一張長方形紙片．（1）如圖2，將長方形紙片剪兩刀，剪出三個角（），則__________°．（2）如圖3，將長方形紙片剪三刀，剪出四個角（），則__________°．（3）如圖4，將長方形紙片剪四刀，剪出五個角（），則___________°．（4）根據(jù)前面探索出的規(guī)律，將本題按照上述剪法剪刀，剪出個角，那么這個角的和是____________°．【答案】（1）360；（2）540；（3）720；（4）．【分析】（1）過點E作EH∥AB，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補即可得到三個角的和等于180°的2倍；

（2）分別過E、F分別作AB的平行線，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補即可得到四個角的和等于180°的三倍；

（3）分別過E、F、G分別作AB的平行線，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補即可得到四個角的和等于180°的三倍；

（4）根據(jù)前三問個的剪法，剪n刀，剪出n+1個角，那么這n+1個角的和是180n度．證明：（1）過E作EH∥AB（如圖②）．

∵原四邊形是長方形，

∴AB∥CD，

又∵EH∥AB，

∴CD∥EH（平行于同一條直線的兩條直線互相平行）．

∵EH∥AB，

∴∠A+∠1=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）．

∵CD∥EH，

∴∠2+∠C=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）．

∴∠A+∠1+∠2+∠C=360°，

又∵∠1+∠2=∠AEC，

∴∠BAE+∠AEC+∠ECD=360°；

（2）分別過E、F分別作AB的平行線，如圖③所示，

用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD=540°；

（3）分別過E、F、G分別作AB的平行線，如圖④所示，

用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD=720°；

（4）由此可得一般規(guī)律：剪n刀，剪出n+1個角，那么這n+1個角的和是180n度．

故答案為：（1）360；（2）540；（3）720；（4）180n．【點撥】題主要考查了多邊形的內(nèi)角和，作平行線并利用兩直線平行，同旁內(nèi)角互補是解本題的關(guān)鍵，總結(jié)規(guī)律求解是本題的難點．舉一反三：【變式2】（2020·湖北隨州市·七年級期末）已知，點，分別在直線，上，點在直線與之間，．（1）如圖1，求證：．閱讀并補齊下列推理過程過點作，因為，所以_____（______________）所以，（_______________________）所以．解題反思：從上面的推理過程中，我們發(fā)現(xiàn)平行線具有“等角轉(zhuǎn)化”的功能，在學(xué)習(xí)中要注意體會．（2）如圖2，點，在直線上，，平分，求證：．（3）在（2）的條件下，過點作平分，請直接寫出使時，與之間應(yīng)具備的關(guān)系．【答案】（1），平行于同一條直線的兩條直線平行，兩條直線平行內(nèi)錯角相等；（2）見解析；（3）【分析】（1）添加平行線，根據(jù)平行于同一條直線的兩條直線平行，再利用平行線的性質(zhì)進行角的等量代換；（2）與（1）同理，通過添加平行線，根據(jù)平行于同一條直線的兩條直線平行，再利用平行線的性質(zhì)、角平分線的定義進行角的等量代換；（3）在（2）的條件下，根據(jù)已有的數(shù)量關(guān)系，加上平行線得到的內(nèi)錯角相等進行等量代換即可．解：（1），平行于同一條直線的兩條直線平行，兩條直線平行內(nèi)錯角相等；（2）過點作，，，，由（1）知，，又，，，