有窮無(wú)窮遞增遞減數(shù)列知識(shí)點(diǎn)+練習(xí)題

有窮無(wú)窮遞增遞減數(shù)列知識(shí)點(diǎn)+練習(xí)題數(shù)列的分類按項(xiàng)數(shù)分：可以分為有窮數(shù)列和無(wú)窮數(shù)列，即如果項(xiàng)數(shù)是有限的那么就是有窮數(shù)列，如果項(xiàng)數(shù)是無(wú)限的那么就是無(wú)窮數(shù)列：

（2）按增減分：可以分為遞增數(shù)列和遞減數(shù)列，即如果數(shù)列的項(xiàng)是隨著項(xiàng)數(shù)的增加而增加的就是遞增數(shù)列，如果數(shù)列的項(xiàng)是隨著項(xiàng)數(shù)的增加而減小的就是遞減數(shù)列；

（3）按項(xiàng)的特點(diǎn)分：可以分為搖擺數(shù)列和常數(shù)列，即如果數(shù)列的項(xiàng)是在某個(gè)或某幾個(gè)數(shù)之間來(lái)回?fù)u擺就是搖擺數(shù)列，如果數(shù)列的每一項(xiàng)都相等而且都是一個(gè)常數(shù)那么就是常數(shù)列。有窮數(shù)列的定義：項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列叫做有窮數(shù)列；無(wú)窮數(shù)列的定義：項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列叫做無(wú)窮數(shù)列；遞增數(shù)列的定義：一般地，一個(gè)數(shù)列{an}，如果從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列叫做遞增數(shù)列。遞減數(shù)列的定義：如果從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列叫做遞減數(shù)列。單調(diào)數(shù)列：遞增數(shù)列和遞減數(shù)列通稱為單調(diào)數(shù)列.

數(shù)列的單調(diào)性:1.對(duì)單調(diào)數(shù)列的理解:數(shù)列是特殊的函數(shù),特殊在于其定義域?yàn)檎麛?shù)集或它的子集.有些數(shù)列不存在單調(diào)性.有些數(shù)列在正整數(shù)集上有多個(gè)單調(diào)情況,有些數(shù)列在正整數(shù)集上單調(diào)性一定;

2.單調(diào)數(shù)列的判定方法:已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，要討論這個(gè)數(shù)列的單調(diào)性，即比較an與an+1的大小關(guān)系，可以作差比較；也可以作商比較，前提條件是數(shù)列各項(xiàng)為正。擺動(dòng)數(shù)列的定義：從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列叫做擺動(dòng)數(shù)列。巧用(-1)n求擺動(dòng)數(shù)列的通項(xiàng)：在數(shù)列中，我們經(jīng)常會(huì)碰到求形如：1，-1,1，-1，…，或-1,1，-1,1，…，等數(shù)列的通項(xiàng)，很顯然，我們只要利用(-1)n進(jìn)行符號(hào)的調(diào)整，就能很快求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，我們?cè)谄渌鼡u擺數(shù)列中也可以巧妙地利用(-1)n求出通項(xiàng)公式。例題1.有窮數(shù)列1，23，26，29，…，23n+6的項(xiàng)數(shù)是（

）A．3n+7

B．3n+6

C．n+3

D．n+2答案：C其中，有窮數(shù)列是（

），無(wú)窮數(shù)列是（

），遞增數(shù)列是（

），遞減數(shù)列是（

），常數(shù)列是（

），擺動(dòng)數(shù)列是（

），周期數(shù)列是（

）。（將合理的序號(hào)填在橫線上）答案：(1)(6)；(2)(3)(4)(5)；(1)(2)；(3)；(6)；(4)(5)；(5)例題6.下列敘述中正確的個(gè)數(shù)為（

）

①數(shù)列{an}，an=2是常數(shù)列；

②數(shù)列是擺動(dòng)數(shù)列；

③數(shù)列是遞增數(shù)列；

④若數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，則數(shù)列{an·an+1}也是遞增數(shù)列；A．1

B．2

C．3

D．4答案：C例題7.已知Sk表示數(shù)列{ak}的前k項(xiàng)和，且Sk+Sk+1=ak+1(k∈N*），那么此數(shù)列是（

）A．遞增數(shù)列

B．遞減數(shù)列

C．常數(shù)列

D．?dāng)[動(dòng)數(shù)列例題8.設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和（n=1，2，3，……）。按如下方式定義數(shù)列{an}：a1=m（m∈N*），對(duì)任意k∈N*，k＞1，設(shè)ak為滿足0≤ak≤k-1的整數(shù)，且k整除Sk，

（Ⅰ）當(dāng)m=9時(shí)，試給出{an}的前6項(xiàng)；

（Ⅱ）證明：k∈N*，有；

（Ⅲ）證明：對(duì)任意的m，數(shù)列{an}必從某項(xiàng)起成為常數(shù)列。解：（Ⅰ）m=9時(shí)，數(shù)列為9，1，2，0，3，3，3，3，

即前六項(xiàng)為9，1，2，0，3，3。

（Ⅱ）；

（Ⅲ）有，

由（Ⅱ）可得，

為定值且單調(diào)不增，

∴數(shù)列必將從某項(xiàng)起變?yōu)槌?shù)，

不妨設(shè)從l項(xiàng)起為常數(shù)，則，

于是，

所以，

所以{an}當(dāng)n≥l+1時(shí)成為常數(shù)列。例題9*.數(shù)列{an}滿足：an+1=3an-3an2，n=1，2，3，…。

（Ⅰ）若數(shù)列{an}為常數(shù)列，求a1的值；

（Ⅱ）若a1=，求證：；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求證：數(shù)列{a2n}單調(diào)遞減。（Ⅰ）解：因?yàn)閿?shù)列為常數(shù)列，

所以，，

，

由n的任意性知，或。

（Ⅱ）證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明，

①當(dāng)n=1時(shí)，，符合上式；

②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1）時(shí)，，

因?yàn)?，所以，即?/p>

從而，即，

因?yàn)椋?/p>

所以，當(dāng)n=k+1時(shí)，成立，

由①，②知，。

（Ⅲ）證明：因?yàn)?/p>

（n≥2），

所以只要證明，

由（Ⅱ）知，，

所以只要證明，

即證明，

令，

，

所以函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增；

因?yàn)椋?/p>

所以，，即成立，

故，所以數(shù)列單調(diào)遞減。例題10*.已知An（an，bn）（n∈N*）是曲線y=ex上的點(diǎn)，a1=a，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且滿足：

，n=2，3，4，…

（Ⅰ）證明數(shù)列是常數(shù)數(shù)列；

（Ⅱ）確定a的取值集合M，使a∈M時(shí)，數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列；

（Ⅲ）證明當(dāng)a∈M時(shí)，弦AnAn+1（n∈N*）的斜率隨n單調(diào)遞增。解：（Ⅰ）當(dāng)n≥2時(shí)，由已知得，

因?yàn)?，…………?/p>

于是，…………②

由②-①得，…………③

于是，…………④

由④-③得，…………⑤

所以(n≥2)是常數(shù)列。

（Ⅱ）由①有，

由③有，

而⑤表明：數(shù)列分別是以a2、a3為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)列，

所以，

數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列對(duì)任意的k∈N*成立

，

即所求a的取