上海市黃浦區(qū)2024屆高三二模數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

上海市黃浦區(qū)2024屆高三二模數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、填空題

1.若集合A=[l,4],8=[2,5],則473=.

2.拋物線V=4x的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是.

3.若a=(3cos6,sin8),Z?=(cos^,3sin^),其中OER,貝!J〃力二.

4.若一個(gè)圓柱的底面半徑為2,母線長(zhǎng)為3,則此圓柱的側(cè)面積為.

5.若(加+%的展開式中/的系數(shù)是一80,則實(shí)數(shù).

X

3

6.在ASC中，cosA=-y,AB=1,AC=5,則BC=.

7.隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,b〉,若尸(2<X42.5)=0.36,則P(|X-2|>0.5)=.

8.若實(shí)系數(shù)一元二次方程/+6+6=0有一個(gè)虛數(shù)根的模為4,貝匹的取值范圍是.

9.某校高三年級(jí)舉行演講比賽，共有5名選手參加.若這5名選手甲、乙、丙、丁、戊通過(guò)

抽簽來(lái)決定上場(chǎng)順序，則甲、乙兩位選手上場(chǎng)順序不相鄰的概率為.

10.已知數(shù)列{4}是給定的等差數(shù)列,其前"項(xiàng)和為S"，若<。，且當(dāng)用=/與"=%時(shí)，

|S「Sj(〃z,〃e{x|xV30,xeN*})取得最大值，則廂的值為.

11.如圖是某公園局部的平面示意圖，圖中的實(shí)線部分(它由線段CE,97與分別以O(shè)COD

為直徑的半圓弧組成)表示一條步道.其中的點(diǎn)是線段A2上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。為線段43,CD

的中點(diǎn)，點(diǎn)瓦廠在以AB為直徑的半圓弧上，且均為直角.若AB=1百米，貝|

此步道的最大長(zhǎng)度為百米.

12.在四面體PABC中，2PD=PA+PB，5PE=2PB+3PC，2PF=—PC+3PA，設(shè)四面體PABC

與四面體尸。EF的體積分別為匕、匕，則苓的值為_______.

%

二、單選題

13.某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況，用分層抽樣的方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和

高中部?jī)蓪庸渤槿?0名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有500和300名學(xué)生，則不同

的抽樣結(jié)果的種數(shù)為()

A.C款+C盛

0/"120.「20

J。500十Joo

14.函數(shù)y=l-2cos2(x-?］是()

A.最小正周期為萬(wàn)的奇函數(shù)B.最小正周期為"的偶函數(shù)

C.最小正周期為g7T的奇函數(shù)D.最小正周期為］的偶函數(shù)

2

—x+ax+20—4<無(wú)<0

5設(shè)函數(shù)〃加爾_43：。<；“’若/⑴>°恒成立'則實(shí)數(shù)”的取值范圍是()

B.

C.D.

16.設(shè)數(shù)列｛q｝的前“項(xiàng)和為S,,,若對(duì)任意的"€N*,S,都是數(shù)列｛??｝中的項(xiàng)，則稱數(shù)列｛4,｝

為“T數(shù)列”.對(duì)于命題：①存在“T數(shù)列”｛凡｝,使得數(shù)列｛S,,｝為公比不為1的等比數(shù)列；②對(duì)

于任意的實(shí)數(shù)的,都存在實(shí)數(shù)d,使得以為為首項(xiàng)、d為公差的等差數(shù)列｛%｝為“T數(shù)列”.

下列判斷正確的是()

A.①和②均為真命題B.①和②均為假命題

C.①是真命題，②是假命題D.①是假命題，②是真命題

三、解答題

2'+Z7

17.設(shè)aeR,函數(shù)/(x)=^——.

2V-1

(1)求。的值，使得>=/(尤)為奇函數(shù)；

⑵若/(2)=a,求滿足/?>a的實(shí)數(shù)x的取值范圍.

18.如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD為矩形，點(diǎn)E是棱上的一點(diǎn)，PB〃平

面AEC.

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

(1)求證：點(diǎn)E是棱的中點(diǎn)；

⑵若平面ABC。，AP=2,AD=26,PC與平面4BC￡)所成角的正切值為:，求二

面角D-AE-C的大小.

19.某社區(qū)隨機(jī)抽取200個(gè)成年市民進(jìn)行安全知識(shí)測(cè)試，將這200人的得分?jǐn)?shù)據(jù)進(jìn)行匯總,

得到如下表所示的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，并規(guī)定得分60分及以上為合格.

組別[0,20)[20,40)[40,60)[60,80)[80,100]

頻數(shù)926655347

(1)該社區(qū)為參加此次測(cè)試的成年市民制定了如下獎(jiǎng)勵(lì)方案：①合格的發(fā)放2個(gè)隨機(jī)紅包，不

合格的發(fā)放1個(gè)隨機(jī)紅包；②每個(gè)隨機(jī)紅包金額(單位：元)的分布為若從這200個(gè)

1U.3U.ZJ

成年市民中隨機(jī)選取1人，記X(單位：元)為此人獲得的隨機(jī)紅包總金額，求X的分布

及數(shù)學(xué)期望；

(2)已知上述抽測(cè)中60歲以下人員的合格率約為56%,該社區(qū)所有成年市民中60歲以下人

員占比為70%.假如對(duì)該社區(qū)全體成年市民進(jìn)行上述測(cè)試，請(qǐng)估計(jì)其中60歲及以上人員的合

格率以及成績(jī)合格的成年市民中60歲以下人數(shù)與60歲及以上人數(shù)之比.

20.如圖，已知一是中心在坐標(biāo)原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，一是以口的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)

的等軸雙曲線，點(diǎn)M(gg)是一與一的一個(gè)交點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)尸在口的右支上且異于頂點(diǎn).

⑴求和與「2的方程;

(2)若直線PF.的傾斜角是直線PF1的傾斜角的2倍，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)設(shè)直線PK，P￡的斜率分別為匕&,直線尸月與口相交于點(diǎn)A3,直線尸工與口相交于點(diǎn)

C,D,\AFl\-\BF1\=m,\CF2\-\DF2\=n,求證：左他=1且存在常數(shù)s使得根+”=SWZ.

21.若函數(shù)y=/(尤)的圖象上的兩個(gè)不同點(diǎn)處的切線互相重合，則稱該切線為函數(shù)y=f{x)

的圖象的“自公切線”，稱這兩點(diǎn)為函數(shù)＞=/(尤)的圖象的一對(duì)“同切點(diǎn)

(1)分別判斷函數(shù)X(x)=sinx與力(尤)=lnx的圖象是否存在“自公切線”，并說(shuō)明理由；

(2)若aeR,求證：函數(shù)g(x)=tanxr+a(xe(-芳))有唯一零點(diǎn)且該函數(shù)的圖象不存在“自

公切線”；

(3)設(shè)〃wN*,/z(x)=tanx-x+"7i(xe(K))的零點(diǎn)為尤“,7?(-§,§),求證：“存在Se(2n,+co),

使得點(diǎn)(s,sins)與(f,sinf)是函數(shù)y=sinx的圖象的一對(duì)，同切點(diǎn)，”的充要條件是“?是數(shù)列{%}

中的項(xiàng)

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

參考答案:

L[1,5]

【分析】由交集的定義求解即可.

【詳解】因?yàn)榧螦=[1,4],B=[2,5],則Au3=[i，5].

故答案為：

2.2

【詳解】焦點(diǎn)/(1,0),準(zhǔn)線方程工=一|,...焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是2.

3.3

【分析】利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式，結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行求解即可.

【詳解】a-b=3cos20+3sin20=3>

故答案為：3

4.12K

【分析】將圓柱的側(cè)面展開，得到矩形的兩邊長(zhǎng)，求出面積即可.

【詳解】將圓柱的側(cè)面展開為矩形，其中矩形的一邊為3,另一邊為2兀'2=4兀，

故側(cè)面積為3x471=1271.

故答案為：12兀

5.-2

【分析】根據(jù)通項(xiàng)公式得到10-3r=4,求出廠=2,從而得到方程，求出a=-2.

【詳解】通項(xiàng)公式為=CW-"Q2，.xT=c/5-"w，，

令10-3r=4,解得廠=2,

故C；°3=_80,解得a=—2.

故答案為：-2

6.4夜

【分析】根據(jù)余弦定理建立方程，可得答案.

【詳解】在ABC中，根據(jù)余弦定理可得：COSA=AS2+AC2~SC2,

2ABAC

設(shè)3C=x(x>。)，則工1+254,整理可得爐=32,解得％=40,

')52x1x5

故BC=40.

故答案為：40.

答案第1頁(yè)，共15頁(yè)

7

7.0.28/—

25

【分析】根據(jù)正態(tài)曲線的性質(zhì)計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)閄雙(202)且尸(2<X〈2.5)=0.36,

所以尸(1.5VX<2)=P(2<XV2.5)=0.36,

貝(J尸(|X-21>0.5)=1-2P(2<XV2,5)=l-2x0.36=0.28.

故答案為：0.28

8.(-8,8)

【分析】因?yàn)閷?shí)系數(shù)的一元二次方程若有虛數(shù)根，則兩根共輾，可設(shè)兩根分別為根+疝和

m-m,則〃/+/=16,X/?=(m+m)(m-7?i)=m2+n2=16,再由△<0可求。的取值范圍.

【詳解】設(shè)實(shí)系數(shù)一元二次方程f+"+6=。的兩個(gè)虛數(shù)根為利+疝和〃z—ai,

則m2+1T=16-

所以6==+〃2=16.

由A<0=>a2-4xi6<0=>-8<a<8.

故答案為：(-&8)

3

9.-/0.6

5

【分析】求出甲、乙兩位選手上場(chǎng)順序不相鄰的場(chǎng)數(shù)和抽簽總共的可能場(chǎng)數(shù)，即可得出甲、

乙兩位選手上場(chǎng)順序不相鄰的概率.

【詳解】由題意，

若甲第一個(gè)上場(chǎng)，乙則可以第3,4,5個(gè)上場(chǎng)，有C；A；=3x3x2x1=18種，

若甲第二個(gè)上場(chǎng),乙則可以第4,5個(gè)上場(chǎng)，有C；A；=2x3x2x1=12種,

若甲第三個(gè)上場(chǎng),乙則可以第1,5個(gè)上場(chǎng)，有C；A；=2x3x2x1=12種,

若甲第四個(gè)上場(chǎng),乙則可以第1,2個(gè)上場(chǎng)，有C；A；=2x3x2x1=12種,

若甲第五個(gè)上場(chǎng),乙則可以第1,2,3個(gè)上場(chǎng)，有C；A；=3x3x2x1=18種,

共有18+12+12+12+18=72種，

而所有的上場(chǎng)順序有團(tuán)=5x4x3x2x1=120種,

答案第2頁(yè)，共15頁(yè)

723

???甲、乙兩位選手上場(chǎng)順序不相鄰的概率：P=—=~,

1205

3

故答案為：—.

10.21

m

【分析】不妨設(shè)數(shù)列｛%｝的公差大于零，不妨取機(jī)>",則鼠-=設(shè)

i=n+l

30

^=|S30-S9|=^o;,再分">9,m=30和〃<9,加=30兩種情況討論，可得出“o的值，再討論

?=10

m<30,即可求出"％,即可得解.

【詳解】不妨設(shè)數(shù)列｛%｝的公差大于零，

由于%%0<0，得。9<。，〃10>0，

且時(shí)，Q〃<0,時(shí)，凡>0,

m

不妨取根>九，則Sm-S"=￡q,

i=n+l

30

設(shè)左二園-=,

z=10

30

若">9,m=30,則慘。-S“|42@<左，此時(shí)式子取不了最大值；

，=為+1

9

若〃<9,機(jī)=30,貝州3。-5”歸工…,

Z=?o+1

又運(yùn)9時(shí),a,<0,

因?yàn)閲?guó)。7“歸ai+k<k,此時(shí)式子取不了最大值;

i=%+l

因此這就說(shuō)明〃=%=9必成立.

mo

若加<30,則再“一59歸24<左，

z=10

這也就說(shuō)明人<30不成立，因此〃?0=30,

所以|機(jī)o-%|=21.

故答案為：21.

2

答案第3頁(yè)，共15頁(yè)

【分析】設(shè)半圓步道直徑為X百米，連接AE,3E,借助相似三角形性質(zhì)用X表示CE,結(jié)合

對(duì)稱性求出步道長(zhǎng)度關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)求出最大值即得.

【詳解】設(shè)半圓步道直徑為x百米，連接顯然NA￡B=90,

由點(diǎn)。為線段A3,8的中點(diǎn)，得兩個(gè)半圓步道及直道CE,DF都關(guān)于過(guò)點(diǎn)0垂直于的直

線對(duì)稱,

貝IAC=L-x,BC=1+無(wú)，又CE_LAB,則RtACERtVECB,有CE=ACBC,

22

即有DE=CE=,因止匕步道長(zhǎng)/(x)=2j；-x2+"=J1-4Y+7uc,0<x<1,

4x71

求導(dǎo)得/(%)=-，+兀,由尸(x)=。，得X=/,,

41-4/2VTI+4

八兀，兀1,

當(dāng)0<x</,時(shí),/'(無(wú))>0,函數(shù)/*)遞增，當(dāng)I,時(shí),「(x)<0,函數(shù)/(X)

2d?+42,兀2+42

遞減,

7171

因此當(dāng)"研工時(shí)'1-4(-H------1-

26+42h+42

所以步道的最大長(zhǎng)度為立七百米.

2

故答案為：近衛(wèi)

2

【分析】根據(jù)空間向量的加法與數(shù)乘運(yùn)算，可得點(diǎn)的位置并作圖，利用三角形的等積變換可

得底面的面積比，可得答案.

【詳解】由2罰=片+郎，2P。=弘+尸8—叢+尸4,2（尸0一尸4）=尸2一尸4，貝|24￡）=鉆；

由5胡=2弗+3序，5PE=2PB+3PC-3PB+3PB，5（尸石一尸2）=3（尸C-PB）,則52E=32C;

由2尸尸=-PC+3PA，2PF=-PC+3PA-3PC+3PC2（PF-PC）=3（PA-PC）,貝|

2CF=3CA;

顯然四面體R4BC與四面體PDEP共頂點(diǎn)且底面共面，則其高相同可設(shè)為〃，

結(jié)合題意可作圖如下：

答案第4頁(yè)，共15頁(yè)

在底面連接在3,作圖如下:

即則黑/=4￡=2易知。=4.

由2CF=3C4,

FC3'人」SFBCFC3'勿刈SfBC3'

即黑_J，則BA2'易知b<6；

由2AD=AB，

BA23ABF8A2SFBC6

即空二，則建^生二.

由58E=3BC，

BC5sBCFBC5'

BD1BE3nSDEB133tSDBE32

BA2BC5s.e2510勿利S迎1035

S.FDE_1SDBFSECFS_7S_3_7

—1DBE-------F-D-E-----X——---

SFBCSFBCSBCFFBC30SABC30220

33DEF7

/s.20

7

故答案為：—.

20

13.B

【分析】由分層抽樣先求出初中部和高中部應(yīng)抽取的學(xué)生，再由組合數(shù)公式和分步計(jì)數(shù)原理

即可得出答案.

【詳解】該校初中部和高中部分別有500和300名學(xué)生，

所以初中部應(yīng)抽取40x黑=40x：=25名學(xué)生，

8008

、.3003

高中部應(yīng)抽取40x訴=40x[=15名學(xué)生，

8008

答案第5頁(yè)，共15頁(yè)

所以不同的抽樣結(jié)果的種數(shù)為c；3c服.

故選：B.

14.A

【分析】先利用二倍角公式和誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)函數(shù)，再利用三角函數(shù)的周期公式以及奇偶函數(shù)

的定義即可求解.

因?yàn)?r)=—sin(-2x)=sin2x=-/(%),所以為奇函數(shù),

周期T=y=?,

所以此函數(shù)最小正周期為萬(wàn)的奇函數(shù)，

故選：A.

15.D

【分析】分YVxWO和0<xW4兩種情況下恒成立，參變分離轉(zhuǎn)化為最值求解即可.

【詳解】當(dāng)時(shí)，—尤2+℃+20>0恒成立，即6>/-20恒成立，

當(dāng)x=0時(shí)，上式成立；

onof)

當(dāng)YWx<0,。〈無(wú)一亍，明顯函數(shù)y=x-?在［-4,0)上單調(diào)遞增，

20

所以>min=—4T=1，所以苞V1；

-4

23

當(dāng)0<x?4時(shí)，尤+3>0恒成立，即。>二一一7恒成立，

XX

令r=,貝Ua>2-3產(chǎn)在"+的上恒成立，

又y=2/-3/開口向下，對(duì)稱軸為/=：€；，+°0］，

所以y=2f-3/的最大值為2x；-3x,：=g,

所以

綜上：實(shí)數(shù)a的取值范圍是［.I).

故選：D.

16.A

答案第6頁(yè)，共15頁(yè)

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合“T數(shù)列”的定義，舉出實(shí)例說(shuō)明①②，即可得出答案.

【詳解】對(duì)于命題①，對(duì)于數(shù)列｛4｝，

l,n=lf1,n=1

令冊(cè)

T-\n>2'

數(shù)列｛S“｝為公比不為1的等比數(shù)歹!J,

當(dāng)”=1時(shí)，W=1是數(shù)列｛4｝中的項(xiàng),

當(dāng)“22時(shí)，S“=2"7是數(shù)列｛%｝中的項(xiàng),

所以對(duì)任意的“eN*,S,都是數(shù)列｛g｝中的項(xiàng),

故命題①正確；

對(duì)于命題②，等差數(shù)列{〃〃},令％=—d,貝=%+(〃—l)d=(〃—2)d,

〃[-d+(〃-2)d]

貝電二幽詈1d，

22

因?yàn)榫乓?2—1且〃—2wZ,

—3)9nn(n-3]

eZ,

282

所以對(duì)任意的“eN*,S"都是數(shù)列｛%｝中的項(xiàng)，

所以對(duì)于任意的實(shí)數(shù)%,都存在實(shí)數(shù)d,使得以％為首項(xiàng)、d為公差的等差數(shù)列｛%｝為“T

數(shù)列”，

故命題②正確；

故選：A.

17.⑴a=l

(2)(0,2)

【分析】(1)由奇函數(shù)的性質(zhì)可得/(-1)=-7⑴，代入解方程即可得出答案；

(2)由/(2)=。，可得。=2,則2已%+上2＞2,由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可得出答案.

2X-1

【詳解】⑴由〃尤)為奇函數(shù)，可知/(T)=-/⑴，

即—(1+2。)=—(2+。)，解得。=1,

答案第7頁(yè)，共15頁(yè)

2X+12-x+11+2%

當(dāng)a=l時(shí)，/(x)=,/(-%)=土==三=-/(%)對(duì)一切非零實(shí)數(shù)元恒成立,

2X-12-11_2

故a=l時(shí)，>=/(%)為奇函數(shù).

4+a

(2)由/(2)=a,可得=a,解得a=2,

3

>2?x-4

所以/(%)>〃=----->20--------<0u>1<2“<4

2X-12X-1

解得：0<%<2,所以滿足的實(shí)數(shù)1的取值范圍是(。,2).

18.(1)證明見解析

(2)arctan2y/2

【分析】(1)作出輔助線，由線面平行得到線線平行，結(jié)合點(diǎn)F是5。的中點(diǎn)，得到證明；

(2)方法一：作出輔助線，得到4C4就是PC與平面A8CD所成角，從而根據(jù)正切值得

到AB=2后，證明出線面垂直，得到NCGD是二面角。-AE-C的平面角，求出各邊長(zhǎng)，從

而得到ZCGD=arctan20;

方法二：作出輔助線，得到/PC4就是PC與平面428所成角，建立空間直角坐標(biāo)系，得

到平面的法向量，利用法向量夾角余弦值得到二面角的大小.

【詳解】(1)連接瓦)，它與AC交于點(diǎn)F，連接EE

四邊形ABCD為矩形,

,戶為BD的中點(diǎn),

PB〃平面AEC,平面尸3。經(jīng)過(guò)尸8且與平面AEC交于E尸，

:.PB//EF,

又點(diǎn)尸是3。的中點(diǎn)，

點(diǎn)E是棱PO的中點(diǎn).

(2)方法一：-：PA±^ABCD,AC,40,CDu平面ABC。,

答案第8頁(yè)，共15頁(yè)

PA±AC,P4，AD,PA，CD且ZPCA就是PC與平面ABCD所成的角,

/…PA21

故taM尸入就一而死—,解得日2忖

四邊形A8CD為矩形，

:.ADLCD,又B4LCD,朋與A。是平面出。內(nèi)的兩相交直線,

\C0A平面

在平面B4。內(nèi)作DG_LAE,垂足為G,連接GE則CG_LAE,

二.NCGD是二面角O-AE-C的平面角.

在直角三角形研。中，PA=2,4。=26，點(diǎn)E是尸。的中點(diǎn)，

CD1平面PAD,DGu平面PAD,

:.CD±DG,故tan/CGZ)=^=￥=20,所以NCGD=arctan2近,

DGV3

故二面角AE-C的大小為arctan2\/2.

方法二：：必_L平面ABCD,AC,A￡>,Cr)u平面ABCD,

???夫A，AC,24，AD,24，CD且/PC4就是PC與平面ABCD所成的角，

又一.四邊形ABCD為矩形，.：AB工AD,

分別以A3,AD,AP為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系。-小，

答案第9頁(yè)，共15頁(yè)

E

設(shè)48=/,%=(羽％1)是平面4￡。的一個(gè)法向量，二面角O-AE-C的大小為，,

,iPA21「

由tan/PCA=M；=7=q=q,可得”2后，

AC712+/23、

貝I]AC=(2娓,250),AE=(0,73,1),

4.AC=(x,y,1).(2疝2布,0)=2nx+20=0

6.AE=(x,y,1)?(0,百,1)=括y+1=0

解得X=亞且y=一且，所以為=[￥，-§/],

6-3I63)

又%=(1,0,0)是平面AEO的一個(gè)法向量，且夕為銳角,

所以二面角D-AE-C的大小為arccos；.

19.(1)分布列見解析，39

(2)36%,98:27

【分析】(1)依題意，X的所有可能取值為20,50,40,70,100,利用獨(dú)立事件的概率乘法公

式求解相應(yīng)的概率，進(jìn)而得到X的分布，再結(jié)合期望公式求解即可；

(2)利用全概率公式和條件概率公式求解.

答案第10頁(yè)，共15頁(yè)

【詳解】(1)隨機(jī)抽取的200個(gè)成年市民的成績(jī)合格率為一亞i=50%,

1,

產(chǎn)(X=100)=-x0.22=0.02,

產(chǎn)(X=70)=；xC；x0.2x0.8=0.16,

P(X=50)=-X0.2=0.1,

2

1,

P(X=40)=-X0.82=0.32,

P(X=20)=-x0.8=0.4,

2

所以X的分布為

X20405070100

P0.40.320.10.160.02

E(X)=100x0.02+70x0.16+50x0.1+40x0.32+20x0.4=39,

即X的數(shù)學(xué)期望為39；

(2)設(shè)“從該社區(qū)成年市區(qū)隨機(jī)抽取1人，此人年齡在60歲以下”為事件A,“從該社區(qū)成

年市民隨機(jī)抽取1人，此人安全知識(shí)合格”為事件8,

則尸(A)=70%,P(A)=30%,P(5|A)~56%,P(B)~50%,

由P(B)=尸(A)?P(B\A)+P(A)-P(B\A),

可得50%x70%-56%+30%-P(B\A),所以P(B\A)?36%,

-士P(AlB)尸⑷?尸①A)P(B)70%-56%98

P(A|B)P(B)P(A)-P(B\A)30%-36%27,

估計(jì)60歲及以上人員的合格率約為36%,成績(jī)合格的成年市民中60歲以下人數(shù)與60歲及

以上人數(shù)之比約為98:27.

22

20.⑴L+2L=1與x2-y2=]

54

⑵(2,石)

(3)證明見解析

22

【分析】(1)設(shè)「1、「2的方程分別為3+2=1(〃＞。＞0)與％2-y2=，(c＞0),將點(diǎn)機(jī)的

ab

答案第11頁(yè)，共15頁(yè)

坐標(biāo)代入M的方程可求出c，利用橢圓的定義可求出。的值，從而可得6,進(jìn)而可得「1、r2

的方程；

(2)分點(diǎn)尸在第四象限和第一象限時(shí)兩種情況討論求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

,1

(3)利用兩點(diǎn)的斜率公式及點(diǎn)尸在一上即可證明心=/，設(shè)尸月的方程為y=Mx+i),與

k1

橢圓方程聯(lián)立，可得根與系數(shù)的關(guān)系，從而可表示辦“，化簡(jiǎn)'+,為常數(shù)，即可得出答案.

mn

22

【詳解】(1)設(shè)■、二的方程分別為=+1=1(。>匕>0)與小一丫2=02(0。)，

ab

由［gj—得"I，故耳耳的坐標(biāo)分別為(TO),(LO),

22

所以2〃=眼娟+\MF21=—A/5+—A/5=2y/5故，=#b=\］a-c=2，

22

故「與12的方程分另！J為二+匕=1與d-/=L

54

(2)當(dāng)點(diǎn)尸在第四象限時(shí)，直線尸耳尸耳的傾斜角都為鈍角，不適合題意；

當(dāng)尸在第一象限時(shí)，由直線PF］的傾斜角是直線PF、的傾斜角的2倍，

可知/月片尸=/月尸￡,故|P區(qū)上山區(qū)|=2,

設(shè)尸點(diǎn)坐標(biāo)為（x,y）,可知（x-iy+y2=4且/-y2=i（x>O,y>0）,

解得x=2,y=代，故點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(2,6)，

(3)設(shè)直線尸片，尸鳥的斜率分別為《,網(wǎng),點(diǎn)、P,A,B的坐標(biāo)分別為(％,%),(%,乂),(々，%)，

則年-%2=1,匕&=4為_%2_/2]_1

%+1XQ—1XQ—1

尸￡的方程為丁二/％+1),

22

代入q+q=l可得（4+5左2）/-8矽一16/=0,

-16左2

故外%

4+5公

所以"7=|AT訃忸團(tuán)=

答案第12頁(yè)，共15頁(yè)

16(%+1

同理可得九=

4+5舄

/14+5短46+59(6+1)9

故1+)一16("+1)+16("+1)=16(苗+1)=正'

9

即加+〃=一mn,所以存在s,使得/n+n=smn.

16

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問(wèn)題常見的方法有兩種：

(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān).

(2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值.

21.(1)函數(shù)力(x)的圖象存在“自公切線”；函數(shù)人(x)的圖象不存在“自公切線”，理由見解

析；

(2)證明見解析;

(3)證明見解析.

【分析】⑴由直線y"'=sin元的圖象于點(diǎn)(手1)號(hào),1)判斷力(x)=sinx,由導(dǎo)數(shù)確定

意見性判斷上㈤=lnx.

(2)利用導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)存在性定理推理即得唯一零點(diǎn)，再假定存在“自公切線”，

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，證明2再=sin2為在(0,會(huì)JT上無(wú)解即得.

(3)求出在點(diǎn)(s,sins)與(/,sin力處的切線方程，利用(2)的結(jié)論，結(jié)合誘導(dǎo)公式，及充要

條件的證明方法推理即得.

【詳解】(1)顯然直線，=1切，=5山元的圖象于點(diǎn)g,l),(g,l),

直線y=1是y=sin尤的圖象的一條“自公切線”，因此函數(shù)工(X)的圖象存在“自公切線”；

對(duì)于力(元)=Inx,f,r(x)=-(x>0)是嚴(yán)格減函數(shù)，則力(X)在不同點(diǎn)處的切線斜率不同，

X

所以函數(shù)人(X)的圖象不存在“自公切線”.

1qin2丫

(2)由/(x)=--—i=、?=tan2xN0恒成立，且僅當(dāng)x=0時(shí)g'(%)=。，

cosXcosX

7Tjr

則、=8(尤)是上的嚴(yán)格增函數(shù)，可得它至多有一個(gè)零點(diǎn)，

答案第13頁(yè)，共15頁(yè)

由y=g/x)的圖象是連續(xù)曲線，且&(《)*)=-i<o,

因此&(X)在(-￡￡)上存在零點(diǎn)，即在(-15)上g(x)=&12存在零點(diǎn)，所以g(x)有唯一

22