2024屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 圓錐曲線知識(shí)清單默寫填空答案

圓錐曲線知識(shí)點(diǎn)總結(jié)I:橢圓

知識(shí)點(diǎn)一橢圓的定義

平面內(nèi)到兩定點(diǎn)Fi,F2的距離的和等于常數(shù)(大于|尸iB|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢

圓.兩定點(diǎn)R,6叫做橢圓的焦點(diǎn).

集合語言描述:集合P={M||MFi|+|MF2|=2a},|FIF2|=2C,其中a>0,

c>0,且a,c為常數(shù).

⑴當(dāng)2a>|RB|時(shí)，尸點(diǎn)的軌跡是一橢圓_________.(2)當(dāng)2a=舊巳|時(shí)，尸點(diǎn)的軌跡是線

段.(3)當(dāng)2a<舊6|時(shí)，尸點(diǎn)—不存在.

知識(shí)點(diǎn)二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)

l+1=l

標(biāo)準(zhǔn)方程

(a>b>0)

(a>b>0)

y柒

4

圖形%.

B\b\OB?

cFyfA2%2

\~a,a],%￡\~b,b],

范圍

____L——y^[—b,b]

對(duì)稱性對(duì)稱軸：一坐標(biāo)軸對(duì)稱中心：原點(diǎn)

性質(zhì)4(一。,0),A2(〃,0),Ai(0>—d),A2(0，〃),

頂點(diǎn)

Bi(0,-Z?),員(0,b)3(-—0),%(-0)

離心率e=：且eC(0,l)

a,b,c的關(guān)系c2—6Z2—Z72

?溫馨提醒?二級(jí)結(jié)論

2

1.橢圓的通徑(過焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦)長(zhǎng)為2h亍，通徑是—最短的—焦點(diǎn)弦.

2.P是橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓的焦點(diǎn)，則c,a+c],即橢圓上的

點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最大值為a+c,最小值為a—c.

3.橢圓的焦點(diǎn)三角形:橢圓上的點(diǎn)尸(xo,泗)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的△PBW叫做焦點(diǎn)三角形.如圖

所示，設(shè)/FIPF2=0..?

(1)當(dāng)P為一短軸端點(diǎn)時(shí)，6最大.乙一L

(2)SAPFiF2=5|PFi||PF2|-sin9=c|yo|,當(dāng)|yo|=b,

~\ro)*

即P為短軸端點(diǎn)時(shí)，S4PFF2取最大值，為Jc_.

(3)焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)為_2(。+c)___________.

(4)焦點(diǎn)三角形面積公式：(1)|尸￡||「瑞|=三?；(2)_5=&2tan|.

必明易錯(cuò)

22

求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)易忽視判斷焦點(diǎn)的位置，而直接設(shè)方程為方=1(。>比>0).

L橢圓定義的應(yīng)用主要有兩個(gè)方面：一是確認(rèn)平面內(nèi)與兩定點(diǎn)有關(guān)的軌跡是否為橢圓；二

是當(dāng)尸在橢圓上時(shí)，與橢圓的兩焦點(diǎn)人，加組成的三角形通常稱為“焦點(diǎn)三角形”，利

用定義可求其周長(zhǎng)，利用定義和余弦定理可求IPHHPBI，通過整體代入可求其面積等.

2.求橢圓方程的常用方法

(1)定義法，定義法的要點(diǎn)是根據(jù)題目所給的條件確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足橢圓的定義.

(2)待定系數(shù)法，待定系數(shù)法的要點(diǎn)是根據(jù)題目所給的條件確定橢圓中的兩個(gè)系數(shù)a,b.當(dāng)

不知焦點(diǎn)在哪一個(gè)坐標(biāo)軸上時(shí)，一般可設(shè)所求橢圓的方程為mx2--\-ny2=l(jn>0,n>0,

m手n),再用待定系數(shù)法求出加，〃的值即可.

求橢圓離心率的三種方法

(1)直接求出a,c的值，利用離心率公式直接求解.

(2)列出含有a,b,。的齊次方程(或不等式)，借助于尻=/—02消去人轉(zhuǎn)化為含有e的方

程(或不等式)求解.

(3)數(shù)形結(jié)合，根據(jù)圖形觀察，通過取特殊值或特殊位置求出離心率.

圓錐曲線知識(shí)點(diǎn)總結(jié)II：雙曲線

知識(shí)點(diǎn)一雙曲線的定義

平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)Fi,巳的距離的差的絕對(duì)值

的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)耳,B叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線

的焦距.

集合語言描述：P=[M^MF^-\MF^=2a,2a<寓與

?溫馨提醒?雙曲線定義的四點(diǎn)辨析

(1)當(dāng)0<2.<|人/2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡才是雙曲線.

(2)(2)當(dāng)2a=0時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一線段的中垂線—.

(3)當(dāng)2a=|無砌時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是_以尸1,3為端點(diǎn)的兩條射線.

⑷當(dāng)2a>|嚴(yán)西|時(shí),動(dòng)點(diǎn)的軌跡不存在.

知識(shí)點(diǎn)二雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)

工22%一條=l(a>0,b>0)

標(biāo)準(zhǔn)方程今一方=l(tf>0,b>0)

1

圖形

\BX

22

性c

質(zhì)范圍xW一〃或y￡RyW—〃或x￡R

對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸

對(duì)稱性

對(duì)稱中心：原點(diǎn)

頂點(diǎn)坐標(biāo)：頂點(diǎn)坐標(biāo)：

頂點(diǎn)

A2(〃,0)4(0,—4),42(0，。)

ba

漸近線

尸9尸9

離心率e=/,e￡(l,+0°)

Q,C的

關(guān)系

線段44叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長(zhǎng)1441=2a；

實(shí)虛軸線段叫做雙曲線的虛軸，它的長(zhǎng)IB&I=2b；

_a_叫做雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，_b____叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng)

?溫馨提醒?

1.雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為.

2.同支的焦點(diǎn)弦中最短的為通徑(過焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦)，其長(zhǎng)為言；異支的

弦中最短的為實(shí)軸，其長(zhǎng)為_2“.

3.若尸是雙曲線上不同于實(shí)軸兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，F(xiàn)i,尸2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，

則SAPF1F2=_2a___,其中。為NF1PF2.

4.等軸雙曲線：x?-y2=q"aW0),它的漸近線方程為_y=±x，離心率

近-------

5.共漸近線的雙曲線系方程：若雙曲線的漸近線為±±2=0,此雙曲線方程可設(shè)

ab

22

為一『方=1

圓錐曲線知識(shí)點(diǎn)總結(jié)山：拋物線

知識(shí)點(diǎn)一拋物線的定義

滿足以下三個(gè)條件的點(diǎn)的軌跡是拋物線：

(1)在平面內(nèi)；

(2)動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)F的距離與到定直線I的距離相等；

(3)定點(diǎn)不在定直線上.

?溫馨提醒?

拋物線的定義中易忽視“定點(diǎn)不在定直線上”這一條件，當(dāng)定點(diǎn)在定直線上時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌

跡是的直線.

知識(shí)點(diǎn)二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)

y2=2pxy1——2pxx2=2pyx2=~2py

標(biāo)準(zhǔn)方程⑦〉0)(P>0)(P>O)(P>。)

p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線/的距離

yx

圖形

°V

頂點(diǎn)0(0,0)

對(duì)稱軸X軸y軸

《二DKM

焦點(diǎn)&Q)

離心率e=l

S

_2I1忙

VI2

準(zhǔn)線方程^—2—21

范圍xWO,y￡Ry20,x￡RyWO,x￡R

開口方向向右向左向上向下

焦半徑(其中\(zhòng)PF\=XQ±^\PF\=-x0+^\PF\=yo±^|PF|=-yo+^

尸(須)，yo))

?溫馨提醒?拋物線焦點(diǎn)弦的幾個(gè)常用結(jié)論

設(shè)A3是過拋物線爐=2/⑦>0)的焦點(diǎn)尸的弦，若AS，yi),3(X2,m)，貝U：

〃2

(1)X1X2=4，"丁2=—-p2____?

(2)|Afl=_x+-=--—,\BF\=_x,+E=—E—112

x，---1---=—

2l—cosa21+cosaAFBFp

9n

(3)弦長(zhǎng)|AB|=_?+x2+p=W^(a為弦AB的傾斜角).

⑷以弦A3為直徑的圓與準(zhǔn)線相切.

(5)通徑：過焦點(diǎn)垂直于對(duì)稱軸的弦長(zhǎng)等于且—.

IV.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

知識(shí)點(diǎn)一直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時(shí)，通常將直線/的方程小+By+C=0（A,8不能同時(shí)為0）

代入圓錐曲線C的方程網(wǎng)羽丫）=0,消去y（或x）得到關(guān)于x（或y）的一元二次方程,

即聯(lián)立兩個(gè)方程得消去y（或x）得ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0).

（1）當(dāng)aWO,可考慮一元二次方程的判別式/,有

①/>00直線與圓錐曲線相交；

②/=0一直線與圓錐曲線相切；

③4<0Q直線與圓錐曲線相離.

（2）當(dāng)a=0,6W0時(shí)，即得到一個(gè)一元一次方程，則直線/與圓錐曲線C相交，且只有一

個(gè)交點(diǎn).①若C為雙曲線，則直線/與雙曲線的漸近線的位置關(guān)系是平行；

②若C為拋物線，則直線/與拋物線的對(duì)稱軸的位置關(guān)系是平行或重合.

?溫馨提醒?1.直線與雙曲線交于一點(diǎn)時(shí)，易誤認(rèn)為直線與雙曲線相切，事實(shí)上不一定

相切，當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時(shí)，直線與雙曲線相交于一點(diǎn).

2.直線與拋物線交于一點(diǎn)時(shí)，除直線與拋物線相切外易忽視直線與對(duì)稱軸平行時(shí)也相交

于一點(diǎn).

V.圓錐曲線中弦的相關(guān)問題

1.弦長(zhǎng)的求解

（1）當(dāng)弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)易求時(shí)，可直接利用兩點(diǎn)間的距離公式求解；

（2）當(dāng)直線的斜率存在是，斜率為