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2024上海春考數(shù)學(xué)試卷及答案解析
一、填空題(本大題共12題,滿分54分,第『6題每題4分,第7-12題每題5
分)
1.10g2%的定義域.
2.直線x-y+l=。的傾斜角.
3.已知二=I,則2=
1+1
4.(%-I)6展開式中x4的系數(shù)為.
5.三角形ABC中,BC=2,4=二8=巳,則ZB=____.
34
6.已知ab=1,4?2+9b2的最小值為.
7.數(shù)列{%},即=n+c,S7<0,c的取值范圍為.
8.三角形三邊長為5,6,7,則以邊長為6的兩個(gè)頂點(diǎn)為焦點(diǎn),過另外一個(gè)頂點(diǎn)的雙
曲線的離心率為.
9.已知/(%)=={J,,;j'o,求g(%)<2-%的%的取值范圍
10.已知四棱柱4BCD-4再停1。1底面ABCD為平行四邊形,AA1=3,BD=4且
AB^-BC-AD^-DC=S,求異面直線44i與BD的夾角.
1
11.正方形草地ZBCD邊長1.2,E到48,4。距離為0.2,尸到8。CD距離為0.4,有個(gè)
圓形通道經(jīng)過E,F,且經(jīng)過4。上一點(diǎn),求圓形通道的周長.(精確到0.01)
12.a1—2,0,2~4,。3=8,=16,任息、b],b?,b^,bqCR,,兩足{田+a,11<iV
;<4}={bf+b7|l<i<;<4],求有序數(shù)列{瓦電電電}有對(duì)?
二、選擇題(本大題共4題,滿分18分,第13-14題每題4分,第15-16題每題
5分)
13.a,b,ceR,b>c,下列不等式恒成立的是()
k.a+b2>a+c2B.a2+b>a2+cC.ab2>ac2D.a2b>a2c
14.空間中有兩個(gè)不同的平面a,0和兩條不同的直線孫出則下列說法中正確的是
()
A.若a團(tuán)/?,mU\a,ri團(tuán)0,則m團(tuán)?1B.若a團(tuán)0,m^\a,m^\n,則九團(tuán)/?
C.若仇〃0,m//a,n“則m〃?iD.若口〃0,m//a,m//n,則九〃0
15.有四種禮盒,前三種里面分別僅裝有中國結(jié)、記本本、筆袋,第四個(gè)禮盒里面
三種禮品都有,現(xiàn)從中任選一個(gè)盒子,設(shè)事件A:所選盒中有中國結(jié),事件B:所
選盒中有記事本,事件C:所選盒中有筆袋,則()
A.事件4與事件B互斥B.事件A與事件B相互獨(dú)立
2
C.事件4與事件BUC互斥D.事件Z與事件BnC相互獨(dú)立
16.現(xiàn)定義如下:當(dāng)%e(wn+1)時(shí)(九eN),若/(%+1)=/'(%),則稱/(%)為延
展函數(shù).
現(xiàn)有,當(dāng)%e(0,1)時(shí),g(%)=靖與灰幻=爐。均為延展函數(shù),則以下結(jié)論()
(1)存在y=kx+b(k>beR;k>b0)與y=g(%)有無窮個(gè)交點(diǎn)
(2)存在y=kx+b(k,beR,k,b于0)與y=/(%)有無窮個(gè)交點(diǎn)
A.(1)(2)都成立B.(1)(2)都不成立C.(1)成立⑵不成立D.(1)
不成立⑵成立.
三、解答題(本大題共5題,共14+14+14+18+18=78分)
17.已知/(%)=sin(cox+co>0
(1)設(shè)co=1,求解:y=/(%),%e[8出的值域;
(2)a>7r(ae/?),/(%)的最小正周期為兀,若在%e[ma]上恰有3個(gè)零點(diǎn),求a的取
值范圍.
18.如圖,PZ、PB、PC為圓錐三條母線,ZB=ZC.
⑴證明:PZ團(tuán)BC;
(2)若圓錐側(cè)面積為g7r,BC為底面直徑,BC=2,
求二面角B-PA-。的大小.
19.水果分為一級(jí)果和二級(jí)果,共136箱,其中一級(jí)果102箱,二級(jí)果34箱。
3
⑴隨機(jī)挑選兩箱水果,求恰好一級(jí)果和二級(jí)果各一箱的概率;
⑵進(jìn)行分層抽樣,共抽8箱水果,求一級(jí)果和二級(jí)果各幾箱;
⑶抽取若干箱水果,其中一級(jí)果共120個(gè),單果質(zhì)量平均數(shù)為303.45克,方差為
603.46;二級(jí)果48個(gè),單果質(zhì)量平均數(shù)為240.41克,方差為648.21;求168個(gè)水
果的方差和平均數(shù),并預(yù)估果園中單果的質(zhì)量.
20.在平面直角坐標(biāo)系%Oy中,已知點(diǎn)4為橢圓廠:^+囚
6
5=1上一點(diǎn),&、F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)。
⑴若點(diǎn)4的橫坐標(biāo)為2,求的長;------
(2)設(shè)廠的上、下頂點(diǎn)分別為M]、M2,記2M0F2的面積為
SL41MlM2的面積為S2,若Si>S2,求的取值范圍'
(3)若點(diǎn)4在%軸上方,設(shè)直線NF2與廣交于點(diǎn)與y軸交于點(diǎn)K,K0延長線與「交于
點(diǎn)C,是否存在%軸上方的點(diǎn)C,使得月1+F\B+F\C=2(0+用+FjC)(Ae
R)成立?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)。的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
21.iBM(a)={t\t=/(%)—f(a),x>a},L(a)=[t\t=/(%)—f(a),x<a]
(1)若/(%)=%2+1,求M(l)和L(l);
(2)若/(%)=%3-3x2,求證:對(duì)于任意aeR,都有M(a)([-4>+°°),且存在a,
使得-4€M(a).
(3)已知定義在R上/(%)有最小值,求證〃/(%)是偶函數(shù)〃的充要條件是“對(duì)于任意
正實(shí)數(shù)c,均有M(—c)=L(c)”.
答案詳解
4
一、填空題(本大題共12題,滿分54分,第1-6題每題4分,第7-12題每題5
分)
1.10g2%的定義域.
【考點(diǎn)】函數(shù)定義域
【答案】(0,+8)
2.直線x-y+l=。的傾斜角.
【考點(diǎn)】直線的傾斜角
【答案】9
【解析】k=tana=1
3.已知二=i,則Z=
1+1
【考點(diǎn)】夏數(shù)
【答案】—1—i
4.(%—1)6展開式中X4的系數(shù)為.
【考點(diǎn)】二項(xiàng)式展開
【答案】15
【解析】《x(—1尸=15
5.三角形ABC中,BC=2,4=巴,B=工,則ZB=____.
34
【考點(diǎn)】解三角形
【答案】吟^
【解析】在三角形中A+B+C=7T,C=||
由正弦定理壬=岑:,解得AB=雙學(xué)
sinAsinC3
6.已知ab=1,4a2+9戶的最小值為.
5
【考點(diǎn)】基本不等式
【答案】12
【解析】由ab=1,4?2+9b2>2-2a-3b=12當(dāng)且僅當(dāng)2a=3b,
即。=',b=.或a=S,b——當(dāng)時(shí)取最小值12.
7.數(shù)歹(]{%},an=n+c,S7<0,c的取值范圍為.
【考點(diǎn)】等差數(shù)列
【答案】(—8,—4)
【解析】由即=n+c,知數(shù)列為等差數(shù)歹(J.S7=型等=等=7a4V
=4
0,a4+c<0,c<-4.故c的取值范圍為(一-4).
8.三角形三邊長為5,6,7,則以邊長為6的兩個(gè)頂點(diǎn)為焦點(diǎn),過另外一個(gè)頂點(diǎn)的雙
曲線的離心率為.
【考點(diǎn)】雙曲線的定義、離心率
【答案】3
【解析】由雙曲線的定義,2c=6,2a=2,e=£=3
a
9.已知/(%)=產(chǎn)0%)={J,,;0,求9(%)<2一%的%的取值范圍
【考點(diǎn)】分段函數(shù)運(yùn)算
【答案】%e(―8,1]
【解析】根據(jù)題意知g(%)=/-°
XfX<U
所以當(dāng)%>。時(shí),g(%)<2-%=>%2+%-2<0,解得%£。1]
同理當(dāng)%<。時(shí),g(%)<2—x=>—x2+x—2<0,解得%E(―8,o)
6
綜上所述:%e(-血i]
10.已知四棱柱ABCD底面ABCD為平行四邊形,AA1=3,BD=4且
麗?近-麗丁反=5,求異面直線441與BD的夾角__q
【考點(diǎn)】立體幾何線線角
【答案】arccos=
【解析】荏1=屈+理ADi=AD+AA1
(AB+磯).AD-(AD+祝).反=5
=AA1-BD=3X4xcos0
5
=>cose=—
11.正方形草地ZBCD邊長1.2,E到48,4。距離為0.2,尸到8&CD距離為0.4,有個(gè)
圓形通道經(jīng)過民工且經(jīng)過4D上一點(diǎn),求圓形通道的周長D,
.(精確到0.01)F.
【考點(diǎn)】解析幾何、數(shù)學(xué)建模
【答案】2.73£
【解析】以4為原點(diǎn)建系易知E(0.2,0.2),9(0.8,0.8),不妨/B
設(shè)EF中點(diǎn)為M(0.5,0.5)直線EF中垂線所在直線方程為y-0.5=-(%-0.5),化
簡(jiǎn)得y=—x+1
所以圓心為(a,—a+1),半徑為a,且經(jīng)過E,F點(diǎn)
7
即(a—0.2)2+(—0+1—0.2)2=心
化簡(jiǎn)得a?-2a+0.68=0C=2na?2.73
12.a1—2,a?=4,。3=8,=16,任局、b],^31CR,「兩足{四+a,11<iV
j<4]={bi+bj\l<i<j<4},求有序數(shù)列{瓦電電也}有對(duì).
【考點(diǎn)】數(shù)列
【答案】48
【解析】以題易知{%+aj|6,10,12,18,20,24),
滿足{的+a7|l<i<;<4]={^+bj\l<i<j<4],
不妨設(shè)瓦<b2<b3<可由單調(diào)性則必有比+洲=6,瓦+壇=10,b2+b4=
20,b3+b4=24
(1)b2+b3=12,b±+b4=18,解得b=2,b2=4,b3=8,b4=16
(2)b2+b3=18,b±+b4=12,解得瓦=-l,b2=7,b3=11,b4=13
所以2種.
綜上共有2科=48對(duì)
二、選擇題(本大題共4題,滿分18分,第13-14題每題4分,第15-16題每題5
分)
13.a,b,ceR,b>c,下列不等式恒成立的是()
La+b2>a+c2B.a2+>a2+cC.ab2>ac2D.a2b>a2c
【考點(diǎn)】不等式的性質(zhì)
【答案】B
【解析】對(duì)于A若聞<?,則爐<c2,選項(xiàng)不成立,故A錯(cuò)誤;
8
對(duì)于C、D,若a=0,則選項(xiàng)不成立,故C、D錯(cuò)誤;故答案選B.
14.空間中有兩個(gè)不同的平面a,0和兩條不同的直線則下列說法中正確的是
()
A.若a團(tuán)/?,刀1團(tuán)a,團(tuán)/?,則m團(tuán)riB.若a團(tuán)0,m^\a,m^\n,則"?團(tuán)/?
C.若仇〃/?,m//a,n///3,則粗〃九D.若仁〃/?,m//a,m//n,則九〃/?
【考點(diǎn)】立體兒何
【答案】A
【解析】對(duì)于4,若a耶,m團(tuán)a,則m〃0或mu/?,又九團(tuán)0,所以m團(tuán)九,故A正確;
對(duì)于B,若a耶,m團(tuán)a,則zn〃S或mu/?,由m團(tuán)小則與£斜交、垂直、平行均有可
能,故B錯(cuò)誤;
對(duì)于C,若。〃0,加〃%則m〃/?或mu0,由九〃/?,則m與九相交、平行、異面均有
可能,故C錯(cuò)誤;
對(duì)于D,若江〃6,??1〃江,則或muS,又m〃幾則九〃/?或九u/?,故D錯(cuò)誤.故
答案選A.
15.有四種禮盒,前三種里面分別僅裝有中國結(jié)、記本本、筆袋,第四個(gè)禮盒里面
三種禮品都有,現(xiàn)從中任選一個(gè)盒子,設(shè)事件A:所選盒中有中國結(jié),事件B:所
選盒中有記事本,事件C:所選盒中有筆袋,則()
A.事件4與事件B互斥B.事件A與事件B相互獨(dú)立
C.事件4與事件BUC互斥D.事件4與事件BnC相互獨(dú)立
【考點(diǎn)】事件的關(guān)系
【答案】B
【解析】對(duì)于A,事件A和事件B可以同時(shí)發(fā)生,即第四個(gè)禮盒中既有中國結(jié),又
9
有記事本,所以A與B互斥,故A錯(cuò)誤;
對(duì)于B,PQ4)=、P(B)=-,P(ArtB)=符合P(ZnB)=P(4)?P(B),B正確;
224
對(duì)于C,事件4與事件BUC可以同時(shí)發(fā)生,所以。錯(cuò)誤;
對(duì)于D,PQ4)=|,P(BnC)=I,而P(4n(BnC))=(wPQ4)?P(BnC),所以Z
與BnC不獨(dú)立,故D錯(cuò)誤。
故答案選B.
16.現(xiàn)定義如下:當(dāng)%e(wn+1)時(shí)5eN),若f(%+1)=/(%),則稱/(%)為延
展函數(shù).
現(xiàn)有,當(dāng)%e(0,1)時(shí),g(x)=/與(%)=爐。均為延展函數(shù),則以下結(jié)論(
)
(1)存在y=kx+b(k,beR;k>b0)與y=g(%)有無窮個(gè)交點(diǎn)
(2)存在y=kx+b(k,b£R,k,b手0)與丫=(%)有無窮個(gè)交點(diǎn)
A.(1)(2)都成立B.(1)(2)都不成立C.(1)成立⑵不成立D.(1)
不成立⑵成立.
【考點(diǎn)】圖像與導(dǎo)數(shù)
【答案】D
【解析】根據(jù)題目所給條件,畫出g(%)與(%)圖像即可,
因?yàn)閗W0,所以⑴錯(cuò);當(dāng)々=10!時(shí),存在b使得直線y=kx+b可以與(%)在區(qū)
間(9,10)的函數(shù)部分重合,因而有無窮個(gè)交點(diǎn),所以(2)正確,故選D
10
三、解答題(本大題共5題,共14+14+14+18+18=78分)
17.已知/(%)=sin(co%+;),co>0
(1)設(shè)co=1,求解:y=/(%),%e[0,兀]的值域;
(2)a>7r(aeR),/(%)的最小正周期為兀,若在%eRa]上恰有3個(gè)零點(diǎn),求a的取
值范圍.
【考點(diǎn)】三角函數(shù)周期與零點(diǎn)
【答案】(l)ye[—;
⑵。嚕節(jié))
【解析】(1)口=1,/(%)=sin(%+因?yàn)椋所以令t=%+C
一Tl)-47f
.33.
所以y=/⑴在京外上單調(diào)遞增,在臣裔上單調(diào)遞減
所以'max=/0=LYmin=f~因此丫G[—爭(zhēng)]
(2)由題知T=詈=加,所以3=2,/(x)=sin(2x+
當(dāng)/(%)—。時(shí),2%+|=kn,kEZ,即%=—£+等,憶CZ.
當(dāng)々=3時(shí),%=如>%所以2+74aV2+37,即衛(wèi)4。v因止匕,。e
333236
吁等1
18.如圖,PZ、PB、PC為圓錐三條母線,ZB=4C.
⑴證明:PZ團(tuán)BC;
(2)若圓錐側(cè)面積為g7r,BC為底面直徑,BC=2,
求二面角B-PA-C的大小.
【考點(diǎn)】圓錐體中的線面關(guān)系
11
【答案】(1)證明見解析(2)加一arccos,
【解析】(1)取BC中點(diǎn)。,連接Z。、P0,
因?yàn)?B=AC,PB=PC,所以4。團(tuán)BC,P。團(tuán)BC,
又因?yàn)閜。u面pz。"u面pzo,p。na。=o,
所以BC團(tuán)面P4。,因?yàn)镻4u面P4。,所以P4團(tuán)BC.
⑵如圖建立空間直角坐標(biāo)系
因?yàn)閳A錐側(cè)面積為為底面直徑,BC=2,
所以底面半徑為1,母線長為次,所以P。=7P屋—A。=
V2,
則可得P(o,0,企),4(0,V0),3(1,0,0),C(-LO0),
故而=(0,],-仞,麗=(],0,-悶屈=夜),
設(shè)4=為面P4B的法向量,則但'上=°=
向?PB=0
?乃?Zi0令%1=V2,則yi=V2,zt=1,所以4=
由-V2Zi=0
(魚,魚,1).
設(shè)式=(%2少22)為面。4。的法向量,
則,^.而=00[為一V2Z2=0
I五-PC=0、-%2—V2Z2=0
1
令%2--V2,則丫2-V2,z2=1,所以拓=(-筋低1).
cos<n^,n^>=
則1卷;揖=二*二=—
'|n1||n2|7^x755
-1
設(shè)二面角B-PA-C為6,所以二面角B-PA-C的大小為7T-arccosi
19.水果分為一級(jí)果和二級(jí)果,共136箱,其中一級(jí)果102箱,二級(jí)果34箱。
12
⑴隨機(jī)挑選兩箱水果,求恰好一級(jí)果和二級(jí)果各一箱的概率;
⑵進(jìn)行分層抽樣,共抽8箱水果,求一級(jí)果和二級(jí)果各幾箱;
⑶抽取若干箱水果,其中一級(jí)果共120個(gè),單果質(zhì)量平均數(shù)為303.45克,方差為
603.46;二級(jí)果48個(gè),單果質(zhì)量平均數(shù)為240.41克,方差為648.21;求168個(gè)水
果的方差和平均數(shù),并預(yù)估果園中單果的質(zhì)量.
【考點(diǎn)】概率、統(tǒng)計(jì)
【答案】(1)£;(2)一級(jí)果抽取6箱,二級(jí)果抽取2箱;
45
(3)平均數(shù):285.44,方差:1426.46,預(yù)估平均287.69
【解析】
(1)古典概型:設(shè)4事件為恰好選到一級(jí)果和二級(jí)果各一箱,⑷=盤02?盤4=
3468,
IQ=C?36=9180,PQ4)=W
⑵一級(jí)果箱數(shù):二級(jí)果箱數(shù)=3:1,因此一級(jí)果抽取6箱,二級(jí)果抽取2箱.
(3)設(shè)一級(jí)果平均質(zhì)量為北二級(jí)果質(zhì)量為夕,總體樣本平均質(zhì)量為玄
平均值:
11
元=而£左=303.45,y=森£乃=240.21
z=—(£/+£”)=—+489=28544
1683113))168
方差:
11
Sx=有£(陽一元)2=一⑸2=>£蛭=120⑸+(%)2)
11
Sy=忘£(%-步尸=—Sy?-(y)2=>5W=48⑸+(y)2)
,4o4o
13
2
Sz=京£(々一力2=焉立一(2)2=擊(£*+EW)-(z)=1426.46
預(yù)估:平均質(zhì)量=I。?元+34夕=287.69
136
22
20.在平面直角坐標(biāo)系%Oy中,已知點(diǎn)A為橢圓廠3+-=1上一點(diǎn),&、e2分別為
62
橢圓的左、右焦點(diǎn)。
(1)若點(diǎn)4的橫坐標(biāo)為2,求|40|的長;
(2)設(shè)「的上、下頂點(diǎn)分別為a、M2,記A4F1F2的面積為SL44MlM2的面積為S2,
若Si之S2,求|。川的取值范圍
(3)若點(diǎn)4在%軸上方,設(shè)直線NF2與廣交于點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)K,K0延長線與「交于
點(diǎn)C,是否存在%軸上方的點(diǎn)C,使得司彳+聒+方=2(0+用+方)(4e
R)成立?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)C的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
【考點(diǎn)】解析幾何
【答案】⑴"⑵(應(yīng),嗒]⑶網(wǎng)―[號(hào))
【解析】⑴設(shè)4(2,y),因?yàn)辄c(diǎn)4為橢圓八1+<=1上一點(diǎn),則與+《=1,得
6262
又尸式―2,0),所以=J(2-(-2))2+(y-0)2=平
(2)設(shè)4(%,y),%yW0,則S[=1I&F211yl=2\y\,S2=^\MrM2\\x\=V2|%|
2
因?yàn)镾i>S2,即21yl>V2|x|,即2y2>x,
又9+?=1,所以2y2>6-3y2,得號(hào)<y2<2
所以=J%2+y2=J(6-3y2)+y2=,6-2y2,所以|。川的范圍是
14
同理方+序+F^C=(x2-6>y2+2yl)
因?yàn)橥哚?F\B+F\C=A(F^A+F^B+或)(2eR),所以瓦彳+F\B+
*/用+用+跖
(22+6)(92+2陰)=(X2-6)(y2+2勿)
所以為+2%=。,或[m―無解)
22
設(shè)直線4尸2:%=my+2,與橢圓八三+—=1聯(lián)立得,(m?+3)y2+4my—2=0
62
則]%為=的-2
7712+34日Vs4曰V5
=_4m得%=7,
(%+y2=-yim2+3
由%i=+2,得%i=£所以
21.記M(a)={tIt=/(%)—f{a)>x>a},L{a)={t\t=f(%)—f(a)>x<a]
(1)若/(%)=x2+1,求M(l)和L(l);
(2)若/(%)=%3-3x2,求證:對(duì)于任意aeR,都有M(a)([-4>+°°),且存在a,
使得—4GM(a).
(3)已知定義在R上/(%)有最小值,求證〃/(%)是偶函數(shù)〃的充要條件是“對(duì)于任意
正實(shí)數(shù)c,均有M(—c)=L(c)”.
【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)
15
【答案】見解析
【解析】(1)由題意得:
M⑴={t\t=x2+1—2>x>1]=[0>+°°);L(l)=
{tIt=/+1-2,%<1}=[―1,+8);
⑵證明:由題意知M(a)=[t\t=x3—3x2—a3+3a2>x>a],
記g(%)=x3—3x2—a3+3a2,有g(shù)'(%)=3%2—6%=0=%=?;?
X(一0°f0)0(0,2)2(2,+8)
g(%)正0負(fù)0正
g(%)7極大值極小值7
現(xiàn)對(duì)a分類討論:
32
(1)當(dāng)a22,有t=/一3/-a+3a,x>a為嚴(yán)格增函數(shù),因?yàn)間(a)=0,
所以此時(shí)M(a)=[0,+8)c[—4,+R)符合條件;
(2)當(dāng)0<a<2時(shí),t=/—3/—+3a2,%>a先增后減,也=g(2)=
—ci3+3d2—4
因?yàn)橐?-3a2=a2(3-a)>0(a=。取等號(hào)),所以「徵譏=g(2)=-a3+3a2-
4>一4,
則此時(shí)M(Q)—[—此+3Q2—4,+8)c[―&+8)也符合條件;
⑶當(dāng)Q<0時(shí)"=%3—3/一+3a2%>a,在阿o)嚴(yán)格增,在@2]嚴(yán)格減,在
⑵+8)嚴(yán)格增,Gin=min{g(a),g(2)}=min{0?-a3+3a2-4),
因?yàn)?a)=—a3+3a2—4,當(dāng)a<。時(shí),(a)=-3a2+6a>0,貝!j(a)>
(0)=-4
則此時(shí)M(a)=[tmin>+°°)G[-4,+8)成立;
16
綜上可知,對(duì)于任意aeR,都有M(a)c[-4,+且存在a=0,使得-4G
M(a).
⑶證明:
⑴必要性:若/(%)為偶函數(shù),
則M(—c)={t\t=/(%)-/(-c)?x>-c],L(c)=[t\t=/(%)-/(c>x<c]
當(dāng)%>-c,t=/(%)-/(-c)=/(-%)-/(c),因?yàn)橐唬?lt;c故M(—c)=L(c);
(2)充分性:若對(duì)于任意正實(shí)數(shù)c,均有M(-c)=£(c),
其中M(-c)={t\t=/(x)-
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