振動波動討論課

討論課4—振動和波動2013.21

1.如圖所示，在光滑水平面上兩彈簧和小球在

y

方向做微振動（y<<a）。（1）這一振動是簡諧振動嗎？（2）求恢復(fù)力。a

：自然長度aa

y

y0kmy

：位移2解這一微振動不是簡諧振動！（1）系統(tǒng)的勢能函數(shù)：3aa

y

y0km（2）求恢復(fù)力

不是簡諧振動4

2.如圖(a)所示，把一勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧的一端固定，另一端系在質(zhì)量為m的勻質(zhì)圓柱體的對稱軸上，圓柱體可繞對稱軸自由轉(zhuǎn)動。今沿彈簧長度方向拉開圓柱體然后釋放，讓圓柱體在水平面上作無滑動滾動。（1）證明系統(tǒng)作簡諧振動；（2）求振動頻率；（3）求相應(yīng)的線性恢復(fù)力；（4）當彈簧和圓柱體放在斜面上（圖(b)），情況如何？kmkmθ（a）（b）5（1）證明系統(tǒng)作簡諧振動靜摩擦力f與彈簧的彈力F的方向相反。圓柱體質(zhì)心運動定理：

取垂直于紙面向里為正方向，設(shè)圓柱體的半徑為R，繞過質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動定理：km0xxFfC無滑動滾動條件：6即聯(lián)立解得：因此，系統(tǒng)圍繞平衡位置作簡諧振動。（2）振動頻率為km0xxFfC7（3）相應(yīng)的線性恢復(fù)力線性恢復(fù)力：用

代表系統(tǒng)等效勁度系數(shù)km0xxFfC8（4）當彈簧和圓柱體放在斜面上，只是平衡位置向x軸正方向移動其他與水平情況相同。kmθ9通過能量判據(jù)求解：靜摩擦力不做功，系統(tǒng)機械能量守恒，且勢能函數(shù)為，則系統(tǒng)圍繞平衡位置作簡諧振動。能量守恒可表示為即對時間求導(dǎo)，得10kkkmm3.求耦合雙振子系統(tǒng)的固有頻率和振動模式（即振動函數(shù)）。11解O1O2x1x2x設(shè)：kkkmm12解得固有頻率：把代入，解出關(guān)系：13兩種振動模式：mmmm振幅、初相由初始條件確定。14

4.在受迫振動中，振幅出現(xiàn)極大值的現(xiàn)象稱為位移共振，速度振幅出現(xiàn)極大值的現(xiàn)象稱為速度共振。證明：（1）位移共振時，位移相位落后于驅(qū)動力近似為（2）當驅(qū)動力頻率恰好等于固有頻率時發(fā)生速度共振，這時速度與驅(qū)動力恰好同相。15（1）位移共振16（2）速度共振17(1)1區(qū)入射波函數(shù)；(2)S1面上反射波，

設(shè)其振幅為

A

1；(4)如果兩列反射波在1區(qū)疊加后合振幅最小，介質(zhì)2厚度至少應(yīng)多大?(3)S2面上反射回1區(qū)的

波，設(shè)振幅為

；求：

5.如圖所示，余弦波沿

x

方向傳播，

a

點振動為r1u1<r2u2>r3u3。，(5)如果兩列反射波在1區(qū)疊加后合振幅最大,介質(zhì)2厚度至少應(yīng)多大?r2u2r1u1ydDlS1S2012axx33r3u318解r1u1<r2u2>r3u3r2u2r1u1ydDlS1S2012axx33r3u319，k=0，1，2，

(4)

和相消干涉：r2u2r1u1ydDlS1S2012axx33r3u3r1u1<r2u2>r3u320當?shù)诙N介質(zhì)的厚度等于

2/2時，從它的兩個表面反射波相消

介質(zhì)2可作為“隱形涂層”r2u2r1u1ydDlS1S2012axx33r3u3取k=1：21當?shù)诙N介質(zhì)的厚度等于

2/4時，從它的兩個表面反射波加強

介質(zhì)2可作為“增反涂層”r2u2r1u1ydDlS1S2012axx33r3u3取k=1：(5)

和相長干涉：22

6.由駐波振動的簡正模式和德布羅意假設(shè)，導(dǎo)出寬度為a

的一維無限深勢阱中質(zhì)量為

m

的粒子能量的表達式。U=0U→∞U→∞U(x)x0一維無限深方勢阱23U→∞U→∞U(x)x0解粒子只能在阱內(nèi)運動，駐波波函數(shù)滿足邊值條件：簡正模式對應(yīng)的波長：德布羅意假設(shè)：粒子能量：24

7.湖面上方h=0.50m處放一電磁波接收器，當某射電星從地平面慢慢升起時，接收器可測到一系列極大值。已知射電星所發(fā)射的電磁波的波長λ=20cm，求出現(xiàn)第一個極大值時射電星的射線與豎直線的夾角θ。把湖面看作是電磁波的反射面。hθ25解入射波和反射波在接收器P處的波程差：hθBPAθααθ2α入射波反射波26

8.飛機在上空以速度u=200m/s