指數(shù)函數(shù)圖象及性質(zhì)

指數(shù)函數(shù)

引例1：某種細胞分裂時，由1個分裂成2個，2個分裂成4個，…….1個這樣的細胞分裂x次后，得到的細胞個數(shù)y與x的函數(shù)關系是什么？分裂次數(shù)：1，2，3，4，…，x細胞個數(shù)：2，4，8，16，…，y由上面的對應關系可知，函數(shù)關系是.引例2：某種商品的價格從今年起每年降低15%，設原來的價格為1，x年后的價格為y，則y與x的函數(shù)關系式為在,中指數(shù)x是自變量，底數(shù)是一個大于0且不等于1的常量.

我們把這種自變量在指數(shù)位置上而底數(shù)是一個大于0且不等于1的常量的函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù).指數(shù)函數(shù)的定義：函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)定義域是R。探究2：函數(shù)是指數(shù)函數(shù)嗎？指數(shù)函數(shù)的解析式y(tǒng)=中，的系數(shù)是1.有些函數(shù)貌似指數(shù)函數(shù)，實際上卻不是，如

(a>0且a1，kZ)；

有些函數(shù)看起來不像指數(shù)函數(shù)，實際上卻是，如因為它可以化為探究2:判斷下列函數(shù),那些是指數(shù)函數(shù)？(2)y=x4

(3)y=-4x(4)y=(-3)x(6)y=3×4x(5)y=xx(1)y=4x(7)y=3x+1點評:函數(shù)解析式三大特征為①指數(shù)是自變量x

;②底數(shù)是非1正常數(shù);③系數(shù)為1.函數(shù)y=(a2-3a+3)ax

是指數(shù)函數(shù),求a的值.隨堂練習：指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)：在同一坐標系中分別作出如下函數(shù)的圖像：

列表如下：x…-3-2-1-0.500.5123……0.130.250.50.7111.4248……8421.410.710.50.250.13…x…-2.5-2-1-0.500.5122.5……0.060.10.30.611.73915.6……15.6931.710.60.30.10.06…x…-3-2-1-0.500.5123……0.130.250.50.7111.4248……8421.410.710.50.250.13…x…-2.5-2-1-0.500.5122.5……0.060.10.30.611.73915.6……15.6931.710.60.30.10.06…()2024/5/290112024/5/292.1.2指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)01101101012024/5/292.1.2指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)0101●圖象共同特征：◆圖象可向左、右兩方無限伸展向上無限伸展，向下與x軸無限接近◆都經(jīng)過坐標為（0，1）的點◆圖象都在x軸上方◆a＞1時，圖象

自左至右逐漸上升◆0＜a＜1時，圖象

自左至右逐漸下降的圖象和性質(zhì)：

a>10<a<1圖象性質(zhì)1.定義域：2.值域：3.過定點，即x=時，y=4.在R上是函數(shù)在R上是函數(shù)y=a1xy=a2xy=a3xy=a4x①，；

②，

③，比較下列各題中兩個值的大?。豪?：挑戰(zhàn)自我：例1

比較下列各題中兩個值的大小：①，解①

：利用函數(shù)單調(diào)性與的底數(shù)是1.7，它們可以看成函數(shù)y=因為1.7>1，所以函數(shù)y=在R上是增函數(shù)，而2.5<3，所以，<；當x=2.5和3時的函數(shù)值；

②，

解②：利用函數(shù)單調(diào)性與的底數(shù)是0.8，它們可以看成函數(shù)y=

當x=-0.1和-0.2時的函數(shù)值；因為0<0.8<1，所以函數(shù)y=在R是減函數(shù)，

而-0.1>-0.2，所以，<

③，解③

：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，得且>從而有2024/5/292.函數(shù)上的最大值與最小值的和為在[0,1](a>1)______3,則1.函數(shù)f(x)=(a-1)x在R上是減函數(shù)，

則a的范圍______的圖像恒過定點P，則P的坐標為＿＿＿3.例2

（1）已知3x≥30.5，求實數(shù)x的取值范圍；（2）已知0.2x＜25，求實數(shù)x的取值范圍。解（1）利用函數(shù)單調(diào)性，與的底數(shù)是3，因為3>1，所以函數(shù)y=在R上是增函數(shù)，；由3x≥30.5，可得x≥0.5，即x的取值范圍為[0.5，+∞）。例2：解下列不等式高中數(shù)學必修1同步輔導課程——指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)例2:指出下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并判斷增減性；單調(diào)區(qū)間為（－∞，＋∞）函數(shù)在該區(qū)間上是減函數(shù)復合函數(shù)單調(diào)性：分別考察內(nèi)外函數(shù)單調(diào)性；“同增異減”解析：例3:a>10<a<1圖象性質(zhì)1.定義域：R2.值域：（0，+∞）3.過點（0，1），即x=0時，y=14.在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)小結：對同底數(shù)冪大小的比較用的是指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；對不同底數(shù)冪的大小的比較可以與中間值進行比較.練習：⑴比較大?。?/p>

,

解：因為利用函數(shù)單調(diào)性練習：⑵已知下列不等式，試比較m、n的大小：⑶比較下列各數(shù)的大?。?/p>

x-3-2-101230.1250.250.512480.250.51248160.512481632例3在同一坐標系下作出下列函數(shù)的圖象，并指出它們與指數(shù)函數(shù)y=的圖象的關系，與與⑴⑵解：⑴列出函數(shù)數(shù)據(jù)表,作出圖像比較函數(shù)y=、y=與y=的關系：的圖象向左平行移動1個單位長度，的圖象，的圖象向左平行移動2個單位長度，就得到函數(shù)y=的圖象。將指數(shù)函數(shù)y=就得到函數(shù)y=將指數(shù)函數(shù)y=x-3-2-101230.1250.250.512480.6250.1250.250.51240.31250.6250.1250.250.512解：⑵列出函數(shù)數(shù)據(jù)表,作出圖像與⑵比較函數(shù)y=、y=與y=的關系：的圖象向右平行移動1個單位長度，的圖象，的圖象向右平行移動2個單位長度，就得到函數(shù)y=的圖象。將指數(shù)函數(shù)y=就得到函數(shù)y=將指數(shù)函數(shù)y=小結：與的關系：當h>0時，將指數(shù)函數(shù)的圖象向左平行移動|h|個單位長度，就得到函數(shù)的圖象；當h<0時，將指數(shù)函數(shù)的圖象向右平行移動|h|個單位長度，就得到函數(shù)的圖象。例4

已知函數(shù)作出函數(shù)圖像，求定義域、與圖像的關系。值域，并探討

解：

定義域：R

值域：

作出圖象如下:關系：該部分翻折到保留在y軸右側(cè)的圖像,y軸的左側(cè),這個關于y軸對稱的圖形就是的圖像函數(shù)y=f(x)y=f(x+a)y=f(x)+ay=f(-x)y=-f(x)y=-f(-x)y=f(|x|)y=|f(x)|對于有些函數(shù)的圖象，則常用基本函數(shù)圖象+變換方法作出：即把我們熟知的基本函數(shù)圖象，通過平移、作其對稱圖等方法，得到我們所要求作的函數(shù)的圖象，這種方法我們遇到的有以下幾種形式：a>0時向左平移a個單位；a<0時向右平移|a|個單位.a>0時向上平移a個單位；a<0時向下平移|a|個單位.y=f(-x)與y=f(x)的圖象關于y軸對稱.y=-f(x)與y=f(x)的圖象關于x軸對稱.y=-f(-x)與y=f(x)的圖象關于原點對稱.與y=f(x)的圖象關于直線y=x對稱.保留y=f(x)在y軸右邊的圖象，然后作關于y軸對稱的圖象即得到y(tǒng)=f(|x|)的圖象。將y=f(x)在x軸下邊的圖象沿x軸翻轉(zhuǎn)到x軸的上邊即得到y(tǒng)=|f(x)|的圖象。例5某種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì)，每經(jīng)過1年剩留的這種物質(zhì)是原來的84%，畫出這種物質(zhì)的剩留量隨時間變化的圖象，并從圖象上求出經(jīng)過多少年，剩量留是原來的一半（結果保留1個有效數(shù)字）。分析：通過恰當假設，將剩留量y表示成經(jīng)過年數(shù)x的函數(shù)，并可列表、描點、作圖，進而求得所求。解：設這種物質(zhì)量初的質(zhì)量是1，經(jīng)過x年，剩留量是y。經(jīng)過1年，剩留量經(jīng)過2年，剩留量……一般地，經(jīng)過x年，剩留量根據(jù)這個函數(shù)可以列表如下：x0123456y10.840.710.590.500.420.35用描點法畫