第四章 圓和扇形（知識歸納+題型突破）（解析版）

第四章圓和扇形（知識歸納+題型突破）1.通過點的運動認(rèn)識圓的特征，理解圓、圓弧、扇形等概念.2.通過操作實驗活動，對圓的周長和面積、弧長與扇形的面積等公式進(jìn)行驗證.3.掌握圓的周長和面積、弧長與扇形的面積等公式，會用公式進(jìn)行簡單度量問題的計算.4.體會近似與精確的數(shù)學(xué)思想，了解數(shù)學(xué)實驗的研究方法.5.通過操作實驗活動，感悟教材知識滲透的“化曲為直”和“無限逼近”的數(shù)學(xué)思想.6.通過操作實驗活動，發(fā)展相互合作的意識和運用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行表達(dá)與交流的能力.1.圓的周長通過操作和計算，我們發(fā)現(xiàn)圓的周長都是直徑的固定的倍數(shù)，我們把這個倍數(shù)叫做圓周率，用字母表示，讀作“pai”；圓周率是個無限不循環(huán)小數(shù)，．圓的周長直徑=圓周率．用字母C表示圓的周長，d表示直徑，r表示半徑，那么：或2.弧長①弧和圓心角的概念如圖，圓上A、B兩點之間的部分就是弧，記作：，讀作：弧AB；稱為圓心角．②弧長公式設(shè)圓的半徑長為r，n°圓心角所對的弧長是l，那么：．3.圓的面積圓所占平面的大小叫做圓的面積．設(shè)圓的半徑長為r，面積為S，那么：圓的面積S=πr×r=πr4.扇形的面積①扇形的概念由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧圍成的圖形，叫做扇形．如圖，空白部分記作扇形AOB．②扇形的面積設(shè)組成扇形的半徑為r，圓心角為n°，弧長為l，那么：S扇形5.重要公式1.圓的周長：2.半圓的周長：3.弧長：4.圓的面積：題型一圓的周長【例1】(1)一輛自行車的車輪半徑0.25米，向前滾動6周，車輪一共前進(jìn)了米（結(jié)果保留）．【答案】【分析】本題主要考查圓的周長的計算，根據(jù)圓的周長計算公式計算即可?！驹斀狻寇囕喴还睬斑M(jìn)了（米）故答案為：(2)甲乙兩個圓，半徑之比為，面積之比為．【答案】【分析】本題考查圓的面積．根據(jù)圓的面積可以得到，圓的面積比等于半徑比的平方，即可得出結(jié)果．掌握圓的面積公式，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：因為圓的面積等于乘以半徑的平方，所以圓的面積比等于半徑比的平方，因為甲乙兩個圓，半徑之比為，所以面積之比為；故答案為：．(3)圓的半徑由5cm增加到9cm，那么圓的周長增加了（

）cmA． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查圓的周長，用大圓的周長減去小圓的周長即可得出結(jié)果，掌握圓的周長的計算公式，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：；故選C．反思總結(jié)1.半徑越大，圓的周長越大；圓的周長與半徑成正比.2.圓的周長公式：或鞏固訓(xùn)練：1.如圖，下面關(guān)于圓的周長的說法，正確的是（）．

A．大圓的周長大于兩個小圓周長的和 B．大圓的周長小于兩個小圓周長的和C．大圓的周長等于兩個小圓周長的和【答案】C【分析】本題主要考查了圓的周長，根據(jù)圓的周長公式進(jìn)行解答即可．【詳解】解：設(shè)左邊的小圓半徑為R，右邊的小圓半徑為r，則大院半徑為，兩個小圓周長和為：，大圓周長：，∴大圓的周長等于兩個小圓周長的和，故選：C．2.要畫一個周長是的圓，圓規(guī)的兩腳應(yīng)叉開（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查圓的周長公式，熟記圓的周長公式，知道圓規(guī)兩腳間的距離就是圓的半徑是解答的關(guān)鍵．由于圓規(guī)的兩腳間的距離是半徑，故由圓的周長公式求出半徑r即可．【詳解】解∶因為畫一個周長是的圓，所以由，得，解得，即圓規(guī)的兩腳應(yīng)叉開．故選：A．3.一輛汽車輪胎的外直徑是1米，每分鐘轉(zhuǎn)200周，這輛汽車經(jīng)過一座長3140米的跨江大橋，需要多少分鐘？（取）【答案】這輛汽車經(jīng)過一座長3140米的跨江大橋，需要5分鐘【分析】本題主要考查了圓的周長計算，先根據(jù)圓的周長計算公式求出輪胎的周長，接下來乘以200即可求出每分汽車行駛的路程，然后用大橋的長度除以汽車每秒行駛的路程即可求出汽車通過這座大橋的時間．【詳解】解：分鐘，答：這輛汽車經(jīng)過一座長3140米的跨江大橋，需要5分鐘．題型二弧長【例2】（1）一個時鐘的分針長，從到，這根分針的尖端走了（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了圓的周長，根據(jù)“從到”可知這根分針的尖端走了1.5圈，再利用圓的周長公式求解是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：從到，這根分針的尖端走了1.5圈，即：，故這根分針的尖端走了．故選：B．（2）在半徑為6的圓中，的圓心角所對的弧長等于（結(jié)果保留）．【答案】【分析】根據(jù)弧長公式直接解答即可．【詳解】解：由弧長公式得：，故答案為：．【點睛】本題考查了弧長公式，解題的關(guān)鍵是熟記弧長公式．（3）若一弧長是所在圓周長的，則它所對的圓心角是度．【答案】144【分析】由于圓周角為360°，則一弧長是所在圓周長的，那么弧所對的圓心角是圓周角的，據(jù)此解答．【詳解】，故填：144【點睛】明確圓周角為360度，進(jìn)而根據(jù)分?jǐn)?shù)乘法的意義求出圓周長的所在的圓心角度數(shù)．反思總結(jié)同圓中的之間的關(guān)系：鞏固訓(xùn)練1.如果一個扇形的圓心角為，那么這個扇形的弧長是它所在的圓的周長的．【答案】【分析】求出扇形的弧長和圓的周長，進(jìn)而可得結(jié)果．【詳解】解：設(shè)這個扇形的半徑為，一個扇形的圓心角為,它所在的圓的周長，這個扇形的弧長是它所在的圓的周長的比為故答案為：．【點睛】本題主要考查了扇形的弧長公式，熟練掌握扇形的弧長公式是解本題的關(guān)鍵．2.一個扇形的半徑為r，中心角為120°，那么它的弧長為．【答案】【分析】首先根據(jù)題意得到扇形的弧長等于圓的周長的，然后求出圓的周長即可求出扇形的弧長．【詳解】解：∵一個扇形的半徑為r，中心角為120°∴它的弧長為．故答案為：．【點睛】此題考查了扇形的弧長計算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意正確列出算式求解．3.一段弧所在的圓的半徑為60，這段弧的長是157，那么這弧所對的圓心角是度．【答案】【分析】設(shè)圓心角為n度，根據(jù)公式，即可求解．【詳解】解：設(shè)圓心角為n度，根據(jù)公式，得∶．故答案為∶150【點睛】本題主要考查了根據(jù)弧長求半徑，熟練掌握弧長公式是解題的關(guān)鍵．題型三組合圖形的周長和面積【例3】(1)如圖，的三條邊長都是18毫米，分別以、、為圓心，18毫米為半徑畫弧，求這三條弧長的和．（取3.14）【答案】56.52毫米【分析】根據(jù)弧長公式解答即可；【詳解】毫米．【點睛】考查對弧長公式的理解以及運用公式進(jìn)行計算．(2)一個圓形草坪的周長是31.4米，要在這個草坪的周圍鋪一條2米寬的石子路，這條石子路的面積是多少平方米？【答案】75.36平方米【分析】根據(jù)圓的周長公式，，得出，再根據(jù)圓環(huán)的面積的計算方法，即用大圓的面積減去小圓的面積，求出環(huán)形石子路的面積即可．【詳解】解：草坪的半徑：（米，石子路的面積：（平方米）；答：石子路的面積是75.36平方米．【點睛】此題主要考查了圓環(huán)的面積的計算方法，即用大圓的面積減去小圓的面積，注意2米是小路的寬度，不是圓的半徑．反思總結(jié)1.圓環(huán)的面積：2.扇形的面積：鞏固訓(xùn)練1.（1）求陰影部分的周長（結(jié)果保留）．（2）求陰影部分的面積（結(jié)果保留）．【答案】（1）；（2）【分析】此題考查了求陰影面積和周長，正方形和圓的面積和周長，（1）根據(jù)正方形的周長和圓的周長公式求解即可；（2）用大的圓的面積減去小的半圓的面積求解即可．解題的關(guān)鍵是熟練掌握方形和圓的面積和周長公式．【詳解】解：（1）（2）2.如圖，是某個運動場跑道圖，每條跑道寬1米，共6個跑道，最里側(cè)半圓的直徑為18米，直跑道長90米．（1）若給6條跑道鋪設(shè)塑膠，問所需塑膠的面積是多少平方米？（2）若給運動場非跑道區(qū)域植上價格為每平方米100元的草皮，共需多少元？【答案】（1）所需塑膠的面積是平方米；（2）共需187434元【分析】（1）根據(jù)所需塑膠的面積等于兩個長方形面積加一個圓環(huán)的面積，利用長方形及圓環(huán)的面積公式即可得答案；（2）非跑道區(qū)域的面積是一個長方形與一個圓形的面積的和，利用面積公式可求出非跑道區(qū)域的面積，再根據(jù)草坪每平方米100元即可得答案．【詳解】（1）（平方米），（平方米），（平方米）．答：所需塑膠的面積是平方米．（2）（元）．答：共需187434元．【點睛】本題考查長方形、圓環(huán)的面積及圓的面積，S長方形=ab（a、b為長方形的長和寬），S圓=（r為半徑），S圓環(huán)=（R為大圓半徑，r為小圓半徑），熟練掌握常用圖形的面積公式是解題關(guān)鍵．題型五運動中面積【例5】已知正方形的邊長為8，圓的半徑為1．（1）如圖①，若圓在正方形的內(nèi)側(cè)沿著正方形的四條邊無滑動地滾動一周回到原來的位置，求圓心經(jīng)過的路程和圓掃過區(qū)域的面積；（結(jié)果保留）（2）如圖②，若圓在正方形的外側(cè)沿著正方形的四條邊無滑動地滾動一周回到原來的位置，求圓心經(jīng)過的路程和圓掃過區(qū)域的面積．（結(jié)果保留）【答案】（1）路程為24，面積為；（2）路程為，面積為【分析】（1）如圖①，圓心經(jīng)過的路程，就是邊長為6的正方形的周長；圓滾動一周，滾不到的面積（陰影部分）是四周的角以及中間的一個小正方形，四周的角合起來相當(dāng)于一個邊長為2的正方形減去一個半徑為1的圓的面積，中間小正方形的邊長為，然后用大的正方形面積減去滾動不到的面積，即可解得；（2）如圖②，圓形經(jīng)過的路程，是四周的角和四條長度為8的線段組成的圖形的周長，四個角合起來相當(dāng)于一個半徑為1的圓的周長，然后求和即可解得；如圖③，圓滾動一周，掃過的面積（陰影部分）是四周的角以及四個長方形組成，四周的角合起來相當(dāng)于一個半徑2的圓的面積，四個長方形的邊長是長為8和寬為2，然后將兩部分面積求和，即可解得；【詳解】（1）如圖①，圓心經(jīng)過的路程=大的正方形面積=中間小的正方形面積=四周角的面積=則圓掃過區(qū)域的面積=（2）如圖②，圓心經(jīng)過的路程=如圖③，圓掃過區(qū)域的面積=【點睛】本題主要考查正方形和圓的組合圖形的周長和面積的計算，解題的關(guān)鍵是弄清楚圓心經(jīng)過的圖形的形狀和圓滾動的地方由哪幾部分組成．鞏固訓(xùn)練1.求下列圖形的陰影部分面積（單位：）．（結(jié)果保留）(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本題考查不規(guī)則圖形面積的求解，涉及圓的面積公式、直角三角形面積公式，根據(jù)題中圖形，數(shù)形結(jié)合，間接表示不規(guī)則圖形面積，利用公式代值求解是解決問題的關(guān)鍵．（1）不規(guī)則圖形可以看著一個大圓里面含著一個小圓，利用圓的面積公式代值求解即可得到答案；（2）根據(jù)圖形，不規(guī)則圖形面積可以看著兩個半圓與直角三角形面積和去掉一個大圓的面積，利用圓的面積公式、直角三角形面積公式代值求解即可得到答案．【詳解】（1）解：；（2）．2.在一長方形草地里有一條寬1米的曲折小路，如圖所示，草坪的面積是平方米．