9.4乘法公式（原卷版）

9.4乘法公式完全平方公式拓展：（a+b）2+（a-b）2=2（a2+b2）（a+b）2-（a-b）2=4ab平方差公式補(bǔ)充公式；；；.題型1：完全平方公式1．若x+y＝1，則x2+2xy+y2＝．【變式1-1】已知x+y＝6，xy＝10，則x2+y2＝．【變式1-2】已知x﹣y＝1，x2+y2＝25，則xy＝，x+y＝．【變式1-3】若n滿足（n﹣2020）2+（2023﹣n）2＝1，（n﹣2020）（2023﹣n）＝．題型2：完全平方公式的幾何背景2.1．如圖，用不同的代數(shù)式表示圖中陰影部分的面積，可得公式．【變式2-1】如圖，兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別為a和b，若a+b＝12，ab＝26，則陰影部分的面積為．【變式2-2】如圖1，是一個(gè)長(zhǎng)為4a、寬為b的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長(zhǎng)方形，然后用四塊小長(zhǎng)方形拼成的一個(gè)“回形”正方形（如圖2）．（1）觀察圖2，可以得到（a+b）2﹣（a﹣b）2＝；（2）當(dāng)（x﹣8）（15﹣x）＝6時(shí)，求（2x﹣23）2的值．【變式2-3】（1）用邊長(zhǎng)分別為a，b的兩個(gè)正方形和長(zhǎng)寬分別為a，b的兩個(gè)長(zhǎng)方形按如圖擺放可拼成一個(gè)大正方形，用兩種不同的方法可以表示圖中陰影部分的面積和．請(qǐng)你用一個(gè)等式表示（a+b）2，a2+b2，ab之間的數(shù)量關(guān)系．（2）根據(jù)（1）中的數(shù)量關(guān)系，解決如下問題：①已知m+n＝6，m2+n2＝26，求m﹣n的值；②已知（x﹣2021）2+（x﹣2023）2＝74，求（x﹣2022）2的值．【變式2-4】問題背景如圖，圖1，圖2分別是邊長(zhǎng)為（a+b），a的正方形，由圖1易得（a+b）2＝a2+2ab+b2．類比探究類比由圖1易得公式（a+b）2＝a2+2ab+b2的方法，依據(jù)圖2中的已知條件推導(dǎo)出完全平方的另一個(gè)公式．解決問題（1）計(jì)算：（2m﹣n）2＝；（2）運(yùn)用完全平方公式計(jì)算：1052；（3）已知（x+y）2＝12，xy＝2，求（x﹣y）2的值．【變式2-5】完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2，適當(dāng)?shù)淖冃?，可以解決很多的數(shù)學(xué)問題．例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．解：因?yàn)閍+b＝3，所以（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，又因?yàn)閍b＝1，所以a2+b2＝7．根據(jù)上面的解題思路與方法，解決下列問題：（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；（2）若（4﹣x）（x﹣5）＝﹣8，求（4﹣x）2+（x﹣5）2的值；（3）如圖，點(diǎn)C是線段AB上的一點(diǎn)，以AC、BC為邊向兩邊作正方形，設(shè)AB＝6，兩正方形的面積和S1+S2＝18，求圖中陰影部分面積．題型3：平方差公式3.已知a+b＝5，a﹣b＝2，則a2﹣b2＝．【變式3-1】已知（a2+b2+3）（a2+b2﹣3）＝7，ab＝3，則（a+b）2＝．【變式3-2】計(jì)算：(1-1【變式3-3】①（x﹣1）?（x+1）＝x2﹣1②（x﹣1）?（x2+x+1）＝x3﹣1③（x﹣1）?（x3+x2+x+1）＝x4﹣1……A題：猜想（x﹣1）?（x49+x48+…+x+1）＝．B題：當(dāng)（x﹣1）?（x5+x4+x3+x2+x+1）＝0，代數(shù)式x2023﹣1＝．【變式3-4】計(jì)算：（x﹣3+2y）（x﹣3﹣2y）．題型4：平方差公式的幾何背景4.在邊長(zhǎng)為a的正方形中挖去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形（a＞b）（如圖），把余下的部分拼成一個(gè)矩形（如圖），根據(jù)兩個(gè)圖形中陰影部分的面積相等，可以驗(yàn)證的乘法公式是．【變式4-1】如圖①，從邊長(zhǎng)為a的大正方形中剪掉一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，將陰影部分沿線剪開，如圖所示，拼成圖②的長(zhǎng)方形．（1）【探究】①請(qǐng)你分別表示出這兩個(gè)圖形中陰影部分的面積；；②比較兩圖的陰影部分面積，可以得到乘法公式：（用字母表示）；（2）【應(yīng)用】請(qǐng)應(yīng)用這個(gè)公式完成計(jì)算：2001×1999．【變式4-2】如圖1，邊長(zhǎng)為a的大正方形剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，然后將圖1中的陰影部分拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（如圖2所示）．（1）上述操作能驗(yàn)證的等式是（用a，b表示）；（2）請(qǐng)利用你從（1）得出的等式，完成下列各題：①已知9a2﹣b2＝27，3a+b＝9，則3a﹣b＝；②計(jì)算：(1-【變式4-2】計(jì)算：（1）長(zhǎng)方形和正方形按如圖的樣式擺放，求圖中陰影部分的面積；（2）先化簡(jiǎn)，再求值（x+3y）2﹣（x+3y）（x﹣3y），其中x＝3，y＝﹣2；（3）已知：（x+y）2＝6，（x﹣y）2＝3，求2xy﹣3的值．題型5：整式的除法5.計(jì)算：2x6÷x2＝．【變式5-1】計(jì)算：（28a3﹣14a2+7a）÷7a＝．【變式5-2】已知10b2÷（﹣5b）m＝A，若m＝1，則A＝；若m＝3，則A＝．【變式5-3】觀察下列式：（x2﹣1）÷（x﹣1）＝x+1；（x3﹣1）÷（x﹣1）＝x2+x+1；（x4﹣1）÷（x﹣1）＝x3+x2+x+1；（x5﹣1）÷（x﹣1）＝x4+x3+x2+x+1．①（x7﹣1）÷（x﹣1）＝；②根據(jù)①的結(jié)果，則1+2+22+23+24+25+26+27＝．題型6：整式的混合運(yùn)算6.若m2﹣m＝2，那么（m﹣1）2+（m+2）（m﹣2）+3的值為．【變式6-1】先化簡(jiǎn)，再求值：[（x﹣3y）（x﹣y）﹣3（x﹣2y）2+（3y）2]÷（﹣2x），其中x＝﹣3，y=-【變式6-2】先化簡(jiǎn)，再求值：（a+b）（a﹣b）+（b﹣1）2﹣a（a﹣2），其中實(shí)數(shù)a，b滿足|a﹣2|+b2+2b+1＝0．【變式6-3】整式化簡(jiǎn)求值：若單項(xiàng)式a3bx與單項(xiàng)式-13π一．選擇題（共7小題）1．下列各運(yùn)算中，計(jì)算正確的是（）A．a(chǎn)2+a2＝a4 B．（b2）3＝b6 C．2x?2x2＝2x3 D．（m﹣n）2＝m2﹣n22．若x2﹣2（n﹣1）x+25是完全平方式，則n的值為（）A．6 B．﹣4或6 C．1 D．﹣93．已知a+b＝10，ab＝20，則a2+b2的值為（）A．80 B．﹣80 C．60 D．1404．若（2x﹣m）（x+1）的運(yùn)算結(jié)果中不含x的一次項(xiàng)，則m的值等于（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣25．若a2﹣b2＝4，則（a+b）2（a﹣b）2的值是（）A．24 B．16 C．8 D．46．已知a=-12022x+2021，b=-12022x+2022，c=-12022x+2023，那么，代數(shù)式a2+b2+A．﹣2022 B．2022 C．﹣3 D．37．若a+b＝3，x+y＝1，則代數(shù)式a2+2ab+b2﹣x﹣y+2015的值是（）A．2019 B．2017 C．2024 D．2023二．填空題（共6小題）8．已知y2﹣8y+m是一個(gè)完全平方式，則m的值為．9．若m=25x+3，n=45x+5，k=65x-7，則代數(shù)式m2+n2+k2+210．如圖，我國(guó)宋朝數(shù)學(xué)家楊輝在他的著作《詳解九章算法》中提出“楊輝三角”，如圖揭示了（a+b）n（n為非負(fù)整數(shù)）展開式中各項(xiàng)系數(shù)的有關(guān)規(guī)律，請(qǐng)你猜想（a+b）6的展開式中含a2b4項(xiàng)的系數(shù)是．11．如圖，正方形ABCD和AEFG的邊長(zhǎng)分別為x，y，點(diǎn)E，G分別在邊AB，AD上，若x2+y2＝29，BE＝3，則圖中陰影部分圖形的面積的和為．12．若x2﹣5x+2＝0，則2x3﹣7x2﹣11x+2020的值為．13．（1）已知x+y＝7，xy＝5，則x2+y2的值為．（2）已知（x+y）2＝49，x2+y2＝27，則（x﹣y）2的值為．（3）已知x滿足（x﹣2022）2+（2024﹣x）2＝12，則（x﹣2023）2的值為．三．解答題（共6小題）14．先化簡(jiǎn)，再求值：[（x﹣3y）（x﹣y）﹣3（x﹣2y）2+（3y）2]÷（﹣2x），其中x＝﹣3，y=-15．閱讀下列材料，解答問題：若一個(gè)自然數(shù)能被13整除，則稱這個(gè)自然數(shù)為“一生數(shù)”．若一個(gè)四位自然數(shù)，百位數(shù)字為1，個(gè)位數(shù)字為4，則稱這個(gè)四位數(shù)為“一世數(shù)”．若一個(gè)四位自然數(shù)既是“一生數(shù)”，又是“一世數(shù)”，則稱這個(gè)數(shù)為“一生一世數(shù)”．例如：因?yàn)?134÷13＝318，318為整數(shù)，所以4134是“一生數(shù)”；因?yàn)?134是四位數(shù)，且百位數(shù)字為1，個(gè)位數(shù)字為4，所以4134為“一世數(shù)”：因?yàn)?134既是“一生數(shù)”，又是“一世數(shù)”，所以4134為“一生一世數(shù)”．（1）求證：任意一個(gè)“一世數(shù)”加上千位數(shù)字與十位數(shù)字3倍的和一定是“一生數(shù)”；（2）若一個(gè)四位自然數(shù)m是“一生一世數(shù)”，記F(m)=m13，求F（16．【閱讀學(xué)習(xí)】閱讀下列文字：我們知道，圖形是一種重要的數(shù)學(xué)語言，我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾經(jīng)說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”．例如，對(duì)于一個(gè)圖形，通過不同的方法計(jì)算圖形的面積，就可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式．例1：如圖1，可得等式：a（b+c）＝ab+ac．例2：由圖2，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．借助幾何圖形，利用幾何直觀的方法在解決整式運(yùn)算問題時(shí)經(jīng)常采用．（1）如圖3，將幾個(gè)面積不等的小正方形與小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為a+b+c的正方形．利用不同的形式可表示這個(gè)大正方形的面積，你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？請(qǐng)用等式表示出來為；（2）利用（1）中所得到的結(jié)論，解決下面的問題：已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38．求a2+b2+c2的值；（3）利用此方法也可以求出一些不規(guī)則圖形的面積．如圖4，將兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為a和b的正方形拼在一起，B、C、G三點(diǎn)在同一直線上，連接BD和BF，若這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)滿足a+b＝10，ab＝20，請(qǐng)求出陰影部分的面積．17．布魯納的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)論認(rèn)為學(xué)習(xí)是一個(gè)積極主動(dòng)的過程，學(xué)習(xí)者不是被動(dòng)接受知識(shí)，而是主動(dòng)的獲取知識(shí)．某個(gè)班級(jí)的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)課上，主持人給出了下列的探究任務(wù)．任務(wù)一：自主探究定義：若a+b＝n，則稱a與b是關(guān)于整數(shù)n的“平衡數(shù)”，比如3與﹣4是關(guān)于﹣1的“平衡數(shù)”，2與8是關(guān)于10的“平衡數(shù)”．（1）填空：﹣6與8是關(guān)于的“平衡數(shù)”．任務(wù)二：合作交流（2）現(xiàn)有a＝6x2﹣4kx+8與b＝﹣2（3x2﹣2x+k）（k為常數(shù)），且a與b始終是整數(shù)n的“平衡數(shù)”，與x取值無關(guān)，求n的值．18．兩個(gè)矩形如圖1放置，BC=a，CD=b(a＜b)，AB=12BC，F(xiàn)C=12CD．現(xiàn)在取BD的中點(diǎn)P，連接PA，PE，如圖2，把圖形分割成三部分，分別標(biāo)記①（1）用字母a、b分別表示S1、S2；（2）若a﹣b＝2，ab＝15，求S1+S2；（3）若S1+S2＝3，ab＝1，求S3．1