基于“直觀的懂”的數(shù)學(xué)教學(xué)路徑

【摘要】本文以問題教學(xué)為載體，展現(xiàn)直觀學(xué)習(xí)的心理過程和操作路徑，包括在“畫數(shù)學(xué)”中建立概念直觀，在“量數(shù)學(xué)”中產(chǎn)生圖式直觀，在“算數(shù)學(xué)”中形成命題直觀。以“直觀的懂”的方式教數(shù)學(xué)，有助于學(xué)生數(shù)學(xué)信念的發(fā)展和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)焦慮的緩解，進(jìn)而促進(jìn)數(shù)學(xué)理解。【關(guān)鍵詞】概念直觀；圖式直觀；命題直觀；數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)“直觀的懂”（徐利治語）是人類認(rèn)識(shí)事物的重要方式，亦如抽象，不可或缺。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論范疇，“直觀”是未經(jīng)充分的邏輯推理而對(duì)事物本質(zhì)的直接洞察與把握?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》把“幾何直觀”列為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2022年修訂）》把“直觀想象”界定為數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一。因此，研究直觀的教、直觀的學(xué)、“直觀的懂”意義重大，價(jià)值深遠(yuǎn)。一、在“畫數(shù)學(xué)”中，建立概念直觀概念揭示經(jīng)驗(yàn)的內(nèi)在聯(lián)系，是思維的基本單位［1］。概念是符號(hào)化的數(shù)學(xué)，具有抽象性、層次性、一般性，是對(duì)同類事物或相似事物進(jìn)行反復(fù)抽象的結(jié)果，不易理解、不易把握。概念需要借助“直觀的懂”，才能將抽象轉(zhuǎn)化為直觀，將一般轉(zhuǎn)化為具體，將不理解轉(zhuǎn)化為能理解。例如，“點(diǎn)動(dòng)成線、線動(dòng)成面、面動(dòng)成體”就是“直觀的懂”的思維產(chǎn)物，是通過揭示經(jīng)驗(yàn)的內(nèi)在聯(lián)系來理解概念的好例子，是概念直觀的思維產(chǎn)物，具有一般性。一般情況下，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論范疇，概念直觀是起于經(jīng)驗(yàn)、成于抽象、終于符號(hào)的目標(biāo)過程。認(rèn)知心理學(xué)把概念直觀界定為借助事物的直觀形象、外在表象、社會(huì)現(xiàn)象，揭示具有共同屬性的一類事物的本質(zhì)特征或內(nèi)在意義的心理過程。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的畫出數(shù)學(xué)、作出數(shù)學(xué)、操作數(shù)學(xué)都是概念直觀的思考路徑，是學(xué)生借助概念直觀理解概念抽象的有效路徑。具體地說，用直角三角板畫垂線，用直尺和三角板畫平行線，用量角器畫角的平分線等，都是通過畫數(shù)學(xué)、畫概念來建立概念直觀的例子。當(dāng)然，概念直觀帶有強(qiáng)烈的經(jīng)驗(yàn)性特征，而經(jīng)驗(yàn)的組織性是知覺選擇、知覺登記與知覺概括的結(jié)果，往往具有感性思維色彩和一定層面的不確定性甚至是錯(cuò)誤。就這一認(rèn)識(shí)來說，概念直觀作用下的經(jīng)驗(yàn)是有非正確、非準(zhǔn)確、非精確的非理性成分的，需要經(jīng)歷思維層面的去粗取精、去偽存真的理性加工過程，經(jīng)歷證實(shí)、證偽的目標(biāo)過程，才能確保概念直觀的理性化、一般化、符號(hào)化，進(jìn)而獲得概念，保持概念，遷移應(yīng)用概念。為此，在畫數(shù)學(xué)中建立概念直觀需要關(guān)注以下幾個(gè)方面的問題，方能將畫數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化為符號(hào)數(shù)學(xué)，將概念的抽象性轉(zhuǎn)化為概念直觀（直觀的懂），將概念的經(jīng)驗(yàn)性轉(zhuǎn)化為概念的本質(zhì)屬性，將概念的概念性轉(zhuǎn)化為概念的教育性，進(jìn)而讓學(xué)生理解、把握概念的本質(zhì)。第一，通過畫圖建立概念表象的直觀性。教師可以針對(duì)圖1提出以下幾個(gè)問題：（1）生活中有哪些常見的曲線圖形？（樹葉、摩天輪、圓錐等物體存在曲線）（2）除了用圓規(guī)可以畫出曲線，還可以用哪些工具畫出曲線？（系線的釘子可以畫圓，捆在一起的兩支筆也可以畫出圓或扇形，人的兩條腿可以畫出大致的圓。）（3）你能用直尺畫出曲線嗎？（4）觀察，說說圖1是如何被畫出來的。（5）模仿畫出圖1的4個(gè)層次圖。這樣，讓學(xué)生在動(dòng)手畫、動(dòng)手操作中建立概念表象，形成概念直觀的理解的認(rèn)知心理狀態(tài)，有助于概念的獲得。第二，通過連圖建立概念直觀的理性經(jīng)驗(yàn)。連圖作為概念，是一系列“連接A、B”的直觀操作；而連圖作為方法產(chǎn)生式，則是將“連接”動(dòng)作上升為通圖通法通性。就這一認(rèn)識(shí)來說，概念是基于經(jīng)驗(yàn)的，而經(jīng)驗(yàn)是概念直觀作用的產(chǎn)物，具有非理性色彩，需要證實(shí)方能將感性經(jīng)驗(yàn)理性化，進(jìn)而調(diào)用、轉(zhuǎn)化和遷移。例如，將圖1（b）作為樣例，讓學(xué)生在模仿學(xué)習(xí)、觀察學(xué)習(xí)中概括“怎樣連點(diǎn)”的方法，即概括出“連接點(diǎn)（1，0）與（0，6）”等通法，進(jìn)而調(diào)用通法作出類似的圖形。這樣模仿、再造的過程就是遷移，是經(jīng)驗(yàn)感性調(diào)節(jié)為經(jīng)驗(yàn)理性的存儲(chǔ)、輸出的就緒狀態(tài)。第三，通過證偽剔除概念的非本質(zhì)屬性。數(shù)學(xué)概念需要證實(shí)，更需要證偽，方能剔除概念的非本質(zhì)屬性，進(jìn)而理解把握概念的本質(zhì)。例如，針對(duì)圖1問題的提出、操作、概括和模仿，學(xué)生獲得的理性經(jīng)驗(yàn)是初級(jí)的、粗糙的，教師還需要提供證偽的操作活動(dòng)，方能使得理性經(jīng)驗(yàn)進(jìn)入應(yīng)用、轉(zhuǎn)化和遷移的狀態(tài)，產(chǎn)生概念的教育性作用。為此，可以提出以下問題：（1）分別畫出將圖1（b）沿橫軸、縱軸翻折后的圖形；（2）畫出將圖1（b）沿兩軸交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后的圖形；（3）觀察、對(duì)比各個(gè)圖形，你發(fā)現(xiàn)了什么？經(jīng)歷這樣的證偽過程（澄清旋轉(zhuǎn)與翻折的關(guān)系），學(xué)生不僅理解了概念本質(zhì)，而且形成了曲線圖的構(gòu)造方法，為后續(xù)圖形變換鋪設(shè)心理基礎(chǔ)，這就是概念直觀的本體。二、在“量數(shù)學(xué)”中，產(chǎn)生圖式直觀希爾伯特在《幾何基礎(chǔ)》第一版的扉頁引用康德的話：人類的一切知識(shí)都是從直觀開始的，從那里進(jìn)到概念，而以理念結(jié)束。［2］“量數(shù)學(xué)”是人類認(rèn)識(shí)事物的思維起點(diǎn)，是數(shù)學(xué)直觀的表現(xiàn)形式、操作方式，是對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)論的堅(jiān)守與敬畏。蘇科版義務(wù)教育數(shù)學(xué)教科書設(shè)置了“動(dòng)手做”“探索與實(shí)踐”“評(píng)價(jià)與反思”“量一量”“測一測”“算一算”“數(shù)學(xué)活動(dòng)”“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室”等活動(dòng)欄目，力圖讓學(xué)生在操作、度量、估算中建立圖式直觀，建立圖式產(chǎn)生式體系。例如，π是一個(gè)無理數(shù)，是一個(gè)常量，是一個(gè)定值，是古代數(shù)學(xué)家無數(shù)次測量馬車車輪的周長與直徑的結(jié)果后概括出的一般化結(jié)論，即車輪的周長與直徑的比值是個(gè)定值，并用希臘字母π來表示這個(gè)定值。這是“量數(shù)學(xué)”的一個(gè)價(jià)值表現(xiàn)，為無理數(shù)的研究提供了直觀基礎(chǔ)。當(dāng)然，數(shù)學(xué)一直是直觀與邏輯的混合物，數(shù)學(xué)知識(shí)的形成依賴于直觀，數(shù)學(xué)知識(shí)的確立依賴于推理［3］。概念、公式、法則、定理等數(shù)學(xué)原理都是起于直觀，成于抽象和推理的。例如，三角形內(nèi)角和定理是通過“度量→剪角→拼角”等直觀方式獲得的，而對(duì)該定理的正確理解與把握則是通過證明推理的方式建立的，即通過添加平行線這一輔助思維，構(gòu)造出平角或同旁內(nèi)角互補(bǔ)的狀態(tài)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為“三角形的內(nèi)角和為180°”的目標(biāo)過程。這就是直觀與邏輯混合理解的加工狀態(tài)。通常，信息加工學(xué)將數(shù)學(xué)知識(shí)劃分為陳述性知識(shí)（如三角形的內(nèi)角和等于180°）、程序性知識(shí)（如數(shù)學(xué)證明是用“因→果→由因得果的理由”三段論方式呈現(xiàn)）和條件性知識(shí)（如含有平行線因素、角平分線因素的圖形中必有等腰三角形存在），圖式則是對(duì)陳述性知識(shí)做出綜合表征，源于直觀，終于推理。圖式是知識(shí)單元，是一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，可以是定理、公式、規(guī)則等數(shù)學(xué)原理，也可以是基本事實(shí)。圖式獲得是數(shù)學(xué)知識(shí)理解的本質(zhì)［4］，數(shù)學(xué)圖式有概括性、層次性，是以數(shù)學(xué)原理加以組織聯(lián)系的，既反映對(duì)象的本質(zhì)，也含有非本質(zhì)特征。為此，在量數(shù)學(xué)的目標(biāo)過程中，需要關(guān)注以下問題層次，方能建立正確的圖式直觀，形成“直觀的懂”的正確問題空間，進(jìn)而理解概念、理解數(shù)學(xué)、學(xué)好數(shù)學(xué)。第一，度量估算概括數(shù)學(xué)，獲得直觀理解的圖式。例如，根據(jù)圖2提出以下問題：（1）如果圖2中每個(gè)小方格的邊長是1厘米，則左邊圖形的周長和面積分別是多少？（2）度量估算出右邊圖形的周長；（3）觀察比較，你能發(fā)現(xiàn)左右兩個(gè)圖形的周長有怎樣的數(shù)量關(guān)系嗎？面積有怎樣的數(shù)量關(guān)系？這樣量數(shù)學(xué)，讓學(xué)生在度量、估算、猜想中形成直觀理解的圖式，能為圖形運(yùn)動(dòng)提供理解基礎(chǔ)，為正確問題空間的建立存儲(chǔ)經(jīng)驗(yàn)。第二，平移變換表征數(shù)學(xué)，建立邏輯理念的圖式。由量數(shù)學(xué)建立的圖式直觀具有初級(jí)性、粗糙性、短時(shí)記憶性和瞬時(shí)理解性，容易出現(xiàn)理解偏差。為此，必須經(jīng)歷圖形運(yùn)動(dòng)、圖形變換、圖形割補(bǔ)，建立數(shù)學(xué)原理層面的邏輯圖式，學(xué)生才能將直觀轉(zhuǎn)化為圖式，將概念轉(zhuǎn)化為方法，將經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化為思想。針對(duì)圖2還需要提出以下問題：（1）經(jīng)驗(yàn)層面。如何平移圖2中右圖的某些線段，使其轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形。（2）理念層面。你能用割補(bǔ)法計(jì)算圖2中右圖的面積嗎？（3）邏輯層面。計(jì)算圖2中左右兩個(gè)圖形面積的差，你發(fā)現(xiàn)了什么？這樣平移變換表征數(shù)學(xué)，有助于學(xué)生形成邏輯理念的圖式，有助于圖式直觀產(chǎn)生式體系的建立。第三，模仿構(gòu)造變式數(shù)學(xué)，促進(jìn)圖式應(yīng)用產(chǎn)生式生成。任何數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生都是起于直觀，成于變式，終于應(yīng)用的。圖式作為知識(shí)關(guān)系的一種表達(dá)方式、架構(gòu)方式，需要構(gòu)造、變式，更需要應(yīng)用，方能形成穩(wěn)定的知識(shí)結(jié)構(gòu)及知識(shí)關(guān)系，進(jìn)而促進(jìn)“直觀的懂”的數(shù)學(xué)能力的進(jìn)一步發(fā)展。為此，針對(duì)圖2還需要解決以下問題：（1）請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)類似的問題，使得不規(guī)則圖形可以轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形；（2）你設(shè)計(jì)的問題與圖2有哪些相同與不同之處？（3）你是如何計(jì)算出不規(guī)則圖形的周長與面積的？以變式構(gòu)造問題，可以讓學(xué)生在變式應(yīng)用中感知問題解決的方法，從而深度理解概念，促進(jìn)圖式產(chǎn)生式生成。這就是將“直觀的懂”轉(zhuǎn)化為圖式理念、應(yīng)用觀念，進(jìn)而學(xué)好數(shù)學(xué)。三、在“算數(shù)學(xué)”中，形成命題直觀“算數(shù)學(xué)”是數(shù)學(xué)發(fā)展的生命。知名數(shù)學(xué)家丘成桐教授就是通過算數(shù)學(xué)的思維方式，用三年多時(shí)間得出“卡拉比—丘”定理的。概念、圖式、命題都是陳述性知識(shí)的表征方式，是以算數(shù)學(xué)為邏輯紐帶的。數(shù)學(xué)上的完全平方公式、平方差公式就是通過算面積的方式算出來的，皮克定理（數(shù)格點(diǎn)→算面積）也是算數(shù)學(xué)的產(chǎn)物。數(shù)學(xué)史上，公理與邏輯只是搭建了數(shù)學(xué)的骨架，但直觀給了它生命［5］。命題是用“如果，那么”（if/then）的方式來刻畫的，命題來源于直觀基礎(chǔ)之上的抽象，來源于算數(shù)學(xué)。例如，國標(biāo)A型紙的長與寬的比值為定值無理數(shù)，即以短邊為邊折正方形，正方形的對(duì)角線與長邊一樣長，由此得出A型紙長邊與短邊的比值為[2]的數(shù)學(xué)結(jié)論。數(shù)學(xué)邏輯學(xué)把判斷一個(gè)事件的句子叫作命題（如兩點(diǎn)確定一條直線等）。命題是數(shù)學(xué)抽象的產(chǎn)物，需要運(yùn)算、推理證明其正確性，方能將命題轉(zhuǎn)化為定理，進(jìn)而成為數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)的邏輯證據(jù)。為此，在算數(shù)學(xué)中形成命題直觀需要做好以下工作，方能將抽象轉(zhuǎn)化為直觀，將算數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化為邏輯命題。第一，輸入編碼，將問題轉(zhuǎn)化為直觀，知道概念性命題是什么樣子。信息加工學(xué)認(rèn)為編碼就是用各種方式把信息組織起來，信息是以編碼的方式存儲(chǔ)在長時(shí)記憶系統(tǒng)的［6］，概念是以命題的方式進(jìn)入工作記憶系統(tǒng)的。數(shù)學(xué)史上“七橋問題”的解決就是通過輸入編碼的方式，將問題轉(zhuǎn)化為“直觀的懂”。具體地說，歐拉將哥尼斯堡的四塊陸地抽象為四個(gè)點(diǎn)，將七座橋抽象為七條線，這樣就將“七橋問題”轉(zhuǎn)化為“一筆畫”問題。這就是將問題（命題）轉(zhuǎn)化為直觀，將難以解決的問題轉(zhuǎn)化為直觀地看出、直觀地畫出、直觀地懂。當(dāng)然，這里還必須指出，輸入編碼的過程是產(chǎn)生刺激沖動(dòng)的過程，即如何將“七橋問題”轉(zhuǎn)化為直觀地看（抽象加工）；編碼加工的過程是將信息轉(zhuǎn)化為概念性命題（如果……，那么……），即能否一筆畫出的問題。第二，符號(hào)加工，將直觀轉(zhuǎn)化為抽象，理解概念性命題為什么是這樣。在信息加工學(xué)范疇，符號(hào)加工是運(yùn)用聯(lián)想思維從信息中推導(dǎo)出以符號(hào)陳述的行動(dòng)指令（概念即命題）。教材中設(shè)置的“剪繩子”問題就是通過符號(hào)加工，將直觀轉(zhuǎn)化為抽象的一個(gè)好例子。具體地說，就是將一根繩子對(duì)折n次，從中間剪一刀，繩子變成多少段的問題。這里的剪繩子是一種直觀操作，在非完全歸納法的參與下，用代數(shù)式表示繩子的段數(shù)（2n+1）就是符號(hào)抽象的陳述形態(tài)。至此不難理解代數(shù)簡明的意義，這也是代數(shù)概念（概念性命題）具有一般性、普適性的一個(gè)例子。第三，譯碼輸出，將命題直觀轉(zhuǎn)化為算理算法，揭示概念關(guān)系是怎么樣的。心理學(xué)理論認(rèn)為，命題或規(guī)則一般由若干概念組成，揭示了幾個(gè)概念之間的關(guān)系和某種規(guī)律。圖3就是反映概念關(guān)系的一個(gè)例子，揭示譯碼輸出的過程，即把命題直觀轉(zhuǎn)化為算法算理的過程。這里，譯碼是符號(hào)指令轉(zhuǎn)化為神經(jīng)沖動(dòng)的過程，輸出則是神經(jīng)沖動(dòng)作用于外部世界。具體地說，先讓學(xué)生在觀圖的基礎(chǔ)上，給出可能的問題空間；接著在交流反思的基礎(chǔ)上給出有意義的問題（即圖中正方形的邊長為10，四個(gè)等圓的半徑均為3，且正方形的四個(gè)頂點(diǎn)恰好都落在圓心上，問花壇的面積是多少）；最后通過譯碼輸出的方式，將命題上升為算法并揭示概