河南省開封市多校2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)試題

2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)試卷注意事項：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時．選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時．將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第二冊第六章至第八章。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．如圖，在正三棱錐P-ABC中，M，N分別為PA，PB的中點．則異面直線MN與AC所成的角為（）A． B． C． D．2．已知在△ABC中，，，則△ABC外接圓的周長為（）A． B． C． D．3．用斜二測畫法畫三角形OAB的直觀圖，如圖所示，已知，，則（）A． B． C．2 D．44．如圖所示，，，則（）A． B． C． D．5．下列命題是真命題的是（）A．上底面與下底面相似的多面體是棱臺B．若一個幾何體所有的面均為三角形．則這個幾何體是三棱錐C．若直線l在平面外，則D．正六棱錐的側(cè)面為等腰三角形．且等腰三角形的底角大于6．已知某圓柱的軸截面是面積為4的正方形，則該圓柱的內(nèi)切球的體積為（）A． B． C． D．7．已知，且．則在上的投影向量為（）A． B． C． D．8．P是△ABC內(nèi)一點，，，則（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分9．若，則下列結(jié)論正確的是（）A．若z為實數(shù)，則B．若，則C．若z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第一象限，則D．若，則10．已知銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若，則的值可能為（）A． B． C． D．11．刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容，用曲率刻畫空間的彎曲性，規(guī)定：多面體頂點的曲率等于與多面體在該點的面角之和的差。其中多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角。角度用弧度制．例如：正方體每個頂點均有3個面角，每個面角均為，故其各個頂點的曲率均為．如圖，在直三棱柱中，，，點C的曲率為，D，E，F(xiàn)分別為AC，AB，的中點．則（）A．直線平面B．在三棱柱中，點A的曲率為C．在四面體中，點E的曲率小于D．二面角的大小為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12復(fù)數(shù)的虛部為______．13．如圖．為了測量某建筑物的高度OP，測量小組選取與該建筑物底部O在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點A與B．現(xiàn)測得，米，米，在測量基點A測得建筑物頂點P的仰角為，則該建筑物的高度OP為______米．14．如圖，在長方體中，，，，P是線段上異于B，的一點，則的最小值為______．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟，15．（13分）已知向量，．（1）若，求的值；（2）設(shè)，向量與的夾角為，求的大小．16．（15分）在△ABC中，．（1）求角C的大小；（2）若D在邊AB上，DC⊥CB，且，．求△ABC的面積S．17．（15分）如圖．在正方形ABCD中，P，Q分別是AB，BC的中點，將△APD，△PBQ，△CDQ分別沿PD，PQ，DQ折起，使A，B，C三點重合于點M．（1）證明：MD⊥平面MPQ（2）證明：點M在平面PDQ的投影為△PDQ的垂心．18．（17分）如圖，在△ABC中，，，，．（1）證明：△ABC為等邊三角形．（2）試問當(dāng)為何值時，取得最小值？并求出最小值．（3）求的取值范圍．19．（17分）如圖，在四棱臺中，平面ABCD，底面ABCD為平行四邊形．，且E，F(xiàn)，H分別為線段，，AD的中點．（1）證明：．（2）證明：平面平面．（3）若，，，當(dāng)與平面所成的角最大時，求四棱臺的體積V．2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)試卷參考答案1．C因為M，N分別為PA，PB的中點，所以，則∠BAC是異面直線MN與AC所成的角．因為三棱錐P-ABC為正三棱錐，所以·2．A設(shè)△ABC外接圓的半徑為R，根據(jù)正弦定理可得，則，故△ABC外接圓的周長為式．3．B畫出三角形OAB的原圖，如圖所示．在直觀圖中，，，得，則在原圖中，．4．C．5．D正方體的上底面與下底面相似，但正方體不是棱臺，A錯誤．如圖所示的幾何體所有的面均為三角形，但該幾何體不是三棱錐，B錯誤．若直線l在平面外，則或直線l與平面相交，C錯誤．正六棱錐的側(cè)面為等腰三角形，設(shè)其中一個側(cè)面為PAB，其中，因為，所以，D正確．6．B依題意可得該圓柱的底面半徑為1，高為2，易得該圓柱的內(nèi)切球的半徑為1，則該圓柱的內(nèi)切球的體積為．7．A如圖，依題意可得點O為△ABC的外心．因為，所以，所以，則四邊形ABOC為菱形．設(shè)，則．因為，所以在上的投影向量為．8．D設(shè)，因為，所以．由正弦定理可得，，則，則，解得．9．AD若z為實數(shù)﹐則，A正確．若，則，則解得，B錯誤．若z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第一象限，則解得，C錯誤．若，則，解得，，則，D正確．10．BC由正弦定理得，所以．因為△ABC是銳角三角形，所以．由，，，則．由，得．11．ABD取的中點G，連接BG，F(xiàn)G．因為D，E，F(xiàn)分別為AC，AB，的中點，所以可證平面平面，因為平面BFG，所以直線平面，A正確．在直三棱柱中，平面ABC，則，，所以點C的曲率為，解得，因為，所以，所以點A的曲率，B正確．連接CE，易證平面，則，所以，又，所以，在四面體中，點E的曲率為，C錯誤．過A作的延長線，垂足為H，連接，則，則為二面角的平面角，通過計算得，則，所以，D正確．12．2因為，所以復(fù)數(shù)的虛部為2．13．在△BAO中，由余弦定理可得，則米．在Rt△OAP中，米．14．將側(cè)面沿著旋轉(zhuǎn)至與平面在同一平面上，連接，如圖所示．易得．由，得．CD=√25＋16—2×4×5×cosZDCC=/41—40×cos（，＋LBCC）=15．解：（1）若，則，解得．（2）因為，所以，即，解得．由，，得，，，故，因為，所以．16．解：（1）由題意得，即，由正弦定理得，由余弦定理得．因為，所以．（2）因為，所以．在△ACD中，由正弦定理得，解得，則或（舍去），得，則．故．17．證明：（1）因為在正方形ABCD中，，，所以折起后，可得，．為，所以平面MPQ．（2）設(shè)點M在平面PDQ的投影為O，則平面PDQ，得，．連接DO并延長DO與PQ交于點F，連接QO并延長QO與PD交于點E．因為在正方形ABCD中，，所以折起后，可得．又因為，，所以平面MPD．因為平面MPD，所以，又，所以平面MOQ．因為平面MOQ，所以．同理可證．故點M在平面PDQ的投影為△PDQ的垂心．18．（1）證明：因為，所以．因為，所以．因為，所以△ABC為等邊三角形．（2）解：，，則，當(dāng)時．取得最小值，最小值為．（3）解：由題意可得．在△ABD中，．設(shè)，，，則，所以．因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以的取值范圍為．19．（1）證明：如圖，連接AC，與BD交于點O．因為平面ABCD，平面ABCD，所以．又因為，，所以平面．因為平面，所以．因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以四邊形ABCD是菱形，則．因為平面ABCD，所以，，所以，即