2023-2024學(xué)年江蘇省無錫市高一下冊5月聯(lián)考數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量抽測試題（附解析）

2023-2024學(xué)年江蘇省無錫市高一下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量抽測試題一、單項選擇題：本小題共8題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的。1．在簡單隨機(jī)抽樣中，下列關(guān)于其中一個個體被抽中的可能性說法正確的是（）A．與第幾次抽樣有關(guān)，第一次抽到的可能性更大一些B．與第幾次抽樣有關(guān)，最后一次抽到的可能性更大一些C．與第幾次抽樣無關(guān)，每次抽到的可能性都相等D．與第幾次抽樣有關(guān)，第一次抽到的可能性更小一些2．如圖，一個水平放置的平面圖形的直觀圖（斜二測畫法）是一個邊長為1的正方形，則這個平面圖形的面積是（

）A． B． C． D．13．已知五個數(shù)，，，，的平均數(shù)為，則這五個數(shù)的方差為（

）A． B． C． D．4．已知向量，則以下說法正確的是（

）A． B．方向上的單位向量為C．向量在向量上的投影向量為 D．若，則5．已知為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，下列命題為真命題的是（

）A．若，，，，則B．若，，則C．若，，，則D．若，，，則6．已知圓柱的底面半徑為1，母線長為2，它的兩個底面的圓周在同一個球的球面上，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．7．在矩形中，，，為邊的中點，現(xiàn)將繞直線翻轉(zhuǎn)至處，如圖所示，若為線段的中點，則異面直線與所成角的正切值為（

）A． B． C． D．8．在正六棱柱中，，為棱的中點，則以為球心，2為半徑的球面與該正六棱柱各面的交線總長為（

）A． B．C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9．演講比賽中，12位評委對小李的演講打出了如下的分?jǐn)?shù)：9.38.88.99.08.99.09.18.79.29.09.19.2若去掉兩個最高分，兩個最低分，則剩下8個分?jǐn)?shù)的（

）A．極差為0.3 B．眾數(shù)為9.0和9.1C．平均數(shù)為9.025 D．第70百分位數(shù)為9.0510．在中，，，，則（

）A． B．C．的面積為 D．外接圓的直徑是11．如圖，矩形中，，邊，的中點分別為，，直線BE交AC于點G，直線DF交AC于點H.現(xiàn)分別將，沿，折起，點在平面BFDE同側(cè)，則（

）A．當(dāng)平面平面BEDF時，平面BEDFB．當(dāng)平面平面CDF時，C．當(dāng)重合于點時，二面角的大小等于D．當(dāng)重合于點時，三棱錐與三棱錐外接球的公共圓的周長為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．據(jù)統(tǒng)計，某段時間內(nèi)由內(nèi)地前往香港的老、中、青年旅客的比例依次為，現(xiàn)使用分層抽樣的方法從這些旅客中隨機(jī)抽取n人，若青年旅客抽到60人，則.13．已知一個正四棱錐的底面邊長為1，高為，則該正四棱錐的表面積為.14．記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，若，則；若為銳角三角形，則的取值范圍是.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．自2022年動工至今，我市的“靚淮河”工程已初具規(guī)模．該工程以“一川清?兩灘靚?三脈通?十景紅”為總體布局，以生態(tài)修復(fù)與保護(hù)為核心理念，最終將促進(jìn)城市防洪?交通?航運(yùn)?生態(tài)?觀光?商業(yè)等多種業(yè)態(tài)協(xié)同融合發(fā)展．為調(diào)查我市居民對“靚淮河”工程的滿意程度，隨機(jī)抽取了200位市民，現(xiàn)擬統(tǒng)計參與調(diào)查的市民年齡層次，將這200人按年齡（歲）分為5組，依次為，并得到頻率分布直方圖如下．

(1)求實數(shù)的值；(2)估計這200人年齡的樣本平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表）；(3)估計這200人年齡的中位數(shù)（精確到小數(shù)點后1位）．16．在中，角所對的邊分別為，已知.(1)若，求角的大?。?2)若，求邊上的高.

17．如圖，已知四棱錐中，底面是平行四邊形，為側(cè)棱的中點.(1)求證：平面；(2)若為側(cè)棱的中點，求證：平面；(3)設(shè)平面平面，求證.

18．如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，分別為棱中點.(1)求證：平面平面；(2)若平面⊥平面，求證：；(3)若平面⊥平面，且，求直線與平面所成角.

19．對于數(shù)集，其中，，定義向量集，若對任意，存在使得，則稱具有性質(zhì)．(1)判斷是否具有性質(zhì)；(2)若，且具有性質(zhì)，求的值；(3)若具有性質(zhì)，求證：且當(dāng)時，．2023-2024學(xué)年江蘇省無錫市高一下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量抽測試題一、單項選擇題：本小題共8題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的。1．在簡單隨機(jī)抽樣中，下列關(guān)于其中一個個體被抽中的可能性說法正確的是（）A．與第幾次抽樣有關(guān)，第一次抽到的可能性更大一些B．與第幾次抽樣有關(guān)，最后一次抽到的可能性更大一些C．與第幾次抽樣無關(guān)，每次抽到的可能性都相等D．與第幾次抽樣有關(guān)，第一次抽到的可能性更小一些【正確答案】C在簡單隨機(jī)抽樣中，每個個體每次被抽中的可能性都相等，與第幾次抽樣無關(guān)，A，B，D錯誤，C正確．2．如圖，一個水平放置的平面圖形的直觀圖（斜二測畫法）是一個邊長為1的正方形，則這個平面圖形的面積是（

）A． B． C． D．1【正確答案】A如圖，不妨令直觀圖中正方形為，則，所以，由直觀圖可得如下平面圖形，則，，所以.3．已知五個數(shù)，，，，的平均數(shù)為，則這五個數(shù)的方差為（

）A． B． C． D．【正確答案】A由題可知，得，則方差.4．已知向量，則以下說法正確的是（

）A． B．方向上的單位向量為C．向量在向量上的投影向量為 D．若，則【正確答案】D對于A：，所以，A錯誤；對于B：方向上的單位向量為，B錯誤；對于C：，則向量在向量上的投影向量為，C錯誤；對于D：，所以，D正確.5．已知為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，下列命題為真命題的是（

）A．若，，，，則B．若，，則C．若，，，則D．若，，，則【正確答案】CA：由，可知、可能平行或相交，A錯誤；B：由，，可知、可能平行或異面，B錯誤；C：由，，，可知，C正確；D：由，，，可知、可能平行或異面，D錯誤.6．已知圓柱的底面半徑為1，母線長為2，它的兩個底面的圓周在同一個球的球面上，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．【正確答案】C由題意可知該球為圓柱的外切球，所以球心為圓柱的中心，設(shè)球半徑為，則，故該球的表面積為.7．在矩形中，，，為邊的中點，現(xiàn)將繞直線翻轉(zhuǎn)至處，如圖所示，若為線段的中點，則異面直線與所成角的正切值為（

）A． B． C． D．【正確答案】A取的中點，連接，.∵是的中點，∴，，，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以為異面直線與所成的角在中，，8．在正六棱柱中，，為棱的中點，則以為球心，2為半徑的球面與該正六棱柱各面的交線總長為（

）A．B．C． D．【正確答案】D因為球的半徑為2，所以球不與側(cè)而及側(cè)交，連接．由題得，．所以，所以球與側(cè)面交于點，，與側(cè)面交于點，．在正六邊形中，易得，因為平面，平面．所以，又，平面，所以平面，即平面，且，又，．所以球與側(cè)面的交線為以為直徑的半圓，同理可得球與側(cè)面的交線為以為直徑的半圓．由題易得，則球與上底面及下底面的交線均為個半徑為的圓．所以球面與該正六棱柱各面的交線總長為．

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9．演講比賽中，12位評委對小李的演講打出了如下的分?jǐn)?shù)：9.38.88.99.08.99.09.18.79.29.09.19.2若去掉兩個最高分，兩個最低分，則剩下8個分?jǐn)?shù)的（

）A．極差為0.3 B．眾數(shù)為9.0和9.1C．平均數(shù)為9.025 D．第70百分位數(shù)為9.05【正確答案】AC易知去掉最高分和最低分后剩下的8個分?jǐn)?shù)分別為，顯然極差為，眾數(shù)為9.0，平均數(shù)為，，則第70百分位數(shù)為數(shù)據(jù)中的第6個數(shù)即9.1.顯然A、C正確，B、D錯誤.10．在中，，，，則（

）A． B．C．的面積為 D．外接圓的直徑是【正確答案】ABD對于A，，A正確；對于B，由A選項知，由余弦定理得.故，B正確；對于C，由于在中，，故，所以，所以，C錯誤；對于D，設(shè)外接圓半徑為R，則由正弦定理得，D正確.11．如圖，矩形中，，邊，的中點分別為，，直線BE交AC于點G，直線DF交AC于點H.現(xiàn)分別將，沿，折起，點在平面BFDE同側(cè)，則（

）A．當(dāng)平面平面BEDF時，平面BEDFB．當(dāng)平面平面CDF時，C．當(dāng)重合于點時，二面角的大小等于D．當(dāng)重合于點時，三棱錐與三棱錐外接球的公共圓的周長為【正確答案】ACD對于A，在矩形中，，是的中點，所以，，則，又，所以，則，所以，則，故，當(dāng)平面平面時，如圖1，又因為平面平面，平面，所以平面，A正確.對于B，當(dāng)平面平面CDF，如圖1，由選項A易知在矩形中，，則，所以在中，，，同理，則，，又，，面，所以面，同理平面CHG，又因為，所以平面AGH與平面CHG重合，即四邊形為平面四邊形，又平面平面CDF，平面平面，平面平面，所以，又，所以四邊形是平行四邊形，則，假設(shè)，則四邊形為平面圖形，又平面，平面，所以平面，又平面平面，平面，所以，又，即，所以四邊形是平行四邊形，所以，而，，顯然矛盾，B錯誤；對于C，如圖2，由選項B易得平面，又平面，所以，同理：，所以二面角的平面角為，在中，由選項B知，所以是正三角形，故，即二面角的大小等于，C正確；對于D，如圖2，三棱錐與三棱錐的公共面為面，所以三棱錐與三棱錐外接球的公共圓為的外接圓，易知，，，所以，所以，即為直角三角形，所以為的外接圓的直徑，即，所以所求公共圓的周長為，D正確.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．據(jù)統(tǒng)計，某段時間內(nèi)由內(nèi)地前往香港的老、中、青年旅客的比例依次為，現(xiàn)使用分層抽樣的方法從這些旅客中隨機(jī)抽取n人，若青年旅客抽到60人，則.【正確答案】200青年旅客抽到60人，則老、中年旅客的人數(shù)分別為和，故.13．已知一個正四棱錐的底面邊長為1，高為，則該正四棱錐的表面積為.【正確答案】4如圖，四棱錐為正四棱錐，高，底面邊長，過點作于，則是的中點，連接，于是斜高，所以正四棱錐的表面積.14．記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，若，則；若為銳角三角形，則的取值范圍是.【正確答案】因為，所以，，，，由，則，即，代入，可得，則，且，解得.由，①當(dāng)時，且，若是銳角三角形，則，所以，不成立；②當(dāng)時，且，所以，代入上式，可得，若是銳角三角形，則，所以，即，且，又，所以.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．自2022年動工至今，我市的“靚淮河”工程已初具規(guī)模．該工程以“一川清?兩灘靚?三脈通?十景紅”為總體布局，以生態(tài)修復(fù)與保護(hù)為核心理念，最終將促進(jìn)城市防洪?交通?航運(yùn)?生態(tài)?觀光?商業(yè)等多種業(yè)態(tài)協(xié)同融合發(fā)展．為調(diào)查我市居民對“靚淮河”工程的滿意程度，隨機(jī)抽取了200位市民，現(xiàn)擬統(tǒng)計參與調(diào)查的市民年齡層次，將這200人按年齡（歲）分為5組，依次為，并得到頻率分布直方圖如下．

(1)求實數(shù)的值；(2)估計這200人年齡的樣本平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表）；(3)估計這200人年齡的中位數(shù)（精確到小數(shù)點后1位）．【正確答案】(1)；(2)41.5歲；(3)42.1歲（1）由題意：，解得．（2）由題意：，估計這200人年齡的樣本平均數(shù)為41.5歲．（3）由圖可知，年齡在的頻率為0.25，在的頻率為0.35，，估計這200人年齡的樣本中位數(shù)為42.1歲．16．在中，角所對的邊分別為，已知.(1)若，求角的大??；(2)若，求邊上的高.【正確答案】(1)；(2)（1）由正弦定理，，即，因為，所以,即是銳角，故；（2）如圖，由余弦定理，，知角是銳角，則，作于點，在中，,即邊上的高是.17．如圖，已知四棱錐中，底面是平行四邊形，為側(cè)棱的中點.

(1)求證：平面；(2)若為側(cè)棱的中點，求證：平面；(3)設(shè)平面平面，求證.【正確答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)證明見解析（1）設(shè)，連接，因為是平行四邊形，故，又為側(cè)棱的中點，故.又平面，平面，故平面.（2）若為側(cè)棱的中點，，則，又平面，平面，故平面.又，平面，平面，故平面.又，平面，故平面平面.又平面，故平面.（3）因為，平面，平面，故平面.又平面平面，平面，故

18．如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，分別為棱中點.(1)求證：平面平面；(2)若平面⊥平面，求證：；(3)若平面⊥平面，且，求直線與平面所成角.【正確答案】(1)證明過程見解析；(2)證明過程見解析；(3)（1）因為分別為棱中點，所以，因為平面，平面，所以平面，因為，，分別為棱中點，所以四邊形為平行四邊形，故，因為平面，平面，所以平面，因為，平面，所以平面平面；（2）因為平面⊥平面，兩平面交線為，，平面，所以平面，因為平面，所以；（3）由（2）可知，平面，故直線與平面所成角為或其補(bǔ)角，又平面，所以，因為，，且，所以，故，故故直線與平面所成角為.19．對于數(shù)集，其中，，定義向量集，若對任意，存在使得，則稱具有性質(zhì)．(1)判斷